福建省长乐第一中学高中数学选修4《球坐标系与柱坐标系》教案

人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。

通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。

本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。

•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。

•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。

课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。

•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。

•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。

课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。

•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。

•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。

课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。

在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。

这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。

四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。

球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。

在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。

球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。

柱坐标系与球坐标系简介【学习目标】了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化。

【学习过程】一、温故而知新1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？2．如何确定一个球面上的点的位置？回顾：二、典型问题【问题1】（1）点A 的柱坐标是)7,6,2(π，则它的直角坐标是 ；（2）点B 的直角坐标是)4,3,1(，则它的柱坐标是 。

练一练：3．点P 的柱坐标是)2,3,4(-π，则它的直角坐标是 。

4．点Q 的直角坐标是)2,3,1(-，则它的柱坐标是 。

【问题2】：（1）点A 的球坐标是)4,4,2(ππ，则它的直角坐标是 ； （2）点B 的直角坐标是)222,2(，-，则它的球坐标是 。

【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点。

三、技能训练5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：)3,32,4(),1,6,2(-ππQ P 。

6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：)23,,5(),35,2,4(ππππB A 。

7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：)24,0,24(),6,1,1(--N M 。

8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点。

9．设M 的球坐标为)45,4,2(ππ，则它的柱坐标为 。

10．在球坐标系中， )4,6,3(ππP 与)43,6,3(ππQ 两点间的距离是 。

11．球坐标满足方程3=r 的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程。

【学习小结】应该记住的内容：重点内容：个人心得：【达标检测】12．点A 的柱坐标是)4,6,2(π-，则它的直角坐标是 。

13．点M 的球坐标是)65,3,8(ππ，则它的直角坐标是 。

14．点P 的直角坐标是)3,3,3(--，则它的柱坐标是 。

15．在球坐标系中，)6,4,4(ππM 与)32,4,4(ππN 两点间的距离是 。

答案【问题1】解：（1）∵7,6,2===z πθρ， ∴7,1sin ,3cos =====z y x θρθρ，∴点A 的直角坐标是)7,1,3(；（2）∵4,3,1===z y x ，∴4,3tan ,222====+=z x y y x θρ， ∵0,0>>y x ，∴3πθ=， ∴点B 的柱坐标是)4,3,2(π。

直角坐标系教学目的：知识与技术：回忆在平面直角坐标系中刻画点的位置的方式进程与方式：体会坐标系的作用情感、态度与价值观：通过观看、探讨、发觉的制造性进程，培育创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够成立适当的直角坐标系,解决数学问题讲课类型：新讲课教学模式：启发、诱导发觉教学.教学进程：一、温习引入：情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按打算完成科学考察任务后，平安、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机械运动的轨迹。

情境2：运动会的揭幕式上常常有大型集体操的表演，其中不断转变的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布组成的。

要显现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？二、学生活动学生回顾刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系一、数轴它使直线上任一点P都能够由惟一的实数x确信二、平面直角坐标系在平面上，当取定两条相互垂直的直线的交点为原点，并确信了气宇单位和这两条直线的方向，就成立了平面直角坐标系。

它使平面上任一点P都能够由惟一的实数对（x,y）确信3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确信了气宇单位和这三条直线方向，就成立了空间直角坐标系。

它使空间上任一点P 都能够由惟一的实数对（x,y,z ）确信三、讲解新课：1、 成立坐标系是为了确信点的位置，因此，在所建的坐标系中应知足： 任意一点都有确信的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能够确信那个点的位置2、 确信点的位置确实是求出那个点在设定的坐标系中的坐标四、数学运用例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的极点。

*变式训练如何通过它们到点O 的距离和它们相关于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确信点的位置？例2 已知B 村位于A 村的正西方1千米处,原打算通过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发觉一古代文物遗址W.依照初步勘探的结果,文物治理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的打算需要修改吗?*变式训练1．一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时刻比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，而且现在的声速为340m/s,求曲线的方程2．在面积为1的PMN ∆中，2tan ,21tan -=∠=∠MNP PMN ，成立适当的坐标系，求以M ，N 为核心并过点P 的椭圆方程例3 已知Q （a,b ）,别离按以下条件求出P 的坐标（1）P 是点Q 关于点M （m,n ）的对称点（2）P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q 不在直线1上）*变式训练用两种以上的方式证明：三角形的三条高线交于一点。

选修4――4坐标系教案【篇一：选修4矩阵与坐标系参数方程】选修4矩阵与坐标系参数方程（1）1．在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程是??x＝t＋5，?y＝－4－t(t为参数), 圆c的参数方程是面积的最大值.2．已知圆锥曲线?(1)3（1）求经过点f2且垂直地于直线af1的直线l的参数方程；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线af2的极坐标方程．?1??m0?3．设矩阵a=?,若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为a?0?,属于特征值2的一个?0n?????0?特征向量为??,求实数m, n的值.1??? 33??1?? cd??1?? 3??.求矩阵a,并写出a的逆矩阵. ?－2?选修4矩阵与坐标系参数方程（1）答案4222大,最大值为2＋1. 2化为普通方程，222【答案】解：（1）圆锥曲线所以f1（﹣1，0），f2（1，0），则直线af1的斜率于是经过点f2垂直于直线af1的直线l的斜率所以直线l的参数方程是，（t为参数），即（t为参数）．……6分（2）直线af2的斜率所以直线af2的极坐标方程：??m????03【答案】由题意得???m??0??0??1??1?=1 ?0??0?,n??????0??0??0?=2 ?1??1?,n??????……10分?m=1,?0?n=0, ?m=1,?化简得?所以? 、0?m=0, n=2.??? ?n=2,?1??1?? 33??1??1?? ??=6??,? cd??1??1?? 3?? 33?? 3?? 3?,可得??? ??=??,?－2?? cd??－2??－2?21 －??32? 33??c＝2，??即3c-2d=-2,解得?即a=?. ?, a的逆矩阵是?d＝4．11? 24?? －??32?选修4矩阵与坐标系参数方程（2）??x＝3＋22t1在平面直角坐标系xoy中,直线m的参数方程为?(t为参数);在以o 为极点、2?y＝－3?2a、b两点,求线段ab的长.2．在极坐标系中,圆c是以点c(2,-)为圆心、2为半径的圆. 6(1)求圆c的极坐标方程;?x??x??x+2y?o3．已知点a在变换t:??→??=?作用后,再绕原点逆时针旋转90,得到点b.若??y??y??y?点b的坐标为(—3,4),求点a的坐标.?21??10?24矩阵与变换已知矩阵a=?,向量b=??.求向量a,使得aa=b. ? ?01??2?选修4矩阵与坐标系参数方程（2）答案1【答案】解:直线m的普通方程为x-y=6曲线c的普通方程为y2=8x由题设直线m与曲线c交于a、b两点,可令a(x1,y1),b(x2,y2). ?y2=8x联立方程?,解得y2=8(y+6),则有y1+y2=8,y1?y2=-48.[来?x-y=6于是ab===故 ab=22【答案】选修4—4:坐标系与参数方程而得到的圆,所以圆c的极坐标方6123【答案】?21??21??43?4【答案】b 解:a=???01?=?01?,01??????2设a=??,由a?x??y?2a=b得??43??x??10?=??, ????01??y??2?即??4x+3y=10?x=1?1?, 解得?,所以a=???2??y=2?y=2【篇二：选修4-4：参数方程教案】曲线的参数方程教学目标知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。

球坐标系与柱坐标系教学目的：知识与技术：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方式进程与方式：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

情感、态度与价值观：通过观看、探讨、发觉的制造性进程，培育创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方式的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用讲课类型：新讲课教学模式：启发、诱导发觉教学.教学进程：一、温习引入：情境：咱们用三个数据来确信卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如安在空间里确信点的位置？有哪些方式？学生回忆在空间直角坐标系中刻画点的位置的方式极坐标的意义和极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：一、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置能够用有序数组),,(ϕθr 表示，咱们把成立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：二、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把成立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1成立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的极点.变式训练成立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的极点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标. 变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标知足方程r=3的点所组成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.变式训练标知足方程ρ=2的点所组成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 试探: 在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少? 三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规那么；2．柱坐标系的作用与规那么。

人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》
1、柱坐标系和球坐标系的认识。

2、柱坐标系和球坐标系的应用。

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人教版数学高中选修4-4《柱坐标系和球坐标系的认识》。

4.1.3 球坐标系与柱坐标系1．球坐标系设M (x ，y ，z )为空间一点，点M 可用这样三个有次序的数r ，φ，θ来确定，其中r 为原点O 到点M 间的距离，φ为有向线段OM与z 轴正方向所夹的角，θ为从z 轴正半轴看，x 轴正半轴按逆时针方向旋转到有向线段OP的角，这里P 为点M 在xOy 平面上的投影(如图)．这样的三个数r ，φ，θ构成的有序数组(r ，φ，θ)叫作点M 的球坐标，这里r ，φ，θ的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤φ≤π，0≤θ＜2π.特别地，r ＝常数，表示的是以原点为球心的球面；φ＝常数，表示的是以原点为顶点，z 轴为轴的圆锥面；θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面．点M 的直角坐标与球坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos θ＝r sin φcos θ，y ＝|OP |sin θ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.2．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O ，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z 轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M (x ，y ，z )为空间一点，并设点M 在xOy 平面上的投影点P 的极坐标为(r ，θ)，则这样的三个数r ，θ，z 构成的有序数组(r ，θ，z )就叫作点M 的柱坐标，这里规定r ，θ，z 的变化范围为0≤r ＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞.特别地，r ＝常数，表示的是以z 轴为轴的圆柱面； θ＝常数，表示的是过z 轴的半平面；z ＝常数，表示的是与xOy 平面平行的平面．显然，点M 的直角坐标与柱坐标的关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ，z ＝z .预习交流1．在研究空间图形的几何特征时，应该怎样建立坐标系？提示：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系． 有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．2．空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？ 提示：在直角坐标系中，我们需要三个长度x ，y ，z ；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r ，θ，z .空间直角坐标：设点M 为空间一已知点．我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P ，Q ，R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x ，y ，z .于是空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(x ，y ，z )．这个组数(x ，y ，z )就叫作点M 的坐标，并依次称x ，y 和z 为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)坐标为(x ，y ，z )的点M 通常记为M (x ，y ，z )．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M 和有序数组(x ，y ，z )之间的一一对应关系．如果点M 在yOz 平面上，则x ＝0；同样，zOx 平面上的点，y ＝0；xOy 平面上的点，z ＝0.如果点M 在x 轴上，则y ＝z ＝0；如果点M 在y 轴上，则x ＝z ＝0；如果点M 在z 轴上，则x ＝y ＝0.如果M 是原点，则x ＝y ＝z ＝0等．这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．一、球坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标． 思路分析：利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求解，其中r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr，tanθ＝y x. 解：r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. ∵r cos φ＝z ＝2，∴cos φ＝22.由0≤φ≤π，∴φ＝π4.又∵tan θ＝y x ＝1，θ＝π4，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4.已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4，求它的直角坐标． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 3π4cos 3π4＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，y ＝2sin 3π4sin 3π4＝2×22×22＝1，z ＝2cos 3π4＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－ 2.∴点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cosφ，求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的范围．二、柱坐标与直角坐标互化设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．思路分析：利用⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．解：设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1.易知，θ在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，θ＝π4，z ＝1.∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1.点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6，7，求它的直角坐标． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧x ＝2cos π6＝2×32＝3，y ＝2sin π6＝2×12＝1，z ＝7.∴点M 的直角坐标为(3，1,7)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2求ρ，利用tan θ＝yx求θ，在求θ的时候特别注意该点所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标． 三、求空间一点的坐标一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来．解：以圆形体育馆中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为203 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转2π16×172＝17π16，就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫203，17π16，2.8.建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体的各个顶点的坐标．解：以正四面体的一个顶点B 为原点O ，选取以O 为端点且与BD 垂直的射线Ox 为x 轴，BD 所在射线为y 轴，过O 点，与面BCD垂直的射线为z 轴，建立柱坐标系．过A 作AA ′垂直于平面BCD ，垂足为A ′，则|BA ′|＝323×23＝3，|AA ′|＝32－(3)2＝6， ∠A ′Bx ＝π2－π6＝π3，则A ⎝⎛⎭⎫3，π3，6，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎫3，π6，0，D ⎝⎛⎭⎫3，π2，0. 求空间中一点的柱坐标，与求平面极坐标类似，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度．1．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫16，π3，5，则其直角坐标为__________． 答案：(8,83，5)解析：∵ρ＝16，θ＝π3，z ＝5，∴x ＝ρcos θ＝8，y ＝ρsin θ＝83，z ＝5， ∴点P 的直角坐标是(8,83，5)．2．点B 的直角坐标为(1，3，4)，则它的柱坐标是__________．答案：⎝⎛⎭⎫2，π3，4 解析：x ＝1＝r cos θ，y ＝3＝r sin θ，∴tan θ＝ 3.∵0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝π3，r ＝2，z ＝4，∴点B 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，4. 3．已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，π4，3π4，则它的直角坐标为____________，它的柱坐标是____________．答案：(－2,2,22) ⎝⎛⎭⎫22，3π4，22 解析：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝4sin π4cos 3π4＝－2，y ＝4sin π4sin 3π4＝2，z ＝4cos π4＝2 2.所以点M 的直角坐标为(－2,2,22)． 设点M 的柱坐标为(r ，θ，z ′)，则r ＝x 2＋y 2＝22，tan θ＝2－2＝－1，所以θ＝3π4.又z ′＝22，所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，22. 4．将点M (1，－1，6)化成球坐标为__________．答案：⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4 解析：设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，则r ＝12＋(－1)2＋(6)2＝22，tan φ＝x 2＋y 2z ＝12＋126＝33，由0≤φ≤π，知φ＝π6，又tan θ＝y x ＝－11＝－1,0≤θ＜2π，x ＞0，∴θ＝3π4.∴M (1，－1，6)的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π6，3π4.。

.【自主学习】任务1：阅读教材P22—24，理解下列问题：任务2：完成下列问题： 在航空领域，人们怎样确定航天器的准确位置呢？如何建立坐标系，才能方便地的得出r ,ϕ,θ的值，并由有序实数组(r ,ϕ,θ)找到航天器的具体位置呢？选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立平面极坐标系. 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r .OP 与Oz 正向所夹的角为ϕ.设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ,ϕ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r ,ϕ,θ)之间建立了一种对应关系. 把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序组(r ,ϕ, θ)叫做点P 的球坐标，记做P (r ,ϕ, θ)，其中r≥0，0≤ϕ≤π，0≤θ＜2π.在测量实践中，球坐标中的角θ 称为被测点P (r ,ϕ, θ)的方位角，90o －ϕ称为高低角. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与球坐标(r ,ϕ, θ)之间的变换公式为 ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 【合作探究】.)2,1,1( .1，求它的球坐标的直角坐标为设点例M【目标检测】)()2 ,1 ,1(.1B M ，则它的球坐标是的直角坐标为设点--)4,43 ,2.(D )4 ,45 ,2.(C )45 ,4 ,2.(B )4 ,4 ,2.(A ππππππππx y z P (r ,ϕ,θ)θr QϕO). 22,4 ,2(2)22 2, 2,()4,43 ,4(.2--πππ标为它的柱坐，，则它的直角坐标为的球坐标为已知点M .)90(. )90( .3度南纬纬度，则称此地的纬度是轴负向的夹角为与处南半球，设若地度北纬度，则称此地的纬度是轴正向的夹角为与北半球，高，若地处的一点如图把某地记为空间中ϕϕϕϕ--z z M【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。

四柱坐标系与球坐标系简介[对应学生用书P10] 1．柱坐标系（1）定义：建立空间直角坐标系Oxyz。

设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q,用（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组（ρ，θ,z)(z∈R)表示,这样，我们建立了空间的点与有序数组（ρ，θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序数组(ρ，θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P（ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R。

(2)空间点P的直角坐标（x，y，z）与柱坐标(ρ，θ，z）之间的变换公式为错误!2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ。

这样点P的位置就可以用有序数组（r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间极坐标系），有序数组（r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P（r,φ,θ),其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ＜2π.(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r,φ,θ）之间的变换关系为错误![对应学生用书P10］［例1］(1)设点A的直角坐标为(1,错误!,5)，求它的柱坐标．(2)已知点P的柱坐标为错误!，求它的直角坐标．[思路点拨] 直接利用公式求解．[解] （1）由变换公式错误!即ρ2＝12＋（3）2＝4，∴ρ＝2.tan θ＝错误!＝错误!,又x＞0，y＞0，点A在第一象限．∴θ＝π3,∴点A的柱坐标为错误!。

(2)由变换公式错误!得：x＝4cos 错误!＝2，y＝4sin错误!＝2错误!，z＝8。

∴点P的直角坐标为(2，2错误!，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z），代入变换公式错误!求ρ,也可利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝错误!求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标。

高中数学人教版选修4-4： 四 柱坐标系与球坐标系简介（一）
【自主学习】
任务1：阅读教材P22—24，理解下列问题：
任务2：完成下列问题：
柱坐标系
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点.它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序实数组(ρ,θ,z )(z ∈R)表示.
这样，我们建立了空间的点与有序实数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞. 柱坐标系又称半极坐标系. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为
⎪⎩⎪⎨⎧===z
z y x θρθρsin cos
【合作探究】
设点M 的直角坐标为(1, 1, 1)，求它的柱坐标系中的坐标.
【目标检测】 )()3 ,3 ,1(.1C M ，则它的柱坐标是的直角坐标为设点--
x y
z P (ρ,θ,z )θρQ z
)3 ,35 ,2.(D )3 ,34 ,2.(C )3 ,32 ,2.(B )3 ,3 ,2.(A ππππ2. 建立适当的坐标系，写出棱长为2 的正方体的各顶点的空间直角坐标和柱坐标.
3 .如图：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ⊥CB ,且CA =CB =1,AA 1=2,D 、E 、F 分别是棱BA 、BC 、BB 1的中点，建立适当的坐标系，写出D 、E 、F 的空间直角坐标和柱坐标.
【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。

B C 11C 1E D。

4.1.3 球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4­1­5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图4­1­6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4­1­6所示．x2＋y2＋z2＝r2，x＝r sin_θcos_φ，y＝r sin_θsin_φ，z＝r cos_θ.3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O ­xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .图4­1­74．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，4，则点M 的直角坐标为________．(2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos3π4＝－ 2. 即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π6＝3，y ＝2×sin π6＝1，z ＝7.即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________． 【解析】 (1)由变换公式得：x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4­1­8建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4­1­8【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(ρ，θ，z )或球坐标(r ，θ，φ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin θcos φ，y ＝r sin θsin φ，z ＝r cos θ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，tan φ＝y xx，cos θ＝zr.提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值．[再练一题]2．(1)设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． (2)设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．【导学号：98990006】【解】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)由坐标变换公式，可得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos θ＝z ＝2， 得cos θ＝2r＝22，θ＝π4. 又tan φ＝y x ＝1，φ＝π4(M 在第一象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点．结晶体的基本单位称为晶胞，如图4­1­9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图4­1­9(2)，建立空间直角坐标系O ­xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．(1) (2)图4­1­9【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4； 它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0.1．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为________．【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z ＝1，故x ＝ρcos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．【答案】 (1,0,1)2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 【解析】 由坐标变换公式，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2. cos θ＝z r ＝22，θ＝π4.∵tan φ＝yx＝1， ∴φ＝54π.故M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π43．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为________．【导学号：98990007】【解析】 设P (x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴P (1,1,5)．设B (x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6·cos π3＝6×12＝62. 故B (364，324，62)．【答案】 P (1,1,5)，B (364，324，62)4．把A (4，π6，2)、B (3，π4，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为________．【解析】 点A 化为直角坐标为A (23，2,2)，点B 化为直角坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫322，322，－2.AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3222＋(2＋2)2＝12＋92－66＋4＋92－62＋16＝41－6(6＋2)．所以AB ＝41－6＋2.【答案】41－6＋2我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

4.1.3 球坐标系与柱坐标系1．球坐标系、柱坐标系的理解．2．球坐标、柱坐标与直角坐标的互化．[基础·初探]1．球坐标系与球坐标(1)在空间任取一点O作为极点，从O点引两条互相垂直的射线Ox和Oz作为极轴，再规定一个长度单位和射线Ox绕Oz轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系．图4­1­5(2)设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ表示以Oz为始边，OP为终边的角，φ表示半平面xOz到半平面POz的角，则有序数组(r，θ，φ)就叫做点P的球坐标，其中r≥0,0≤θ≤π，0≤φ＜2π.2．直角坐标与球坐标间的关系图4­1­6若空间直角坐标系的原点O，Ox轴及Oz轴，分别与球坐标系的极点、Ox轴及Oz轴重合，就可以得到空间中同一点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，θ，φ)之间的关系，如图4­1­6所示．x2＋y2＋z2＝r2，x＝r sin_θcos_φ，y＝r sin_θsin_φ，z＝r cos_θ.3．柱坐标系建立了空间直角坐标系O ­xyz 后，设P 为空间中任意一点，它在xOy 平面上的射影为Q ，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面xOy 上的极坐标，这时点P 的位置可以用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R )表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R .图4­1­74．直角坐标与柱坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z .[思考·探究]1．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系有何联系和区别？【提示】 柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy 内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角(高低角、极角)刻画点的位置．空间直角坐标系和柱坐标系、球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是由三个数值的有序数组组成．2．在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)，θ＝θ0，z ＝z 0分别表示什么图形？【提示】 在极坐标中，方程ρ＝ρ0(ρ0为不等于0的常数)表示圆心在极点，半径为ρ0的圆，方程θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成θ0角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程ρ＝ρ0表示中心轴为z 轴，底半径为ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿z 轴方向平行移动而成的．方程θ＝θ0表示与zOx 坐标面成θ0角的半平面．方程z ＝z 0表示平行于xOy 坐标面的平面，如图所示．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________(1)已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4，4，则点M 的直角坐标为________．(2)设点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，7，则点M 的直角坐标为________．【自主解答】 (1)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2sin 3π4·cos 3π4＝－1，y ＝2×sin 3π4×sin 3π4＝1， z ＝2×cos3π4＝－ 2. 即M 点坐标为(－1,1，－2)． (2)设M (x ，y ，z )， 则x ＝2×cos π6＝3，y ＝2×sin π6＝1，z ＝7.即M 点坐标为(3，1,7)．【答案】 (1)(－1,1，－2) (2)(3，1,7) [再练一题]1．(1)已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，8，则它的直角坐标为________．(2)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，π4，则它的直角坐标为________． 【解析】 (1)由变换公式得：x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． (2)由变换公式得：x ＝r sin θcos φ＝4sin 3π4cos π4＝2， y ＝r sin θsin φ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos θ＝4cos3π4＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22)．【答案】 (1)(2,23，8) (2)(2,2，－22)已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图4­1­8建立空间直角坐标系A —xyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．图4­1­8【思路探究】 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．【自主解答】 点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)， 其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ得⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33，结合图形得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.∴点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为(2，π4，1)，球坐标为(3，φ，π4)，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.化点M 的直角坐标(x ，y ，z )为柱坐标(ρ，θ，z )或球坐标(r ，θ，φ)，需要对公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin θcos φ，y ＝r sin θsin φ，z ＝r cos θ进行逆向变换，得到⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y xx，z ＝z以及⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，tan φ＝y xx，cos θ＝zr.提醒 在由三角函数值求角时，要先结合图形确定角的范围再求值．[再练一题]2．(1)设点M 的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标． (2)设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求它的球坐标．【导学号：98990006】【解】 (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得ρ＝2，θ＝π4.因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)由坐标变换公式，可得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋22＝2.由r cos θ＝z ＝2， 得cos θ＝2r＝22，θ＝π4. 又tan φ＝y x ＝1，φ＝π4(M 在第一象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第16题)建立适当的球坐标系或柱坐标系表示棱长为3的正四面体的四个顶点．结晶体的基本单位称为晶胞，如图4­1­9(1)是食盐晶胞的示意图(可看成是八个棱长为12的小正方体堆积成的正方体)．图形中的点代表钠原子，如图4­1­9(2)，建立空间直角坐标系O ­xyz 后，试写出下层钠原子所在位置的球坐标、柱坐标．(1) (2)图4­1­9【命题意图】 本题以食盐晶胞为载体，主要考查柱坐标系及球坐标系在确定空间点的位置中的应用．【解】 下层的原子全部在xOy 平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的球坐标分别为(0,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π2，π4； 它们的柱坐标分别为(0,0,0)，(1,0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4，0.1．已知点A 的柱坐标为(1,0,1)，则点A 的直角坐标为________．【解析】 由点A 的柱坐标为(1,0,1)知，ρ＝1，θ＝0，z ＝1，故x ＝ρcos θ＝1，y ＝ρsin θ＝0，z ＝1，所以直角坐标为(1,0,1)．【答案】 (1,0,1)2．设点M 的直角坐标为(－1，－1，2)，则它的球坐标为________． 【解析】 由坐标变换公式，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝2. cos θ＝z r ＝22，θ＝π4.∵tan φ＝yx＝1， ∴φ＝54π.故M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5π4.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，5π43．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，这两个点在空间直角坐标系中点的坐标分别为________．【导学号：98990007】【解析】 设P (x ，y ，z )，则x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1，z ＝5，∴P (1,1,5)．设B (x ，y ，z )，则x ＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y ＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z ＝6·cos π3＝6×12＝62. 故B (364，324，62)．【答案】 P (1,1,5)，B (364，324，62)4．把A (4，π6，2)、B (3，π4，－2)两点的柱坐标化为直角坐标，则两点间的距离为________．【解析】 点A 化为直角坐标为A (23，2,2)，点B 化为直角坐标为B ⎝⎛⎭⎪⎫322，322，－2.AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3222＋(2＋2)2＝12＋92－66＋4＋92－62＋16＝41－6(6＋2)．所以AB ＝41－6＋2.【答案】41－6＋2我还有这些不足：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________。

四 柱坐标系与球坐标系简介互动课堂重难突破本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.一、柱坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ）（ρ≥0,0≤θ〈2π）来表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标.这时点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)（z ∈R ）表示.这样,我们建立了空间的点与有序数组（ρ,θ,z ）之间的一种对应关系,把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组（ρ,θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z ），其中ρ≥0,0≤θ〈2π，—∞〈z <+∞。

2.空间点P 的直角坐标（x ,y ,z )与柱坐标（ρ,θ,z ）之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,cos ,cos z z y x θρθρ二、球坐标系1.定义：如图,建立空间直角坐标系O —xy z ，设P 是空间任意一点,连结OP ，记|OP |=r ,OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ。

这样点P 的位置就可以用有序数组（r ，φ,θ）表示。

这样，空间的点与有序数组（r ，φ,θ）之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系），有序数组(r ,φ，θ）叫做点P 的球坐标，记作P （r ,φ,θ），其中r ≥0,0≤φ≤π,0≤θ〈2π。

2。

空间点P 的直角坐标(x ，y ,z ）与球坐标（r ,φ，θ）之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕρθϕρr z r y r x3.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用。

在测量实践中,球坐标中的角θ称为被测点P (r ,φ，θ）的方位角，90°-φ称为高低角.可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的. 在直角坐标系中，我们需要三个长度：（x ，y ,z ），而在球坐标系与柱坐标系中,我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要（ρ,θ,z )或者（r ,φ,θ)。