杨辉三角形里的秘密

杨辉三角形知识点总结杨辉三角形是中国古代数学的一种经典图形，也是组合数学中的重要概念。

它由数字排列而成，具有一些独特的性质和规律。

本文将从几个方面总结杨辉三角形的知识点。

一、杨辉三角形的构造杨辉三角形的构造非常简单。

首先，在三角形的第一行和第一列上填充数字1。

然后，从第三行开始，每个数字等于它上方两个数字之和。

这样继续下去，直到填满整个三角形。

二、杨辉三角形的性质1. 对称性：杨辉三角形是关于中心垂线对称的，即三角形的左右两侧是镜像关系。

2. 数字规律：每行的数字从左到右逐渐增大，且对称地排列。

3. 对角线性质：三角形的每条对角线上的数字之和都是2的幂次方。

三、杨辉三角形的应用1. 组合数学：杨辉三角形中的数字可以表示组合数，即从n个元素中选取k个元素的组合数。

例如，第n行第k个数字表示C(n-1,k-1)。

2. 概率统计：杨辉三角形中的数字可以用于计算二项式分布概率。

例如，第n行第k个数字表示二项式分布中，成功k次的概率。

四、杨辉三角形的数学规律1. 等差性质：每一行的数字之间存在等差关系。

具体来说，第n行的第k个数字等于第n-1行的第k-1个数字加上第k个数字。

2. 幂次规律：杨辉三角形中的数字可以表示为二项式展开的系数。

例如，(a+b)^3展开后的系数就可以在第4行找到。

3. 组合数性质：杨辉三角形中的数字满足组合数的性质，即C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)。

五、杨辉三角形的应用举例1. 求解多项式的幂次展开系数。

2. 计算组合数，如从n个物品中选取k个的组合数。

3. 计算二项式分布概率。

总结：杨辉三角形是一个具有丰富性质和规律的数学图形，它不仅可以用于解决一些数学问题，还可以应用于组合数学、概率统计等领域。

通过研究杨辉三角形，我们可以深入理解组合数和二项式展开的性质，进一步拓展数学的应用范围。

杨辉三角形是中国古代数学的瑰宝，也是现代数学研究的重要基础。

我国南宋数学家杨辉三角形解释我国南宋数学家杨辉，撰写的《杨辉算法》。

它是现存世界上最早的关于两个三角形面积公式的详细证明。

因为其成果丰富多彩，这本著作也被称为“中国剩余定理的先声”。

《杨辉算法》中第一道题目是解两点间的线段最短问题。

其大意是：在直角坐标系内画两条互相垂直的射线AB， AC，使A、 B、 C 三点成等边三角形。

在a=5时，若AB= 5，求出AP的长。

《杨辉算法》没有就此展开论述，只是将题目中的条件用几何语言写在题目旁边。

读者虽然知道题目中给出的射线AB、 AC都可以将三角形ABC面积分割成两个部分： AB=5， AC=10，但是不知道怎样才能把三角形面积两部分之和，恰好等于15。

在《杨辉算法》中，作者首先假设斜边BD为某种实际意义上的直角三角形面积，即将AB、 AC视为相似图形，设斜边BD为d=AB/2， BC/2，而且设所求的线段为x，由斜边BD两边分别相等得到x=5，显然AP=5，从而把全等三角形转化为等腰三角形，面积等于15，求得三角形ABC的面积为15×10/2=150（平方厘米）。

然后又通过面积法的基本性质得到平行四边形的底和高的比为1： 5，把已知条件作如下变换：当A=5， B=10时，得到图形为矩形，然后通过计算得到面积为5×1×5=25（平方厘米）。

最后通过换底、换高的方法得到三角形面积为150×1×1=25（平方厘米）。

该书主要阐述了一些典型例题的证明过程及注意事项。

例如，图形作梯形，为计算其面积，作变换将梯形变为菱形，按照全等三角形来处理，又如通过构造直角三角形求出等腰三角形的面积，再将等腰三角形转化为两个等边三角形。

正弦、余弦值的计算都利用了勾股定理。

由于证明过程十分严谨，可以说代表了宋代我国解析几何的较高水平。

作者的严谨的治学态度和惊人的才华，为世人所折服，世人认为这本书是对“中国剩余定理”的预告，书中对各种问题的叙述，一般只列出公式，不作证明。

浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。

关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。

在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。

随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。

1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。

后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。

假设y=11n当n=0时： y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时：y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时： 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。

如下图：1 (110) 1 1 (111)1 2 1 (112)1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 (114)1 5 10 10 5 1 (115)1 6 15 20 15 6 1 (116) ……其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。

杨辉三角形的规律总结杨辉三角是一种数学图形，由中国古代数学家杨辉在13世纪发明。

它是一种规律的图形，其中每个数字都是由它上方两个数字相加得到的。

杨辉三角的规律非常有趣，可以用于许多数学问题的解决。

本文将对杨辉三角的规律进行总结和分析。

一、杨辉三角的构造杨辉三角的构造非常简单。

首先，我们先在第一行写上数字1，然后在第二行写上两个数字1，这两个数字分别位于第二行的两端。

接下来，我们依次在下一行的两端写上数字1，然后在中间的位置填写上方两个数字之和。

如此反复，直到我们得到所需的行数为止。

下面是一个6行的杨辉三角的示例：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1二、杨辉三角的规律1. 每一行的数字之和都是2的n次方，其中n为行数。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字和为2的3次方，即8；第五行的数字和为2的4次方，即16。

2. 每一行的中间数字都是组合数C(n,k)，其中n为行数，k为该数字所在的位置。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的中间数字3是C(4,2)；第五行的中间数字10是C(5,2)。

3. 每一行的数字都是对称的。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字是1 3 3 1，可以看出它是对称的。

4. 每一行的数字都是上一行的相邻两个数字之和。

例如，在上面的杨辉三角中，第四行的数字是1 3 3 1，可以看出每个数字都是它上方两个数字之和。

5. 杨辉三角可以用于二项式定理的展开。

二项式定理是指对于任意实数a和b以及正整数n，有(a+b)的n 次方等于a的n次方加上n乘以a的(n-1)次方乘以b再加上n(n-1)除以2乘以a的(n-2)次方乘以b的平方再加上...直到最后一项nb 的n次方。

这个定理可以用杨辉三角来证明。

例如，我们想要展开(a+b)的4次方，可以用杨辉三角中的第五行来展开：(a+b)的4次方=1a的4次方+4a的3次方b+6a的2次方b的平方+4ab的3次方+1b的4次方。

杨辉三角形,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

n次的二项式系数对应杨辉三角形的n + 1行。

杨辉三角以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。

第n行的数字个数为n个.
第n行的第k个数字为组合数.
第n行数字和为2n −1.
除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和（也就是说,第n行第k个数字等于第n - 1行的第k −1个数字与第k个数字的和）。

1、杨辉三角左右两侧的数字都是1，而里面的数字等于它肩上的两数之和。

2、第n行的数所组成的数字为11n-1。

3、第n行的数字之和是2n-1。

4、每一斜线上的数字之和等于拐角处的数字。

5、每一斜行的数字相加，组成一个斐波那契数列。

6、每一行的数字分别是（a+b）n这一多项式展开后每一项的系数。

7、杨辉三角中的每一个数字都是组合数。

主要特征：
（1）具有对称性；
（2）每一行的首、尾都是1；
（3）中间各数都等于它们两肩上的数的和。

杨辉三角的规律是每行数字的第一列和最后一列的数字都是1，从第三行开始，除去第一列和最后一列都为数字1以外，其余每列的数字都等于它上方两个数字之和。

从规律中我们可以看出杨辉三角形是对称的，它是二项式系数在三角形中的一种几何排列。

探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。

2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。

通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。

同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。

对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。

而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。

学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。

通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。

鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。

3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。

结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。

2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。

3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。

4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。

杨辉的数学故事仔细观察下面的三角形，我们就会发现：位于两腰上的数字均是1，其余数字则等于它上方相邻两数之和。

仔细观察还会发现：最外层的数字始终是1；每行数字左右对称，由1 开始逐渐变大；第n 行的数字有n 项……上图就是杨辉三角，中国古代数学家在数学的许多重要领域中处于遥遥领先的地位，而杨辉三角的发现就是十分精彩的一页。

根据下图，还能发现杨辉三角的其他秘密呢！上面的规律是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，这一规律到了中学会学习。

可能同学们不禁要问：杨辉，何许人也？杨辉是中国古代南宋时期的数学家和数学教育家。

他担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。

除了杨辉三角，他还是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的“习算纲目”是中国数学教育史上的重要文献。

小时候的杨辉非常好学，尤其爱好数学。

但是当时有关数学的书籍很少，所以他只能零零散散地收集一些民间传播的数学题来练习，同样的一道数学题他能想出很多种解题方法。

有一次，杨辉听村里的小伙伴们说一百多里外有一位老秀才，不仅算学很厉害，家里还收藏了很多像《九章算术》这样的古代数学名著。

于是，他前去拜访老秀才。

老秀才出了一道题考杨辉：“直田积八百六十四步，只云阔不及长十二步，问长阔共几何？”意思是：长方形面积是864 平方步，已知它的宽比长少12 步，问长和宽的和是多少步？“孩子，你回去慢慢算吧，等你算出来了再来找我。

”说完老秀才往椅子上一靠，闭上眼睛，心里暗笑：“这下这个毛头小子总没话讲了吧！”其实，这道题可一点儿都不简单，要想解开这道题，还要用到二次方程，所以就算是学过一点儿算学的人，也至少要一两年才能解出来。

但没过多久，杨辉就说：“老先生，我算出来了，长阔共60 步。

”老秀才惊讶地从椅子上跳起来，一把夺过杨辉手中的草稿纸，瞪大眼睛看起来，啧啧称赞道：“神算，真是神算呀！我收下你这个徒弟了!”就这样，杨辉成了老秀才的学生。

“杨辉三角”中的一些秘密（学案）
n 展开式的二项式系数
1
2
3
4
5
6
（局部观察）
（1）同行数字有什么规律？对应组合数的哪个性质？
（2）相邻两行数字之间有什么规律？对应组合数的哪个性质？
（横着观察）（3）每行数字之和存在什么规律？
（4）每行数字与“11”存在什么关系？（斜着观察）（5）上图中每一斜行的每个数字有什么特点？（提示：常数1、自然数、三角形数、四面体数）（6）从数列的角度观察每一斜行，有什么规律？（提示：高阶等差数列）题（7）图 1 7 21 35 35 21 7 1题（8）图（7）计算上图所示斜行和，得到一个怎样的数列？（提示：斐波那契数列）（8）动动手：像图中这样，把杨辉三角中的所有偶数和奇数分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？n b a )(。

1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密一：引经据典，步入新课师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。

“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。

由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。

可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。

什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。

今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。

当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。

所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。

大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。

而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。

那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。

二：复习回顾，总结已知师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。

那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。

学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。

贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。

用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。

从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：这对我们今天的研究非常重要。

师：还有吗？学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。

师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。

还有吗？学生1：没了。

师：那我请你的同桌来补充一下。