小题练透：第6讲函数的性质

函数的性质与应用综合练习题1. 利用函数的性质解决问题在数学中，函数的性质是我们解决问题的有力工具。

考虑以下综合练习题，通过运用函数性质，我们能更有效地解决问题。

问题一：某物体自由落体的高度h（米）与时间t（秒）之间的关系可以用函数h(t) = 5t^2表示。

求物体从自由落体开始下落3秒后的高度。

解答：根据给定的函数h(t) = 5t^2，我们可以计算出物体下落3秒后的高度。

将t = 3代入函数中，得到h(3) = 5(3^2) = 45。

因此，物体从自由落体开始下落3秒后的高度为45米。

问题二：某公司产品销售量与广告投入之间的关系可以用函数S(x) = 50x + 1000表示，其中x表示广告投入金额（万元），S(x)表示销售量（件）。

如果该公司希望销售量达到5000件，需要投入多少万元的广告费用？解答：根据给定的函数S(x) = 50x + 1000，我们可以计算出需要投入多少万元的广告费用才能使销售量达到5000件。

将S(x) = 5000代入函数中，得到5000 = 50x + 1000。

解这个方程，得到x = (5000 - 1000) / 50 = 80。

因此，该公司需要投入80万元的广告费用才能使销售量达到5000件。

2. 利用函数的应用解决实际问题函数的应用不仅存在于数学领域，还可以帮助我们解决实际问题。

考虑以下综合练习题，通过运用函数的应用，我们能更好地解决实际问题。

问题三：某商品的单价与销售量之间的关系可以用函数P(x) = 100 - 0.01x表示，其中x表示销售量（件），P(x)表示单价（元）。

某商家希望获得最大的销售利润，请问应该销售多少件商品？解答：根据给定的函数P(x) = 100 - 0.01x，我们可以找到使销售利润最大化的销售量。

销售利润可以通过销售量和单价之间的乘积来计算，记为L(x) = x * P(x)。

我们需要找到使L(x)取得最大值的x。

对函数L(x)进行求导，得到L'(x) = P(x) + x * P'(x)。

函数的性质一、题型选讲题型一 、 函数的奇偶性正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（ ） A ．2x - B ．2x - C ．2x --D ．2x例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（ ）A ．-15B ．-7C ．3D ．15例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数()2ln 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是奇函数，则使()1f x <的x 的取值范围为（ ） A ．11,1e e -⎛⎫- ⎪+⎝⎭B ．10,1e e -⎛⎫⎪+⎝⎭C ．1,11e e -⎛⎫⎪+⎝⎭D ．11,(1,)1e e -⎛⎫-⋃+∞ ⎪+⎝⎭例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数()()321f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =题型二、函数的单调性已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数.简称：同增异减.例5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知函数22,1()1,1ax x x f x ax x ⎧+≤=⎨-+>⎩在R 上为单调増函数，则实数a 的取值范围为________．例6、函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间是例7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．题型三、 函数的周期性1、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期2、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =- （2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a = （3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a = （5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =例8、(2019通州、海门、启东期末）已知函数f(x)的周期为4，且当x ∈(0，4]时，f(x)＝⎩⎨⎧cos πx 2，0<x≤2，log 2⎝⎛⎭⎫x －32，2<x≤4.则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12的值为________．例9、(2017南京三模）已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．题型四 函数的对称性函数的对称性要注意一下三点：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a bx +=轴对称 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。

函数的基本性质1．奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。

（3）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶 2．单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2) （2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。

函数的性质练习题函数的性质练习题函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。

函数的性质是我们研究函数的重要内容之一，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数的性质。

下面，我们来进行一些函数性质的练习题。

1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数所接受的自变量的取值范围，值域是指函数所能取得的因变量的取值范围。

考虑函数f(x) = √(4 - x^2)，求出它的定义域和值域。

解答：由于√(4 - x^2)中的被开方数不能为负数，所以4 - x^2 ≥ 0。

解这个不等式，我们可以得到-2 ≤ x ≤ 2。

因此，函数的定义域为[-2, 2]。

又因为函数的值域是被开方数的非负实数集合，所以值域为[0, 2]。

2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的对称性。

如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

考虑函数f(x) = x^3 - x，判断它的奇偶性。

解答：将函数f(-x)代入函数f(x)中，得到f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。

由于f(-x) ≠ f(x)且f(-x) ≠ -f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

3. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性。

如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。

考虑函数f(x) = x^2 - 2x，判断它的单调性。

解答：求出函数f(x)的导数f'(x) = 2x - 2。

当f'(x) > 0时，函数递增；当f'(x) < 0时，函数递减。

解不等式2x - 2 > 0，得到x > 1。

因此，函数f(x)在定义域内的x > 1时递增，在x < 1时递减。

第三篇 第6讲一、单项选择题(共8小题)1. (2023·道里区校级模拟)已知a ＜b ＜0，则下列不等式恒成立的是( B ) A ．ea －b＞1B ．b a ＋a b>2 C ．ac 2＜bc 2D ．ln(b －a )＞0【解析】 因为a ＜b ＜0，所以a －b ＜0，e a －b＜1，A 错误；ba >0，ab >0，b a ＋a b ≥2b a ·a b＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，显然等号无法取得，B 正确；当c ＝0时，C 显然错误；当b －a ＜1时，D 错误．故选B.2. (2023·海淀区一模)已知二次函数f (x )，对任意的x ∈R ，有f (2x )＜2f (x )，则f (x )的图象可能是( A )【解析】 二次函数f (x )，对任意的x ∈R ，有f (2x )＜2f (x )，令x ＝0得，f (0)＜2f (0)，即f (0)＞0，故C 、D 都不可能，对于B ，二次函数的对称轴方程为x ＝－b2a ，由图象可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，设f (x )的图象与x 轴的两个交点为x 1，x 2，且0＜x 1＜x 2，则x 1＋x 2＝－b a >0，所以0＜x 1<－b 2a <x 2<－b a ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a >0，当x ＝－b 2a 时，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a <2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a <0，两者相矛盾，故B 不可能．故选A.3. (2023·渝中区校级一模)已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值为( B )C ．10D ．12【解析】 因为正实数a ，b 满足4a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b ＋1＝(a ＋b ＋b ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋b ＋11＋b ＝5＋4b ＋4a ＋b ＋a ＋b 1＋b ≥5＋24b ＋4a ＋b ·a ＋b 1＋b ＝9，当且仅当4b ＋4a ＋b ＝a ＋b 1＋b 且4a ＋b＋1b ＋1＝1，即b ＝2，a ＝4时取等号，此时a ＋2b 取得最小值8.故选B. 4. (2023·浑南区校级模拟)已知正实数x ，y 满足1x ＋2y＝1，则2xy －2x －y 的最小值为( C )A ．2B ．4C ．8D ．9【解析】 因为正实数x ，y 满足1x ＋2y＝1，所以2x ＋y ＝xy ，则2xy －2x －y ＝2x ＋y ＝(2x＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y≥4＋2y x ·4x y ＝8，当且仅当y ＝2x 且1x ＋2y＝1，即x ＝2，y ＝4时取等号．故选C.5. (2023·蒙城县校级三模)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为(－∞，m )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，＋∞，其中m ＜0，则b a ＋2b 的最小值为( D )A ．－2B ．2C ．2 2D ．3【解析】 因为不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为(－∞，m )∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1m，＋∞，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，m ＋1m＝－b a，m ·1m ＝1a ，解得a ＝1，b ＝－m －1m ；因为m ＜0，所以b ＝－m －1m≥2－m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝2，当且仅当－m ＝－1m ，即m ＝－1时取“＝”，所以b a ＋2b ＝b ＋2b，且b ≥2，因为函数y ＝b ＋2b 在b ≥2上单调递增，所以b ＋2b 的最小值为3，即b a ＋2b的最小值为3.故选D.6. (2023·香坊区校级三模)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，则4a ＋2b 的最小值是( D )C ．13D ．18【解析】 因为实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg(a ＋2b )，所以lg(ab )＝lg(a ＋2b )，所以a ＋2b ＝ab ，a ＞0，b ＞0，所以1b ＋2a＝1，则4a ＋2b ＝(4a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a ＝10＋4b a ＋4a b≥10＋24b a ·4ab＝18，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，故4a ＋2b 的最小值是18.故选D.7. (2023·大东区校级四模)已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝1，则x ＋1y ＋1xy的最小值为( C )A ．4＋4 3B ．12C ．8＋4 3D ．16【解析】 由x ＋2y ＝1可得，x ＋1y ＋1xy＝x ＋x ＋2yy ＋x ＋2yxy＝2x ＋2yx ＋3y xy＝2x 2＋8xy ＋6y2xy＝2xy＋6yx＋8≥22x y ×6y x＋8＝8＋4 3.当且仅当2x y＝6y x时，等号成立，即x 2＝3y 2.所以x ＋1y ＋1xy的最小值为8＋43，故选C.8. (2023·雁峰区校级模拟)已知实数x ，y ，满足x 2＋xy ＋3y 2＝3，则x ＋y 的最大值为( B )A.31111 B ．61111C.3＋13D ．3＋33【解析】 令t ＝x ＋y ，则x ＝t －y ，则x 2＋xy ＋3y 2＝3可化为(t －y )2＋(t －y )y ＋3y 2－3＝0，整理得3y 2－ty ＋t 2－3＝0，∴Δ＝(－t )2－12(t 2－3)≥0，即t 2≤3611，∴t ≤61111，故x ＋y ≤61111.故选B. 二、多项选择题(共4小题)9. (2023·济南二模)已知实数a ，b ，c 满足a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则下列说法正确的是( BC )A.1a －c >1b －cB ．a －c ＞2bC ．a 2＞b 2D ．ab ＋bc ＞0【解析】 对于A ，∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞b －c ＞0，∴1a －c <1b －c，A 错误；对于B ，∵a＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a ＞0，c ＜0，∴b ＋c ＝－a ＜0，a －b ＞0，∴a －b ＞b ＋c ，即a －c ＞2b ，B 正确；对于C ，∵a －b ＞0，a ＋b ＝－c ＞0，∴a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＞0，即a 2＞b 2，C 正确；对于D ，ab ＋bc ＝b (a ＋c )＝－b 2≤0，D 错误．故选BC.10. (2023·向阳区校级模拟)已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是( BD )A ．a ＜0B ．不等式bx ＋c ＞0的解集是{x |x ＜－6}C ．a ＋b ＋c ＞0D ．不等式cx 2－bx ＋a ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】 由题意可知，－2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a ＞0，∴－2＋3＝－ba ，(－2)×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，a ＞0，即选项A 错误；不等式bx ＋c ＞0等价于a (x ＋6)＜0，∴x ＜－6，即选项B 正确；∵不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴当x ＝1时，有a ＋b ＋c ＜0，即选项C 错误；不等式cx 2－bx ＋a ＜0等价于a (6x 2－x －1)＞0，即a (3x ＋1)(2x －1)＞0，∴x ＜－13或x >12，即选项D 正确．故选BD.11. (2023·东风区校级模拟)已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则下列结论正确的是( AC ) A.1a ＋1b的最小值是4B ．ab ＋1ab的最小值是2C ．2a＋2b的最小值是2 2 D ．log 2a ＋log 2b 的最小值是－2【解析】 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝b a ＋ab＋2≥21＋2＝4，当且仅当b a ＝a b ，a ＝b ＝12时取等号，∴1a ＋1b 的最小值为4，∴A 正确，∵ab ＋1ab≥21＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝1时取等号，∵⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1，a ＋b ＝1无解，∴ab ＋1ab＞2，∴B 错误，∵a ＋b ＝1，∴2a＋2b≥22a·2b＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴2a ＋2b的最小值为22，∴C 正确，∵a ＞0，b ＞0，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 214＝－2，∴log 2a ＋log 2b 的最大值为－2，∴D 错误，故选AC.12. (2023·濠江区校级三模)若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则下列不等式对一切满足条件a ，b 恒成立的是( ACD )A.ab ≤2 B ．a ＋b ≤2 C.a 23＋b 2≥4 D ．1a ＋1b≥1【解析】 对于A ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故ab ≤2，故A正确；对于B ，(a ＋b )2≤4×a ＋b2＝8，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，故a ＋b ≤22，故B 错误；对于C ，由题意得b ＝4－a ＞0，所以0＜a ＜4，a 23＋b 2＝a 23＋(4－a )2＝43a 2－8a ＋16，根据二次函数的性质可知，当a ＝3时，上式取得最小值4，故C 正确；对于D ，∵a ＋b＝4，a ＞0，b ＞0，∴12×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝12×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋b a ＋a b ≥14(2＋2)＝1，当且仅当ab ＝ba，即a ＝b ＝2时等号成立，故D 正确．故选ACD. 三、填空题(共4小题)13. (2023·贵阳模拟)若x ＞0，则x ＋4x ＋1的最小值为_3__. 【解析】 因为x ＞0，所以x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥2x ＋1·4x ＋1－1＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立．14. (2023·开福区校级二模)函数y ＝log a (x ＋4)－1的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为 23＋4 .【解析】 ∵函数y ＝log a (x ＋4)－1的图象恒过定点A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4＝1，y ＝0－1，解得，x ＝－3，y ＝－1，故A (－3，－1)；∵点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，∴3m ＋n ＝1，又∵mn ＞0，∴m ＞0，n ＞0，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (3m ＋n )＝3m n ＋n m ＋4≥23＋4，(当且仅当m ＝3－36，n ＝3－12时，等号成立)． 15. (2023·岳麓区校级模拟)正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝2，且不等式x ＋y 4≥m 2－m 恒成立，则实数m 的取值范围为_[－1,2]__.【解析】 因为正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝2，所以x ＋y 4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋4x y ＋y 4x≥12⎝⎛⎭⎪⎫2＋24xy ·y 4x ＝2，当且仅当y 4x ＝4x y 且1x ＋4y ＝2，即x ＝1，y ＝4时取等号，则x ＋y 4的最小值为2.因为x ＋y4≥m 2－m 恒成立，所以m 2－m ≤2，解得－1≤m ≤2.故m 的范围为[－1,2]．16. (2023·浙江二模)若a 2＋b 2＝a ＋b ，则a 3＋b 3a 2＋b 2的取值范围是 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98 . 【解析】 由a 2＋b 2＝a ＋b 可得a ＋b ＝a 2＋b 2≥2ab ，而2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，∴a 2＋b 2≥a ＋b22，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即a ＋b ≥a ＋b22，解得0≤a ＋b ≤2，由a 3＋b 3a 2＋b 2＝a 3＋b 3a ＋b ＝a 2＋b 2－ab 可知a ＋b ≠0，∴0＜a ＋b ≤2，所以a 3＋b 3a 2＋b 2＝a ＋b －ab ＝a ＋b －a ＋b2－a ＋b 2，令t ＝a ＋b ，t ∈(0,2]，则a 3＋b 3a 2＋b 2＝－12t 2＋32t ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋98，函数y ＝－12t 2＋32t 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2单调递减，故0<－12t 2＋32t ≤98，即a 3＋b 3a 2＋b 2的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，98.。

数学下册综合算式专项练习题函数的像与性质数学下册综合算式专项练习题：函数的像与性质函数是数学中非常重要的概念，它在数学的各个领域都有广泛的应用。

函数的像是函数的一个重要性质，它描述了定义域中元素在函数作用下所得到的值的集合。

本文将通过综合算式专项练习题，探讨函数的像与性质。

一、函数与像的概念在数学中，函数可以被定义为两个集合之间的对应关系。

一个集合称为函数的定义域，另一个集合称为函数的值域。

函数通过定义域中的元素与值域中的元素一一对应。

定义一个函数f(x)，其中x表示定义域中的元素，f(x)表示值域中的元素。

称f(x)为函数f在x处的像。

二、函数的像的性质1. 函数的像的集合对于一个函数f(x)，它的像的集合可以用大括号{}表示。

例如，如果f(x) = x^2，那么函数f(x)的像的集合可以表示为{y | y = x^2, x∈R}，代表实数集中所有平方数的集合。

2. 函数的全射性如果一个函数的像等于它的值域，那么称这个函数为全射函数。

换句话说，对于函数f(x)的任意y值，都存在定义域中的x值，使得f(x) = y。

3. 函数的单射性如果一个函数的不同定义域中的元素对应到不同的值域中的元素，那么称这个函数为单射函数。

换句话说，函数f(x)中的不同x值对应到不同的f(x)值。

4. 函数的满射性如果一个函数同时是全射函数和单射函数，那么称这个函数为满射函数。

满射函数在定义域中的任意x值对应到值域中的唯一f(x)值。

三、综合算式专项练习题1. 设函数f(x) = 3x + 2，求函数f(x)的像的集合。

解答：将函数的定义域代入函数表达式中，得到函数的像的集合：f(x) = 3x + 2f(x) = {y | y = 3x + 2, x∈R}2. 设函数g(x) = x^2，求函数g(x)的值域。

解答：将函数的定义域代入函数表达式中，得到函数g(x)的值域：g(x) = {y | y = x^2, x∈R}3. 判断函数h(x) = sin(x)是否为全射函数。

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

高中数学函数的性质及相关题目解析函数是数学中的重要概念，也是高中数学中的重点内容之一。

理解函数的性质对于学生来说至关重要，不仅可以帮助他们掌握基本的数学知识，还能提高解题的能力。

在本文中，我将重点讨论函数的性质，并通过具体题目的解析来说明相关考点和解题技巧。

一、函数的定义和性质函数可以理解为两个集合之间的对应关系，即每一个自变量都对应唯一的因变量。

函数的定义通常以符号表示，例如：$y=f(x)$，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$f$为函数名。

函数的性质包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

1. 定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，而值域是指因变量的取值范围。

例如，对于函数$y=\sqrt{x}$，其定义域为$x\geq 0$，值域为$y\geq 0$。

理解函数的定义域和值域有助于解决函数的合法性问题和确定函数的取值范围。

2. 奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。

如果对于任意$x$，有$f(-x)=f(x)$，则函数为偶函数；如果对于任意$x$，有$f(-x)=-f(x)$，则函数为奇函数。

例如，函数$y=x^2$为偶函数，函数$y=x^3$为奇函数。

理解函数的奇偶性可以简化函数的计算和图像的绘制。

3. 单调性函数的单调性是指函数图像在定义域上的增减性。

如果对于任意$x_1<x_2$，有$f(x_1)<f(x_2)$，则函数为增函数；如果对于任意$x_1<x_2$，有$f(x_1)>f(x_2)$，则函数为减函数。

例如，函数$y=x^2$在定义域$x\geq 0$上为增函数，函数$y=-x^2$在定义域上为减函数。

理解函数的单调性有助于解决不等式和优化问题。

二、相关题目解析1. 题目：已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数的定义域和值域。

解析：首先，我们需要确定函数的定义域。

由于函数中存在平方项，所以$2x^2-3x+1$的值不会小于0。

函数的性质题型一：（函数的单调性）1、已知函数()f x 在R 上是单调递增函数，且2()()f m f m >-，则实数m 的取值范围为 ．2、定义在(1,1)-上的函数()f x 是单调递减函数，且(1)(21)f a f a -<-，则实数a 的取 值范围为 ．3、已知函数22()(41)2f x x a a x =+-++在区间(],1-∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围为 ．4、已知函数()(0)a f x x a x =+>在区间3(,)4+∞上单调递增函数，则实数a 的取值范围 为 ．5、函数x x x f -=ln )(的单调增区间是 ．6、函数2()(1)xf x x x e =++()x R ∈的单调减区间为 ．7、已知函数1,()|1|,x a f x x x x a⎧<⎪=⎨⎪+⎩≥在区间(,)a -∞上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 ．8、已知函数,1()3,1ax f x x x a x ⎧⎪=⎨⎪-+<⎩≥在R 上是单调函数，则实数a 的取值范围为 ．9、已知函数321()33f x x x ax a =+-+在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 10、已知函数21()2x f x x ax e =--是定义在R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围 是 ．11、已知函数()()2x xe af x a R e =-∈在区间[]1,2上单调递增，则实数a 的取值范围是．题型二：（函数的奇偶性）12、已知函数2()3f x ax bx a b =+++是定义域为[1,2]a a -的偶函数，则a b +的值是 ．13、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()2xf x x =-，则(0)(1)f f +-= ．14、若函数(),0()(2),0x x b x f x ax x x -⎧=⎨+<⎩≥（,R a b ∈）为奇函数，则()f a b +的值为 ．15、已知函数()1xxa e f x ae-=+（e 为自然对数的底数）在定义域上为奇函数，则实数a 的值 为 ．16、已知函数()f x 的定义域为R ，且满足(2)()f x f x +=，2(cos 1)2sin f θθ-=()R θ∈，则(2017)f = ．17、已知函数2221,0(),0ax x x f x x bx c x ⎧--=⎨++<⎩≥是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点,,,A B C D ．若AB BC =，则实数t 的值为 ．18、已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数m x x x g +-=2)(2．如果1[2,2]x ∀∈-，2[2,2]x ∃∈-，使得21()()g x f x =，则实数m 的取值范围为 ．题型三：（函数的奇偶性、单调性和周期性的综合）19、已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()8xf x =，则19()3f -= ．20、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，当02x <<时，()2f x x =+，则(7)f = ．21、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ．22、已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()221f x x x =-+，不等式()()232f x f x ->的解集用区间表示为 ．23、已知函数()f x 为奇函数，且在区间(0,)+∞上单调递增，(2)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为 ．24、已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数，且函数()f x 在区间[1,2]a --上单调递 增，则实数a 的取值范围为 ．25、已知函数21,0()0,021,0x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则不等式2(2)()0f x f x -+<的解集是 ．26、已知知函数)(11)(R x x x x f ∈++=，则不等式)43()2(2-<-x f x x f 的解集是 ．27、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，)12(log )(21+=x x f ，则满足不等式0)2())2((log 3>++f x f 的x 的取值范围是 ．28、已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围为 ．29、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，不等式()()0f x xf x '+<恒成立，若0.30.333113(3),(log 3)(log 3),(log )(log )99a fb fc f ππ===，则,,a b c 的大小关系是 ．30、已知函数()()R f x x ∈满足(1)1f =，且函数()f x 在R 上的导函数1()2f x '<，则不 等式lg 1(lg )2x f x +<的解集为 ．31、已知定义在R 上的可导函数()f x 导函数为()f x '，对于R x ∀∈，()()f x f x '<，且(1)f x +为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为 ．32．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是,a b ，则函数()2f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 ．33．已知函数()3sin 4f x ax b x =++(),a b ∈R ，()()2lg log 105f =，则()()lg lg2f = ． 34．已知函数()lg f x x =，若存在互不相等的实数,a b ，使()()f a f b =，则ab = ．35．已知函数()()2,11,1xx f x f x x ⎧⎪=⎨->⎪⎩，则()2log 32016f += ．36．若函数()log 1a f x x x =-+()01a a >≠且的最小值为2，则a = ．37．若函数()3231f x x x =-+在区间(),1a a +上是减函数，则实数a 的取值范围是 ． 38．已知函数()3231f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是 ． 39．已知函数()2ln 2a f x x x x x =--在定义域内为单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 40．）函数()()12,1,1x a x a x f x a x ⎧-+<=⎨⎩()01a a >≠且，在(),-∞+∞上不是单调函数．．．．．．，则实数a 的取值范围是 ．41．已知函数()f x =2x ，当0x ∆>时，恒有()()f x x f x +∆>，则实数a 的取值范围是 ．42．已知()22cos f x x x =+，x ∈R ．若()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围是 ． 43．设函数()21ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 ． 44．设函数()221ln f x x x a x =-++存在极大值和极小值，则实数a 的取值范围是 ．45．已知函数()()121,022,2x x f x f x x -⎧-<⎪=⎨->⎪⎩，则关于x 的方程()2016x f x =的实数根的个数为 ．46．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数()ln f x x =()1x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交x 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交x 轴于点N ，设线段MN 的中点的横坐标为t ，则t 的最大值是 ．47．已知函数()21,01,0x x f x x x ⎧-=⎨-->⎩，若函数()()y f f x k =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是 ． 48．设函数()ln mf x x x=+，m ∈R ，若对任意210x x >>，()()2121f x f x x x -<-恒成立，则实数m 的取值范是 ．49．设0a >，若函数()2,0ln ,0x x x f x ax x x ⎧+=⎨->⎩有且仅有两个零点，则a 的值为 ．50．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+⎪⎩，若存在实数,,,a b c d 使得()()()()f a f b f c f d ===，其中a b c d <<<，则2abc d 的取值范围是 ．51．已知函数()212f x x m =+的图像与函数()lng x x =的图像有四个交点，则实数m 的取值范围是 ．1.()()∞+⋃∞，，01-- 2. ⎪⎭⎫ ⎝⎛320， 3.[]31， 4.⎥⎦⎤⎝⎛1690， 5.()10， 6.()1-2-， 7.[]01-， 8.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 9.(]3-，∞10.[)∞+，1- 11⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,2-22e e 12.31 13.1- 14.1- 15.1± 16.2 17.47- 18.[]2-5-， 19.2- 20.3- 21.(]∞+，4 22.()31-， 23.()()2002-，，⋃ 24.(]31， 25.()12-，26.()21， 27⎪⎭⎫ ⎝⎛917-2-， 28.()()∞+⋃，，310 29a b c >>30.()∞+，10 31.()∞+，0 32.12133.3 34.1 352336.e 37.[]10，38.(]3--，∞ 39.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 40()∞+⋃⎪⎭⎫⎝⎛，，1210 41.[]44-， 42.⎥⎦⎤⎢⎣⎡331，43.()∞+，1- 44.⎪⎭⎫⎝⎛210， 45.201646.e e 212+ 47.[)1-2-， 48.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，41 49.e 1 50.()9663， 51.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞21--，。

函数的性质题库及详细答案编号: 年级: 高一、高三 知识点: 函数 分知识点 :函数的性质题型: 选择题 难度: 易 题目: 1．函数y =xx 是（ ）。

（A ）奇函数（B ）既是奇函数又是偶函数 （C ）偶函数（D ）非奇非偶函数 答案: A编号: 年级: 高一、高三 知识点: 函数 分知识点 :函数的性质题型: 选择题 难度: 易题目: 2．下列函数中，在区间(－∞, 0)上为增函数的是（ ）。

（A ）y =x x -1 （B ）y =xx-1 （C ）y =－(x +1)2 （D ）y =(x +1)2答案: B编号: 年级: 高一、高三 知识点: 函数 分知识点 :函数的性质题型: 选择题 难度: 中等题目: 3．设f (x )=ax 5＋bx 3－cx ＋2，已知f (－3)=9，则f (3)的值是（ ）。

（A ）9 （B ）－7 （C ）－5 （D ）－11 答案: C提示: f (－3)=a (－3)5＋b (－3)3－c (－3)＋2=－(a ·35＋b ·33－c ·3＋2)＋4=－f (3)＋4=9, ∴f (3)=－5编号: 年级: 高一、高三 知识点: 函数 分知识点 :函数的性质题型: 选择题 难度: 易题目: 4．如果函数y =f (x )在区间[－2, 1]上是增函数，且f (－2)=－2, f (1)=0，则它的反函数y =f －1 (x )在区间[－2, 0]上是（ ）。

（A ）增函数 （B ）减函数 （C ）常数函数 （D ）非单调函数 答案: A提示: 反函数的增减性与原函数相同编号: 年级: 高一、高三 知识点: 函数 分知识点 :函数的性质题型: 选择题 难度: 中等题目: 5．已知f (x )=8+2x －x 2，如果g (x )=f (1－x )，那么y =g (x )的单调递增区间是（ ）。

（A ）(－∞, 1] （B ）[1, +∞) （C ）(－∞, 0] （D ）[0, +∞) 答案: C提示: g (x )=－x 2＋9编号: 年级: 高一、高三 知识点: 函数 分知识点 :函数的性质题型: 选择题 难度: 中等题目: 6．函数y =1212+-x x 是（ ）。

1.2.1 函数的单调性与最值（练习题）第1课时 函数的单调性1、下列说法中不正确的是__________。

①已知f(x)=x1，因为f(—1)<f(2)，所以函数f(x)是增函数。

②若函数f(x)满足f(2)<f(3)，则函数f(x)在区间[2，3]上为增函数。

③若函数f(x)在区间[1，2]和（2，3）上均为增函数，则函数f(x)在区间（1，3）上为增函数。

④因为函数f(x)=x 1在区间（—∞，0）和(0，+∞)上都是减函数，所以f(x)=x1在其定义域内是减函数。

2、已知函数f(x)=x 2+2(m —1)x+2在(]4,∞-上单调递减，则m 的取值范围是__________。

3、已知函数f(x)=8+2x —x 2，则：（ ）A 、在（—∞，0）上是减函数B 、f(x)是减函数C 、f(x)是增函数D 、f(x)在（—∞,0）上是增函数 4、指出下列函数的单调区间。

（1）y=x 2—4|x|+3； （2）y=|x 2—4x+3|5、关于单调性有下列说法：①函数f(x)=2x 在（—∞，+∞）上是增函数；②函数f(x)=x2—2x+2在（—∞，1）是减函数，在（1，+∞）上增函数； ③函数y=5不具有单调性。

A 、②③B 、①③C 、①②③D 、①②6、函数y=f(x)满足以下条件：①定义域是R ； ②图象关于直线x=1对称； ③在区间[)+∞,2上是增函数。

试写出函数y=f(x)的一个解析式（只需写出一个即可）。

7、设函数f(x)满足：对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1—x 2)[f(x 1)—f(x 2)]>0，则f(—3)与f(—π)的大小关系是___________。

8、若x=f(x)是R 上的单调减函数，则f(m)与f(m —1)的大小关系为________。

第2课时 函数的最值1、函数y=x1在（0，+∞）上：（ ） A 、仅有最大值 B 、仅有最小值 C 、既有最大值，又有最小值 D 、既无最大值，也无最小值 2、函数y= —3x 2+2在区间[—1，2]上的最大值为：（ ）A 、—1B 、2C 、0D 、43、函数y=x 2在[0，2]上是______函数，最大值是________，最小值是________。

函数的基本性质知识点归纳与题型总结0＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．4)因为f(x)有意义，则x＞0，所以f(x)的定义域不关于原点对称。

所以f(x)为非奇非偶函数．二、知识归纳1．函数的单调性1)单调递增对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递增函数．2)单调递减对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，当x1＜x2时，有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做单调递减函数．3)严格单调性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，有f(x1)＜f(x2)或f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格单调函数．4)单调性判定设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则①当f'(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上单调递增；②当f'(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上单调递减；③当f'(x)＝0时，函数f(x)在x处取极值．2．函数的极值1)极值定义设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于x0的任何一个邻域内的x值，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，那么就称f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值)，而x0就称为函数f(x)的一个极值点．2)判别极值的方法①一阶导数法设函数f(x)在点x0处可导，且f'(x0)＝0，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．②二阶导数法设函数f(x)在点x0处二阶可导，则1)当f''(x0)＞0时，f(x0)是函数f(x)的一个极小值；2)当f''(x0)＜0时，f(x0)是函数f(x)的一个极大值；3)当f''(x0)＝0时，判别困难，需用其他方法．3．函数的凹凸性1)凹函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≤λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凹函数．2)凸函数对于函数f(x)，如果对于定义域内的任意两个数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)≥λf(x1)＋(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做凸函数．3)严格凹凸性如果对于定义域内的任意两个不相等的数x1和x2，以及任意实数λ(0＜λ＜1)，都有f(λx1＋(1－λ)x2)λf(x1)+(1－λ)f(x2)，那么函数f(x)就叫做严格凹函数或严格凸函数．4)凹凸性判定设函数f(x)在区间[a，b]上具有二阶导数，则①当f''(x)＞0时，函数f(x)在(a，b)上是凹函数；②当f''(x)＜0时，函数f(x)在(a，b)上是凸函数；③当f''(x)＝0时，函数f(x)在x处可能是拐点．解题提醒：①判定函数的单调性时，要注意定义域的连续性和可导性．②判定函数的极值和拐点时，要注意函数的可导性和二阶导数的符号．题型二函数单调性、极值和凹凸性的判定典型例题：求函数f(x)＝x3－3x2＋3的单调性、极值和凹凸性．解：(1)单调性f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0，得x＝0或x＝2。

考点05 函数的性质（单调性、奇偶性）【高考再现】热点一 函数的单调性1.（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x x e e y --= D ．31y x =+ 2.（2012年高考（陕西文））下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 （ ）A ．1y x =+B ．2y x =-C ．1y x =D ．||y x x =【答案】D 【解析】该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键.A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D. 3.（2012年高考（安徽文））若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞,则_____a =【方法总结】1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.3.函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔ f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)<f (x 2) ⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行． 热点二 函数的奇偶性4.（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是 （ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D ．2ln 1y x =+5.（2012年高考（重庆文））函数()()(4)f x x a x =+- 为偶函数,则实数a =________【答案】4【解析】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关于原点对称,且对定义域内的一切a 都有()()f a f a =-成立.由函数()f x 为偶函数得()()f a f a =-即()(4)()(4)a a a a a a +-=-+-- 4a ⇒=.6.（2012年高考（上海文））已知)(x f y =是奇函数. 若2)()(+=x f x g 且1)1(=g .则=-)1(g _______ .7.（2012年高考（课标文））设函数()f x 22(+1)sin =1x x x ++的最大值为M ,最小值为m ,则=M m +____【答案】 2【解析】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.222(1)sin 2sin ()1,11x x x x f x x x +++==+++设22sin (),()(),()1x x g x g x g x g x x +=-=-∴+Q 为奇函数，由奇函数图像的对称性知max min max min max min ()()0,[()1][()1]2()() 2.g x g x M m g x g x g x g x +=∴+=+++=++=【方法总结】三．规律总结一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论(1)若对于R 上的任意的x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )，且f (2b －x )＝f (x )(其中a ＜b )，则：y ＝f (x )是以2(b －a )为周期的周期函数．(3)若f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x ，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，其中一个周期为T ＝2|a －b |.【基础练习】1．（课本习题改编）下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是 ( )A ．y ＝|x |B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4 【答案】A【解析】y ＝3－x 在R 上递减，y ＝1x在(0，＋∞)上递减，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减． 2.（经典习题）函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，32D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，43. （课本习题改编）若函数f (x )＝x2x ＋1x －a 为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 【答案】A【解析】∵f (x )＝x2x ＋1x －a 是奇函数，利用赋值法，∴f (－1)＝－f (1)．∴－1－2＋1－1－a ＝－12＋11－a ，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12. 4. （经典习题）设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数【答案】A【解析】由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.6．（经典习题）已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)等于________．【答案】－2【解析】由f (x ＋4)＝f (x )，得f (7)＝f (3)＝f (－1)，又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)，f (1)＝2×12＝2.∴f (7)＝－2.【名校模拟】一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三下学期二模试卷文)给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ）（A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④【答案】C【解析】利用函数图象关于原点对称可知① ③图像满足条件.2. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)已知.，若，则f(-a)的值为A. -3B. -2C. -1D. 03.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理)已知函数.，则该函数是(A)偶函数，且单调递增（B)偶函数，且单调递减(C)奇函数，且单调递增（D)奇函数，且单调递减【答案】C【解析】 注意到当0x >时，0x -<，()()()()21120x x f x f x ---+=-+-=；当0x <时，0x ->，()()()()12210x x f x f x -+=-+-=；()00f =.因此，对任意x R ∈，均有()()0f x f x -+=，即函数()f x 是奇函数.当0x >时，函数()f x 是增函数，因此()f x 是增函数，选C.4．(2012洛阳示范高中联考高三理)下列函数中，在(1, 1)-内有零点且单调递增的是( )A ．12log y x =B ．21x y =-C ．212y x =-D ． 3y x =-5. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）若R x ∈、+∈N n ，定义：)2)(1(++=x x x M n x )1(-+n x Λ，例如：55-M =(-5)(-4)(-3)(-2)(-1) =-120,则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为( )A.是偶函数而不是奇函数B. 是奇函数而不是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数6.. (江西省2012届十所重点中学第二次联考文)已知2()35f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[61,]a a -，则a b +=（ ）A ．17B ．1-C ．1D ．7【答案】A【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以1610,7a a a -+==所以； 又()f x 为偶函数，所以223()535a x bx a b ax bx a b ---+=+-+，得0b =，所以a b +=17，选A. 67.(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是（ ） A ．]8,3[ B ． ]2,7[--C ．]5,0[D ．]3,2[-8．(海南省洋浦中学2012届高三第一次月考数学理)已知函数y=f(x)是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （ ）①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=x ·f(x);④y=f(x)+x.A.①③B.②③C.①④D.②④9．（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）下列函数中既是偶函数，又是区间[－1，0]上的减函数的是A ．x y cos =B ．1--=x yC ．x x y +-=22lnD ．x x e e y -+= 答案：D解析：由()()x x f x e e f x --=+=，所以函数()x x f x e e -=+为偶函数；又()211xxx xef x ee e-'=-=，当[]1,0x∈-时，()0f x'<，所以函数为减函数，故选D。

函数的基本性质函数的三个基本性质：单调性，奇偶性，周期性一、单调性1、定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当21x x <时，都有))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。

2、图像特点：在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的。

（提示：判断函数单调性一般都使用图像法，尤其是分段函数的单调性。

） 3．二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a bx 2-=的左侧单调减小，右侧单调增加； 当0<a 时函数)(x f 在对称轴abx 2-=的左侧单调增加，右侧单调减小；例1：讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

4．证明方法和步骤：⑴设元：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <； ⑵作差：)()(21x f x f -； ⑶变形：（如因式分解、配方等）；⑷定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或； ⑸根据定义下结论。

例2、判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.5．复合函数的单调性：复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”。

例3：函数322-+=x x y 的单调减区间是 （ ）A.]3,(--∞B.),1[+∞-C.]1,(--∞D.),1[+∞ 6．函数的单调性的应用：判断函数)(x f y =的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。

例4：求函数12-=x y 在区间]6,2[上的最大值和最小值.二、奇偶性1．定义：如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f =-，那么函数f(x)就叫偶函数；（等价于：0)()()()(=--⇔=-x f x f x f x f ）如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有)()(x f x f -=-，那么函数f(x)就叫奇函数。

《函数的基本性质》专题复习（一）函数的单调性与最值★知识梳理一、函数的单调性1、定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是 ，I 称为)(x f y =的 。

如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是 ，I 称为)(x f y =的 。

2、单调性的简单性质：①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）；○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

★热点考点题型探析 考点1 判断函数的单调性【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性. 【巩固练习】证明：函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 求函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++.2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围. 【巩固练习】1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.二、函数的最大（小）值：1、定义：设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的 ；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的 。

函数的性质精讲巧练一、典例精讲：例1：设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________思路：由(2)()f x f x +=-可得：()f x 的周期4T =，∴考虑将(7.5)f 用01x ≤≤中的函数值进行表示：()()(7.5) 3.50.5f f f ==-，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：()()10.50.52f f -=-=-，所以1(7.5)2f =-答案：1(7.5)2f =-例2：定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()3212x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.14B.18C.12-D.14-思路：由()()()()12222f x f x f x f x +=⇒=+，可类比函数的周期性，所以考虑将52x =-向[)0,2x ∈进行转化：33225111311122242424f f f -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-==⋅-=- ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案：D例3：定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（）A.14 B.12C.13D.35思路：由()()()121f x f x f x -+=+及所求()2010f 可联想到周期性，所以考虑()()()()()()()()11121411211f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++===-++++，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()()20164f f =，而由已知可得()()()1234125f f f -==+，所以()320165f =答案：D例4：定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()2009f 的值为（）A.1- B.C.1D.2思路：所给()f x 的特点为0x <才有解析式能够求值，而0x >只能通过()()()12f x f x f x =---减少自变量的取值，由所求()2009f 可联想到判断()f x 是否具有周期性，0x >时，()()()12f x f x f x =---，则有()()()123f x f x f x -=---，两式相加可得：()()3f x f x =--，则()()()36f x f x f x =--=-，即()f x 在0x >时周期是6，故()()()200952f f f ==-，而()()()()()()()21001011f f f f f f f =-=---=-=故()()()200952f f f ==-=1答案：C例5：函数()f x 是周期为4的偶函数，当[]0,2x ∈时，()()2log 11f x x =+-，则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集为___________思路：从已知出发可知[]0,2x ∈时，()f x 为增函数，且()21log 210f =-=，所以[)0,1x ∈时，()0f x <，(]1,2x ∈时，()0f x >，由偶函数可得：(]1,0x ∈-时，()0f x <，()[)2,1f x ∈--时，()0f x >。