人教版A版高中数学选修2-3：探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密

探究一
探究二
探究三
探究四
探究一 与杨辉三角有关的问题
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 下列是杨辉三角的一部分.
(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗? (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律?
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)杨辉三角的两条腰都是由数字 1 组成的,其余的数都等于它肩上 的两个数之和.
∴第四项 T4=C63·(2 3 ������)3·(-1)3=-160x.
答案:-160x
12345
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求: (1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1; (3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.
等式组 AAkk++11≥≥AAkk+,2确定 k 的值.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:T6=������n5·(2x)5,T7=������n6·(2x)6,依题意有������n5·25=������n6·26⇒ n=8.
∴(1+2x)8 的展开式中,二项式系数最大的项为 T5=������84·(2x)4=1 120x4. 设第 k+1 项系数最大,则有 ������8k ·2������ ≥ ������8k-1·2������-1, ������8k ·2������ ≥ ������8k+1·2������+1, 解得 5≤k≤6.∴k=5 或 k=6(∵k∈{0,1,2,…,8}).

3、(x+y+z)9中含x4y2z3的项的系数是 __________
4.已知(1+
)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.
11
121
1331 14641 15101051 1615201561
………………
二项式系数的性质
展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看，可看成是以r 为自变量的函数,其定义域 是：
当时，其图象是右图中的7个 孤立点．
二项式系数的性质
2．二项式系数的性质
（1）对称性 与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴：
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项；
（2）展开式中所有x的有理项；
（3）展开式中系数最大的项。
课堂练习
1、已知的展开式中x3的系数 为，则常数a的值是_______
2、在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数பைடு நூலகம்（
A.-297B.-252C.297D.207
）
小结 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组 合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同 时要注意“系数”与“二项式系数”的区别 ，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中 间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其 要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关 二项展开式系数的问题的重要手段。
例3：的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开 式中二项式系数最大的项和系数最大的项。
变式引申：
1、的展开式中，系数绝对值最大的项是（） A.第4项B.第4、5项C.第5项D.第3、4项 2、若展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等 于()

个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
yn nCn1
zn
n(n1) 2
Cn21
4 知能检测
例1、在 (1 2 x)n 的展开式中，只有
第五项的二项式系数最大，则 n 8
若
变式:若 (1 2 x)n 的展开式中的第4项 与第5项的系数相等，求展开式中二项式 系数最大的项。
思考题2:若 (1 2 x)n 的展开式中的第4项 与第5项的二项式系数相等，求展开式中 系数最大的项。
敬请指导
懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在 永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观 财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵 人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选 有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种 一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品， 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断 是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！学一分退让 宜；增一分享受，减一分福泽。念头端正，福星临，念头不正，善人行善，从乐入乐，从明入明；行恶，从苦入苦，骨宜刚，气宜柔，志宜大，胆宜小，心宜虚 慧宜增，福宜惜，虑不远，忧亦近。人之所以痛苦，在于追求错误的东西。你目前拥有的，都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢？如 往，凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒，而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是，万善之门。见人不是，诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏，而一旦你真的取得了成绩，才会明白：人无须向别人证明什么，只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功，那么请记住：遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制，都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功，假如我不能，我就一定要；假如我要，我 无论你如何为他人着想，烦你的人眼里，你就是居心叵测；不管你怎样据理力争，不懂你的人心里，你就是胡搅蛮缠。最后你会发现，有些事不是你做错了，而 人；有些人不是不理解你，而是根本不想懂你。不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人，高薪是发给承担责任的人，奖金是发给做出成绩的人，股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人，辞退信将送给没结果还耍个性的人，这里一定有个你。内心想成为什么样的人，就会努力成为这样的人，做你想做的那种人。与其指 谁，不如指望自己能够吸引那样的人；与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己，不如指望自己变成一个正能量满满的人；与其担心未来，不如现在好 虹绚烂多姿，是在与狂风暴雨争斗之后；枫叶似火燃烧，是在与秋叶的寒霜争斗之后；雄鹰的展翅高飞，是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态， 们的成功。有能力的人影响别人，没能力的人受人影响；不是某人使自己烦恼不安，而是自己拿某人的言行来烦恼自己；树一个目标，一步步前行，做好自己就 不需鼓掌，也在飞翔；小草，没人心疼，也在成长；野花，没人欣赏，也在芬芳；做事不需人人都理解，只需尽心尽力；做人不需人人都喜欢，只需坦坦荡荡。 为力，拼搏到感动自己；吃过的苦，受过的累，会照亮未来的路；没有年少轻狂，只有胜者为王。真正成功的人生，不在于成就的大小，而在于你是否努力地去 喊出自己的声音，走出属于自己的道路。选一个方向，定一个时间；剩下的只管努力与坚持，时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局，殊不知 结局，而在于追求的过程。慢慢的才知道：坚持未必就是胜利，放弃未必就是认输，。给自己一个迂回的空间，学会思索，学会等待，学会调整。人生没有假设 全部。背不动的，放下了；伤不起的，看淡了；想不通的，不想了；恨不过的，抚平了。在比夜更深的地方，一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想， 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩，每次跌倒后能再站起来，才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平，我们能做的不仅仅是接受，还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人，只要还抱有希望，便无所怨惧。有些人，因为陪你走的时间长了，你便淡然了，其实是他们给你撑起了生命的天空；有些人 就忘了吧，残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己，不要小看自己，被别人的意见引入歧途。没人能让我输，除非我不想赢！花开不是为了花落，而是为了 烂。随随便便浪费的时间，再也不能赢回来。不管从什么时候开始，重要的是开始以后不要停止；不管在什么时候结束，重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情，全世界都会为你让路。只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海，必须先由小河川开始。不要让未来的你，讨厌现在的自己，困惑 成功只配得上勇敢的行动派。人生最大的喜悦是每个人都说你做不到，你却完成它了！如果你真的愿意为自己的梦想去努力，最差的结果，不过是大器晚成。不 得始终。每个人都有潜在的能量，只是很容易：被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨。不论你在什么时候开始，重要的是开始之后就不要轻言放弃。恨 的却是自己。每天醒来，敲醒自己的不是钟声，而是梦想。你不能拼爹的时候，你就只能去拼命！、如果人生的旅程上没有障碍，人还有什么可做的呢。我们无 的出身，可是我们的未来是自己去改变的。励志名言：比别人多一点执着，你就会创造奇迹伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他 现自己的目标。人生就像一道漫长的阶梯，任何人也无法逆向而行，只能在急促而繁忙的进程中，偶尔转过头来，回望自己留下的蹒跚脚印。时间，带不走真正 月，留不住虚幻的拥有。时光转换，体会到缘分善变；平淡无语，感受了人情冷暖。有心的人，不管你在与不在，都会惦念；无心的情，无论你好与不好，只是 一段路，总能有一次领悟；经历一些事，才能看清一些人。我们无法选择自己的出身，可是我们的未来是自己去改变的。

1 2 3
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Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
1.杨辉三角 (a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形 式:
上面的二项式系数表称为杨辉三角. 归纳总结从上面的表示形式可以直观地看出:在同一行中,每行 两端都是1,与这两个1等距离的项的系数相等;在相邻的两行中,除1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.
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D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做1】 如图,满足①第n行首尾两数均为n;②表中的递推关 系类似杨辉三角,则第n行(n≥2)的第2个数是 .
������2 -������+2 答案: 2
名师点拨求二项式系数的最大最小值时,一定要搞清楚n是奇数 还是偶数.
������-1 2 ������+1 2
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D典例透析
IANLI TOUXI
【做一做2-1】 在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系 数相等,则n=( ) A.6 B.7 C.8 D.9 1 5 = C������ , 解析:由已知C������ 可知n=1+5=6. 答案:A 【做一做2-2】 在(1+x)2n+1的展开式中,二项式系数最大的项是 ( ) A.第n项和第n+1项 B.第n-1项和第n项 C.第n+1项和第n+2项 D.第n+2项和第n+3项

2
ห้องสมุดไป่ตู้
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在31岁时发现了“帕斯卡三角”． 布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角 形．帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响 面广泛，Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣·美弗(1730年)都用 帕斯卡来称呼这个三角形． 21世纪以来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三 角形”(Chinese triangle) 历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家有：
数学探究 杨辉三角的性质与应用
相关知识阅读 杨辉三角的历史沿革 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算．
1
杨辉，字谦光，南宋时期杭州人．在他1261年所著的《详解九章算法》一书中， 记录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，并说明此表引自 11 世 纪 中 叶 ( 约 公 元 1050 年 ) 贾 宪 的 《 释 锁 算 术 》 ， 并 绘 画 了 “ 古 法 七 乘 方 图”．故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”． 元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》(1303年)扩充了“贾宪三角”成“古法七乘 方图”． 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发 现一元三次方程解的塔塔利亚．
3
贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 杨辉 中国南宋1261 《详解九章算法》 记载之功 朱世杰 中国元代 1299 《四元玉鉴》 级数求和公式 阿尔·卡西 阿拉伯 1427 《算术的钥匙》 阿皮亚纳斯 德国 1527 米歇尔．斯蒂费尔 德国 1544 《综合算术》 二项式展开式系数 薛贝尔 法国 1545 B·帕斯卡 法国 1654 《论算术三角形》 其实，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位．中国古 代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页.

2n C0n C1n C2n L Cnn.
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和.已知
1 23L
C1 n1
____C_2n_____ ，
1 3 6 L
C2 n1
____C_3n_____ ，
1 4 10 L
C3 n1
___C_4n______ ，
一般地，
Crr
Cr r 1
Cr r2
L
Cr n1
__________(n
r).
根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：
1 23L
C1 n1
C10
C11
C02 C12 C22
规律是什么？ 为什么？
(a+b)3 …………………
C30
C13 C32
C33
(a+b)4 ………………… C04 C14 C24 C34 C44
(a+b)5 …………
C50 C15
C52 C35 C54
C55
(a+b)6 …………
C06
C16
C62 C36
C64
C56
大家可以结合资料，探究一下开方 算法的具体操作及其中蕴含的算法思想， 感受我国古代数学的独特风格.
对于a bn展开式的二项式系数
C0n，C1n，Cn2，L ，Cnn，
我们还可以从函数角度来分析它们.
Crn可看成是以 r 为自变量的函数 f (r)，
其定义域是{0，1，2，…，n }.对于确
定的 n ，我们还可以画出它的图象.
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r2
Cr r2
L
Cr n1
C r 1 r3

“杨辉三角”与二项式系 数的性质
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理：
(a + b)n = C 0an + C 1an- 1b + L + C nbn
n
n
n
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数 C n 0,C n 1,C n 2,L,C n n1,C n n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2,Ln)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
（4）求 a0a1a2La2014 的值。
(1 )1 ( 2 )1
(3) 1 32014 (4)32014
2
5 总结归纳与作业布置
自主小结：
数学知识： 思想方法：
作业布置： 《5.3》上的相应练习题
课后思考： 探索“杨辉三角”所蕴含的 其他数字规律。
思考题1、（2007湖南）将杨辉三角中 的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图 所示的0—1三角数表．从上往下数，第 1次全行的数都为1的是第1行，第2次全 行的数都为1的是第3行，…，第 n 次全 行的数都为1的是第 行。
T3=C5 2(2x)240x2 T4=C3 5(2x)380x3

5.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组 合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同 时要注意“系数”与“二项式系数”的区别， 不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间 项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要 理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二 项展开式系数的问题的重要手段。
(3 x 2 的)n 展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
例3： (1 2的x展)n开式中第6项与第7项的系数相
等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的
项。
变式引申：
1、(x y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是（ ）
A.第4项 B.第4、5项 C.第5项 D.第3、4项
2、若
(x3

1 x2
)n
展开式中的第6项的系数最大，则不
含x的项等于( )
A.210 B.120 C.461 D.416
例4、若 ( x+ 1 )n 展开式中前三项系数成等差 24 x
数列，求（1）展开式中含x的一次幂的项； （2）展开式中所有x 的有理项； （3）展开式中系数最大的项。
课堂练习
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令a b 1，则：
C
0 n
C1n

C
2 n



C
n n

2n
这就是说， (a的 b展)n开式的各二项式系数的
和等于： 2n
同时由于C0n 1，上式还可以写成：
C1n

C

【解】 令 x＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n，
又展开式中二项式系数和为 2n，
∴22n－2n＝992，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共 6 项，二项式系数最大的项为第三、四两
项，
2
∴T3＝C25(x 3 )3(3x2)2＝90x6，
2
22
T4＝C35(x 3 )2(3x2)3＝270x 3 .
解：(1)由(1＋x)6(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a11x11， 令 x＝1，得 26×(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋…a11， 即 a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26①， 又令 x＝0，得 a0＝1. 所以 a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－26－1＝－65.
(2)令 x＝－1，得
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 杨辉三角的特点
[填一填] (1)在同一行中每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项 相等．
(2)在相邻的两行中，除 1 外的每一个数都等于它“肩上”
两个数的 和
，即 Crn＋1＝ Crn－1＋Cnr .
[答一答] 1．二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？
故 S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C41＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211 ＝(C12＋C31＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C32＋…＋C211)＝2＋120×9＋C312 ＝274.
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
如下图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，在哪一行中 从左至右第 14 个数与第 15 个数的比为 2 3?
提示：设第 r＋1 项的二项式系数最大． 则CCrrnn≥≥CCnnrr＋－11， ， 即rr！ ！nnnn！ － ！ －rr！ ！≥ ≥rr－ ＋11！ ！nnnn！ ！－ －rr＋ －11！ ！ ⇔nr＋－1r＋ ≥1n≥ －rr ⇔n－2 1≤r≤n＋2 1.

“杨辉三角”与二项式系 数的性质
湖南师大附中 杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理： (a + b)n = Cn0an + Cn1an-1b + L + Cnnbn
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 , ,n )
1 复习引入
4、二项展开式有哪些基本特征？
（1）共有 n 1 项 （2）字母 a 的最高次数为 n ,且按降幂排列，
字母 b 的最高次数为 n ，且按升幂排列 （3）各项中 a 与 b 的指数幂的和都是n
（4）各项的二项式系数依次为
Cnk(k0,1,2, n) ，且与a , b 无关
2 知识提炼
构成首项为11，公比为11的等比数列。
3 合作探究
探究2、如果把“杨辉三角”中第一斜
行的数看做一个数列 x n （从右上往左下
看），则其通项公式为 x n 1 ，照此规律
把“杨辉三角”中的第二斜行的数看做一
个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨 辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数C n 0,C n 1,C n 2, ,C n n1,C n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2, n)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
yn nCn1

第14页
第一章
1.3.2
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
在由二项式系数所构成的杨辉三角形 中，第________行中从左至右第14与第15个数的比为2：3.
要 点 导 学
第15页
第一章
1.3.2
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
解析：由题可设第n行的第14个与第15个数的比为2：3，
13 即二项展开式的第14项和第15项的系数比为Cn ：C14 n ＝2：3，
要 点 导 学
n！ n！ 14 2 即 ： ＝2：3，即 ＝ ，解得 13！n－13！ 14！n－14！ n－13 3 n＝34.
答案：34
第16页
第一章
1.3.2
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
要点二 与二项展开式有关的求和问题
1.3.2
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
问题思考2：在二项展开式中，偶数项的二项式系数的和 与奇数项的二项式系数的和有何关系？
提示：二项展开式中，偶数项的二项式系数的和与奇数
要 点 导 学
3 5 0 2 4 项的二项式系数的和相等，即C1 ＋ C ＋ C ＋ „ ＝ C ＋ C ＋ C n n n n n n
第5页
第一章
1.3.2
课标版 · A ·数学 ·选修2-3
自 主 预 习
2．二项式系数的性质 (1)对称性．与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等，
m n－m C ＝ C n 它反映了组合数性质 n .
要 点 导 学
第6页
第一章
1.3.2
课标版 · A ·数学 ·选修2-3