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解⑴G(s)= 第四章线性系统的根轨迹法4-3单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ G3)= s(0.2s + l)(0.5s +1)K 10Ks(0.2s + l)(0.5s +1) = s(s + 5)(s + 2)系统有三个开环极点：0 =0,P2 =-2,，3 =-5 实轴上的根轨迹：[—2,0]炊、己心0-2-5 7 (2k +1)71；■勿①渐近线：——= 一牙仁= -------；-- =±^，石%1分离点：j + £? + £ = °解得：％= 一°・88，d2 - 3.7863 (舍)%1与虚轴的交点：特征方程为D(s)= s 3 + 7s 2 + 10s + 10K = 0 J Re[D(jd))] = -7a)2 + 10K = 0 \(o = V10令[Im[D(ja))] = -a)3 + 10fi? = 0 解得[K = 7与虚轴的交点(0, +710j)o根轨迹如图解4-3 (1)所示。
图4-3 (1)K*(s + 2)⑴ G(s) =⑴(s + i + 〃)(s + l 一以)解:①实轴上的根轨迹：(-00-2]1 1 1②分离点：d + 1 + j2+ d + l-j2 = d + 2解之得：=-4.23③起始角：° PI = 180。
+ 63.435 -90 =153.43°,另一起始角由对称性得：-153.43°。
图4-4 (1)4-5已知单位反馈系统的开环传递函数G(s),要求：(2)确定G(s)= “EK：：、、产生纯虚根为±顶1的z值和K*值S十_LV八S 十)解(2)闭环特征方程：D(s) = $2 (s + 10)(s + 20) + K* (s + z)=s4 + 30s3 + 200s2 + K*s + K*Z = 0有：D(j(o) = 3 一200妒 + K*Z)+ - 30切3)=0刃4 -200妒+矿々=0令实、虚部分别等于零即：如•勿-30妒=0把刃=1 代入得：K*=30, z = 199/30。
第四章 根轨迹法4-1试粗略画出对应反馈控制系统具有以下前向和反馈传递函数的根轨迹图： ()()()()s s H s s s K s G 6.01,01.01.02+=++=4-2 试粗略地画出反馈系统函数 ()()()()2411+-+=s s s Ks G 的根轨迹。
4-3 对应负反馈控制系统，其前向和反馈传递函数为 ()()()()1,42)1(2=+++=s H s s s s K s G 试粗略地画出系统的根轨迹。
4-4 对应正反馈重做习题4-3，试问从你的结果中得出什么结论？4-5 试画出具有以下前向和反馈传递函数的，正反馈系统根轨迹的粗略图。
()()()()1,4122=++=s H s s Ks G4-6 试确定反馈系统开环传递函数为 ()()()()()5284)2(2+++++=s s s s s s K s H s G 对应-∞<K<∞的根轨迹。
指明所有根轨迹上的相应特征。
4-7 设一负反馈系统，其开环传递函数 ()()()()()90020040)4(2++++=s s s s s K s H s G a) 画出根轨迹并表明根轨迹上全部特征值。
b) 增益值在一个什么样的范围内，系统才是稳定的？ c) 画出系统的伯德图，并使其稳定性和不稳定性区域，与根轨迹图连系起来说明。
4-8 对应负反馈情况，重做习题4-7.4-9 对应如下的负反馈控制系统，粗略地作出根轨迹，并确定系统稳定下K 的范围。
()()()()1,41)6(=+++=s H s s s s K s G4-10 对应习题4-10图所示系统，根据以下条件，试确定导致系统稳定的正实数增益K 的范围：a) 具有负反馈的系统。
b) 具有正反馈的系统。
习题4-10图4-11 已知反馈系统的开环传递函数*()()(1)(2)K G s H s s s s =++ 试绘制系统的根轨迹图，详细列写根轨迹的计算过程，其中包括零点、极点、渐近线及与实轴交点，根轨迹分离点及与虚轴的交点、渐近线与实轴夹角。
习题已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+ D *(1)(2)K s s s --若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
习题4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+D *(1)(2)K s s s --4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++(1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
习题4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+D *(1)(2)K s s s --4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
即当*162K =时，闭环系统的3个特征根分别为1λ=、2λ=-39λ=-。
系统根轨迹如图4.1所示。
图4.1 题4.3所示系统根轨迹图4.4 系统结构如下图所示绘制系统的根轨迹(0K <<∞)，并确定系统欠阻尼状态下的K 值。
解：系统闭环传递函数为 ()()()2929()99299122s s s Ks s s Ks s s s s φ+==+++++++。
特征方程为22990s s Ks +++=。
等效开环传递函数为 29()()29KsG s H s ss =++。
系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点1,21p =-±，1条终止于开环零点0z =，另一条沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],0-∞。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为((11 21aσ-++--==-，()21 0,2ak ϕπ+== 实轴上分离点方程为22909d s s ds Ks ⎛⎫++= ⎪⎝⎭。
解方程得到13d =-、23d =(弃去)，对应49K =。
根轨迹与虚轴在有限围无交点，根轨迹如图4.2所示。
图4.2 题4.4所示系统根轨迹图由根轨迹可知当409K <<时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。
4.5 已知负反馈控制系统的闭环特征方程为*2(14)(22)0K s s s ++++= (1) 绘制系统的根轨迹(*0K <<∞)；(2) 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0.5ζ=的*K 值。
解：系统开环传递函数为*2()()(14)(22)K G s H s s s s =+++开环极点为114p =-、2,31j p =-±。
实轴上根轨迹区段为(],14-∞-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()()1411 5.33a j j σ-+--+--==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩实轴上分离点方程为11101411d d j d j++=++++-，解之得9.63d =-。
求与虚轴交点，闭环特征方程为*2()(14)(22)D S K s s s =++++。
令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )116280Im (j )(j )1300G H K G H ωωωωωωω⎧+=-++=⎪⎨+=-+=⎪⎩，解得 * 5.4438.6K ω=±⎧⎨=⎩。
因cos 0.5β=，故60β=︒，作过原点与负实轴夹角为60±︒的直线，在s 上半平面交P 、Q 两点，如图4.3所示。
P 点坐标为0.94j 1.62s =-+，则对应*0.94j1.62(14)(0.94j 1.62)(0.94j 1.62)21.61s s s s K =-+++-++==图4.3 题4.5所示系统根轨迹图4.6 已知单位反馈系统的开环传递函数为*()()(1)(1)2.56K G s H s s s s =++(1) 绘出K 由0→∞变化时系统的根轨迹 (根轨迹的分离点、渐近线、与虚轴交点的数值要求精确算出)。
(2) 用根轨迹法分析：能否通过调整K 使系统的阶跃响应超调量%25%σ<，为什么? (3) 能否通过调整K 使系统的静态误差系数15K ≥，为什么?解：系统开环传递函数为*()()(1)(1)2.56K G s H s s s s =++化成根轨迹形式为*()()( 2.5)(6)K G s H s s s s =++，其中*15K K =。
(1) 开环极点为10p =、2 2.5p =-、26p =-。
实轴上根轨迹区段为[]2.5,0-、(],6-∞-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()2.56 2.833a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩实轴上分离点方程为1112.56d d d +=++，解出1 1.1d =-、2 4.56d =-(弃去)。
求与虚轴交点，闭环特征方程为*()( 2.5)(6)D S K s s s =+++令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )18.50Im (j )(j )1150G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解得 * 3.87127.5K ω=±⎧⎨=⎩。
做出根轨迹如图4.4所示。
图4.4 题4.6所示系统根轨迹图(2) 当%25%eσ-=<时，即0.403ζ>，或cos66.2arβζ<<︒。
作过原点与负实轴夹角为66.2±︒的直线，与根轨迹有交点为P、Q两点，如图 3.35所示。
P点坐标为0.8j1.7s=-+，使用幅值条件计算此点对应的*K，即*8j1.7( 2.5)(6)24.6sK s s s=-+=++=*15 1.64K K=÷=(3) 从根轨迹曲线可知，当*127.5K≥即8.54K≥，系统是不稳定的，故无法通过调整K使系统的静态误差系数15K≥。
4.7 应用根轨迹法确定下图所示系统在阶跃信号作用下无超调响应的K值围。
解:系统开环传递函数为(0.251)()()(0.51)K sG s H ss s+=+，化成根轨迹形式为*(4)()()(2)K sG s H ss s+=+，其中*0.5K K=。
系统开环极点为1p=、22p=-，开环零点为4z=-。
实轴上根轨迹区段为[]2,0-、(],4-∞-。
渐近线与实轴的夹角为()2121akπϕπ+==-实轴上分离点方程为11124d d d+=++，解出11.172d=-、26.828d=-，根轨迹如图4.5所示。
图4.5 题4.7所示系统根轨迹图系统无超调即特征根全部为负实数，从根轨迹图中看出，分离点1 1.172d =-与会和点2 6.828d =-为临界点，需求出此两点所对应的K 值。
系统的特征方程为20.5(10.25)0s K s K +++=分别将1 1.172s d ==-、2 6.828s d ==-代入上式可解得10.686K =、223.31K =。
由此求得系统无超调响应的K 值围是00.686K ≤≤、23.31K ≤≤+∞4.8 设正反馈系统的开环传递函数为2(2)()()(3)(22)K s G s H s s s s +=+++ 画出K 变化时系统的根轨迹.解：开环极点为1,21p j =-±、33p =-，开环零点为2z =-。
实轴上根轨迹区段为[)2,-∞、(],3-∞-。
渐近线与实轴的夹角为 20,31a k πϕπ==- 实轴上分离点方程为()()232202s s s d ds s ⎡⎤+++⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦，解出10.8d =-、2,3 2.35j0.77d =-±。
其中10.8d =-是根轨迹上的分离点。
出射角方程为()()()11112130 =0459027 =72p z p p p p θ=︒+∠--∠--∠-︒+︒-︒-︒-︒272θ=︒1d 处的分离角方程为()()11113112=(200)22d k d z d s k θππ⎡⎤=+∠--∠-+︒-︒⎣⎦当10,0d k θ==︒；当11,d k θπ==，即1d 处的分离角为0︒、π。
1d 处的会合角方程为()()()()()11112131112121 =21002d k d p d p d s k ϕππαα⎡⎤=++∠-+∠--∠-⎣⎦++-+︒-︒⎡⎤⎣⎦当10,2d k πϕ==；当11,2d k πϕ==-，即1d 处的会合角为2π±。
根轨迹与虚轴交点为0ω=，根轨迹如图4.5所示。
图4.6 题4.8所示系统根轨迹图4.9 设单位反馈系统的开环传递函数为10(1)()(0.51)(1)s G s s Ts -=++ 画出T 变化时系统的根轨迹。
解：系统的特征方程为(0.51)(1)10(1)0s Ts s +++-=。
对上式变换为(0.51)9.5110Ts s s +-+=。
等效闭环传递函数为 *(2)()1119.5T s s s s ϕ+=--。
等效开环传递函数为*(2)()()119.5T s s G s H s s +=-，其中*29.5TT =⨯。
可知该系统根轨迹应使用0︒根轨迹绘制方法。
渐近线与实轴的夹角为 212a k πϕ=-，解之得 0,a ϕπ=。
