奇妙的“杨辉三角”

趣味杨辉三角，点燃学生数学思维的火花湖南 怀化学院 西区博雅苑 8栋204室 傅世球418008一 关于杨辉三角的历史原来的名字也不是“杨辉三角”，其名子是由开方得来的叫“开方作法本源”，如开平方的理论基础是用乘法公式：即22()(2)a b a a b b +-=+把一个数的平方根分成几位数字来求：先求出平方根的最高位数a ，再从原来的数减去初商a 的平方而得出余数，即22()(2)ab a a b b +-=+，如求529的平方根，①二位二位地分段：529平方厘米即为5平方分米又29平方厘米；②求初商：先确定一个面积为4平方分米的边长为2分米的正方形；③求笫一余数：529-220129⨯=；④通过笫二余数求次商：129/4039/40=+；⑤求两数和： 202343⨯+=；⑥求开方结果：23=。

开立方的理论基础是3322()(33)a b a a ab b b +-=++，用类比可得开4次方，开n 次方的理论基础。

杨辉三角有很多有趣味的性质，决不是单一的开平方，开立方，开四次方，五次方的“开方作法本源”的名字所能概括的。

远在杨辉之前的贾宪就知道这个“三角”的名称，有的称“贾宪三角”，总之是在1200年左右就研究过“贾宪三角”。

而在欧洲叫“巴斯加三角”，“杨辉三角”比“巴斯加三角” 至少要早300年。

目前, 中学生补课, 多数是数学与英语. 为什么学数学的人越来越少、越来越难呢? 尤其是排列、组合与二项式定理更是使学生感到困难, 笔者认为根源在数学教师的教学方法与随之而产生的学习数学的兴趣.二从乘法公式到杨辉三角看归纳、类比、联想的分析2.1 从乘法公式到杨辉三角二项式的乘法公式的系数就是杨辉三角中“任何数等于肩上的两个数的和” 这正是二项式的乘法公式的系数规律，杨珲三角的第n 行就是()n a b +的二项式系数，即11 1 1()a b a b +=+1 2 1 （222)2a b a ab b +=++1 3 3 1 33223()33a b a a b ab b +=+++1 4 6 4 1 （4432234)464a b a a b a b ab b +=++++11()n o n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++波利亚说:“得自许多类似情况的类比结论比得自较少情况的类比结论要强. 但是这里质量仍然比数量更为重要. 清晰的类比较模糊的相似更有价值,…”“类比就是一种相似.”[1] 它是从一种特殊到另一种特殊的推理.这里先产生笫一个有趣的性质：123411=11.11=121.11=1331.11=14641.这些数都是“回文数”， 所谓“回文数”， 就是与它的“倒排数” 完全相等的数，即最高位与最低位、中间的对称位置上的数均相等的数是“回文数”。

初中杨辉三角经典例题哎，大家好，今天咱们聊聊一个神奇的数学玩意儿，叫杨辉三角。

可能有人会想，哎呀，这听起来好高深，跟我有啥关系呢？别急，咱们慢慢聊，保证让你觉得它其实挺有意思的。

想象一下，杨辉三角就像一个金字塔，不过这个金字塔不是用石头堆起来的，而是用数字一层一层堆上去的。

看着它，仿佛一幅生动的图画，真的是太有意思了。

先说说这杨辉三角的形状，最顶端一层就是个“1”，下面一层是两个“1”，再下面就是三个数字，分别是“1、2、1”。

这儿有个小秘密，左右两个“1”是不会变的，啥都不动，总是那么稳稳当当。

而中间的数字就好比在玩拼图，上一层的两个数字加起来，变成了这一层的中间那个数字。

是不是很神奇？想象一下，有点像搭积木，越搭越高，越搭越有趣。

好啦，接下来聊聊它的用处，虽然看起来就像个数字游戏，但其实它可是个数学小能手。

比如说，咱们都知道组合问题吧？这个杨辉三角就像个宝藏箱，里面藏着各种组合的答案。

就拿抽奖来说，假设你有10个球，想从中抽出3个，杨辉三角就能告诉你一共能抽出多少种组合。

真的，拿到答案的那一瞬间，你会觉得自己好像开了个小窍门，嘿嘿。

再说说二项式定理，听上去高大上，其实就是个简单的公式。

你知道吗？杨辉三角在这里也是个好帮手。

它能帮助你快速展开像(a + b)的n次方这种表达式，想想看，是不是省了不少力气？所以说，这杨辉三角不光是个好玩意儿，还是个勤快的小助手呢。

再聊聊在生活中，我们常常能看到杨辉三角的影子。

比如说，咱们吃的饺子，如果把饺子馅看成是不同的材料，做饺子的时候，你就得想怎么搭配了。

杨辉三角就像你的搭配师，告诉你到底有多少种搭配方式。

想象一下，今天晚上你想做饺子，突然脑子里冒出“哎，我可以加点虾仁、白菜、肉末！”这时候，杨辉三角就成了你创意的源泉，哈哈！咱们在生活中也常常遇到一些选择。

比如说，你和小伙伴们一起去玩，突然有了10个地方，想选择3个去。

这个时候，杨辉三角就能帮你算出有多少种选择方式。

杨辉三角计算方法嘿，咱今儿就来说说这神奇的杨辉三角计算方法。

你可别小瞧了它，那可是数学里的一大宝贝呢！杨辉三角就像是一个藏着无数秘密的宝库。

它的样子很特别，一层一层的，排列得整整齐齐。

那怎么去计算它呢？咱一步一步来。

先看看最上面那一行，就一个数字 1，这就是起点啦。

然后下面那一行呢，嘿，两个 1，简单吧？再往下走，就有点意思了。

每个数字都是它上面两个数字的和呀！比如说第三行中间那个数字 2，不就是它上面两个 1 加起来的嘛。

你想想，这就好像是搭积木一样，一层一层往上堆，每一层都有它独特的规律和魅力。

咱要是掌握了这个规律，那计算起来不就得心应手啦？你说这杨辉三角是不是很神奇？它不仅仅是一些数字的排列，还蕴含着好多数学的奥秘呢。

就好比是一个神秘的花园，等着你去探索，去发现那些隐藏在其中的美丽花朵。

咱再举个例子哈，比如你要算第五行的某个数字。

那你就先找到它上面那一行对应的两个数字，然后一加，嘿，答案就出来啦！是不是挺简单的？但这里面可藏着大学问呢。

而且啊，杨辉三角可不仅仅是用来计算几个数字那么简单。

它在很多数学领域都有着重要的作用呢。

就像一把万能钥匙，可以打开好多数学难题的大门。

你想想，要是没有杨辉三角，那得少了多少乐趣呀！数学不就变得枯燥无味了嘛。

有了它，咱就可以在数字的海洋里畅游，尽情享受数学带来的快乐。

杨辉三角就像是一个忠诚的伙伴，一直陪伴着我们在数学的道路上前行。

它让我们看到了数字的奇妙之处，也让我们对数学更加着迷。

所以啊，可别小看了这杨辉三角计算方法，它可是有着大大的能量呢！学会了它，你就像是掌握了一门神奇的武功秘籍，能在数学的江湖里闯荡出一番天地。

怎么样，还不赶紧去试试，去感受一下杨辉三角的魅力？。

杨辉三角系数的规律公式杨辉三角，这可是数学世界里一个相当有趣的存在！咱先来说说杨辉三角到底是啥。

简单来讲，它就是一个三角形的数阵。

从最上面的 1 开始，然后每行的数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就像搭积木一样，一层一层地往下搭。

杨辉三角里藏着好多神奇的规律和公式呢。

比如说，它的每行数字之和是 2 的幂次方。

你看，第一行是 1，和是 1，也就是 2 的 0 次方；第二行是 1 1，和是 2，就是 2 的 1 次方；第三行是 1 2 1，和是 4，正好是 2 的 2 次方。

以此类推，是不是很神奇？还有啊，杨辉三角里的二项式系数也有规律。

比如 (a + b) 的 n 次方展开式的系数，就可以在杨辉三角的第 n + 1 行找到。

这就像是一个神秘的密码本，只要你懂得解读，就能轻松找到答案。

我记得有一次，我在给学生们讲杨辉三角的时候，有个小调皮鬼一直说不明白，还跟我较劲。

我就指着黑板上的杨辉三角问他：“你看这一行的数字，1 3 3 1，这是不是和 (a + b)³的展开式系数一模一样？”他眨眨眼睛，还是一脸迷茫。

我又耐心地给他解释：“(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³，系数不就是 1 3 3 1 嘛。

”他挠挠头，突然恍然大悟，大声说：“老师，我懂啦！”那一刻，我心里别提多有成就感了。

再说说杨辉三角的对称性。

它就像一面镜子，左右对称得完美无缺。

从中间画一条线，两边的数字完全一样。

这种对称美，在数学里可不少见，就像大自然中的蝴蝶，两边的翅膀也是对称的。

而且杨辉三角里还有一个很有趣的规律，就是相邻两行数字之间的关系。

比如第 n 行的数字乘以 n 再除以 n + 1 ，就可以得到第 n + 1 行的数字。

这就像是一个神奇的魔法，让数字们按照一定的规则变化着。

杨辉三角的规律和公式可不仅仅是为了好玩，它们在数学的很多领域都有重要的应用。

初中数学杨辉三角哎呀，今天咱们聊聊一个很有意思的东西——杨辉三角！听起来高大上，其实它就是一个简单的数字排列。

别看名字复杂，其实就像一个小山丘，层层叠叠，挺好看的。

你想想，一开始就是个小小的“1”，然后它就开始长大，慢慢变得越来越庞大，真是像个小宝宝一天一天长大的感觉。

第一层就是个“1”，第二层有两个“1”，就像小朋友在玩，两个小伙伴手牵手，满满的都是童趣。

接着往下走，第三层是“1 2 1”，四层变成“1 3 3 1”。

嘿，瞧瞧，这里面藏着什么秘密！你有没有发现，每个数字其实都是它上面两个数字的和。

就像我们在生活中，朋友的力量，合起来就能成就更大的事情。

这个小小的三角形，可真是蕴藏了不少人生哲理呢！不得不提一提它的用途。

你知道吗？这玩意儿在组合数学里可是个大明星。

无论是选择、排列还是组合，杨辉三角都能帮上忙。

就好比说，你有三种水果，想选出两种来吃，杨辉三角告诉你，有多少种搭配方式。

嘿，真是个万能小助手！记得我小时候，常常为了选水果发愁，现在想想，简直是小儿科了。

而且呀，杨辉三角还有个特别的地方，就是它跟二项式定理有密切关系。

你可以把它想象成一个魔法师，召唤出各种不同的组合。

比如说，(a + b)的平方展开，结果就是1、2、1，这不是刚好对应着杨辉三角的第二层吗？魔法般的连接，真是让人惊叹不已。

数学有时候就像是一场奇妙的旅行，每一步都充满了惊喜。

除了这些，杨辉三角在概率和统计中也扮演着重要角色。

比如说，掷骰子，抽奖，甚至做一些小小的游戏时，你都能用到它。

它就像是生活中的调味品，给你带来意想不到的精彩。

在学校里学到这些，简直就像发现了新大陆，眼前一亮，感觉生活更丰富多彩了。

咱们再说说视觉效果。

杨辉三角的形状实在是太美了，特别是当你用彩笔画出来的时候。

每一层都是一个不同的颜色，形成一个炫彩的阶梯，简直像是一幅艺术品！你有没有试过在纸上画它？越画越有成就感，越看越开心。

就像小时候做手工，做出一个漂亮的东西，总是特别自豪。

杨辉三角的规律公式(a b)的n次方好的，以下是为您生成的文章：在咱们数学的奇妙世界里，有一个超级有趣的东西，那就是杨辉三角。

这玩意儿可藏着不少的规律和公式呢，特别是当我们碰到形如 (a + b)^n 这样的式子时，它就能大显身手啦。

先来说说杨辉三角长啥样。

它就是一个三角形形状的数字排列，从最上面的 1 开始，然后下面的每一行数字都是由上一行相邻两个数字相加得到的。

就拿简单的几行来说，第一行是1，第二行是1 1，第三行是1 2 1，第四行是 1 3 3 1，第五行是 1 4 6 4 1 ，是不是有点意思？我记得有一次给学生们讲杨辉三角的时候，有个小家伙特别积极，瞪着大眼睛一直盯着黑板上的数字，嘴里还念念有词。

我就问他：“你是不是发现啥秘密啦？”他兴奋地说：“老师，我发现每行数字的个数都比行数多 1 个！”我笑着给他点了个赞，这孩子观察得还挺仔细。

那杨辉三角和 (a + b)^n 到底有啥关系呢？其实啊，杨辉三角中的每一行数字，就是 (a + b)^n 展开式的系数。

比如说 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ，系数是 1 2 1，正好就是杨辉三角的第三行。

再比如 (a + b)^3 =a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，系数 1 3 3 1 就是杨辉三角的第四行。

而且啊，杨辉三角还有一个特别好玩的性质。

就是它的每行数字，左右都是对称的。

就像照镜子一样，是不是很神奇？咱们再深入一点，假如要求 (a + b)^5 的展开式，咱们不用费劲去一个一个乘，直接看杨辉三角的第六行，1 5 10 10 5 1 ，那展开式就是a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5 。

在实际解题的时候，杨辉三角可帮了大忙。

有一次考试，就有一道题是让求(a + b)^4 的展开式，很多同学都傻眼了，不知道从哪儿下手。

但是平时认真研究过杨辉三角的同学，很快就写出了答案，轻松拿到了分数。

中国古代数学故事——杨辉三角的奇妙之旅中国古代的数学学问博大精深，在古代数学的发展历程中，不乏许多有趣的故事。

其中，杨辉三角是一种独特的数学图形，它曾经给人们带来无限的惊喜和启发。

本文将为你讲述杨辉三角的奇妙之旅。

杨辉三角的诞生与发展杨辉三角最早出现在公元5世纪，也就是南北朝时期的中国。

这一数学图形是由中国古代数学家杨辉发现并研究的，因此得名杨辉三角。

杨辉三角是一种规律的数字阵列，它的构造方法很简单：首先在第一行放置一个数字1，然后从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。

通过这样的方法，一个奇妙的图形便逐渐形成。

杨辉三角的神奇与应用杨辉三角不仅仅是一个数学图形，它还蕴含着许多神奇的特性和应用。

下面，让我们一起来探索其中的奥秘。

二项式定理的发现杨辉三角中最为人津津乐道的神奇特性之一，就是它与二项式定理的关系。

二项式定理是数学中的重要定理之一，它表达了任意整数幂的多项式展开式中各项的系数。

通过观察杨辉三角的一些特点，我们可以发现每一行的数字之和正好是2的n次方，其中n代表行数。

这个规律与二项式定理中的二项展开系数恰好吻合，从而使杨辉三角与二项式定理紧密联系在一起。

杨辉三角在概率中的应用杨辉三角还可以应用于概率的计算中。

我们知道，概率是描述事物发生可能性的数值，而杨辉三角中的数字又与组合数相关联。

在杨辉三角中，每个数字都可以表示为它所在位置的行数和列数，也就是组合数C(n, k)。

通过计算不同行数和列数的组合数，我们可以得到一系列与概率相关的数值。

这种方法在离散数学和概率统计中有着广泛的应用。

加密中的利用——编码与解码在古代，人们常常使用杨辉三角进行加密和解码。

通过特定的编码规则，将明文转化为杨辉三角中的数字，然后通过解码规则将数字重新还原为明文。

杨辉三角加密法的基本思想是，将明文的每个字母与阵列中的数字相对应，然后将这些数字按照特定的规律排列成杨辉三角。

通过这种加密方式，即使有人获得了密文，也很难通过逆向推理得到明文的内容。

杨辉三角数学小故事《奇妙的杨辉三角》嘿，大家知道杨辉三角不？那可真是个神奇又好玩的东西！有一天我在图书馆闲逛，偶然间翻到一本数学书，看到了杨辉三角。

哎呀呀，刚开始我还不以为意呢，心想不就是一些数字排列嘛，能有多厉害。

但当我仔细一瞧，哟呵，有点意思！你看这些数字一层一层地排列着，就好像是个数字金字塔。

我就琢磨着，这些数字咋就这么有规律呢，就跟约好了似的乖乖地站在那儿。

越研究越觉得好玩，就像是发现了一个隐藏的宝藏。

我突然就想到，如果这些数字能说话，那它们肯定会有一堆有趣的故事。

比如说最上面的那个数字1，它肯定觉得自己老威风了，统领着下面这一大帮子数字。

下面的数字呢，也都各有各的位置，谁也不能乱插队。

然后我又试着找一些规律。

嘿，还真让我找到了！比如每行两端的数字都是1，就跟坚守岗位的哨兵似的。

中间的数字呢，都是上面那行相邻两个数字之和。

这可真是太有意思了，感觉就像是数字们在玩接力游戏。

我还发现这杨辉三角在生活中也有不少应用呢。

比如说计算组合数啥的，就特别好用。

以前觉得很难的问题，现在有了它，好像一下子就变得简单起来了。

这杨辉三角就像是一个隐藏在数学世界里的小魔法，等着我们去发现和探索。

每次看到它，我就忍不住想要去挖掘更多的秘密。

我还跟我的小伙伴们分享了这个有趣的发现，他们一开始也是将信将疑，等我给他们一讲解，都纷纷被杨辉三角的魅力所吸引。

我们一起在那研究、探讨，一个个都像着了魔似的。

总之呢，这杨辉三角真是个奇妙的东西。

它让我看到了数学不只是枯燥的公式和计算，还有这么多有趣好玩的地方。

现在我每次看到数字，都感觉它们好像在向我眨眼睛，说不定它们也是杨辉三角中的一部分呢！大家也快去感受一下杨辉三角的神奇魅力吧，相信你们一定会被它吸引住的！。

奇妙的“杨辉三角”作者：蓸梭峰来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2019年第02期如图1.这是一个非凡的图形.它刊载于七百多年前南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，人们称之为“杨辉三角”.杨辉还在书中说，这个图出自贾宪的《释锁》算书.但可惜的是，贾宪的书失传了，在西方的数学史著作中，把这个图形称为“帕斯卡三角”，西方人认为这个图形是法国数学家帕斯卡（1623-1662）于1645年首创的，其实，在杨辉之后，中国元代数学家朱世杰在其《四元玉鉴》（1303年）一书中还曾用过这个图形.中亚细亚的阿尔·卡希于1427年、德国数学家阿卜亚鲁斯于1527年也使用过这个图形.但他们都比杨辉或贾宪要晚很长时间了.一、“杨辉三角”的性质这个图形有什么用处呢？“杨辉三角”的原名叫“开方作法本源图”，是用来开方的，其原理至今仍然适用.我们知道，所以，这个图表示的是（a+b）n当n=l，2，3，4，5，…时展开式的系数.下面，我们对“杨辉三角”的性质初步归纳一下.（1）对称性：每行中与首末两项等距的两个数相等;（2）递归性：1以外的任一个数都等于它肩上的两个数之和;（3）和幂性：第n+l （n=0，1，2，3，…）行的各数之和等于2n.借助于这些简单性质，可以解答与（a+b）n有关的问题.例1 （a+b）20的展开式中第三项的系数为（）.A.2017B.2 016C.191D.190解析：先探索规律.（a+b）3，的第三项的系数为3=1+2，（a+b）4的第三项的系数为6=1+2+3，（a+6）5的第三项的系数为10=1+2+3+4……不难发现，（a+b）20的第三项的系数应为l+2+3+…+19=（1+9）×19/2 =190.故选D.二、“杨辉三解”的应用不少数学家对各个正整数在“杨辉三角”这个无限大的数阵中出现的次数抱有很大的兴趣.人们发现，l出现了无数多次;2仅出现了1次;3，4，5这三个数都出现了2次;6出现了3次……还有一些较大的数，它们出现的次数更多.例如，120出现了6次，而3003出现了8次（先后出现在第15，16，79，3 004行）.人们自然会问，是否有大于l的正整數，在“杨辉三角”中出现的次数超过8呢？遗憾的是，到目前为止数学家们还没有找到这样的正整数.1971年，英国数学家大卫·辛马斯特猜测，那些大于1的正整数在“杨辉三角”中出现的次数会有一个上限.这就是所谓的“辛马斯特猜想”.例2 已知图2中每个小方格都是正方形.求从A到B的最短路径解析：我们从简单的情形人手，对图形中左上角的2x2网格进行分析后可知，每个结点的最短路径数如图3所示.把这个数阵旋转一下，我们会惊讶地想起“杨辉三角”.因为其中每一个数字是它“肩上”的两个数字之和.于是，对这类问题可从“杨辉三角”的角度给出一个一般性的解法.将正方形网格的相邻两边与“杨辉三角”的两个都是l的斜行分别叠合，作平行四边形，则平行四边形另一个顶点所对应的值就是所要求的最短路径数.易知从A到B的最短路径有35种（如图4）.数学可以把看起来复杂的事物变得简明，也可以把看似毫不相关的两个事物巧妙地联系在一起.随着学习的深入，我们将会领略“杨辉三角”的更多的有趣性质.。