(完整word版)自控 根轨迹法习题及答案

根轨迹绘制习题及答案根轨迹绘制习题及答案根轨迹是控制系统理论中的重要概念，它可以帮助我们分析和评估系统的稳定性和动态响应。

在学习根轨迹绘制的过程中，练习习题是必不可少的。

本文将为大家提供一些根轨迹绘制的习题及答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 习题一：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 2s + 1)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。

解答一：首先，我们需要确定系统的极点和零点。

对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)^2的形式，其中极点为-1，零点为无穷远处。

接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。

根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。

当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。

根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。

- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。

- 当K为纯虚数时，根轨迹会绕过零点和极点，形成一个闭合的曲线。

因此，在本例中，当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点-1移动。

系统的稳定性取决于根轨迹是否穿过虚轴。

根据根轨迹的绘制，我们可以发现根轨迹没有穿过虚轴，因此系统是稳定的。

2. 习题二：考虑一个开环传递函数为G(s) = K/(s^2 + 3s + 2)的系统，请绘制其根轨迹，并分析系统的稳定性。

解答二：首先，我们需要确定系统的极点和零点。

对于给定的传递函数G(s)，我们可以将其分解为G(s) = K/(s+1)(s+2)的形式，其中极点为-1和-2，零点为无穷远处。

接下来，我们可以根据根轨迹的特性来绘制图形。

根轨迹是极点随着增加K的值而移动的轨迹。

当K趋近于无穷大时，根轨迹会趋近于极点的位置。

根据根轨迹的性质，我们可以得出以下结论：- 当K为正实数时，根轨迹从零点开始，逐渐向极点移动。

- 当K为负实数时，根轨迹从极点开始，逐渐向零点移动。

第四章 根轨迹法一、填空选择题（每题2分）1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。

2、根轨迹对称于s 平面 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。

6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3+s s K，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。

A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]根轨迹填空题答案1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。

2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。

6、B二、综合计算题及参考答案a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。

解：8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

cbad解：每项三分cbadb1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2+++=s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。

并求分离点或会合点。

解：G(s)的零、极点标准形式为)1)(1()2()(j s j s s K s G -++++=因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。

根轨迹法习题答案根轨迹法习题答案根轨迹法是控制工程中常用的一种分析和设计控制系统的方法。

通过绘制系统的根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性和动态响应特性。

在学习根轨迹法的过程中，习题是非常重要的一部分。

下面将给出一些常见的根轨迹法习题及其详细解答。

1. 问题描述：考虑一个开环传递函数为G(s) = K(s+1)/(s^2+2s+2)的控制系统，求解当K取何值时，系统的闭环极点位于左半平面。

解答：根据根轨迹法的基本原理，当系统的闭环极点位于左半平面时，根轨迹必须通过左半平面的点。

因此，我们只需要找到根轨迹与虚轴交点的位置即可。

首先，我们可以计算系统的开环零点和极点。

系统的零点为s+1=0，即s=-1；系统的极点为s^2+2s+2=0，解得s=-1±j。

接下来，我们绘制根轨迹图。

首先，我们将系统的零点和极点标记在复平面上。

由于根轨迹是一条连续的曲线，我们可以通过绘制一系列的点来近似表示根轨迹的形状。

根据根轨迹法的规则，根轨迹从极点出发，向零点靠近。

我们可以选择一些特定的点来绘制根轨迹。

例如，我们可以选择s=-1-2j，s=-1-4j，s=-1-6j等点。

通过计算这些点对应的传递函数的幅角和幅值，我们可以得到根轨迹的大致形状。

根据计算，当K取较小的正值时，根轨迹将通过左半平面的点，而当K取较大的正值时，根轨迹将通过右半平面的点。

因此，当K为正值且介于两者之间时，系统的闭环极点将位于左半平面。

2. 问题描述：考虑一个开环传递函数为G(s) = K(s+2)/(s^2+3s+2)的控制系统，求解当K取何值时，系统的闭环极点位于虚轴上。

解答：根据根轨迹法的原理，当系统的闭环极点位于虚轴上时，根轨迹必须通过虚轴上的点。

因此，我们需要找到根轨迹与虚轴交点的位置。

首先，计算系统的开环零点和极点。

系统的零点为s+2=0，即s=-2；系统的极点为s^2+3s+2=0，解得s=-1，s=-2。

接下来，我们绘制根轨迹图。

1 已知系统的开环传递函数为()()()()21++=s s s ks H s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K 的取值范围。

解：（1）根据绘制根轨迹的基本法则，可知： ① 实轴上的根轨迹区域为：（－∞，－2]和[0.－1]。

② 根轨迹总共有三条，其中二条将趋向无穷远处，其渐近线为： a 与实轴的交点坐标（a δ，0j ）()()1321011-=-+-+=--=∑∑==mn zp n i mj ji a δb 与实轴的夹角：()⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+=-+=1601180060318012180)12(0000k k k k m n k o a ϕ③ 根轨迹的分离点()()()()()(){}()423.0,578.121210211)(121-=-=⇒++-=⇒++-=⇒=+++=+s s dss s s d ds dk s s s k s s s k s G g g g舍去④ 根轨迹与虚轴的交点()()()()0,6,0,20210211)(1=±=⇒=+++⇒=⇒=+++=+g g gk k j j j j s s s k s G 对应的代入上式：令s ωωωωω系统稳定的充要条件为所有的闭环极点都要复平面的左半平面，根据以上绘制根轨迹的第4点，系统稳定时K 的取值范围为60<<K 。

2 已知系统的开环传递函数为)3)(2()5()(*+++=s s s s K s G ，（1）试绘制该系统的概略根轨迹图；（2）利用根轨迹图分析系统稳定时K*的取值范围。

（1）根据根轨迹的绘制法则，可知：① 实轴上的根轨迹：[]3,5--, []0,2--1-2j② 渐近线： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±=+==----=22)12(02)5(320ππϕσk a a③ 分离点： 5131211+=++++d d d d 用试探法可得886.0-=d 。

第四章根轨迹分析法习题4-2单位回馈控制系统的开环传递函数G （$） = £,试用解析法绘出K,•从零变化5 + 1到无穷时的闭环根轨迹图，并判断2 jl,（・3+j2）是否在根轨迹上。

解：K t =OBt, s + l = O=>s = -lK r =l 时，s + 2 = 0=>s = -2 K t = 2时.s + 3 = 0=>s = -3-2在根轨迹上,（-3+J2）, jl 不在根轨迹上。

(2) G (5)= -s(s + l)($ + 4)解：（2）1） 开环零、极点：pi=O, p 2=-l.p3=-4,z=-1.0» n=3, m=l 2） 实轴上根轨迹段：（0,-1）, （-1.5, -4） 3） 根轨迹的渐近线：渐近线（2条）交点丁 = °一1一节（一"）=-1.75, 夹角 ±口 + 1)龙=±兰=土90。

九11-WI 24) 分离点和会合点丄 I 1 -1d + d + 1 + d + 4 d + 1.5 试探法求得^ = -0.6（3） 1）开环零、极点：pi=0t pi3=-1, n=32） 实轴上根轨迹段：（0,-1）, （-1, -8） 3） 根轨迹的渐近线：4-3反馈控制系统的开环传递函数如下，K r >0.试画出各系统的根轨迹图。

(3) G(s) =K )5(5 + l)2b 2 K s' 2 — K 「2-K =0rr5-° K=>^r =2,s = ±jr4-5系统的开环传递函数为G(S )=K 「(、_2).5(5 + 1)(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益K 「为何值时，复数特征根的实部为・2?求岀此根。

解：<1)1) 开环零、极点：pi=0, p 2=-l z=-2> n=2, m=l 2) 实轴上根轨迹段:(0, -1), (-2,⑵ 系统特征方程为”+(l + KJs + 2K 「=0 由一亍=-1= 一2.得：K r = 3, s l2 =-2±j<2 2a 2jir-3.414可以证明该根轨迹是一个半径为1.414,原点在・2处的标准圆3)分离点和会合点1 11了+〃+1=〃+2 => 叭=-0.586,<4-6单位反馈系统的前向通道传递函数为*)=滴市，为使主•导极点具有阻尼比g = 0・5,试确泄K「的值。

第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。

对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0 =++-∠-++-∠)43j 1()23j 1( ππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。

将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。

（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=' 28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。

解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。

1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。

对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。

将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。

（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。

4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。

（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。

（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。

（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。

4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。

4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。

（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。

（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。

4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。

4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。

1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。

对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。

将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。

（ａ） （ｂ） （ｃ） （ｄ）2解 根轨如图解4-2所示：3 已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*s s s z s K s G 产生纯虚根为1j ±的z 值和*K 值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(j s j s s s s K s G -+++++=*的闭环根轨迹图（要求（ｅ） （ｆ） （ｇ） （ｈ） 题4-22图 开环零、极点分布图图解4-2 根轨迹图3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。

解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。

（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。

第4章　根轨迹法4-1 根轨迹法适用于哪类系统的分析？答：根轨迹法适用于分析高阶系统。

4-2 为什么可以利用系统开环零点和开环极点绘制闭环系统的根轨迹？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，而系统的幅角关系为式中：；为开环有限零点－z i 到s 的矢量幅角；为开环极点－p j 到s 的矢量幅角。

由此可知，可以利用系统开环零点和开环极点来绘制闭环系统的根轨迹。

4-3 绘制根轨迹的依据是什么？答：绘制根轨迹的依据是幅角条件，即幅角的和总等于。

4-4 为什么说幅角条件是绘制根轨迹的充分必要条件？答：由根轨迹的定义可知，根轨迹由特征方程式的幅值条件和幅角条件决定，但因为K g 在0→∞范围内连续变化，总有一个K g 能满足幅值条件，所以，绘制根轨迹的依据是幅角条件。

4-5 系统开环零、极点对根轨迹形状有什么影响？答：（1）增加开环零点将使系统的根轨迹向左弯曲，并在趋向于附加零点的方向发生变形。

（2）增加开环极点将使系统的根轨迹向右弯曲，使对应同一个K g值的复数极点的实数部分和虚数部分数值减小，从而系统的调节时间加长，振荡频率减小。

4-6 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。

解：（1）①起点：两个开环极点为－p1＝－1，－p2＝－2；终点：系统有一个开环有限零点为－z＝－3。

②实轴上的根轨迹区间为（－∞，－3]，[－2，－1]。

③根轨迹的分离点、会合点计算。

即因为根轨迹在（－∞，－3]和[－2，－1]上，所以，分离点为－1.58，会合点为－4.42。

根轨迹如图4-1所示。

图4-1 题4-6（1）根轨迹图（2）①起点：三个开环极点－p1＝0，－p2＝－3，－p3＝－2；终点：系统有一个开环有限零点－z＝－5。

②实轴上根轨迹区间为[－5，－3]，[－2，0]。

③渐近线倾角及交点计算。

由公式求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为④求分离点N'（s）D（s）－D'（s）N（s）＝0。

第四章 根轨迹法习题及答案4-1 系统的开环传递函数为)4s )(2s )(1s (K )s (H )s (G *+++=试证明3j 1s 1+-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。

解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图所示。

对于31j s +-=，由相角条件=∠)s (H )s (G 11-++-∠-)13j 1(0=++-∠-++-∠)43j 1()23j 1(ππππ-=---632满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。

将1s 代入幅值条件：143j 123j 113j 1K s H )s (G *11=++-⋅++-⋅++-=）（解出 ： 12K *= ， 238K K *==4-2 已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹方程，并写出2b =时系统的闭环传递函数。

（1）)b s )(4s (02)s (G ++=（2）)b s )(2s (s )b 2s (01)s (G +++=解 (1) )4j 2s )(4j 2s ()4s (b 20s 4s )4s (b )s (G 2-++++=+++=' 28s 6s 20)s (G 1)s (G )s (2++=+=Φ(2) )10s 2s (s )20s 2s (b )s (G 22++++='=)3j 1s )(3j 1s (s )19j 1s )(19j 1s (b -+++-+++ 40s 14s 4s )4s (10)s (G 1)s (G )s (23++++=+=Φ 4-3 已知单位反馈系统的开环传递函数)b s )(4s (s2)s (G ++=，试绘制参数b 从零变化到无穷大时的根轨迹，并写出s=-2这一点对应的闭环传递函数。

解 )6s (s )4s (b )s (G ++='根轨迹如图。