§3-2 一维双原子链的晶格振动

(3-42)
其中L1、L2、L3＝0，±1, ±2 · · · · · · ，b1、b2、b3是 倒格子基矢，N1，N2，N3是a1,a2,a3方向的初基原 胞数。
每一组整数（L1,L2,L3 ）对应一个波矢量q。将这 些波矢在倒空间逐点表示出来，它们仍是均匀分 布的。每个点所占的“体积”等于“边长”为(b1/N1)、 （b2/N2）、(b3/N3)的平行六面体的“体积”，它等 于：
V gi 3 2

dS q q
(3-47)
积分已变换到等频率面上了。
考虑到三维晶体中共有3S支格波，则格 波态密度函数为
V g ＝ g i ＝ 3 i 1 i 1 2
3s
3s
q
q i
dS
(3-48)
作业：1，2，3 思考题： 1.二维单原子阵列有几支声学支 格波？ 2. 声学格波是否就是声波？
1 2 A＝ 2 m 1 2
12
qa (3-28)
21 2 0＝ m
12
(3-29)
由此可知，在长波情况下，声学支格波具有声波的 线性色散关系：ωA＝υ0 q, 而且它的频率很低，可 以用超声波来激发，故得此名。光学支格波在q＝0 的附近ω0几乎与q无关，在q＝0处有极大值。

声学支格波仍描述原胞内原子的同相整体运动 光学支格波仍描述原胞内原子的反相运动。
三 、三维晶格振动
设实际三维晶体沿基矢 a1、a2、a3 方向的初基 原 胞 数 分 别 为 N1、N2、N3， 即 晶 体 由 N＝ N1· N2 · N3初基原胞组成，每个初基原胞内含s 个原子。 1 .原子振动方向 一维情况下，波矢 q 和原子振动方向相同， 所以只有纵波。 三维情况下，有纵波也有横波。
2 1 A＝ m
12
(3-33)
即在第一布里渊区边界上，存在格波频率“间隙” 在第一布里渊区边界上，由式（3－30）
A2 1e 2 iqd e iqa A 1e 2 1
iqa
可得 对光学支 A2＝－A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈－A1 对声学支 A2＝A1 e iqd 当d＜＜a , A2≈A1 由于q→π/a，相邻原胞运动的相位差 qa→π。
设U1（na）表示平衡位置为na的A原子 的绝对位移，U2（na）表示平衡位置 为（na+d）的B原子的绝对位移。 仍采用简谐近似和近作用近似，则 运动方程为

1 na）＝－β2[U1(na)－U2(na)]－β1[U1(na)－U2（(n-1）a）] mU（

m U 2(na)＝－β2 [U2(na)－U1(na) ]－β1[U2(na)－U1((n+1)a)] (3-20)
2 / a N 2 / Na
注意:

这里的N为一维晶格的初基原胞数。每个q对 应两个频率（ωA和ω0），则共有2N组ω,q）， 所以一维双原子链有2N个格波，或说有2N个 简正模式。晶体中任何一原子的运动，为这 2N个格波所确定的谐振动的线性叠加。这时， 晶体的总自由度数也为2N，推广的结论：
3 .格波个数
三维晶格：3S支格波，一个q对应3S个ω值，即对应 3S个格波，允许的q取值数仍为初基原胞数N，则共 有3NS组（ωi,q）数组，晶体中有3NS个格波。
格波数＝晶格的总自由度数＝3NS
――――晶格振动理论中的普适结论。 晶体中任何一原子的实际运动是这 3NS 个格波所确 定的谐振动的线性叠加。
2 .格波支数
原则上讲，每支格波都描述了晶格中原子振 动的一类运动形式。初基原胞有多少个自由 度，晶格原子振动就有多少种可能的运动形 式，就需要多少支格波来描述。 一维单原子链：仅存在一支格波，且为声学 格波。 一维双原子链：存在两支格波―――声学波 和光学波。
定性地说，初基原胞质心的运动主要由 声学格波代表，初基原胞内两原子的 相对运动主要由光学格波代表 一维 S 原子链：存在 S 支格波―――其 中一支声学波，S－1支光学波。
允许的波矢数＝晶体的初基原胞数 格波总数＝晶体振动的总自由度数
以后可以看到，此结论对三维晶体也是适用的。
(二) .长波极限
当|q∣→0, λ→∞时, 相邻原胞间的振动相位差qa→0。 利用 cosqa ≈1 －（1/2）（qa）2 （1－x）1/2 ≈1－(x/2) （x为小量） 式（3－23）中 ωA2=（β1＋β2）/m- (β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可简化为
三维晶体：原胞的总自由度数为3S,则 晶体中原子振动可能存在的运动形式 就有3S种，用3S支格波来描述。其中 在三维空间定性地描述原胞质心运动 的格波应有3支，也就是说应有3支声 学格波，其余3（S-1）支则为光学格 波。例如硅晶体属于金刚石结构，每 个初基原胞含两个原子，即S=2 , 它有 3支声学格波和3支光学格波。
b1 b2 b3 N N1 N N 3 2

（3－43）
式中Ω*是倒格子初基原胞的“体积”，也就是第一 布里渊区的“体积”，而Ω*＝（2π）3/ Ω ，所以 每个波矢q在倒空间所占的“体积”为：
2 2 ＝ ＝ N N V
* 3
(3-30)自推
正号对应声学支，负号对应光学支。当q→0时 A 2＝A 1 声学支 A2＝－A1 光学支 在长波极限情况下，

声学格波描写原胞内原子的同相运动， 光学格波描写原胞内原子的反相运动。
两支格波最重要的差别：
分别描述了原子不同的运动状态。
参见FD动画
45
（三）. q趋近第一布里渊区边界

该方程组有2N个方程，应有2N个解， 此时该晶体的总自由度数也为2N。

与一维单原子链比较，这里的近似条件相同，求解方 法类似，而前者有式（3－8）解的形式，它启发我们 作类似的试探解： U1(na)＝A1ei(qna－ωt)
U2(na)＝A2ei[q(na+d)－ωt] (3-21) 将其代入方程（3－20），并消去公因子ei(qna-ωt) 得到
[mω2－（β1＋β2）]A1＋（β1e-iqa＋β2）eiqdA2＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqdA1＋[mω2－（β1＋β2）]A2＝0
（3－22）
注意:该代数方程组与n无关。 A1、A2有非零 解的条件是其系数行列式为零：
mω2 －(β1＋β2) (β1e-iqa＋β2）eiqd ＝0 （β1eiqa＋β2）e-iqd mω2－(β1＋β2)
V g i d＝ 3 2

d d
q
(3-46)
其中dq为倒空间体积元。
其中dSω是等频率面上的面元，dqn是dq 在等频率面法线方向上的分量。因此对于 一支格波
V g i d 3 2

ds
dS dqn
由梯度的意义，d可表示成 dω=∣▽qω(q)∣dqn
§3－2 一维双原子链的晶格振动
一、模型与色散关系
设一维晶体由N个初基原胞组成，每个初基 原胞有二个质量相等的原子，分别用A与B表 示，每个原子和它的左右近邻间距不等，弹 性系数也不等。晶格常数为a 。原子A与其右 侧B原子距离为d，弹性系数为β2 ，与其左侧 B原子的距离为（a-d）弹性系数为β1，为确定 起见，并设d<（a-d），β1<β2。
它具有q=0时，ωA ＝0的特征。 而光学支（Optical branch）格波 它具有q＝0, ω0≠0的特征。
ωO2 =（β1＋β2）/m +(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
二、关于声学波和光学波的讨论
（一）格波数 与一维单原子链类似，可得： －π/a ＜q≤π/a (3-24) q＝2πm/Na m：整数 (3-25) 在第一布里渊区内，可取的q点数为
解得
ω2 = （β1＋β2）/m± (β12＋β22＋
2β1β2cosqa)1/2 /m （3－23）
即有两支ω～q 的色散关系。 当取“－”号时，ω记为ωA，称为声学支 取“＋”号时，ω记为ω0，称为光学支
声学支（Acousticbranch）
ωA2=（β1＋β2）/m -(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m
4．波矢取值
一维：－π/a ＜q≤π/a
在第一布里渊区内, q点的分布均匀, 每个q 点的“体
积”为2π／(Νa)＝b/N; 在第一布里渊区内q可取N个值；
三维：q仍在第一布里渊区内取值，共有N个值（初基原
胞数）
2 q m Na
m为整数
L3 L1 L2 q＝ b1 b2 b3 N1 N2 N3
3
(3-44)
其中V=NΩ为晶体体积。
在倒空间，波矢q的密度为
N N V ＝ ＝ 3 3 * 2 2
(3-45)
（四）格波的态密度函数
格波的态密度函数 g()，又称为模式密度，其 定义为 : 对给定体积的样品，在 附近
单位频率间隔内的格波总数。
对于第 i 支格波，在频率 到 ＋ d 之间的格 波数，就等于在q空间频率为到＋d这两个 等频率面之间所包含的q点数，即
入射红外光波与离子晶体中长光学波的共振 能够引起对入射波的强烈吸收，这是红外光 谱学中一个重要的效应。因为长光学波的这 种特点，所以称ω0 所对应的格波为光学波。 现在来考察一下两种原子的振幅比。把 式（3－23）代入（3－22）可得
A2 1e iqa 2 iqd e iqa A e 2 1 1
当q→π/a时， 因 β2 >β1， 由式（3－23） ωO2 =（β1＋β2）/m+(β12＋β22＋2β1β2cosqa)1/2 /m 可得对于光学支格波
2 2 0＝ m
12