习题4.1 已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)A *(2)(1)K s s s -+B *(1)(5)K s s s -+C *2(31)K s s s -+D *(1)(2)K s s s --4.2 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)A 闭环零点和极点B 开环零点C 闭环极点D 阶跃响应4.3 己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为*()()(6)(3)K G s H s s s s =++ (1) 绘制系统的根轨迹图(*0K <<∞)；(2) 求系统临界稳定时的*K 值与系统的闭环极点。
解：系统有三个开环极点分别为10p =、23p =-、36p =-。
系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],6-∞-、[]3,0-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()36 33a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩求分离点方程为111036d d d ++=++ 经整理得2660d d ++=，解方程得到1 4.732d =-、2 1.268d =-。
显然分离点位于实轴上[]3,0-间，故取2 1.268d =-。
求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为32*()9180D s s s s K =+++=令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )190Im (j )(j )1180G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解之得 *00K ω=⎧⎨=⎩、*162K ω⎧=±⎪⎨=⎪⎩显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。
根轨迹与虚轴的交点为s =±，对应的根轨迹增益*162K =为临界根轨迹增益。
根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得1233036λλλλ--=++=+解之得39λ=-。
即当*162K =时，闭环系统的3个特征根分别为1λ=、2λ=-39λ=-。
系统根轨迹如图4.1所示。
图4.1 题4.3所示系统根轨迹图4.4绘制系统的根轨迹(0K <<∞)，并确定系统欠阻尼状态下的K 值。
解：系统闭环传递函数为 ()()()2929()99299122s s s Ks s s Ks s s s s φ+==+++++++。
特征方程为22990s s Ks +++=。
等效开环传递函数为 29()()29KsG s H ss s =++。
系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点1,21p =-±，1条终止于开环零点0z =，另一条沿渐进线终止于无穷远。
实轴上的根轨迹区段为(],0-∞。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为((11 21aσ-++--==-，()21 0,2ak ϕπ+== 实轴上分离点方程为22909d s s ds Ks ⎛⎫++= ⎪⎝⎭。
解方程得到13d =-、23d =(弃去)，对应49K =。
根轨迹与虚轴在有限范围内无交点，根轨迹如图4.2所示。
图4.2 题4.4所示系统根轨迹图由根轨迹可知当409K <<时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。
4.5 已知负反馈控制系统的闭环特征方程为*2(14)(22)0K s s s ++++= (1) 绘制系统的根轨迹(*0K <<∞)；(2) 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0.5ζ=的*K 值。
解：系统开环传递函数为*2()()(14)(22)K G s H s s s s =+++开环极点为114p =-、2,31j p =-±。
实轴上根轨迹区段为(],14-∞-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()()1411 5.33a j j σ-+--+--==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩实轴上分离点方程为11101411d d j d j++=++++-，解之得9.63d =-。
求与虚轴交点，闭环特征方程为*2()(14)(22)D S K s s s =++++。
令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )116280Im (j )(j )1300G H K G H ωωωωωωω⎧+=-++=⎪⎨+=-+=⎪⎩，解得 * 5.4438.6K ω=±⎧⎨=⎩。
因cos 0.5β=，故60β=︒，作过原点与负实轴夹角为60±︒的直线，在s 上半平面交P 、Q 两点，如图4.3所示。
P 点坐标为0.94j 1.62s =-+，则对应*0.94j1.62(14)(0.94j 1.62)(0.94j 1.62)21.61s s s s K =-+++-++==图4.3 题4.5所示系统根轨迹图4.6 已知单位反馈系统的开环传递函数为*()()(1)(1)2.56K G s H s s s s =++(1) 绘出K 由0→∞变化时系统的根轨迹 (根轨迹的分离点、渐近线、与虚轴交点的数值要求精确算出)。
(2) 用根轨迹法分析：能否通过调整K 使系统的阶跃响应超调量%25%σ<，为什么? (3) 能否通过调整K 使系统的静态误差系数15K ≥，为什么?解：系统开环传递函数为*()()(1)(1)2.56K G s H s s s s =++化成根轨迹形式为*()()( 2.5)(6)K G s H s s s s =++，其中*15K K =。
(1) 开环极点为10p =、2 2.5p =-、26p =-。
实轴上根轨迹区段为[]2.5,0-、(],6-∞-。
根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为()()2.56 2.833a σ-+-==-，() (0)321 (1)3 (2)3a k k k k πϕππ⎧=⎪+⎪===⎨⎪⎪-=⎩实轴上分离点方程为1112.56d d d +=++，解出1 1.1d =-、2 4.56d =-(弃去)。
求与虚轴交点，闭环特征方程为*()( 2.5)(6)D S K s s s =+++令j s ω=，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有[][]2*3Re (j )(j )18.50Im (j )(j )1150G H K G H ωωωωωωω⎧+=-+=⎪⎨+=-+=⎪⎩ 解得 * 3.87127.5K ω=±⎧⎨=⎩。
做出根轨迹如图4.4所示。
图4.4 题4.6所示系统根轨迹图(2) 当%25%eσ-=<时，即0.403ζ>，或cos66.2arβζ<<︒。
作过原点与负实轴夹角为66.2±︒的直线，与根轨迹有交点为P、Q两点，如图 3.35所示。
P点坐标为0.8j1.7s=-+，使用幅值条件计算此点对应的*K，即*8j1.7( 2.5)(6)24.6sK s s s=-+=++=*15 1.64K K=÷=(3) 从根轨迹曲线可知，当*127.5K≥即8.54K≥，系统是不稳定的，故无法通过调整K 使系统的静态误差系数15K≥。
4.7K值范围。
解:系统开环传递函数为(0.251)()()(0.51)K sG s H ss s+=+，化成根轨迹形式为*(4)()()(2)K sG s H ss s+=+，其中*0.5K K=。
系统开环极点为1p=、22p=-，开环零点为4z=-。
实轴上根轨迹区段为[]2,0-、(],4-∞-。
渐近线与实轴的夹角为()2121akπϕπ+==-实轴上分离点方程为11124d d d+=++，解出11.172d=-、26.828d=-，根轨迹如图4.5所示。
图4.5 题4.7所示系统根轨迹图系统无超调即特征根全部为负实数，从根轨迹图中看出，分离点1 1.172d =-与会和点2 6.828d =-为临界点，需求出此两点所对应的K 值。
系统的特征方程为20.5(10.25)0s K s K +++=分别将1 1.172s d ==-、2 6.828s d ==-代入上式可解得10.686K =、223.31K =。
由此求得系统无超调响应的K 值范围是00.686K ≤≤、23.31K ≤≤+∞4.8 设正反馈系统的开环传递函数为2(2)()()(3)(22)K s G s H s s s s +=+++ 画出K 变化时系统的根轨迹.解：开环极点为1,21p j =-±、33p =-，开环零点为2z =-。
实轴上根轨迹区段为[)2,-∞、(],3-∞-。
渐近线与实轴的夹角为 20,31a k πϕπ==- 实轴上分离点方程为()()232202s s s d ds s ⎡⎤+++⎢⎥=+⎢⎥⎣⎦，解出10.8d =-、2,3 2.35j0.77d =-±。
其中10.8d =-是根轨迹上的分离点。
出射角方程为()()()11112130 =0459027 =72p z p p p p θ=︒+∠--∠--∠-︒+︒-︒-︒-︒272θ=︒1d 处的分离角方程为()()11113112=(200)22d k d z d s k θππ⎡⎤=+∠--∠-+︒-︒⎣⎦当10,0d k θ==︒；当11,d k θπ==，即1d 处的分离角为0︒、π。
1d 处的会合角方程为()()()()()11112131112121 =21002d k d p d p d s k ϕππαα⎡⎤=++∠-+∠--∠-⎣⎦++-+︒-︒⎡⎤⎣⎦当10,2d k πϕ==；当11,2d k πϕ==-，即1d 处的会合角为2π±。
根轨迹与虚轴交点为0ω=，根轨迹如图4.5所示。
图4.6 题4.8所示系统根轨迹图4.9 设单位反馈系统的开环传递函数为10(1)()(0.51)(1)s G s s Ts -=++画出T 变化时系统的根轨迹。
解：系统的特征方程为(0.51)(1)10(1)0s Ts s +++-=。
对上式变换为(0.51)9.5110Ts s s +-+=。
等效闭环传递函数为 *(2)()1119.5T s s s s ϕ+=--。
等效开环传递函数为*(2)()()119.5T s s G s H s s +=-，其中*29.5TT =⨯。
可知该系统根轨迹应使用0︒根轨迹绘制方法。
渐近线与实轴的夹角为 212a k πϕ=-，解之得 0,a ϕπ=。
实轴上的根轨迹为[]2,0-、[)1.16,∞。
分离点为方程为 *119.50(2)s d ds T s s ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，解之得10.75d =-、2 3.07d =，代入到特征方程中得到 1.71T =与38.76T =。
