杨辉三角教案

初中数学杨辉教案教学目标：1. 了解杨辉三角的历史背景和发展过程；2. 掌握杨辉三角的定义、性质和规律；3. 能够运用杨辉三角解决实际问题。

教学重点：1. 杨辉三角的定义和性质；2. 杨辉三角的应用。

教学难点：1. 杨辉三角的规律的理解和运用。

教学准备：1. PPT课件；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾数列的知识，如等差数列、等比数列等；2. 提问：同学们听说过杨辉三角吗？杨辉三角是什么？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍杨辉三角的历史背景和发展过程；2. 讲解杨辉三角的定义：杨辉三角是一个三角形的数字序列，从第二行开始，每一行的数字都是上一行的数字之和；3. 讲解杨辉三角的性质：杨辉三角的每一行的数字都是组合数；4. 讲解杨辉三角的规律：杨辉三角的每一行的数字都可以表示为上一行的数字之和。

三、实例演示（10分钟）1. 利用PPT课件，展示杨辉三角的生成过程；2. 让学生手动跟随课件，一起填写杨辉三角的数字。

四、练习巩固（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固杨辉三角的知识；2. 针对学生的疑问，进行解答和指导。

五、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容，让学生总结杨辉三角的定义、性质和规律；2. 强调杨辉三角在实际问题中的应用价值。

六、作业布置（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，加深对杨辉三角的理解；2. 鼓励学生查阅相关资料，了解杨辉三角在其他领域的应用。

教学反思：本节课通过讲解杨辉三角的定义、性质和规律，让学生了解了杨辉三角的历史背景和发展过程，能够运用杨辉三角解决实际问题。

在教学过程中，通过实例演示和练习巩固，让学生更好地理解和掌握杨辉三角的知识。

但在课堂小结和作业布置环节，可以进一步加强学生的理解和应用能力的培养。

总体来说，本节课的教学效果较好，达到了预期的教学目标。

《研究性课题：杨辉三角》教学案教学目标:知识目标: 进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；能力目标: 培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点:杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？(1)在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．(2)通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．(创新是发展的不竭动力)(3)了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？二项式(a+b)n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．(如图)3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷(1261年)、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的(Blaise Pascal ， 1623年~1662年)，他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1．杨辉三角基本性质(1)表中每个数都是组合数，第n 行的第r +1个数是)!(!!r n r n C r n -=． (2)三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是r n r n r n C C C 111---+=．(3)杨辉三角具有对称性(对称美)，即r n n r n C C -=．(4)杨辉三角的第n 行是二项式(a +b )n 展开式的二项式系数，即n n n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 1110)((5) 当n 为偶数时，第n 行有奇数项，中间一项最大；当n 为奇数时，第n 行有偶数项，中间两项相等且最大．这条性质就是二项式系数的性质2．下面，师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络2．杨辉三角有趣的数字排列规律问题1：杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K -1(k 是正整数)行的各个数字有什么特点？分析：观察可知，它们均为奇数．第2K 行除两端的1之外都是偶数.延伸：除两端的1之外，哪些行的各个数字是3的倍数？分析：第3、9、……、3k (k 是正整数)行.问题2：杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？分析：如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数).问题3：计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：第1行 1＋1＝2第2行 1＋2＋1＝4＝22第3行 1＋3＋3＋1＝8＝23第4行 1＋4＋6＋4＋1＝16＝24第5行 1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25．．．第n 行 n n n n n r n n n n C C C C C C 21210=+++++++-分析：第n 行数字的和为2 n ．前n 行(含第0行)所有数的和为2 n –1，它恰好比第n 行的和2 n 小1．问题4：从杨辉三角中一个确定的数的“左(右)肩” 出发， 向右(左)上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．例如：10＝1＋2＋3＋4，20＝1＋3＋6＋10，．．．一般地，在第m 条斜线上(从右上到左下)前n 个数字的和，等于第m +1条斜线上的第n 个数．根据这一性质，猜想下列数列的前n 项和：1＋1＋1＋ ．．．＋1＝1n C (第1条斜线)1＋2＋3＋ ．．．＋11-n C ＝2n C (第2条斜线)1＋3＋6＋ ．．．＋21-n C ＝3n C (第3条斜线)1＋4＋10＋ ．．．＋31-n C ＝4n C (第4条斜线)．．．)(1121r n C C C C C r n r n r r r r r r >=+++++-++ (第r +1条斜线)问题5：第1条斜线上的数字构成了常数列1，1，1，…，1…；第2条斜线上的数字依次构成等差数列1，2，3，4，…；二阶等差数列(其一阶差分数列是等差数列)1，3，6，10，…；三阶等差数列(其二阶差分数列是等差数列)1，4，10，20，…；……问题6：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．此数列{a n }满足， a 1=1，a 2=1，且a n =a n -1+a n -2 (n ≥3)这就是著名的斐波那契数列．3．与杨辉三角有关的应用杨辉三角与“纵横路线图”“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A 处走到B 处 (只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？我们把图顺时针转45度，使A 在正上方，B 在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．有趣的是，B 处所对应的数70，正好是答案(=48C 70)． 一般地， 每个交点上的杨辉三角数，就是从A 到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．杨辉三角与“堆垛术”(三角垛，正方垛， ．．．)将圆弹堆成三角垛：底层是每边n 的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数．4．教学小结：→古代数学家杨辉，通过“弹子游戏”了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感； →系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力；→展示部分探究成果，相互交流学习．5．作业1、(06湖北卷)将杨辉三角中的每一个数rn C 都换成1(1)r n n C +，就得到一个如下图所示的分数三角形，成为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可看出1111(1)(1)r x r n n n n C n C nC --=++，其中x = .令3311111113123060(1)n n n a nC n C -=++++++-，则m n n a →∞= .2、(07湖南理15)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ．第1行 1 1第2行 1 0 1第3行 1 1 1 1第4行 1 0 0 0 1第5行 1 1 0 0 1 1…… ………………………………【答案】21n -，323、(2009浙江卷理)观察下列等式：1535522C C +=-，1597399922C C C ++=+，159131151313131322C C C C +++=-，1591317157171717171722C C C C C ++++=+，………由以上等式推测到一个一般的结论：对于*n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++= ． 答案：()4121212n n n --+-4、如图所示的数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，他们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1(2)n n≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：111111111,,1222363412=+=+=+…，则第(3)n n ≥行第3个数字是 ．【答案】 2(1)(2)n n n ⨯-⨯-，。

《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。

2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

《杨辉三角》教案
江西省宜丰中学罗文静
教学目标
1、知识目标：
（1）了解杨辉及杨辉三角；巩固组合数性质。

（2）初步认识杨辉三角中行列数字的特点与规律。

2、能力目标：
（1）培养学生查阅资料，运用图表和数学语言的能力；（2）培养学生观察能力，提出问题，分析问题的能力，归纳能力与增强创新意识。

3、情感目标：
（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；
（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；
（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。

教学重难点：
引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律，得出结论，从而培养学生自主学习的能力。

教学方法：
以学生自己探索研究为主，教师重在点拨指导。

教学手段：
多媒体辅助教学，导学提纲
课堂研究
一、引入
１、（有一位数学家说过：哪里有数，哪里就有美）用下列一些等式的优美规律来激发学生探究杨辉三角的兴趣
112=121 1+2+1=22
1112=12321 1+2+3+2+1=32
11112=1234321 1+2+3+4+3+2+1=42 ２、介绍杨辉（激发爱国热情）
二、学生自己观察归纳得出杨辉三角的一些特征
三、用问题引导学生继续探索杨辉三角
探究一观察下列每条斜线上的数字排列,这些数字是否会组成一些有规律的数列?
探究二试求下列每条斜线上的数字之和,看看是否会有什么规律? 探究三写出斜线上各行数字之和,看看会不会有什么规律?
四、小结
五、实际应用
六、课后研究
莱不尼茨三角。

初中杨辉三角教学设计杨辉三角是中国古代数学家杨辉发现并研究的一种数学模式。

它的基本形态呈现为一个由数字组成的三角形，这些数字具有一定规律和特点。

杨辉三角不仅仅是一个数学工具，更是培养学生观察力、逻辑思维和数学思维能力的重要教学资源之一。

下面我将为大家介绍一种初中杨辉三角的教学设计。

教学目标：1. 了解和掌握杨辉三角的基本规律和特点；2. 能够绘制和解读杨辉三角；3. 发展学生的观察力、逻辑思维和数学思维能力。

教学准备：1. 杨辉三角的示意图；2. 黑板、白板或者投影仪等教学工具；3. 学生个人小黑板或草稿纸。

教学过程：第一步：导入与激发兴趣（5分钟）教师可以通过提问的方式导入杨辉三角的教学话题，例如："大家知道杨辉三角是什么吗？"或者"你们在生活中有没有见过类似杨辉三角的现象呢？"引起学生的兴趣和思考。

第二步：引导观察与分组讨论（15分钟）让学生观察并讨论以下一组数字：1、1、1；1、2、1；1、3、3、1；1、4、6、4、1等。

教师可以引导学生发现以下规律：1. 每一行的两边都是数字1；2. 每一行的第n个数字等于上一行第n-1个数字和第n个数字之和；3. 每一行的数字个数等于行数。

然后，教师可以将学生分为小组，让每个小组在小黑板或草稿纸上绘制出前五行的杨辉三角，并让学生观察这些杨辉三角的形态和数字规律。

第三步：整理与发现规律（15分钟）教师可以请学生展示他们绘制的杨辉三角，并引导学生观察并总结杨辉三角的特点和规律。

教师可以提问：1. 杨辉三角的第一行有几个数字？第二行呢？第三行呢？2. 杨辉三角的第n行有几个数字？3. 第n行的第m个数字等于多少？4. 杨辉三角中哪些位置上的数字是相等的？5. 一个数字在杨辉三角中上方与下方的数字之和等于多少？通过这些问题的引导，学生将能够更深入地理解和发现杨辉三角中的规律。

第四步：应用与拓展（15分钟）在学生熟悉杨辉三角的基本规律后，教师可以把学生放在新的情景中进行应用和拓展练习。

《杨辉三角》教案1【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n=________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2 (121)(a+b)3 (1331)(a+b)4 (14641)(a+b)5 (15101051)(a+b)6 (1615201561)……………………………爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。

杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。

杨辉三角及其简单应用高新第二学校张晨教学目标1.了解杨辉三角的简单历史，理解杨辉三角的数字规律，培养学生从特殊到一般的数学归纳、猜想能力.2.进一步巩固多项式乘多项式的运算，明确().nnn baba+≠+3.在小组讨论的过程中培养合作意识，在独立思考的过程中发展创造思维能力.4.通过课前的阅读、计算和网络学习，培养学生的自学能力.教学重点：杨辉三角的发现和理解.教学难点：杨辉三角的理解和应用.教学过程一、课前准备1.阅读课本25—26页《杨辉三角》的内容，并上网搜集有关杨辉三角的资料；2.利用多项式×多项式法则计算3)(ba+和4)(ba+；3.观看网络视频《涂鸦数学之数字游戏》.二、杨辉三角的历史简介：学生对话小品三、杨辉三角及其特征的探究1.计算并观察()10=+ba()baba+=+12222)(bababa++=+3223333)(babbaaba+++=+4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+展开式中共有几项？：问题n b a )(1+呢？的次数有什么特点？每项中，字母问题b a :2问题3：展开式中各项的系数依次是什么？他们有什么特征？结论：1.nb a )(+展开式中共有1+n 项，每项的次数都是n .2.各项系数依次组成的图形就是杨辉三角，他们的主要特征是：（1）杨辉三角具有对称性；（2）每一行的首、末都是1；（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和.四、辨析： ()?555吗b a b a +=+结论：它们不相等，543223455510105)(b ab b a b a b a a b a +++++=+.五、杨辉三角的简单应用()66.55.45.36.10D C B A b a ）是（的展开式第三项的系数请你猜想+2.你能利用杨辉三角来计算 72吗？n 2吗？3.“纵横路线图”问题如图（1），我校的几个学生放学后，分别要乘坐608、29、312路公交车回家，规定只能由南向北走或由西向东走，请问他们分别有几种走法？图（1）图（2）图（3）如图（2），我想从学校到科技三路和沣惠南路交叉口附近的聚宾楼去吃烤鸭，请问我有几种走法？如图（3）如果要从A分别到C、D、M、N去，分别有几种走法？如图（4）如果要从A到B去，有几种走法？图（4）六、课堂小结说一说：通过这节课的学习，我... ...附：学生自学视频后，自己写的数三角：。

教学设计课程基本信息课题数学探究 杨辉三角的性质与应用教学目标1. 结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养。

2. 在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养。

教学内容教学重点：1. 杨辉三角性质的发现和证明。

2. 利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题。

教学难点：1. 杨辉三角性质的探究发现路径。

2. 杨辉三角性质的应用。

教学过程环节一 历史探源我们在探究()na b +的展开式的二项式系数性质时，曾把系数写成如图1的形状，借助它发现了系数的一些规律.12345().......................................11()....................................121().................................1331() (1464)1()..................a b a b a b a b a b +++++6.........15101051() (1)615201561a b +图1事实上，在我国南宋时期，数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了如图2所示的表.图2是北宋数学家贾宪约于1050年左右在《释锁》算书中首先使用此数字三角形进行高次开方运算的，但原书佚失，其主要内容被杨辉著作《详解九章算法》（1261年）所抄录，故后世称“贾宪三角”为“杨辉三角”.在欧洲，帕斯卡(B.Pascal，1623－1662)于1654年发现这一规律，所以这个表又叫做帕斯卡三角形.杨辉三角的发现比欧洲早了500年左右，是我国古代数学的辉煌成就，值得中华民族自豪骄傲.杨辉三角具有独特的魅力和丰富的性质.中西方的众多数学家都曾研究和运用它，印度数学家称它为“须弥山之梯”，在伊朗，它是“海亚姆三角”，意大利人称之为“塔塔利亚三角形”环节二探究过程回忆完整的数学探究过程是怎样的？1.观察和实验问题1：请同学们仔细观察下面这个杨辉三角，你能从中发现哪些规律呢？发现1 对称性发现2 最外层的数字始终是1，即构成各项为1的常数列．发现3 第二层是从1开始的自然数，即首项与公差都为1的等差数列．发现4 第三层为三角形数数列，2阶等差数列.发现5 斐波那契数列设计意图同学们通过观察实验，从杨辉三角中发现了很多有趣的数列，提炼出探究路径“数阵”化归“数列”，并在课后可以继续探究。

杨辉三角的性质教学设计【学情分析】《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是人教A版选修2-3第1章第3节第2课时的内容，其主要思想是如何灵活运用二项展开式、通项公式、二项式系数的性质解题。

通过前面二项式定理的学习，学生已初步了解了二项式系数的简单性质，发现二项式系数组成的数列就是一个离散函数，从而我们引导学生从函数的角度研究二项式系数的性质，这样便于建立知识的前后联系。

高三的学生对常见的数学思想方法，如数形结合、转化与化归、分类讨论、函数思想等也有所接触，这为本节课的学习奠定了基础.本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

【教学目标】使学生通过“杨辉三角”观察并掌握二项式系数之间的规律；能运用函数观点分析处理二项式系数的性质，理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用；学生通过从函数的角度研究二项式系数的性质，建立知识的前后联系，体会用函数知识研究问题的方法，培养学生的观察能力和归纳推理能力.【教学重点】二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值和各二项式系数的和）；【教学难点】理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法的渗透.【教学方法】【教学情景设计】杨辉是中国南宋末年数学家、教育家。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角。

杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。

1、杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等。

2、第n行的数字个数为n-1个，n行数字和为：y=2^n3、数字等于上一行的左右两个数字之和。

4、杨辉三角的第2k行中第k+1个数最大；第2k＋1行中第是k个数与第k+1个数相等且最大。

5、每一行的第二个数，可以构成一个等差数列6、每一行的第三个数等于上一行的第三个加行数减一。

杨辉三角(教案)杨辉三角（1）目的要求1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。

2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。

3．通过小组讨论，培养学生发现问题。

探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。

内容分析本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。

杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。

杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。

组合关系以及不同横行数字之间的联系。

研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。

目的在于培养学生的创新精神和创造能力。

它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。

从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。

教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。

以下主要分小组合作研究杨辉三角15阶杨辉三角2．学生尝试探索活动。

（1）n阶杨辉三角中共有多少个数？（2）n阶杨辉三角的通项公式是什么？即n阶杨辉三角中的第k行第r个数是什么？（3）n阶杨辉三角的第k行各数的和是多少？所有数的和是多少？学生独立思考后，由学生发言，得出结论。

n 阶杨辉三角中共有22)2)(1(21+=++n C n n 个数，22+n C 第n+2行第3个数；通项公式为rk C r k E =),(，∑==k r k r k E 02),(，∑∑=+=-=n k n n r r k E 01012)),((。

课题：探究杨辉三角形授课人：青岛二中孙云涛地点：青岛二中时间:2006—5-17教学目标知识目标了解有关杨辉三角形的简史，掌握杨辉三角形中蕴含的二项式系数基本性质能力目标通过探求杨辉三角形的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力通过解决弹球游戏，培养学生运用联想、类比解决问题的能力德育目标1。

培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦.2、通过小组讨论,培养学生发现问题。

探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神3。

加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而发奋读书.教学重点探索杨辉三角形的数字规律教学难点探索杨辉三角形与其他数学对象之间的联系,培养学生应用数学知识方法的能力一、教学引入弹球游戏：在游艺场，可以看到如图的弹球游戏，小球（白色）向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地由两侧向第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域来获得奖品。

问题1：为了获得利润，比较贵的奖品放在靠近中间的区域还是靠近两侧的区域？问题2：能否写出每一层每个通道的概率呢？通过解决现实生活中的问题，提高学生的学习兴趣，激发学生的积极性。

启发学生利用联想、类比的方法解决问题。

教教学内容设学过程计目的三、性质应用学生自编题目练习性质),,(111++++∈>=+++NmnmnCCCC mnmnmmmmm通过学生自编题目，加深对性质的理解四、小结（1）掌握二项式系数的性质以其他数字特征（2）掌握联想、类比、观察归纳猜想的数学方法。

《杨辉三角》教学设计
一、教学设计说明
1教材分析
本课选自新人教版高中数学选修2-3第一章第三节的第二课时，《杨辉三角》是《普通高中数学课程标准》选修模块2-3“计数原理”中的内容，其基本内容是二项式系数的性质及其应用。

本课虽为选修内容，但从学生的角度讲仍占有较高的地位。

本课一方面使学生充分感受了观察、归纳的学习方法，进一步体会合情推理与演绎推理的过程；另一方面，使学生更深刻的理解二项式系数的性质。

此外，本课将数学史的知识融入到课堂中，渗透数学文化，体现人文精神，进而使学生产生浓厚的数学学习兴趣，体会国人的智慧，丰富了学生对数学文化价值的认识。

2学情分析
教学主体——学生是省重点高中二年级学生，已经学习了二项式定理的内容、性质及其应用。

学生已经具有一定的观察、类比和分析推理能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力。

学生虽已学习二项式定理，但对其本质理解得并不深刻，而且不了解其数学史背景。

高中二年级学生正处于高中学习的关键时期，新课程实施中，要求他们对数学选修课程做出选择，将影响到他们人生发展方向。

本节教学内容既有数学基础知识，又联系数学史的知识，学生通过观察体验及实验探究过程可以体会二项式系数的性质及其的应用，体会数学的发现美，有助于学生提高数学素养。

二、教案
.求：
;
a
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a a
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7.
a。

杨辉的初中教案课程目标：1. 了解杨辉三角的定义和特点；2. 学会杨辉三角的构造方法；3. 掌握杨辉三角的性质和应用；4. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

教学重点：1. 杨辉三角的定义和特点；2. 杨辉三角的构造方法；3. 杨辉三角的性质和应用。

教学难点：1. 杨辉三角的性质和应用；2. 学生的实际操作能力。

教学准备：1. 课件或黑板；2. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾数列的概念，让学生意识到数列是一种有序的数学表达方式；2. 提问：你们知道杨辉三角吗？如果不知道，那么你们想不想知道呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解杨辉三角的定义：杨辉三角是一种特殊的数列，它的每一行都是由前一行相邻两个数相加得到的；2. 讲解杨辉三角的特点：每一行的首尾都是1，其他位置的数都是前一行相邻两个数相加得到的；3. 讲解杨辉三角的构造方法：从第一行开始，每次在上一行的两边各加一个1，然后将上一行的每个数都分成两个数，左边的数不变，右边的数等于上一行的相邻两个数相加；4. 讲解杨辉三角的性质：杨辉三角是一个等比数列的三角形，它的每一行的和都是2的幂次方，且杨辉三角的某个数等于它的上三角和它的下三角对应数的乘积；5. 讲解杨辉三角的应用：杨辉三角在组合数学中有着广泛的应用，如计算二项式系数、排列组合等。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 引导学生思考：杨辉三角还有什么其他的性质和应用呢？四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，让学生对杨辉三角有一个清晰的认识；2. 提问：你们觉得杨辉三角有趣吗？为什么？五、作业布置（5分钟）1. 让学生完成课后练习题，加深对杨辉三角的理解；2. 引导学生思考：杨辉三角在现实生活中有什么应用呢？可以试着找一找。

教学反思：本节课通过讲解杨辉三角的定义、特点、构造方法、性质和应用，使学生对杨辉三角有了深入的了解。

在课堂练习环节，学生独立完成练习题，巩固了所学知识。

课程设计杨辉三角一、教学目标本节课的学习目标为：知识目标：理解杨辉三角的定义、性质和基本公式；掌握杨辉三角的递推算法和编程实现。

技能目标：能够运用杨辉三角解决简单的数学问题，如求组合数、求幂次方等；能够使用编程语言实现杨辉三角的生成和展示。

情感态度价值观目标：培养学生的逻辑思维能力、创新意识和团队协作精神，激发学生对数学和编程的兴趣，提高学生的自主学习能力。

二、教学内容本节课的教学内容主要包括：1.杨辉三角的定义和性质：介绍杨辉三角的起源、定义和性质，解释杨辉三角与组合数、斐波那契数列等数学知识的关系。

2.杨辉三角的递推算法：讲解杨辉三角的递推算法，引导学生理解算法的基本思想和步骤，并能运用算法解决问题。

3.杨辉三角的编程实现：教授如何使用编程语言（如Python）实现杨辉三角的生成和展示，培养学生的编程能力和创新思维。

4.应用拓展：通过案例分析，让学生了解杨辉三角在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣和主动性。

三、教学方法本节课采用以下教学方法：1.讲授法：讲解杨辉三角的定义、性质和递推算法，确保学生掌握基本概念和理论知识。

2.讨论法：学生分组讨论杨辉三角的编程实现，促进学生之间的交流与合作，提高学生的团队协作能力。

3.案例分析法：通过分析实际生活中的杨辉三角应用案例，引导学生将理论知识应用于实践，提高学生的应用能力。

4.实验法：让学生动手编写程序，生成和展示杨辉三角，培养学生的动手能力和创新思维。

四、教学资源本节课的教学资源包括：1.教材：选用符合课程标准的教材，为学生提供系统的理论知识学习。

2.参考书：提供相关数学和编程方面的参考书籍，丰富学生的知识体系。

3.多媒体资料：制作PPT、教学视频等多媒体资料，直观展示杨辉三角的生成和应用。

4.实验设备：为学生提供计算机等编程设备，确保学生能够顺利开展编程实践。

五、教学评估本节课的评估方式包括：1.平时表现：评估学生在课堂上的参与程度、提问回答和小组讨论的表现，占总分的30%。

趣探杨辉三角的性质（人教 A 版选修 2-3 第一章第 1.3.2节探究与发现）一、教材分析1．内容和内容解析一、内容：本节课是人教 A 版选修 2-3 第一章后的“探究与发现”。

杨辉三角蕴涵了丰富的数字规律和数学思想方法，是一个特殊的数阵。

本节课通过设置层层问题，引导学生探究杨辉三角中的数字规律，巩固排列组合知识，并欣赏分形及斐波那契数列等有趣的数学内容。

二、内容解析：本节课是人教A 版选修2-3 第一章第1.3.2 节的拓展课，杨辉三角蕴涵了丰富的数字规律和数学思想方法，是一个特殊的数阵。

探究杨辉三角中的数字规律，有利于巩固学习二项式系数的性质，并对进一步认识组合数，进行组合数的计算和变形有重要的作用。

对杨辉三角的研究，可以让学生通过总结，得到研究一般数阵的方法。

同时，通过欣赏分形及斐波那契数列等有趣的数学内容，学生可以由此发现数学之美，产生对数学的学习兴趣。

另外，通过组织不同形式的探究，可以让学生学会观察与归纳等探究方法，体验数学发现和创造的历程，培养创新精神，也有利于学生理解数学知识，培养数学应用意识。

２．目标和教学重难点解析一、课堂教学目标（1）了解数阵概念，会用组合数表示杨辉三角中的数；（2）了解杨辉三角中所蕴含的规律，提高观察和分析问题，运用联系及类比的观点看待问题，从而解决问题的能力；（3）归纳出杨辉三角及一般数阵的研究方法，养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯。

二、教学重点及难点解析（一）教学难点通过从不同的角度研究杨辉三角，得到杨辉三角的性质，并最终总结出一般数阵的研究方法。

（二）教学难点将杨辉三角的规律用组合数来进行总结。

３．教学问题诊断分析高二学生已经学习过组合数的定义和性质以及二项式系数的性质，并对杨辉三角有一定的了解。

学生已经具备了一定的综合分析问题的能力，利用适时地问题引导就能建立起知识之间的相互联系，解决相关问题 . 但是，他们对于规律的归纳还有一定的困难，需要适当地引导。

《杨辉三角》教学设计一、教材分析：（1）教材内容：《杨辉三角》是全日制普通高级中学教科书人教现行人教B版选修2-3第1章第3节第2课时，本节内容是继二项式定理后对二项式系数的深入研究，是依现行教材开发的一节研究性学习内容。

本节课主要是总结杨辉三角的四个基本性质及利用杨辉三角性质解决二项式系数的有关问题。

杨辉三角的基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，因此它也是研究杨辉三角其他规律的基础。

（2）地位与作用：本节课是在学生学习了计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

这对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习也具有重要地位。

通过本节课的教学进一步提高学生的观察归纳演绎能力,进一步了解到二项式系数的性质的来龙去脉，感受体验数学美。

二、学情分析：1. 本班同学学习成绩比较突出，无论在观察问题还是分析问题上已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试总结归纳。

同时学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2. 我校实行“1121”教学模式，在“先学后教”的原则下，以学案为载体，进行授课。

班里设有合作学习小组，即小组内拥有稳定的成员，持续了一年多的相互支持、鼓励和帮助，小组内部及小组之间有了一定的解决问题的能力，但对于本节课的难点，学生还需要在老师的指导下共同完成。

三、目标分析：1、知识与技能目标：了解有关杨辉三角形的简史，熟悉杨辉三角的数字排列特点，从中发现二项式系数的主要性质，掌握这些性质；并灵活运用二项式系数的性质解决相关问题。

2、过程与方法目标：通过小组讨论,培养学生发现问题、探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神.3、情感、态度价值观目标：（1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神；（2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度；（3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。