数学认知结构
认知心理学家认为，不是环境引起个体的行为反应，而是个体作用于环境。环境只是提供潜在的刺激，而这些刺激能否受到注意或被加工，则取决于个体内部的心理结构。因此原有认知结构始终是影响当前学习的最重要因素。
关于什么是认知结构这个问题，通常有以下几种观点：
皮亚杰认为，认知结构就是被内化的动作。它最初来源于先天的遗传。如婴儿生下来就有吸吮图式。
奥苏伯尔认为所谓认知结构，就是学生头脑里的知识结构。广义地说，它是某一学习者的观念的全部内容和组织；狭义地说，它是学习者在某一特殊知识领域内的观念的内容和组织。
从现代信息加工心理学的广义知识观来看，所谓认知结构就是贮存于个人长时记忆系统内的陈述性知识和程序性知识（包括自动化技能和受意识控制的策略）的实质性内容和它们彼此之间的联系。
著名的瑞士心理学家、哲学家与教育家皮亚杰进一步发展了“认知主义”，通过对儿童从出生到成人的发展过程的观察，记录其智力发展的特征，从儿童的内在过程来分析儿童的行为，并提出其认知结构的假设模型。在 50 年代提出了“建构主义”，到 70 年代末“建构主义”思想得到重视并有了迅猛发展。认知建构主义自 1987 年正式出现于国际数学教育会议以来，它在国际数学教育界受到了广泛的重视，并被大多数数学教育者所接受。认知建构观对今天数学教育改革有着重要的影响，尤其是把握数学认知结构及其形成与发展的规律，对于数学教育的理论与实践都有重要价值。
一、数学认知结构的概念
学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程，在这个过程中小学生在老师的指导下把课程教材知识结构转化成自己的数学认知结构。
“所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，在学生头脑中形成的一个具有内部规律的整体结构”。
简单地讲，数学认知结构就是数学知识结构与学生心理结构相互作用的产物，其内容包括数学知识、相关的数学活动经验，和这些数学知识、经验在头脑
里的组织方式与特征。
如有关分数的意义及四则运算的认知结构，一方面要反映分数的概念和性质、分数四则运算的意义及运算法则等知识内容，另一方面更要体现学生在头脑里对这些知识内容的接收、编码、储存、提取等一系列活动的组织方式。
建构主义认为，数学新知识的学习就是典型的建构学习的过程；数学学习的实质在于主体通过对客体的思维构造，在心理上建构客体的意义。“建构”同时是建立和构造关于新知识认识结构的过程。“建立”一般是指从无到有的兴建；“构造”则是指对已有的材料、结构、框架加以调整、整合或者重组。主体对新知识的学习，同时包括建立和构造两个方面，既要建立对新知识的理解，将新知识与已有的适当知识建立联系，又要将新知识与原有的认知结构相互结合，通过纳入、重组和改造，构成新的认知结构。
学生的数学认知结构是在后天的学习活动中逐步形成和发展起来的，由于不同主体对知识内容的理解和组织方式不同，所以数学认知结构是有个体差异的。
数学学习是一个复杂的心理过程，它包括了认知过程和个性心理特征在内的心理活动。在这一特殊的心理过程中，表现出两类心理因素：一类是与认知过程直接有关的智力因素；另一类是与认知过程的起动、维持、调节有关的非智力因素。智力因素直接起着加工与处理信息的作用，非智力因素却能起到推动信息的加工和处理，加快新知识和原数学认知结构相互关联的作用。因此，在一个完整的认知结构里，应该有智力因素和非智力因素，不兼顾这两者的关系，就不能深入地探索认知结构的整体性，也谈不上建立和完善学生的认知结构。
二、数学认知结构与数学知识结构的区别、联系
数学认知结构和数学知识结构是两个不同的概念，它们之间既有密切的内在联系，又在严格的区别。
两者的联系：主要反映为学生的数学认知结构是由数学科学中的数学知识结构转化而来的，数学知识结构是数学认知结构赖以形成的物质基础和客观依据。
两者的区别主要表现在以下几个方面：
l ．概念的内涵不同。
数学知识结构是由数学概念和命题构成的数学知识体系，它以最简约、最概括的方式反映了人类对世界数量关系和空间形式的认识成果，是科学真理的客观
反映。
而数学认知结构是一种经过学生主观改造的数学知识结构，它是数学知识结构与儿童心理结构高度融合的结果，其内容既反映了数学知识的客观性，又体现了认知主体的主观性。
2 ．信息的表达方式不同。
数学知识结构和数学认知结构都是表达信息的，但两者在信息表达的方式上却有着明显的区别。
数学科学中的数学知识结构是用文字和符号详尽表达有关世界数量关系和空间形式认识成果的信息的。它表现为一个逻辑严密、结构相对完善的数学知识体系。在这个体系内部知识的逻辑起点和知识表达形式以及前后内容之门的联系。在其载体——数学书中都有明确而具体的表述。
而学生头脑里的数学认知结构则主要是以语义的方式概括地、简约地表达信息的，并且通常以直觉的方式将信息储存在头脑里。
这种表达方式表明，“认知结构已经将知识表征和个人智力活动方式融为一体”了。
3 ．结构的构造方式不同。
数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性，作为小学课程内容的数学虽然经过了教材编写者的教学法处理，但其内容前后内容连贯有序，整个结构相对完善。
而学生头脑里的数学认知结构，内容之间并无严格的逻辑顺序，它既不是一种条理清楚的线性结构，也不是一种排列有序的网状结构。数学知识结构一旦被学生内化为认知结构以后，其内容之间的逻辑顺序和层次性往往就被淡化了，不同内容之间表现出一种相互融合的态势，其内部结构也不像数学教材知识结构那样清晰可辨。
4 ．结构的完备性不同。
①数学知识结构在内容上都是相对系统的、完备的、无缺口的，结构本身就涵盖了它的全部组成内容。
如“分数的意义和性质”一知识结构，其内容就包括了分数的意义和单位，分数与除法的关系、分数的分类、假分数与带分数和整数的互化、分数的基本性质及约分和通分等，这些内容构成了一个完整的、无缺口的单元知识结构。
