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黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，μ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。
解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）μ2 n =⎛⎜⎝∑μjnj⎞⎛⎟⎜⎠⎝∑μj*nj⎞⎟⎠= ∑μj2nj+ ∑ μ μnj*nj′j j′由于μ μnj⋅nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项μ相比是一小量，可以忽略不计。
所以2= ∑ μ 2njn j由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为1 L T ⎡1 ⎛dμ⎞2 ⎤ρw a2 T 1= ∫ ∫dx0⎢ρnj⎥= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T⎜⎟dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ⎢ 2 ⎝dt⎠⎥2T0 j j j j 4 j j其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2μKT因此将此式代入（2）式有nj2 = ρ ωL 2 jμ所以每个原子的平均位移为2== ∑ μ 2= ∑KT= KT∑1n njρ ωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论 N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为 a），其 2N 格波解，当 M=m 时与一维单原子链的结果一一对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所示，质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原子位于2n，2n+2，2n+4 ……牛顿运动方程：..mμ2n= −β μ(22n−μ2n+1 −μ2n−1)..Mμ2n+1 = −β μ(22n+1 −μ2n+2 −μ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独立的方程i na q方程解的形式：iμ2n=Ae[ωt−(2 ) ] μ2n+1=Be[ω−(2n+1)aq]na qμ=将μ2n=Ae[ωt−(2 ) ]2n+1 Be i[ωt−(2n+1) aq]代回到运动方程得到若A、B 有非零的解，系数行列式满足：两种不同的格波的色散关系：——第一布里渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第一布里渊区允许 q 的数目黄昆 固体物理 习题解答对应一个 q 有两支格波：一支声学波和一支光学波。
一维单原子链,原子间距为a,但力常数交错一维单原子链是由一排原子组成的链状结构，原子间的距离为a。
在这个链中，每个原子之间存在一种交错的力常数关系。
本文将探讨这种交错力常数的特性及其在物理学中的应用。
我们来解释什么是力常数。
力常数是描述物体在受力时的刚度或弹性的物理量。
在一维单原子链中，原子之间的力常数交错意味着相邻原子之间的刚度或弹性不完全相同。
原子链中的力常数交错可以由两个方面来实现：原子的质量和原子之间的键强度。
首先，原子的质量会影响其惯性和受力后的振动频率。
较重的原子会具有较高的力常数，而较轻的原子则会具有较低的力常数。
其次，原子之间的键强度也会影响力常数。
键强度较高的原子之间会具有较高的力常数，而键强度较低的原子之间则会具有较低的力常数。
在物理学中，一维单原子链的力常数交错现象可以应用于多个领域。
首先，它在固体力学中起着重要作用。
通过研究力常数交错的原子链，我们可以了解固体的弹性特性和变形行为。
这对于材料工程师来说是非常重要的，因为他们可以根据这些特性来设计具有特定弹性和刚度的材料。
力常数交错的原子链在纳米科学和纳米技术中也有广泛的应用。
纳米材料是由纳米尺度的原子或分子构成的材料。
通过控制一维单原子链中的力常数交错，科学家可以设计出具有特定性质和功能的纳米材料，如纳米传感器、纳米机器人等。
这些纳米材料在医学、环境监测和信息技术等领域有着广泛的应用前景。
力常数交错的原子链还可以用于研究声子晶体。
声子晶体是一种具有特殊声学性质的材料，其声子频率的禁带结构可以通过调节原子链中的力常数交错来实现。
这种材料在声学隔离、声波传感和声子学器件等领域有着重要的应用潜力。
一维单原子链中的力常数交错是一种重要的物理现象，具有广泛的应用前景。
通过研究和控制这种交错，我们可以深入了解材料的弹性特性和变形行为，并设计出具有特定功能和性质的纳米材料。
此外，力常数交错还可以用于研究声子晶体，为声学隔离和声波传感等领域提供新的解决方案。
一维单原子链推导
一维单原子链是指一维无限长的单原子链，其中原子质量为m，原子间距为a。
热运动使得原子离开平衡位置，假设第n个原子离开平衡位置的位移为μn，它相对于a是一个很小的量，第n个原子到第n+1个原子间相对位移为δ，则：$\delta=μn+1-μn$。
当原子m在平衡位置时，两个原子相互作用势为$V(a)$；相对位移为$\delta$时，两个原子相互作用势为$V(a+\delta)$。
将$V(a+\delta)$在平衡位置用泰勒级数展开，可得：$\cdots(21)(222=+++=aaδaδdrdVaVdrVddrdVaVaVrVδ$。
由于考虑的是微振动，即$\delta$很小，展开式可以近似保留到$\delta^2$项，可得：$10(\cdots)!(\cdots)!2)(\cdots)('\theta'\theta'\theta'\theta'\theta'\approx++++ +++2222\delta\delta\delta$。
只考虑最近邻原子间的相对位移的二次项对系统总势能的贡献，则总势能写为：$\cdots212)(μ221−−=≈∑nnnVμββδ$。
第n个原子所受的力为：$\cdots2(11+−−−−=−≈∂δ∂−=nnnnVfμμμββδβ$，其中β是相邻原子间准弹性力的力常数，它直接由两个原子间的相互作用势能所决定，$a$是两个原子间的平衡间距。
若只考虑最近邻原子间的相互作用，则作用在第n个原子上的力为来自左边弹簧的张力β$(μn-μn-1)$与来自右边弹簧的张力β$(μn+1-μn)$之和。
一维单原子链
一维单原子链，是由单个原子组成的一条直线结构。
这样的结构
具有稳定性和强的原子间作用力，因此一维单原子链在纳米科学领域
中被广泛应用。
一维单原子链的材料种类多样，通常包括金属、半导体和氧化物等。
在制备一维单原子链时，需要使用类似于扫描隧道显微镜等高技
术仪器，将原子逐个逐个地排列在一起，制成精细的结构。
利用一维单原子链，可以制作出具有独特性能的纳米器件。
例如，在光学应用方面，可以通过改变单原子链的排列方式，来控制其吸收、反射和透射等特性，进而实现光学信息存储、光伏电池和量子计算等
方面的研究。
在电子学应用方面，一维单原子链可以用于制作高性能
电子器件，例如纳米电缆、纳米场效应晶体管和纳米传感器等。
此外，一维单原子链的制备也为物理学和化学学科的发展带来了
新的思想和方法。
例如，在材料科学和固体物理学领域，研究人员可
以利用单原子链构建的新型组织结构，来探索材料的独特性能和物理
行为；在化学领域，通过单原子链的构建，可以实现对反应过程的控
制和调节，从而开发新型化学反应催化剂等。
总的来说，一维单原子链的制备和应用具有非常广泛的前景和重
要的意义，对于人类社会的发展和科学技术的进步都将发挥重要的作用。
第三章习题3.1已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个个点引起的位移μnj 为：δj 为任意位相因子。
并已知在较高温度下每个格波的平均能量为kT ，具体计算每个原子的平方平均位移。
)sin(j j j j nj naq t δωαμ++=21)(sin 12=++∫dt q n t Tj j j Tδαω根据=2nj μ22221)(sin jj j j j q n t αδαωα=++解：其中T =2π/ωj 为振动周期，所以：格波的平均动能：∑=nnj m E 221μNm jj 2241ωα=一维单原子链可以认为是经典的简谐运动，因此有：)(cos 21222j j j j nj q n t m δαωωα++=∑平均动能=平均势能= 格波平均能量=kT 2121其中：M =ρL其中振幅222jjNm kT ωα=得：kTN m E j j 214122==ωα所以有：22221jj nj Nm kTωαμ==所以，每个原子的平方平均位移：∑∑∑===222121jjnj nNmkT ωαμμ其中：M =ρL 3.2 讨论讨论N 个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N 个格波解，当M=m 时与一维单原子链结果一一对应。
解：质量为M 的原子位于2n-1，2n+1，2n+3 ……。
质量为m 的原子位于2n ，2n+2，2n+4 ……。
)2()2(2221212121222nn n n n n n n M m μμμβμμμμβμ−−−=−−−=+++−+ 牛顿运动方程体系有N 个原胞，有2N 个独立的方程])12([12])2([2aq n t i n q na t i nBeAe+−+−==ωωμμ方程的解：22(2)(2cos )0(2cos )(2)0m A aq B aq A M B βωβββω⎧−−=⎪⎨−+−=⎪⎩A ,B 有非零解02cos 2cos 2222=−−−−ωβββωβM aqaqm 用户名登录立即注册安全高效便捷扫码登录请使用百度App 扫码登录12222()4{1[1sin ]}()m M mMaq mM m M ωβ+=±−+两种不同的格波的色散关系为：1222212222()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()m M mMaq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ+−+=+−++=−−+对应一个q 有两支格波：一支声学波和一支光学波，总的格波数目为2N。
