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1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密一：引经据典，步入新课师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。
“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。
由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。
可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。
当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。
所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。
而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。
二：复习回顾，总结已知师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。
那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。
学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。
用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。
从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：这对我们今天的研究非常重要。
师：还有吗？学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
还有吗？学生1：没了。
师：那我请你的同桌来补充一下。
“杨辉三角”中的一些秘密阅读材料：杨辉三角的历史《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。
”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。
大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。
河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。
数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。
杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。
元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。
世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角”，于是才有了“杨辉三角”的说法。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。
,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？一:回顾杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第8行_________________________________________……………………………..我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？____________________________________________________________________________________________________________________________三:初探杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 第14行______________________________________________________________________……………………………..第n+1行_______________________________________________________________________012100121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1nn n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----结论1：_______________________________________________________________________ 结论2：_______________________________________________________________________ 结论3：_______________________________________________________________________ 结论4：_______________________________________________________________________ 结论5：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 四:再探杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 841 5 15 35 70 1261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________五:三探杨辉三角提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________七:课后探索1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
关于全国优秀课评比“杨辉三角中的一些秘密”一课的点评张金良
【期刊名称】《中国数学教育（高中版）》
【年(卷),期】2015(000)004
【摘要】通过观摩全国优秀课评比“杨辉三角中的一些秘密”展示课，指出本节课教学目标定位准确，设计合理，教学过程清晰流畅，关注数学学习本质，渗透数学思想及文化，以学生为主体，着眼于提高学生的自主学习和再学习能力。
【总页数】2页(P53-53,57)
【作者】张金良
【作者单位】浙江省教育厅教研室
【正文语种】中文
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