第6讲函数2297205094
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函数概念及表示法教案一、引言函数是数学中的一个重要概念,也是学习和应用数学的基础。
本教案将介绍函数的概念及相关表示法,以帮助学生深入理解和掌握函数的基本原理。
二、函数的概念函数是一个特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。
简而言之,函数就是一个输入输出的规则。
示例1:考虑一个函数f(x),它将自然数集合N的每个元素x映射到其平方,即f(x) = x^2。
例如,当x = 2时,f(2) = 4。
这里,N为输入集合,f(x)为输出集合。
三、函数的表示法函数有多种表示方法,以下是常见的几种表示法:1. 集合表示法函数可以使用集合表示法表示为 {(x, f(x)) | x ∈ N},表示函数包括了所有输入与输出的有序对。
2. 公式表示法函数可以使用公式表示法表示为 f(x) = x^2,通过一个明确的公式表达函数的输入与输出之间的关系。
3. 图像表示法函数可以使用图像表示法,通过绘制函数的图像来显示输入与输出之间的关系。
例如,绘制函数f(x) = x^2的平面直角坐标系图像。
示例2:考虑函数f(x) = x^2,它可以表示为以下三种方式:- 集合表示法:{(x, x^2) | x ∈ N}- 公式表示法:f(x) = x^2- 图像表示法:绘制平面直角坐标系图像,横轴为x,纵轴为f(x)四、函数的性质函数具有以下几个重要的性质:1. 定义域:函数的定义域是指所有可能的输入值的集合。
对于函数f(x) = x^2,定义域可以是实数集R。
2. 值域:函数的值域是函数在定义域中所有可能的输出值的集合。
对于函数f(x) = x^2,值域可以是非负实数集R≥0。
3. 单调性:函数的单调性描述了函数在定义域内的增减关系。
例如,函数f(x) = x^2在定义域上是非递减的。
4. 奇偶性:函数的奇偶性描述了函数在定义域内的对称性。
例如,函数f(x) = x^2是偶函数。
五、函数的应用函数在数学和科学中有广泛的应用,例如:1. 函数在代数和几何中的应用:函数在解方程、求导数、计算曲线的性质等方面起着重要作用。
本源探究微课程—函数概念,对应是本质南昌本源探究微课组随着数学的不断发展,函数概念历史演变经历了四个主要阶段:(1)函数概念萌芽:变量作为数学名词是约翰 贝努力首先应用的,函数这一名词是德国哲学家兼数学家莱布尼兹首先采用的;(2)函数概念-变量依赖说:1748年,欧拉在约翰 贝努力的基础上首次用“解析式”来定义函数,欧拉二次定义函数,第二个定义与现代函数定义很接近,在函数的表达上不拘于用解析式来表达,破除了用公式表达函数的局限性,他认为函数不一定用公式来表达,他曾把画在坐标系上的曲线也叫函数.(3)函数概念-变量对应说:1823年,柯西的函数定义把函数概念与、连续、解析式等纠缠不清的关系给予澄清,也避免了“变化”一词,但是对于函数概念的本质—对应思想强调不够;此后黎曼和狄里克雷认识到这一点,给出了较精确的定义,彻底抛弃了解析式的束缚,特别强调和突出对应思想,使之具有更加丰富的内涵,被公认为函数的现代定义.(4)函数概念-集合对应说:20世纪初,德国数学家康托提出的集合论被世人广泛接受后,用集合对应关系来表示函数概念渐渐地占据了数学家的思维,通过集合论的概念把函数的对应关系、定义域、值域进一步具体化,函数便明确地定义为集合的对应关系,再进一步发展为现代函数定义的集合关系说.【例1】观察以下各小问中的两组数据,选用代数式、图表或图象描述两组变量的关系.(1)设弹簧伸长量为x ,作用于弹簧上拉力为y ,某弹簧的伸长量为1、1.5、2、2.5、3、3.5所对应的拉力分别为2、3、4、5、6、7;(2)设年份为x ,平均身高为y ,小明同学从2015年至2020年这六年的平均身高分别是161、163、168、171、172、173.(3)设学号为x ,分数为y ,学号为1-6 的学生在某次测验的成绩分别是82、85、75、66、85、94;仔细观察可以看出,每一小问中两组数据有一种对应关系,把两组数据分别看成两个集合,也即是两个集合的元素之间有一种对应关系.【解析】(1)弹簧伸长量x 构成集合{1,1.5,2,2.5,3,3.5}A ,弹簧拉力y 的构成集合{2,3,4,5,6,7}B ,两组数据中每一个伸长量x 唯一对应一个拉力y ,对应关系为2y x ,从图象分析,是一条直线,是一一对应;(2)设年份为x 构成集合{2015,2016,2017,2018,2019,2020}A ,小明同学这六年的平均身高y 的构成集合{161,163,168,171,172,173}B ,对应关系是找每一年份的身高,无法用代数式表示对应关系,可以用表格来表示这种对应关系:,也可以用图象表示其中对应关系,从图象分析,是一系列离散的点集,仍是一一对应关系;(3)设学号x 构成集合{1,2,3,4,5,6}A ,某测验的成绩分数y 的构成集合{82,85,75,66,85,94}B ,对应关系是找学号对应学生的分数,用不同学号的学生有考分一样的,无法用代数式表示对应关系,可以用图表来表示这种对应关系:也可以用表格或图象表示其中对应关系,从图象分析,也是些离散点集,只是有二对一的对应关系;所举三个例子可以看出,抽象出两个数集中元素之间有某种对应关系,按照规则,前一集合中的每一个元素在后一集合中都有唯一的元素与之对应(一对一或多对一),对应关系可以是语言文字描述解析式、图象、表格或等。
函数的定义(名词解释)
函数(function),数学术语。
其定义通常分为传统定义和近代定义,函数的两个定义本质是相同的,只是叙述概念的出发点不同,传统定义是从运动变化的观点出发,而近代定义是从集合、映射的观点出发。
函数的近代定义是给定一个数集A,假设其中的元素为x,对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B,假设B中的元素为y,则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示,函数概念含有三个要素:定义域A、值域B和对应法则f。
其中核心是对应法则f,它是函数关系的本质特征。
函数,最早由中国清朝数学家李善兰翻译,出于其著作《代数学》。
之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,或者说一个量中包含另一个量。
2019-2020年高三数学《第06课函数的值域与最值》基础教案教学目标:教学方法:教学过程:一、基础自测1.已知A={221||1x y y B x x x ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭,则AB =____________2.下列命题中假命题共_______________个(1)的值域为 (2)的值域为 (3)的值域为 (4)的值域为3.函数的值域为____________4.函数()()32231212,1y x x x x =+-+∈-的值域为____________5.函数的值域为____________6.函数的定义域是,则其值域为____________7.若x <0,则函数f (x )=的最小值为 8.若函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a xax x f a 的值域为R ,则实数a 的取值范围为____________ 二、例题讲解例1.求下列函数的值域:(1) (2)(3) (4)y={()()()21102210xx x x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭->例2.(1)已知函数f(x)=4x 2-4ax+a 2-2a+2在区间[0,2]上有最小值是3,求a 的值[ (2)求函数(为常数),的值域.例3.已知函数f(x)=,x ∈[1,+∞(1)当a=时,求函数f(x)的最小值.(2)若对任意x ∈[1,+∞,f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围..例4.某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x -x 2(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位:百台) (1)把利润表示为年产量的函数;(2)年产量多少时,企业所得的利润最大? (3)年产量多少时,企业才不亏本?三、课后作业班级 姓名 学号 等第1.对任意的实数x 1,x 2,min{x 1,x 2}表示中较小的那个数,若f (x )=2-x 2,g (x )=x ,则min{f (x ),g (x )}的最大值为____________ 2.[]234,,4,y x x m m ⎡⎤=----⎢⎥⎣⎦25若函数的定义域为0,值域为则的取值范围是4 __________3.()()()()120 y f x a x x x x a ==--<二次函数的最大值是____________ 4.函数的值域为____________5.若函数的定义域为,则函数的值域为____________ 6.函数的值域为____________7.设,函数()f x =-的值域为____________ 8.若函数的值域是,则函数的值域是____________9.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为____________10.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+,,若对于任一实数,与 少有一个为正数,则实数的取值范围是____________1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10.11.求下列函数的定义域与值域.(1); (2)]5,1=xxxf; (3).-x∈,2(+2)(2-12.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式.(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.13.已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1](1)若f(x)的定义域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围;(2)若f(x)的值域为(-∞,+∞),求实数a的取值范围.14.函数f(x)=x2+ax+3●当时,f(x)a恒成立.求a的取值范值;●当[-2,2]时, f(x)a恒成立.求a的取值范值;2019-2020年高三数学《第06课数列》基础教案一、课前预习1、已知数列的前项和,是等比数列的充要条件是2、已知等差数列的公差为,且成等比数列,则等于3、在等差数列中,,表示数列的前项和,则4、是等差数列的前项和,若,,则5、在由正数组成的等比数列中,则6、等差数列的公差不为零,若成等比数列,则=错因分析:7、设等差数列的前n 项和为. 若,且,则正整数8、已知等差数列的首项,设为的前项和,且,则当取得最大值时, 9、已知等比数列满足,且,则当时,2123221log log log n a a a -+++=10、 等差数列的前n 项和为,已知,,则11、已知576*,)}({S S S n N n a d S n n >>∈且项和的前的等差数列是公差为,则下列四个命题:①;②;③;④中为真命题的序号为12、在实数数列中,已知,,,…,,则的最大值为13、设,,…,是各项不为零的()项等差数列,且公差.若将此数列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对所组成的集合为 14、设,,,,则数列的通项公式= 二、例题例1、已知数列是公差大于0的等差数列,,是方程的两根,数列的前项和为,且(1)求数列,的通项公式; (2)记=,求数列的前项和. 例2、已知点(1,)是函数且)的图象上一点,等比数列的前项和为,数列的首项为,且前项和满足-=+()(1)求数列和的通项公式;(2)若数列{前项和为,问>的最小正整数是多少?例3、已知数列和满足: ,124,(1)(321),3n n n n n a a n b a n +=+-=--+ 其中为实数,为正整数.(Ⅰ)对任意实数,证明数列不是等比数列; (Ⅱ)对于给定的实数,试求数列的前项和;(Ⅲ)设,是否存在实数,使得对任意正整数,都有成立? 若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.例4、在直角坐标平面上有一点列111222(,),(,),(,)n n n P x y P x y P x y ,对一切正整数n ,点位于函数的图象上,且的横坐标构成以为首项,为公差的等差数列.⑴求点的坐标;⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴,第条抛物线 的顶点为,且过点,设与抛物线相切于的直线斜率为,求:;⑶设,,等差数列{}的任一项,其中是中的最大数,,求{}的通项公式。
函数的概念及其表示》教案完美版函数的概念及其表示》教案第一课时:1.2.1 函数的概念(一)教学要求:通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的要素;能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。
教学重点、难点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数。
教学过程:一、复习准备:1.讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系?2.回顾初中函数的定义:在一个变化过程中,有两个变量x 和y,对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。
表示方法有解析法、列表法、图象法。
二、讲授新课:1.教学函数模型思想及函数概念:①给出三个实例:A.一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是h = 130t - 5t²。
B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。
(见书 P16 页图)C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低。
“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。
(见书 P17 页表)②讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着这样的对应关系?三个实例有什么共同点?归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为,对于数集A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f,在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作:f: A → B。
③定义:设 A、B 是非空数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x) 和它对应,那么称f: A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(n),记作:y = f(x),x∈A。