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黑龙江省牡丹江市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大庆模拟) 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|﹣2＜x≤2}，则A∩B=（）A . {﹣1，0，1，2}B . {﹣1，0，1}C . {﹣2，﹣1，0，1}D . {﹣2，﹣1，0，1，2}2. （2分）在中，若，则的形状一定是（）A . 等边三角形B . 不含角的等腰三角形C . 钝角三角形D . 直角三角形3. （2分） (2016高一下·福建期末) 的值为（）A . ﹣B .C .D . ﹣4. （2分）设命题p：，则为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·南阳模拟) 设实数x，y满足约束条件若目标函数z=mx+y（m＞0）的最大值为6，则m的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 166. （2分）(2017·四川模拟) 设直角坐标平面内与两个定点A（﹣2，0），B（2，0）的距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是E．过点B作与x轴垂直的直线l与曲线E交于C，D两点，则 =（）A . ﹣9B . ﹣3C . 3D . 97. （2分）函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，则只要将的图像（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度8. （2分） (2016高二下·信宜期末) 一个长方体的长、宽、高分别为2、1、1，其顶点都在一个球面上，则这个球的表面积为（）A . 3πB . 6πC . 12πD . 24π9. （2分） (2017高二上·黑龙江月考) 如图是为了求出满足的最小偶数，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A . 和B . 和C . 和D . 和10. （2分） (2017高一下·丰台期末) 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，那么该几何体的体积是（）A . 96B . 128C . 140D . 15211. （2分）已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）设函数f（x）=+lnx，则（）A . x=为f（x）的极小值点B . x=2为f（x）的极大值点C . x=为f（x）的极大值点D . x=2为f（x）的极小值点二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·平原期末) 已知向量 .若，则实数的值为________．14. （1分） (2019高二上·兰州期中) 在数列中，，，是数列的前项和，若，则 ________.15. （1分）若四面体ABCD中，AB=CD=BC=AD=， AC=BD=，则四面体的外接球的表面积为________16. （1分）已知函数f（x）=a+的图象关于原点对称，则实数a值是________．三、解答题。
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、32tanπ的值为（ ） A3 B 3- C33 D 33- 2、已知向量)2,2(),,1(==b k a 且b a +与a 共线，那么b a ⋅的值为( ) A 1 B 2 C 3 D 4 3、点)2017cos ,2017(sin 0A 在直角坐标平面上位于 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4、的结果为化简1cos 1sin 21-（ ）A 1cos 1sin -B 1sin 1cos -C 1cos 1sin +D 1cos 1sin --5、已知54)540sin(-=+α，则=-)270cos(α （ ） A 54 B 54- C 53 D 53-6、若非零向量b a ,,满足||322||b a =,且)23()(b a b a +⊥-,则a 与b 的夹角为（ ） A4π B 2πC 34πD π7、函数f (x )＝1－2sin 2x ＋2co s x 的最小值和最大值分别为( )A －1,1B －32，－1C －32，3D －2，328、若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数解析式为（ ）A y =2sin(2x +π4) B y =2sin(2x +π3) C y =2sin(2x –π4) Dy =2sin(2x –π3)9、若08πθ-<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为（ ）A θθθcos tan sin <<B tan sin cos θθθ<<C θθθsin cos tan <<D θθθtan cos sin << 10、函数x x y cos -=的部分图象是( )11、已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ） A 85-B81 C41 D81112、关于函数x y 2tan -=有下列说法： ①()x f 的定义域是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x R x ,2|ππ；②()x f 是奇函数；③()x f 在定义域上是减函数；④()x f 在每一个区间(),4242k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上单调递减； ⑤()x f 的最小正周期是π。
≤≥12016届高三期末热身训练数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的） 1．设集合{}{}{}=⋂===)(,8,4,2,8,2,1,8,4,2,1,0B A C B A U U 则（ ）A. 、{}0 B 、{}2,0 C 、 {}4,1,0 D 、 φ 2、设复数z 满足i zi +-=3（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）A 、 -3B 、 -3iC 、 3D 、 3i 3、命题"02,"1>∈∀-x R x 的否定是（ ） A 、 02,1≤∈∀-x R x B 、 02,1≤∈∃-x R x C 、 02,1>∈∃-x R x D 、02,1<∈∀-x R x4、已知向量a 与向量b)(,2-⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ） A 、 6πB 、4πC 、2πD 、3π5、如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为1214,,,.A A A 右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是（ ）7 98 6 3 89 3 9 8 8 4 1 5 10 3 1 11 4 A 、7 B ．8 C ．9 D ．106、若{}n a 是等差数列，公差632,,,0a a a d ≠成等比数列，则该等比数列的公比为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47、如果方程11222=+++m y m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是（ ） A 、()1,2-- B 、()()+∞-⋃-∞-,12, C 、()1,1- D 、()2,3--8、已知函数()sin cos f x a x b x =-，在4x π=时取得极值，则函数3()4y f x π=-是A ．偶函数且图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且图象关于点（32π，0）对称C ．奇函数且图象关于点（32π，0）对称D ．奇函数且图象关于点（π，0）对称9、设()()=+-95231x x ()++1401x a () (113)1++x a ()14131a x a ++，则=++++13210...a a a a （ ）A 、93 B 、9532- C 、52D 、5923-10、已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧>-+-≤--=)2(32412112x x x x x x f ，如在区间()+∞,1上存在()2≥n n 个不同的数n x x x x ,...,,,321，使得比值()=11x x f ()......22=x x f ＝()nn x x f 成立，则n 的取值集合是（ ）A 、{}5,4,3,2B 、{}3,2C 、{}5,3,2D 、{}4,3,2 11、沿边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形ABCD ，则它所构成的四面体ABCD 内切球的半径为（ ） A 、262-B 、261-C 、221-D 、112、设函数()x f 是连续函数，若函数()x f 及其导函数()x f /满足()()xx f x x x f -=∙ln /，则函数()x f （ ）A 既有极大值，又有极小值B 有极大值，无极小值C 、有极小值，无极大值D 无极大值，无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高一学年期末考试 数学 试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、的值为（ ）A B C D 2、已知向量且与共线，那么的值为( )A 1B 2C 3D 4 3、点在直角坐标平面上位于 （ ）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4、（ ）A B C D 5、已知，则 （ ）A B C D 6、若非零向量,满足,且,则与的夹角为（ ）A B C D 7、函数f (x )＝1－2sin 2x ＋2cos x 的最小值和最大值分别为( ) A －1,1 B －32，－1C －32，3 D －2，328、若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数解析式为（ ）A y =2sin(2x +π4) B y =2sin(2x +π3) C y =2sin(2x –π4) D y =2sin(2x –π3)9、若，则的大小关系为（ ） A B C D 10、函数的部分图象是( )11、已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A B C D12、关于函数有下列说法：①的定义域是；②是奇函数；③在定义域上是减函数；④在每一个区间上单调递减；⑤的最小正周期是。
其中正确的是（）A.①②③B.②④⑤C.②④D.③④⑤二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13、已知角的终边经过点，则=14、已知扇形AOB的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积为。
15、已知，则的值为16、设锐角的三个内角为，其中角的大小为，则的取值范围为三、解答题：17、（10分）已知，（1）求的值；（2）求的值。
18、（12分）已知点为坐标原点，且点（1）若，求的值；（2）若，求的值。
19、（12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程。
2016-2017学年黑龙江省牡丹江一高高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．（5分）下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y'=0 B．若，则C．若，则D．若y=x，则y'=12．（5分）奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件3．（5分）从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．174．（5分）函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点5．（5分）对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．（5分）已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．27．（5分）如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤58．（5分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．（5分）已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代数式log2（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）函数f（x）=x+2cos x在区间上的最小值是（）A．B．2C．D．12．（5分）下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②二、填空题（每题5分）13．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=．14．（5分）下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．（5分）函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是．三、解答题（共70分）17．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，讨论函数的单调性．18．（12分）2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．19．（12分）已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．20．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，P A⊥平面ABCD，且P A=1，E，F分别为AD，P A中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD．（1）求证：平面BEF∥平面PDQ；（2）求二面角E﹣BF﹣Q的余弦值．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B 两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．22．（12分）已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．参考答案一、选择题1．B【解析】若y=3，则y'=0，故A正确，若，则y′=﹣x，故B错误若y=，y′=，故C正确，若y=x，则y'=1，故D正确，故选：B2．C【解析】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．故选：C．3．A【解析】随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．4．C【解析】因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．5．D【解析】由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．6．B【解析】因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选B．7．B【解析】因为11111（2）=31（10）执行程序框图，有S=1，i=1满足条件，有S=3，i=2；满足条件，有S=7，i=3；满足条件，有S=15，i=4；满足条件，有S=31，i=5；此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．故选：B．8．D【解析】由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，9．A【解析】：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解，则a=0或a≠0，△≥0⇔，解得：a≤，且a≠0，综合得：a≤；②代数式log2（a+3）有意义⇔a＞﹣3．综合得：﹣3＜a≤．满足两个条件：①②数a构成的区域长度为+3=，指数函数y=（3a﹣2）x为减函数⇔0＜3a﹣2＜1⇔＜a＜1．则其构成的区域长度为：1﹣=，则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为=故选：A．10．D【解析】由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．11．A【解析】f（x）=x+2cos x，x则f′（x）=1﹣2sin x＞0所以f（x）在为增函数．故f（x）的最小值为f（）=12．D【解析】由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）e x＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确．故选D．二、填空题13．﹣6【解析】∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故答案为：﹣6．14．3【解析】∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故答案为：315．[﹣3，+∞）【解析】∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2+a≥0，在区间[1，+∞）恒成立，即a≥﹣3x2，∵﹣3x2≤﹣3，∴a≥﹣3，故实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）16．2【解析】∵f（x）=ax2+bx+c∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0∵对任意实数x都有f（x）≥0∴a＞0，c＞0，b2﹣4ac≤0即≥1则==1+，而（）2=≥≥1，∴==1+≥2，故答案为：2．三、解答题17．解：函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+3，判别式△=（6）2﹣4×3×3=72﹣36=36，由f′（x）=3x2﹣6x+3=0得方程的根为x1==1+，或x2==﹣1，由f′（x）＞0得x＞1+或x＜﹣1，此时函数单调递增，即函数单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（+1，+∞），由f′（x）＜0得﹣1＜x＜+1，此时函数单调递减，即函数单调递减区间为（﹣1，+1）．18．解：（1）由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是“满意观众”，∴P=，即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为．（2）设本次符合条件的满意观众分别为A1（9.2），A2（9.2），A3（9.2），A4（9.2），B1（9.3），B2（9.3），其中括号内为该人的分数．则从中任意选取两人的可能有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2），共15种，其中，分数不同的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），共8种，∴所求的概率为．19．解：（Ⅰ）∵直线l：x﹣y﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l写成参数方程为，∵曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5，∴x2+y2﹣4y=5，即x2+（y﹣2）2=9．∴曲线C的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2=9．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2﹣﹣4=0，设t1，t2是方程的两根，解得，，又点A在第一象限，故点A对应，代入到y=t sin，得到点A纵坐标y A=2，因此△OMA的面积S△OMA=|OM|•|y A|==1．20．解：（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），设Q（1，x，0），则，，若PQ⊥QD，则，即x2﹣ax+1=0，△=a2﹣4，∴△=0，a=2，x=1．∴，又E是AD中点，∴E（0，1，0），，∴，∴BE∥DQ，又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是P A中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF⊂平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．（2）设平面BFQ是一个法向量，则，由（1）知，，∴，取z=2，得，同样求平面BEF的一个法向量，，∴二面角E﹣BF﹣Q的余弦值为．21．解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=，y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=﹣，∵P为线段AB的中点，则可得点P（，﹣），又直线PD的斜率为﹣，直线PD的方程为y+=﹣（x﹣），令y=0得，x=，又∵点D（，0），∴丨PD丨===，化简得17k4+k2﹣18=0，解得：k2=1，故k=1或k=﹣1，k的值±1．22．解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=e x（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为[（x﹣1）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[e x﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e x﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，可得g（x）≤g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，可得n=0，m=﹣1，则m+n=﹣1．。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U R =，集合2{|230}M x x x =--≤,N ={}2|31y y x =+,则U M C N ⋂=( )A .}11|{<≤-x xB .}11|{≤≤-x xC .}31|{≤≤x xD .}31|{≤<x x【答案】A考点：集合运算 【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )【答案】D 【解析】试题分析：几何体的左视图为在右侧平面上的投影，为D. 考点：三视图3.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是()A.计算数列{}12n-前5项的和B.计算数列{}21n-前5项的和C.计算数列{}12n-前6项的和D.计算数列{}21n-前6项的和【答案】C考点：循环结构流程图【易错点睛】应用循环结构应注意的三个问题①确定循环变量和初始值；②确定算法中反复执行的部分，即循环体；③确定循环的终止条件．4.若,x y满足2020x ykx yy-+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为2-，则k的值为()A .1B .1-C .2D .2-【答案】B 【解析】试题分析：直线2y x -=-与0y =交于点(2,0)，因此直线20kx y -+=过点(2,0)，即1k =-，经验证满足条件，选B.考点：线性规划5.给出下列四个命题, 其中正确．．的命题有( )个. ⑴ 函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,02cos 2sin πx x x y 在上的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π; (2)1212,,,a a b b 均为非零实数，集合1122{0},{0}A x a x b B x a x b =|+>=|+>，则“1122a b a b =”是“A B =”的必要不充分条件(3)若p q ∨为真命题,则p q ∧也为真命题(4) 命题01,2<++∈∃x x R x 的否定01,2<++∈∀x x R xA .0B .1C .2D .3【答案】C(3) p q ∨为真命题时，,p q 不一定全真，因此p q ∧不一定为真命题；(4) 命题01,2<++∈∃x x R x 的否定应为2,10x R x x ∀∈++≥，所以（1）（2）为真，选C. 考点：命题否定、复合命题真假、三角函数增区间、充要关系 【易错点睛】1注意区分“p 是q 的充分不必要条件”与“p 的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p ⇒q”而后者是“q ⇒p”．2判定命题为真，必须推理证明；若说明为假，只需举出一个反例．互为逆否命题是等价命题，根据需要，可相互转化．3命题的否定是只否定这个命题的结论；而对于“若p ，则q”形式的否命题为“若非p ，则非q”．6.设12,...,n a a a 是1，2，3...n 的一个排列，把排在i a 的左边且比i a 小的数的个数称为i a (i =1，2，...n )的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )A .48B .120C .144D .192【答案】C考点：排列组合7.在平行四边形ABCD 中，2=AD ，60BAD ∠=，E 为CD 的中点．若1AD BE ∙=，则AB 的长为( )A B .4 C .5 D .6【答案】D 【解析】试题分析：11+)+))22AD BE AD BA AD DE AD AB AD AB AD AD AB ⋅=⋅+=⋅+=⋅-（（-（1142cos 41232AB AB π=-⨯⨯⨯=-=，因此 6.AB =选D.考点：向量数量积8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为( )A .33B .46C .48D .50【答案】C 【解析】 试题分析：101ln eS xdx =⎰1(ln )|1ex x x =-=，因此20101030202()()S S S S S -=+-，解得30S =48.选C.考点：等差数列性质，定积分9.已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象．若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1)(≥x g ”发生的概率为( )A .41 B .31C .61 D .32 【答案】B 【解析】试题分析：()cos 2sin()6f x x x x πωωω+=+，由题意得22,22T T πππω=⨯===,)(x g 2sin(2())2sin(2)666x x πππ=-+=- 由1)(≥x g 得15sin(2)222()()6266662x k x k k Z k x k k Z ππππππππππ-≥⇒+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈，因为[]0,x π∈，因此62x ππ≤≤，从而所求概率为12603πππ-=-，选B.考点：三角函数图像与性质，古典概型概率10.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( )A .πB .π2C .π3D . π4【答案】C考点：圆锥的体积 【方法点睛】1.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与圆锥顶点之间的数量关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来确定．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．11.已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心的直线交双曲线于点,A B ，在双曲线C 上任取与点,A B 不重合的点P ，记直线,,PA PB AB 的斜率分别为12,,k k k ，若12k k k >恒成立，则离心率e 的取值范围为( )A .1e <<B .1e <≤C .e >D .e ≥【答案】D考点：双曲线离心率 【思路点睛】求双曲线的离心率(取值范围)的策略：求双曲线离心率是一个热点问题．若求离心率的值，需根据条件转化为关于a ，b ，c 的方程求解，若求离心率的取值范围，需转化为关于a ，b ，c 的不等式求解，正确把握c 2＝a 2＋b 2的应用及e ＞1是求解的关键． 12.已知函数1ln 1)(-+=x xx f ,*)()(N k x k x g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( ) A . 2 B . 3 C . 4 D . 5【答案】B 【解析】试题分析：易知()()g()f c g b c =>,即lnc 1c c kc c +>-lnc 1c c k c +∴<-,1c >. 令ln ()1c c c p c c +=-,1c >,则()()()()2211ln 1ln 2ln ()11c c c c c c cp c c c ++-----'==--. 令()2ln 1q c c c c =-->，,1'()10q c c=->, ()q c 递增,()(1)1q c q ∴>=-.又()31ln30q =-<,()42ln40q =->, ,∴存在()03,4c ∈,使得0()0q c =，即002ln c c -=当()01,c c ∈时,()0q c <,()p c 递减，当()0,c c ∈+∞时,()0q c >,()p c 递增.000min 00ln ()()1c c c p c p c c +==- 002ln c c -=代入得000000min 000ln (2)()11c c c c c c p c c c c ++-===-- 03k c k ∴<≤易知10a e<<，当3k =时可证明()()()f a g b g a =< max 3k ∴=.选B. 考点：函数零点【方法点睛】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上； (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f(x)在区间上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________ 【答案】38-考点：二项式定理 【方法点睛】1.求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项的系数．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．14.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使12...6k a a a +++=，则称k 为你的幸运数字。
黑龙江省牡丹江市一中2016届高三上学期期末考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。
）1.全集U R=，集合2{|230}M x x x=--≤,N={}2|31y y x=+,则UM C N⋂=() A.}11|{<≤-xx B.}11|{≤≤-xx C.}31|{≤≤xx D.}31|{≤<xx2. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()3.阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是()A.计算数列{}12n-前5项的和B.计算数列{}21n-前5项的和C.计算数列{}12n-前6项的和D.计算数列{}21n-前6项的和4.若,x y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为2-，则k的值为A.1B.1-C.2D.2-5.给出下列四个命题, 其中正确．．的命题有()个.⑴函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+=2,02cos2sinπxxxy在上的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,0π;(2)1212,,,a ab b均为非零实数，集合1122{0},{0}A x a x bB x a x b=|+>=|+>，则“1122a ba b=”是“A B=”的必要不充分条件(3)若p q∨为真命题,则p q∧也为真命题(4) 命题01,2<++∈∃xxRx的否定01,2<++∈∀xxRxA.0B.1C.2D.36.设12,...,na a a是1，2，3...n的一个排列，把排在ia的左边且比ia小的数的个数称为ia(i=1，2，...n)的顺序数，如在排列6，4，5，3，2，1中，5的顺序数为1，3的顺序数为0，则在1至8这8个数的排列中，8的顺序数为2，7的顺序数为3，5的顺序数为3的不同排列的种数为( )A .48B .120C .144D .1927.在平行四边形ABCD 中，2=AD ，60BAD ∠=，E 为CD 的中点．若1AD BE ∙=， 则AB 的长为( )A B .4 C .5 D .68.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，又知(ln )'ln 1x x x =+，且101ln eS xdx =⎰，2017S =，则30S 为( )A .33B .46C .48D .509．已知函数)0(cos sin 3)(>+=ωωωx x x f 的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数)(x f 的图象沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象．若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“1)(≥x g ”发生的概率为 A .41B .31C .61D .3210.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( )A .πB .π2C .π3D . π411.已知过双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的中心的直线交双曲线于点,A B ，在双曲线C上任取与点,A B 不重合的点P ，记直线,,PA PB AB 的斜率分别为12,,k k k ，若12k k k >恒成立，则离心率e 的取值范围为( )A .1e <<B .1e <≤C .e >D .e ≥12.已知函数1ln 1)(-+=x x x f ,*)()(N k xkx g ∈=，若对任意的1c >,存在实数b a ,满足0a b <<c <，使得)()()(b g a f c f ==，则k 的最大值为( )A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13.在6的二项展开式中，2x 的系数为___________ 14.连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使12...6k a a a +++=，则称k 为你的幸运数字。
黑龙江省牡丹江市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） p或q为真命题是p且q为真命题的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 以上都不对2. （2分）已知当椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等比时称椭圆为“黄金椭圆”，请用类比的性质定义“黄金双曲线”，并求“黄金双曲线”的离心率为（）A . 2B .C .D .3. （2分） (2017高二上·右玉期末) “经过两条相交直线有且只有一个平面”是（）A . 全称命题B . 特称命题C . p∨q的形式D . p∧q的形式4. （2分）(2017·襄阳模拟) 在三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC上的点，且 =2 ， = ，|AB|=3，|AC|=2，A=60°，则• 等于（）A .C .D .5. （2分） (2019高一上·吉林月考) 设，，是三条不同的直线，，是两个不重合的平面，给定下列命题：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中为真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分） (2016高一下·防城港期末) 已知关于x的方程x2﹣2xcosA•cosB+（1﹣cosC）=0的两根之和等于两根之积，则△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形7. （2分）(2017·锦州模拟) 设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A . 6C .D .8. （2分）平面过正方体ABCD A1B1C1D1的顶点A， //平面CB1D1 ，平面ABCD=m，平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共9分)9. （1分） (2019高一上·衡阳月考) 已知集合A={﹣1，0，1}，B={ }，若A∩B={0}，则B=________；10. （2分）(2017·温州模拟) 如图，一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，其俯视图的轮廓为正方形，则该几何体的体积是________，表面积是________．11. （1分）已知函数f（x）=tanx．项数为27的等差数列{an}满足an∈（﹣，），且公差d≠0．若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k=________时，f（ak）=0．12. （1分） (2016高一上·东海期中) 已知，则f[f（2）]=________．13. （1分） (2017高三上·湖南月考) 已知向量夹角为，，对任意，有，则的最小值是________．14. （1分） (2017高三上·漳州期末) 抛物线y2=ax（a＞0）与直线x=1围成的封闭图形的面积为，则二项式（x+ ）20展开式中含x﹣16项的系数是________．15. （2分） (2019高一上·温州期中) 函数的定义域为________ ，值域为________三、解答题 (共5题；共50分)16. （5分） (2017·海淀模拟) 已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．17. （15分）如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP的中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD；（2）若E是PC的中点，求三棱锥D﹣PEB的体积．（3）若E在CP上且二面角E﹣BD﹣C所成的角为45°，求CE的长．18. （5分）已知值域为[﹣1，+∞）的二次函数满足f（﹣1+x）=f（﹣1﹣x），且方程f（x）=0的两个实根x1 ， x2满足|x1﹣x2|=2．（1）求f（x）的表达式；（2）函数g（x）=f（x）﹣kx在区间[﹣1，2]内的最大值为f（2），最小值为f（﹣1），求实数k的取值范围．19. （10分） (2018高二上·福州期末) 已知O为坐标原点，椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2 ，右顶点为A,上顶点为B,若|OB|,|OF2|,|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设T为直线x=-3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P,Q，且，求的最小值．20. （15分） (2019高三上·新洲月考) 有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏，棋盘上标有第0站（出发地），在第1站，第2站，……，第100站. 一枚棋子开始在出发地，棋手每掷一次硬币，这枚棋子向前跳动一次，若掷出正向，棋子向前跳一站，若掷出反面，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（失败收容地）或跳到第100站（胜利大本营），该游戏结束. 设棋子跳到第站的概率为 .（1）求，，；（2）写出与、的递推关系）；（3）求玩该游戏获胜的概率.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共7题；共9分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共50分)答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。
黑龙江省牡丹江市数学高三上学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·山东) 设集合M={x||x﹣1|＜1}，N={x|x＜2}，则M∩N=（）A . （﹣1，1）B . （﹣1，2）C . （0，2）D . （1，2）2. （2分）已知在xOy平面内有一区域M，命题甲：点；命题乙：点,如果甲是乙的必要条件，那么区域M的面积有（）A . 最小值8B . 最大值8C . 最小值4D . 最大值43. （2分） (2016高二下·海南期中) 如图所示，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为、，样本标准差分别为SA ， SB ，则（）A . ＞，SA＞SBB . ＜，SA＞SBC . ＞，SA＜SBD . ＜，SA＜SB4. （2分） (2019高一上·中山月考) 若直角坐标平面内的两点满足条件：① 都在函数的图象上；② 关于原点对称．则称点对是函数的一对“友好点对”，(点对与看作同一对“友好点对”)．已知函数且，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·衡阳模拟) 如图．在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，•=4，• =﹣1，则• 的值是（）A . 4B . 8C .D .6. （2分）已知＝，0<x<π，则tanx为（）A . －B . －C . 2D . －27. （2分）(2017高二上·定州期末) 在空间直角坐标系中三点的坐标分别为，若，则（）A . 3B . 1C .D . -38. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，且满足Sn,Sn+2, Sn+1成等差数列，则a3等于（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·孝义模拟) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[﹣，0]）的周期为π，将函数f（x）的图象沿着y轴向上平移一个单位得到函数g（x）图象，设g（x）＜1，对任意的x∈（﹣，﹣）恒成立，当φ取得最小值时，g（）的值是（）A .B . 1C .D . 210. （2分）已知双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程是（）A .B .C .D .11. （2分）(2020·海南模拟) 已知函数 .若，，则函数在上的零点之和为（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·奉贤模拟) “mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·兰州模拟) 若变量满足约束条件，则目标函数的最大值是________．14. （1分）（x3+)的展开式中x5的系数是________15. （1分） (2016高二下·赣榆期中) 直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=2，D为BC的中点．则直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值________．16. （1分） (2020高二上·徐州期末) 已知，，且，则的最大值为________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分）已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn ，且a1=1，anan+1=2Sn ．（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn ．18. （10分） (2017高二下·南昌期末) 某幼儿园为训练孩子的数字运算能力，在一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的卡片各两张，让孩子从盒子里任取3张卡片，按卡片上的最大数字的9倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用X表示取出的3张卡片上的最大数字（1）求取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；（2）求随机变量X的分布列及数学期望；（3）若孩子取出的卡片的计分超过30分，就得到奖励，求孩子得到奖励的概率．19. （10分）(2016·柳州模拟) 如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，（1）求证：平面EBD⊥平面PAC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．20. （10分）(2020·攀枝花模拟) 已知函数（1）若讨论的单调性;（2）当时,若函数与的图象有且仅有一个交点 ,求的值(其中表示不超过的最大整数,如 .参考数据:21. （10分）(2017·上高模拟) 已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为．（1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；（2）己知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出定点的坐标，并给予证明；否则说明理由．22. （10分）(2017·新课标Ⅱ卷理) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．23. （10分）(2020·江西模拟) 设函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
牡一中高三上学期期末理科综合 （考试时间150分钟 满分300分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
5．以下数据可提供解题时参考： 可能用到的相对原子质量：H:1 C:12 N:14 O:16 Na:23 P:31 S:32 Cl:35.5 Ni:59 Cu:64 Ba:137 Pd:106 第I卷（共126分） 一、选择题（本题共13小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.下列有关细胞结构和功能的叙述正确的是 （ ） A.性激素的合成与生物膜有关，通常青春期性腺细胞膜上运输性激素的载体蛋白数量要比幼 年和老年时期多 B.线粒体是肝细胞中唯一产生二氧化碳的场所，抑制其功能会影响氨基酸的运输 C.生物膜上可以合成ATP，桑格和尼克森构建的生物膜流动镶嵌模型属于概念模型 D.洋葱根尖分生区细胞中由一个着丝点相连的两条染色单体所携带的基因不完全相同是因为发生了交叉互换 2.下列说法错误的是 （ ） A.一对等位基因位于X、Y染色体的同源区，只考虑这对基因，雄性个体最多有4种基因型 B.观察细胞有丝分裂选材时，分裂期时间越长的，观察到染色体机会一定越大 C.二倍体动物在细胞分裂后期含有10条染色体，该细胞很可能处于减数第二次分裂的后期 D.一个被32P标记的1对同源染色体的细胞，放在31P的培养液中经两次有丝分裂后，所形成的4个细胞中，每个细胞含标记的染色体个数可能是0、1、2 3.实验人员用脱落酸(ABA)和脱落酸抑制剂(ABAI)处理“百丽”桃，分析其果实成熟过程中果实硬度、乙烯释放量和呼吸速率的变化，得到下图结果。
2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁U M）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）2．（5分）抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2C．y=D．y=﹣23．（5分）已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．2975．（5分）已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件7．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）11．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称12．（5分）已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，]D．（2，3]二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，a1+a2=，a4+a5=6，则S6=．14．（5分）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，则椭圆C的标准方程为．15．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．16．（5分）下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x 的图象．（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（填序号）三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n项和公式S n；（3）证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+S n＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P﹣AD﹣M的大小为．21．（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，（1）求点P坐标；（2）求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．22．（12分）已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ （O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？2016-2017学年黑龙江省牡丹江一中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．（5分）设U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}，N={x|y=lg（x2+3x）}，则（∁U M）∩N=（）A．（﹣∞，﹣3]∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，0）∪（2，+∞）【解答】解：∵全集U=R，M={y|y=2x+1，﹣≤x≤}=[0，2]，∴C U M=（﹣∞，0）∪（2，+∞），∵x2+3x＞0，解得x＞0或x＜﹣3∴集合N=（﹣∞，﹣3）∪（0，+∞）∴N∩（∁U M）=（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）故选：C．2．（5分）抛物线x2=﹣8y的准线方程是（）A．x=B．y=2C．y=D．y=﹣2【解答】解：由抛物线x2=﹣8y可得：2p=8，∴=2，其准线方程是y=2．故选：B．3．（5分）已知动点P，定点M（1，0）和N（3，0），若|PM|﹣|PN|=2，则点P的轨迹是（）A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线【解答】解：由题意，|MN|=3﹣1=2∵|PM|﹣|PN|=2∴|PM|﹣|PN|=|MN|∴点P的轨迹是射线NP故选：D．4．（5分）等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则数列{a n}前9项的和S9等于（）A．99B．66C．144D．297【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又∵a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，∴a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，∴a4=13，a6=9，∴a4+a6=22，∴数列{a n}前9项的和S9====99故选：A．5．（5分）已知α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，则sin（β﹣α）=（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵α，β都是锐角，sinα=，cosβ=，∴cosα==，sin=，∴sin（β﹣α）=sinβcosα﹣cosβsinα=﹣=．故选：B．6．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则α∥β是a⊥b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件【解答】解：若a⊥b，∵b⊥β，∴a∥β或a⊂β，此时α∥β或α与β相交，即必要性不成立，若α∥β，∵b⊥β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，即充分性成立，故α∥β是a⊥b的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）在△ABC中，若|+|=|﹣|，AB=2，AC=1，E，F为BC边的三等分点，则•=（）A．B．C．D．【解答】解：若|+|=|﹣|，则=，即有=0，E，F为BC边的三等分点，则=（+）•（+）=（）•（）=（+）•（+）=++=×（1+4）+0=．故选：B．8．（5分）已知点A、B、C、D均在球O上，AB=BC=，AC=3，若三棱锥D﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．36πB．16πC．12πD．π【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为r，则=，∵AB=BC=，AC=3，∴∠ABC=120°，S△ABC∴2r==2∵三棱锥D﹣ABC的体积的最大值为，∴D到平面ABC的最大距离为3，设球的半径为R，则R2=3+（3﹣R）2，∴R=2，∴球O的表面积为4πR2=16π．故选：B．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥，如图所示，所以其体积为．故选：D．10．（5分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆（x﹣1）2+（y ﹣1）2=1相切，则m+n的取值范围是（）A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，得到圆心坐标为（1，1），半径r=1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2=0与圆相切，∴圆心到直线的距离d==1，整理得：m+n+1=mn≤，设m+n=x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，∵x2﹣4x﹣4=0的解为：x1=2+2，x2=2﹣2，∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，解得：x≥2+2或x≤2﹣2，则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称【解答】解：由于函数f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x+θ）（a，b常数，a≠0，x∈R），根据函数f（x）在x=处取得最小值，则f（）=a+b=﹣，∴a=b，∴f（x）=asinx﹣acosx=asin（x﹣），∴f（﹣x）=asin（﹣x﹣）=﹣asinx，故函数f（x）为奇函数且它的图象关于点（π，0）对称，故选：D．12．（5分）已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x﹣4），在区间[0，2]上，f（x）=，g（x）=（）|x|+a，若F（x）=f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（）A．（2，）B．（2，3）C．（2，]D．（2，3]【解答】解：由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x﹣4），则f（x）=f（﹣x），函数的周期为4，则在区间[﹣2，0]上，有f（x）=，分别作出函数y=f（x）在[﹣2，2]的图象，并左右平移4个单位，8个单位，可得y=f（x）的图象，再作y=g（x）的图象，注意上下平移．当经过A（1，）时，a==2，经过B（3，）时，a=2，5﹣=．则平移可得2＜a＜时，图象共有4个交点，即f（x）﹣g（x）恰好有4个零点，故选：A．二、填空题（每题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，a1+a2=，a4+a5=6，则S6=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：14．（5分）椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，若椭圆C的离心率等于，且它的一个顶点恰好是抛物线x2=8y的焦点，则椭圆C的标准方程为．【解答】解：由题意设椭圆C的标准方程为，a＞b＞0，∵抛物线x2=8y的焦点为F（0，2），∴由已知得，解得a=4，b=2，∴椭圆C的标准方程为．故答案为：．15．（5分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B．若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，则与直线x﹣3y+m=0联立，可得A（，），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴=b，∴e==．故答案为：．16．（5分）下列命题中：（1）a=4，A=30°，若△ABC唯一确定，则0＜b≤4．（2）若点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则m的取值范围是（﹣5，+∞）；（3）若曲线+=1表示双曲线，则k的取值范围是（1，+∞]∪（﹣∞，﹣4]；（4）将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．（5）已知双曲线方程为x2﹣=1，则过点P（1，1）可以作一条直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点．正确的是（2），（5）（填序号）【解答】解：对于（1），由，得sinB=．当b=8时，sinB=1，B=90°，C=60°，△ABC唯一确定，故（1）错误；对于（2），点（1，1）在圆x2+y2+mx﹣y+4=0外，则12+12+m﹣1+4＞0，即m＞﹣5，故（2）正确；对于（3），若曲线+=1表示双曲线，则（4+k）（1﹣k）＜0，解得k＞1或k＜﹣4，即k的取值范围是（1，+∞）∪（﹣∞，﹣4），故（3）错误；对于（4），将函数y=cos（2x﹣）（x∈R）的图象向左平移个单位，得到函数图象的解析式为y=cos[2（x+）]=cos（2x+），故（4）错误；对于（5），设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式作差得：，∴，∴k AB=2，此时直线方程为y﹣1=2（x﹣2），即y=2x﹣3，联立，得2x2﹣12x+11=0，△=144﹣88=56＞0，故（5）正确．∴正确命题的序号是（2），（5）．故答案为：（2），（5）．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x+1|．（Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）＜3；（Ⅱ）若f（x）的最小值为1，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|2x﹣1|+|x+1|=；且f（1）=f（﹣1）=3，所以，f（x）＜3的解集为{x|﹣1＜x＜1}；…（4分）（Ⅱ）|2x﹣a|+|x+1|=|x﹣|+|x+1|+|x﹣|≥|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x﹣）≤0且x﹣=0时，取等号．所以|1+|=1，解得a=﹣4或0．…（10分）18．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的单调增区间；最大值，以及取得最大值时x的取值集合；（2）已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若f（A）=，b+c=2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=2cos2x+sin（2x﹣）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，可得函数f（x）的单调增区间[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），函数f（x）的最大值为2．当且仅当sin（2x+）=1，即2x+=2kπ+，即x=kπ+（k∈Z）时取到．所以函数最大值为2时x的取值集合为{x|x=kπ+，k∈Z}．…（6分）（2）由题意，f（A）=sin（2A+）+1=，化简得sin（2A+）=．∵A∈（0，π），∴2A+=，∴A=．在△ABC中，根据余弦定理，得a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc．由b+c=2，知bc≤1，即a2≥1．∴当b=c=1时，取等号．又由b+c＞a得a＜2．所以a的取值范围是[1，2 ）．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=，（n ≥2）（1）求证：数列{}是等差数列；（2）求：前n项和公式S n；（3）证明：当n≥2时，S1+S2+S3+…+S n＜．【解答】证明：（1）∵数列{a n}中，a1=1，其前n项和为S n，且满足a n=，（n≥2）﹣S n=2S n S n﹣1，∴当n≥2时，，S n﹣1∴当n≥2时，，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．解：（2）由（1）得=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴S n=．证明：（3）由（2）知：当n≥2时，==，∴S1+S2+S3+…+S n＜1+（1﹣）＜﹣＜．∴S1+S2+S3+…+S n＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，PD=PA，已知AB=2DC=10，BD=AD=8．（1）设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；（2）当三角形PAD为正三角形时，点M在线段PC（不含线段端点）上的什么位置时，二面角P﹣AD﹣M的大小为．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：因为BD=AD=8，得BD=8，AD=6，又AB=10，所以有AD2+BD2=AB2，即AD⊥BD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以PD⊥平面PAD，BD⊂平面BDM，故平面MBD⊥平面PAD．（2）由条件可知，三角形PAD为正三角形，所以取AD的中点O，连PO，则PO 垂直于AD，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO垂直于平面ABCD，过O点作BD的平行线，交AB于点E，则有OE⊥AD，所以分别以OA、OE、OP为x，y，z轴，建空间直角坐标系所以点O（0，0，0），A（3，0，0），D（﹣3，0，0），B（﹣3，8，0），P（0，0，3），由于AB∥DC且AB=2DC，得到C（﹣6，4，0），设（0＜λ＜1），则有，因为由（1）的证明可知BD⊥平面PAD，所以平面PAD的法向量可取：，设平面MAD的法向量为，则有，即有由由二面角P﹣AD﹣M的大小为．==，解得故当M满足：PM=PC时符合条件．21．（12分）已知F1，F2是椭圆=1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A，B两点，（1）求点P坐标；（2）求证：直线AB的斜率为定值；（3）求△PAB面积的最大值．【解答】（1）解：F1，F2是椭圆=1的两焦点，则c==，即有F1（0，），F2（0，﹣），设P（x，y），（x＞0，y＞0），则由=1，得x2+y2=3，又=1，解得，x=1，y=．则有点P的坐标为；（2）证明：由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设直线PB的斜率为k，则直线PB的方程为，由于过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB，则直线PA：y﹣=﹣k（x﹣1）．由，消去y，得，设A（x A，y A），B（x B，y B），由韦达定理，得1+x B=，即有，y B=同理可得，y A=，所以为定值．（3）解：由（2）可设直线AB的方程为，联立方程，得，消去y，得，由判别式8m2﹣16（m2﹣4）＞0，得，x1+x2=﹣m，x1x2=，|AB|==易知点P到直线AB的距离为，所以，当且仅当m=±2时取等号，满足，所以△PAB面积的最大值为．22．（12分）已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ （O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t +1）lnt ． （*），考察函数在h （x ）=（x +1）lnx （x ≥1）， 则h′（x ）=lnx ++1＞0，∴h （x ）在[1，+∞）上单调递增，∵t ＞1，∴h （t ）＞h （1）=0， 当t→+∞时，h （t ）→+∞，∴h （t ）的取值范围是（0，+∞）． ∴对于a ＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a ，曲线y=f （x ）上总存在两点P 、Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域(0,)+∞x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．。
