第6讲 对数函数(解析版)

对数函数的定义域解题策略：函数定义域(是使解析式有意义的自变量的取值集合) 一般有以下几种问题:①已知函数解析式，求函数的定义域;②在实际问题中，函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义;③已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域. 2． 求函数定义域的常用方法技巧( 1) 根据解析式要求如偶次根式的被开方式大于零，分母不能为零． ( 2) 根据实际问题的要求确定自变量的范围．( 3) 复合函数的定义域: 若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()b a g x ≤≤解出即可．3.求对数型函数定义域的方法同前面讲到的求的一般函数定义域的方法一样，但应特别注意的是：真数大于零、底数大于零且不等于1.典例精析：考点一 具体函数的定义域【例1】若对数()()21log 62a a --有意义，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（-∞，3） B ．1(,3)2 C ．1(,1)2∪（1，+∞）D ．1(,1)2∪（1，3） 【解析】由已知，得3620112103222111a a a a a a a <⎧->⎧⎪⎪⎪->⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪-≠⎩≠⎪⎩且1a ≠，故选：D .【例2】函数()22log 6y x x =--的定义域为 （ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()(),32,-∞-+∞D ．()(),23,-∞-+∞【解析】函数()22log 6y x x =--的定义域为：260x x -->，即3x >或2x <-，所以定义域为：()(),23,-∞-+∞.故选：D.:变式1：函数()21log 4xf x x -=-的定义域为（ ） A ．()1,4 B ．[)1,4 C ．()(),14,-∞⋃+∞ D ．(](),14,-∞⋃+∞【解析】由题意得104xx ->-，即()()140x x --<，解得14x <<.故选:A .变式2：函数1(1)y ln x =-的定义域为( )A ．(1,)+∞B ．[1，)+∞C ．(1，2)(2⋃，)+∞D ．(1,2)[3，)+∞【解析】解：要使函数1(1)y ln x =-有意义则(1)010ln x x -≠⎧⎨->⎩解得1x >且2x ≠∴函数1(1)y ln x =-的定义域为(1，2)(2⋃，)+∞故选：C ．【例3】函数()lg(2)f x x =-的定义域是（ ）A ．(,2)-∞B ．[0,2)C ．[0,2]D ．[0,)+∞【解析】由题意，有200x x ->⎧⎨≥⎩，解得02x ≤<.∴函数定义域为[0,2).故选：B.变式1：函数()(1)f x ln x =+的定义域为( )A ．(2,)+∞B ．(1-，2)(2⋃，)+∞C ．(1,2)-D ．(1-，2]【解析】:由题意得：2010x x ->⎧⎨+>⎩，解得：12x -<<，故选：C ．变式2：函数y =( )A ．(4,1)--B ．(4,1)-C ．(1,1)-D ．(1-，1]【解析】解：由题意知，函数y =210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，故选：C ．变式3：()22log 4y x =--的定义域是（ ） A ．(2,0)(1,2)- B ．(2,0](1,2)-⋃ C ．(2,0)[1,2)-⋃ D ．[2,0][1,2]-⋃【解析】要使函数有意义，则21022040x xx x -⎧≥⎪⎪⎨≠⎪⎪->⎩， 解得20x -<<或12x ≤<，所以函数的定义域为(2,0)[1,2)-⋃.故选：C ．变式4：函数3()log (21)xf x x =-的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭，，故选：D变式5：函数(2)y x =-的定义域为( )A ．(0,2)B ．[0，2)C ．(0，2]D ．[0，2]【解析】解：要使原函数有意义，则200x x ->⎧⎨⎩，解得：02x <．所以原函数的定义域为[0，2)． 故选：B ．变式6：函数()ln 1x f x -=）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4【解析】对于函数()f x =有1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()f x =的定义域为()1,4.故选：C.【例4】函数()f x）A．12x x⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B．12x x⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C．12x x⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭D．{}0x x≥【解析】因为()f x()12log210x+≥，即()1122log21log1x+≥，所以0211x<+≤，解得12x-<≤，即函数的定义域为12x x⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭，故选：C变式1：函数y=()A．[1，)+∞B．3(,)4+∞C．3(,1]4D．(-∞，1]【解析】函数y=0.5log(43)0{|}430xxx-⎧⎨->⎩，即431{|}34xxx-⎧⎪⎨>⎪⎩，解得3{|1}4x x<．故选：C．变式2：函数y=__________.【解析】由411x-≥可得222x≥，得12x≥.所以函数y=1[,)2+∞.【例5】函数()00.5log21y x=-⎡⎤⎣⎦的定义域为（）A．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．()1,+∞D．()1,11,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log210x-≠，即210211xx->⎧⎨-≠⎩，解得112x<<或1x>．故选：D ．变式1：函数20()(54)lg(43)x f x x x =+-+的定义域为 【解析】若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【例6】函数12y x=-的定义域为 【解析】若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；变式1：函数2()f x =的定义域为【解析】若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；考点二 抽象函数的定义域【例7】若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]， 【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，，故选：A.变式1：已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ）A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3 D．【解析】由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以x ⎤∈⎦．故选：D.考点三 逆用函数的定义域【例8】若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-.故选：B.【例9】若函数()2()log 1a f x x ax =-+的定义域为R ，则实数a 取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,1)(1,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞【解析】()2log 1a y x ax =-+的定义域为R ；210x ax ∴-+>的解集为R ；∴240a ∆=-<；22a ∴-<<；又0a >且1a ≠；01a ∴<<或12a <<； ∴实数a 的取值范围是()()0,11,2．故选：B ．变式1：已知函数()2lg 1y kx kx =-+的定义域为R ，则实数k 的取值范围是__________． 【解析】由题意可知，kx 2﹣kx +1＞0恒成立，当k ＝0时，1＞0恒成立， 当k ≠0时，240k k k ⎧⎨∆=-⎩＞＜，解可得，0＜k ＜4，综上可得，k 的范围[0，4）.【例10】若2()log (log )a a f x x x =-+对任意1(0,)2x ∈恒有意义，则实数a 的范围 ．【解析】要使函数()f x 有意义，则当意1(0,)2x ∈时，2log 0a x x -+>恒成立，即2log a x x >．若1a >时，当1(0,)2x ∈时log 0a x <，此时不成立．若01a <<，当1(0,)2x ∈时，作出函数log a y x =和2y x =的图象，当12x =时，11log 24a =，得1412a =，即116a =，∴若2()log (log )a a f x x x =-+对任意1(0,)2x ∈恒有意义， 则1116a <，即实数a 的范围是1[,1)16．故答案为：1[,1)16．变式1：()(42)xf x lg k =-在(-∞，2]上有意义，则实数k 的取值范围是 ．【解析】由题意函数(42)x k -在(-∞，2]上，恒为正值， 即：(42)0x k ->恒成立，42x k <，因为2x 在(-∞，2]上是增函数，所以1k < 故答案：(,1)-∞【例11】已知函数()()2lg 21f x ax x =++.（1）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.【解析】（1）∵()f x 的值域为R ，∴要求221u ax x =++的值域包含()0,∞+. 当0a <时，显然不可能；当0a =时，21u x R =+∈成立； 当0a >时，若221u ax x =++的值域包含()0,∞+， 则440a ∆=-≥，解得01a <≤. 综上所述，可知a 的取值范围是01a ≤≤.（2）由题意，知221u ax x =++的值恒为正，∴0440a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >，故a 的取值范围是1a >.巩固训练：1、已知对数式()12log 4a a+-（a ∈Z ）有意义，则a 的取值范围为（ ） A ．()1,4- B ．()()1,00,4-⋃ C ．{}1,2,3 D ．{}0,1,2,3【解析】由题意可知:101110244a a a a a a⎧⎪+>>-⎧⎪⎪+≠⇔≠⎨⎨⎪⎪<⎩⎪>-⎩，解之得:14a -<<且0a ≠.∵a ∈Z ，∴a 的取值范围为{}1,2,3.故选：C.2、函数(1)log (164)xx y +=-的定义域是【解析】要使函数有意义需，10111640x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪->⎩，解得12x -<<且0x ≠，即10x -<<或02x <<，所以函数(1)log (164)xx y +=-的定义域是(1,0)(0,2)-.3、函数(2)y lg x =-的定义域是( ) A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．[1，)+∞D ．[2，)+∞【解析】函数2log (2)y x =-有意义，必须20x ->，即：2x >，故选：A ．4、函数()(31)f x lg x =++的定义域是( ) A ．1(3-，)+∞B ．[2-，1)3C ．1(3-，2]D ．(-∞，2]【解析】要使函数有意义，则20310x x -⎧⎨+>⎩，即213x x ⎧⎪⎨>-⎪⎩，∴123x -<，即函数的定义域为1(3-，2]，故选：C ．5、函数2()log (62)f x x =-的定义域是( )A ．{|3}x x >B ．{|43}x x -<<C ．{|4}x x >-D ．{|43}x x -<【解析】对于2log (62)x -，得出620x ->3x ∴<40x +4x ∴-∴函数2()log (62)f x x =-的定义域是{|43}x x -<故选：D ．6、函数1y x=+的定义域是（ ） A ．[1,0)(0,1)- B ．[1,0)(0,1]-⋃ C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(0,1]-⋃【解析】由题意得10,10,0,x x x ->⎧⎪+>⎨⎪≠⎩解得10x -<<或01x <<.所以原函数的定义域为(1,0)(0,1)-.故选：C.7、函数()f x ( ) A ．(0,2)B ．(0，1)(1⋃，2)C ．(0，2]D ．(0，1)(1⋃，2]【解析】要使函数()f x 有意义，只需要2000x x lgx -⎧⎪>⎨⎪≠⎩，解得01x <<或12x <，所以定义域为(0，1)(1⋃，2]． 故选：D ．8、函数y =的定义域是【解析】（1）要使函数有意义需，2400lg 30x x x ⎧-≥⎪>⎨⎪+≠⎩，解得2x ≥，所以函数lg 3y x =+的定义域是[2,)+∞；9、()f x 的定义域 ．【解析】()f x =的定义域为1310log (1)0x x ->⎧⎪⎨-⎪⎩，解得12x <．故答案为：(1，2]．10、已知函数()f x 的定义域为M ，()(1)g x ln x =+的定义域为N ，则()(RMN =⋃ )A ．{|1}x x <B ．{|1}x x -C ．∅D ．(|11}x x -<【解析】因为函数()f x ={|11}M x x =-<<；()(1)g x ln x =+的定义域为{|1}N x x =>-，所以{|1}RN x x =-(){|11}{|1}{|1}R MN x x x x x x =-<<-=<．故选：A ．11、已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =+--，(0a >且1)a ≠. （1）求()f x 的定义域； （2）判断并证明()f x 的奇偶性； （3）求满足()0f x ≤的实数x 的取值范围. 【解析】（1）()()()log 2log 2a a f x x x =+--，要使函数有意义可得2020x x +>⎧⎨->⎩，解得22x -<<，所以函数的定义域为()2,2-，（2）由（1）可知，函数的定义域关于原点对称，()()()()log 2log 2a a f x x x f x -=--+=-，所以函数为奇函数， （3）由()0f x ≤，则()()log 2log 2a a x x +≤-，当1a >时，可得22x x +≤-，解得0x ≤，此时实数x 的取值范围为(],0-∞，第 11 页 共 12 页当01a <<时，可得22x x +≥-，解得0x ≥，此时实数x 的取值范围为[)0,+∞.12、已知函数()()22log 1f x x ax =-+. （1）若()f x 的定义域，值域都是R ，求a 的值；（2）当2a =时，讨论()f x 在区间[]0b ，上的值域.【解析】（1）因为()f x 的定义域是R ，所以210x ax -+>在实数集上恒成立， 故一元二次方程210x ax -+=的根的判别式22404a a ∆=-<⇒<；()f x 的值域是R ，说明21y x ax =-+能取遍所有的正实数，因此一元二次方程210x ax -+=的根的判别式22404a a ∆=-≥⇒≥，显然这与刚得到24a <矛盾，故不存在这样的实数a ；（2）因为2a =，所以()()()2222log 21log 1f x x x x =-+=-，函数的定义域为不等于1的全体实数，故区间[]0b ，的右端点不能等于1，即0b >且1b ≠，显然函数在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.当01b <<时，函数在[]0b ，上是减函数，故函数的最大值为()20log 10f ==，函数的最小值为：()()22log 21f b b b =-+，因此函数的值域为：()22[log 21,0]b b -+； 当12b <≤，函数没有单调性，故函数的最大值为()20log 10f ==，而1x ≠，所以函数的值域为(,0]-∞；当2b >时，函数的最大值为：()()22log 21f b b b =-+，而1x ≠，所以函数的值域为： ()22(,log 21]b b -∞-+.第12 页共12 页。

对数函数恒过定点问题解题策略：对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像恒过定点(1,0).利用整体代换法，在对数型函数log ()(01a y f x b a a =+>≠且）中令()1f x =，即可求得对数型函数的图像所过的定点。

（注：令对数型函数真数为1，切记log 10a =）典例精析：【例1】函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,. 故选：D.变式1：函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.变式2：函数y ＝log a (x ＋2)＋3(a >0且a ≠1)的图象过定点________． 【解析】令x ＋2＝1，所以x ＝－1，y ＝3.所以过定点(－1,3)．变式3：函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--．故选：B ．变式4：已知函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ，则a b +=________.【解析】由题可知，函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点(),a b ， ∴令11x -=，得2x =，此时2(2)2log 122f =-+=， ∴函数()2()2log 12f x x =--+的图象过定点()2,2，2,2a b ∴==，则4a b +=. 故答案为：4.变式5：若函数log (7)2a y x =-+恒过点(,)A m n ，则12()nm-=__________.【解析】因为函数log (7)2a y x =-+恒过点()8,2，即8,2m n ==， 所以1112221()424n m --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故答案为：2.变式6：若函数()()3log 273xa f x =--（0a >，且1a ≠）的图象经过定点P ，则点P 的坐标为______.【解析】令271x -=，得3x =.又()33log 133a f =-=-，所以()f x 的图象经过定点()3,3P -. 故答案为：()3,3-变式7：函数()2log 35a y x =--恒过定点______．【解析】令231x -=，得2x =-或2，当2x =-或2时，log 155a y =-=-. 因此，函数()log 22a y x =++的图象过定点()2,5--，()2,5-． 故答案为：()2,5--，()2,5-．变式8：若2()1log (22)(0a f x x x a =+-->且1)a ≠的图象过定点M ，则M 点的坐标是（ ）A ．和)B ．2)和2)C ．(1,0)-和(3,0)D ．(1,1)-和(3,1)【解析】由题设，当2221x x --=时，()1log 11a f x =+=，此时3x =或1x =-， ∴定点M 为(1,1)-和(3,1).故选：D.变式9：已知函数()()3log 2(1,)01x a f x a x a a -=+-+>≠，则它的图象过定点（ ）A ．()1,1B ．()1,2C ．()3,2D ．()2,3【解析】由题意，函数()()3log 210(x a f x a x a -=+-+>且1)a ≠， 令3x =，可得()()333log 3211012a f a -=+-+=++=，所以函数()f x 的图象恒过定点(3,2). 故选：C.变式10：函数()()25log 20,13a x f x a a x +=+>≠+的图象经过定点（ ） A ．()1,0B ．()2,2-C ．()1,2-D ．()0,3【解析】由对数函数的图象与性质可得，()log 0,1a y x a a =>≠的图象必经过(1,0)， 故令2513x x +=+，解得2x =-，此时()25log 2log 1223aa x f x x +=+=+=+， 所以()f x 的图象必经过()2,2-. 故选：B变式11：【多选】已知函数()()1101x f x a a a -=+>≠,的图象恒过点A ，则下列函数图象也过点A 的是（ ）A ．2y =B ．21y x =-+C ．()2log 21y x =+D ．12x y -=【解析】由题意，函数()()1101x f x a a a -=+>≠,，令1x =，可得()0112f a =+=，即函数()f x 的图象恒过点(1,2)A ，A 中，函数2y =，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；B 中，函数21y x =-+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)A ，满足题意；C 中，函数()2log 21y x =+，令1x =时，可得2y =，此时函数过点(1,2)C ，满足题意；D 中，函数12x y -=，令1x =时，可得1y =，此时函数不过点(1,2)，不满足题意. 故选：ABC.变式12：【多选】下列四个函数中过相同定点的函数有（ ） A ．2y ax a =+- B ．21a y x -=+C ．()310,1x y aa a -=+>≠D ．()()log 210,1a y x a a =-+>≠【解析】对于2y ax a =+-，当1x =时，2y =，则2y ax a =+-过定点()1,2； 对于21a y x -=+，当1x =时，2y =，则21a y x -=+过定点()1,2； 对于()310,1x y aa a -=+>≠，当3x =时，2y =，则()310,1x y a a a -=+>≠过定点()3,2；对于()()log 210,1a y x a a =-+>≠，当1x =时，1y =，则()()log 210,1a y x a a =-+>≠过定点()1,1,故A ，B 中的函数过相同的定点.故选：AB.【与指数函数的综合问题】【例2】函数13x y a +=-与()log ()a g x x m n =++（0a >且1a ≠）的图象经过同一个定点，则n m 的值是（ ） A ．4B ．-1C ．3D ．14【解析】因为函数13x y a +=-（0a >且1a ≠）经过定点()1,2--，函数()log ()a g x x m n=++（0a >且1a ≠）的图象经过定点()1,m n -，由题意知112m n -=-⎧⎨=-⎩，即22m n =⎧⎨=-⎩，故2124n m -==， 故选：D变式1：函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点P ，P 在指数函数()f x 的图象上，则(1)f -的值为（ ）A B ．2C ．D ．【解析】由题意，令231x -=，可得2x =，故函数log (23)2a y x =-+(0a >且1)a ≠的图象恒过定点()2,2P ，则指数函数()x f x b =(0b >且1)b ≠的图象过点()2,2P ，即2(2)2f b ==，解得b =所以1(1)f --==故选：B.变式2：已知函数()()8log 30,19a y x a a =++>≠的图象恒过定点A ，若点A 也在函数()3x f x b =-的图象上，则b =_________．【解析】()88log 2399a -++=，82,9A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()2182399f b b -∴-=-=-=，解得：79b =-.故答案为：79-.【与幂函数的综合问题】【例3】若函数()(3)a f x m x =-是幂函数，则函数()log ()1a g x x m =++（其中0a >且1)a ≠的图象过定点( ) A ．(3,1)-B ．(2,1)C ．(3,0)-D ．(3,1)【解析】因为函数()(3)a f x m x =-是幂函数，所以31m -=，解得4m =，所以函数()log (4)1a g x x =++中，令41x +=，解得3x =-，所以(3)1g -=，所以()g x 的图象过定点(3,1)-．故选：A ．变式1：已知函数()(2)t f x t x =-是幂函数，则函数()log ()a g x x t t =++（0a >且1a ≠）恒过定点________．【解析】由()f x 是幂函数得21,3t t -=∴=，故()log (3)3a g x x =++，令31,2x x +=∴=-，所以log (23)33a y =-++=. 所以()g x 过定点(2,3)-． 故答案为：(2,3)-变式2：若幂函数()y f x =的图象经过函数1()log (3)(04a g x x a =++>且1)a ≠图象上的定点A ，则1()2f = ．【解析】由31x +=，解得：2x =-，此时1(2)4g -=，即1(2,)4A -，设()f x x α=，则1(2)4α-=，解得：2α=-，故2()f x x -=，故21()242f ==，故答案为：4．变式3：已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．故选：C ．【与基本不等式的综合问题】【例4】已知函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像恒过定点P ，又点P 坐标满足2(0,0)mx ny m n +=>>，则11m n+的最小值为_______； 【解析】由题意，令11x -=，即2x =时，log 111a y =+= 故函数log (1)1(0,1)a y x a a =-+>≠的图像过定点(2,1) 故22m n +=，即12nm +=，又0,0m n >>则1111333()()22222n m n m m n m n n m +=++=++≥+=当且仅当2=m nn m，即22m n ==时等号成立即11m n+的最小值为32故答案为：32变式1：若函数()()ln 124k x f x -=-()k R ∈的图象恒经过的定点在直线10ax by --=（0a >，0b >）上，则1132a b+的最小值是（ ）A ．B ．C ．256D ．136【解析】由题意(2)3f =-，所以定点坐标为(2,3)-， 所以2310a b +-=，即231a b +=，因为0,0a b >>，1111131325(23)3232666b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即15a b ==时等号成立，故选：C ．变式2：已知函数()()()1log 20,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点(),A m n ，若正数x ，y 满足1m nx y +=，则2x x y y++的最小值是（ ）A ．5B ．10C ．533D ．5+【解析】函数()1log (2)a f x x =+-令21x -=，可得3x =，代入函数可得1y =，∴定点A 的坐标(3,1)， 代入1m n x y +=可得311x y+=，那么3xx y =-，则31622223(22)()3521255xyxx y x y x y y x y x y ++=+-=++-=+++=+当且仅当31x y ==+ ∴2xx yy++的最小值5. 故选：D变式3：已知函数()log (1)1a f x x =-+，(0,1)a a >≠恒过定点A ，过定点A 的直线:1l mx ny +=与坐标轴的正半轴相交，则mn 的最大值为（ ）A ．12B ．14 C ．18D ．1【解析】令11x -=，即2x =，得(1)1f =，则()2,1A ， 则21m n +=且0m >，0n >，由1218m n mn +≥≥≤．当且仅当14m =，12n =时，等号成立， 故选：C变式4：【多选】已知函数()()log 12a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点(),s t ，正数m 、n 满足m n s t +=+，则（ ） A ．4m n += B ．228m n +≥ C ．4mn ≥D ．111m n+≥ 【解析】在函数()f x 的解析式中，令11x -=可得2x =，且()2log 122a f =+=， 所以，函数()f x 的图象过定点()2,2，2s t ==，所以4m n +=，所以A 正确；由重要不等式222m n mn +≥，可得()()222216m n m n +≥+=，故228m n +≥，当且仅当2m n ==时取等号，所以B 正确；由基本不等式可得，242m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当，2m n ==时取等号，故C 错误；又()1111111221444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4m nn m m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即2m n ==时取等号，所以D 正确.故选：ABD.【与三角函数的综合问题】【例5】函数()log 32a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则sin cos αα+的值为（ ）A ．75B ．65C D【解析】由题意得P (4，2)，||OP =，由三角函数定义知sinαα===所以sin cos αα+= 故选：D变式1：函数()log 2a y x =+(0a >，且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在角θ的终边上，则cos 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．12-D ．12【解析】对于函数()log 2a y x =++(0a >，且1)a ≠，令21x +=，求得1x =-，y =(A -，且点A 在角θ的终边上，可得sin θ，则cos sin 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．故选：A ．变式2：若函数()()()log 220,1a f x x a a =+->≠的图象经过定点P ，且点P 在角θ的终边上，则sin 4cos 5sin 2cos -=+θθθθ（ ）A ．16-B ．34-C ．37-D ．53-【解析】()1log 122a f -=-=-，()1,2P ∴--，tan 2θ∴=，sin 4cos tan 42415sin 2cos 5tan 21026θθθθθθ---∴===-+++.故选：A.变式3：函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则2sin 2θ=（ ） A ．1213-B ．1213C ．2413-D ．2413【解析】根据对数函数的性质得函数()log 42a y x =++(0a >，且1a ≠)的图象恒过()3,2A -，由三角函数的定义得：13r ==，sinθθ== 所以根据二倍角公式得：242sin 24sin cos 413θθθ⎛===- ⎝. 故选：C.【与反函数的综合问题】【例6】函数1()x f x a +=（0a >且1a ≠）的反函数1()y f x -=所过定点的坐标为（ ） A ．(0,1)-B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(0,1)【解析】1()x f x a +=过定点()1,1-，故反函数1()y f x -=所过定点的坐标为(1,1)-.故选：B.【与函数单调性的综合问题】【例7】已知函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n =-+在[)1,+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是_______．【解析】在函数()()log 13a f x x =++的解析式中，令11x +=，可得0x =，()0log 133a f =+=. 所以，函数()()log 13a f x x =++的图象恒过定点()0,3，0m ∴=，3n =， 则()23g x bx =-+，由于函数()g x 在[)1,+∞上单调递减，可得20b -<，解得0b >. 因此，实数b 的取值范围是()0,∞+. 故答案为：()0,∞+.巩固训练：1、函数()()log 43a f x x =-的图象过定点（ ） A ．()1,0B ．()1,1C ．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令431x -=，求得1x =，()0f x =，可得()()log 43a f x x =-的图象所过定点()1,0， 故选：A ．2、函数y ＝log a (x ＋1)－2(a >0且a ≠1)的图象恒过点________．【解析】依题意，11x +=，即x ＝0时，y ＝log a (0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点 (0，－2)．故答案为：(0，－2)3、函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--．故选：B ．4、已知常数0a >且1a ≠，假设无论a 为何值，函数()log 34a y x =+-的图像恒经过一个定点，则这个点的坐标为______．【解析】因为log a y x =的图像必过(1,0)，即log 10a =，当31+=x ，即2x =-时，4y =-，从而()log 34a y x =+-图像必过定点(2,4)--. 故答案为：(2,4)--.5、已知0a >，1a ≠，则21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点（ ） A ．(1,0) B ．(2,0)-C ．(1,0)-D ．(1,4)【解析】令2111x x +=-，解得：2x =-，故(2)log 10a f -==恒成立， 即21()log 1a x f x x +=-的图象恒过点(2,0)-.故选：B6、函数1log 11ay x =++(0a >且1a ≠)的图象经过的定点坐标为___________.【解析】取111x =+，得到0x =，代入计算得到1y =，得到定点(0,1). 故答案为：（0，1）7、函数()()2log 11xa f x x =+-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为_________.【解析】当2x =时，()()222log 2114015a f =+-+=++=，∴定点A 的坐标为()2,5.故答案为：()2,5.8、已知函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数，则函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是（ ） A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(2,2)D ．(1,2)-【解析】因为函数()(21)()m f x m x m R =-∈是幂函数， 所以211m -=，因此1m =，所以()log ()2log (1)2a a g x x m x =++=++， 由log (1)0a x +=可得0x =，(0)2g =，所以函数()log ()2a g x x m =++(0a >，且1a ≠)的图象所过定点P 的坐标是(0,2). 故选：A.9、已知0a >且1a ≠，函数log (23)a y x =-P ，若P 在幂函数()f x 图像上，则点P 坐标为________，(8)f =________.【解析】由题意，函数log (23)a y x =-P ，令231x -=，即2x =，可得log 1a y =P ，设幂函数()()f x x R αα=∈，将点P 代入幂函数，可得2α=12α=，即()12f x x =，所以12(8)8f ==故答案为：P ，10、函数()log (103)9a f x x =-+的图象恒过定点A ，且点A 在幂函数()g x 的图象上，则()8g =______.【解析】对于函数()log (103)9a f x x =-+，令1031x -=，求得3x =，()9f x =， 可得它的的图象恒过定点(3,9)A点A 在幂函数()g x x α= 的图象上，39α∴=，2α∴=，2()g x x =，则()24868g ==故答案为：6411、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n+的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ， 则()2,1A --，又点A 在直线10mx ny ++=上， 可得21m n +=，所以()121242448n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当14m =，12n =时取等号， 故选：B12、已知函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图像恒过点M ，若直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，则a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】由已知得到对数函数过定点(1,0)，得到函数log (1)2m y x =-+，（0m >且1m ≠）的图象恒过点()2,2M ，又直线()20,0x ya b a b+=>>经过点M ，所以111a b+=，所以11()()2224b a b aa b a b a b a b ++=+++=； 当且仅当a b =时等号成立； 故选：C ．13、函数()log 44a y x =++（0a >且1a ≠）的图象恒过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则7cos 2πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35 B ．35C ．45-D ．45【解析】令41x +=，所以3x =-，所以函数()log 44a y x =++的图象过定点()3,4-．因为点A 在角θ的终边上，所以4sin 5θ==，即有74cos sin 25πθθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭． 故选：C ．14、已知函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin 2α的值等于（ ）A ．2425-B ．35C ．2425 D ．35【解析】因为函数()()log 330,1a y x a a =-+>≠的图象恒过(4,3)， 所以点P 的坐标为(4,3)，因为角α的终边经过点P ， 所以34sin ,cos 55αα====， 所以3424sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=，故选：C15、函数y ＝log a (x －3)＋2(a ＞0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的终边过点P ，则cos2α＝( ) A ．45B ．35C ．15D ．35【解析】∵函数y ＝log a (x －3)＋2的图象过定点P (4,2)，且角α的终边过点P ，故cosα=，故223cos22cos1215αα=-=⨯-=⎝⎭.故选：B16、已知曲线()230,1yx a a a-=+>≠过定点M，且角α的终边经过点M，则tan24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．7-B．7C．17-D．17【解析】易知曲线()230,1yx a a a-=+>≠过定点()4,2M，则1tan2α=，所以2122tan42tan211tan314aαα⨯===--，所以41tan2tan34an27441tan2tan14t3aaπαππ++⎛⎫+===-⎪⎝⎭--.故选：A17、已知函数()log14ay x=-+（0a>且1a≠）的图象恒过点A，且点A在角α的终边上，则22sin2cos2sinααα=-（）A．74-B．2-C．47D．47-【解析】根据对数函数的性质，易知点()2,4A，故tan2α=，所以22222sin22sin cos2tan4cos2sin cos2sin12tan7ααααααααα===----．故选：D．18、函数log(23)4ay x=-+过定点(,)m n，则函数logny x=的反函数是________．【解析】因为log10a=，所以231x-=，得2x=，此时4y=，所以定点的坐标为(2)4，，所以n=4，所以4log logny x x==，所以4logy x=的反函数为4xy=，故答案为：4xy=19、已知函数f（x）＝[log a（x+2）]+3的图象恒过定点（m，n），且函数g（x）＝mx2﹣2bx+n在[1，+∞）上单调递减，则实数b的取值范围是________.【解析】因为函数f （x ）＝[log a （x +2）]+3的图象恒过定点(1,3)-， 所以m =-1,n =3，所以g （x ）＝-x 2﹣2bx +3， 因为g （x ）＝-x 2﹣2bx +3在[1，+∞）上单调递减， 所以对称轴1x b =-≤，解得1b ≥-，故答案为：[)1,-+∞。

第六节对数与对数函数学习要求:1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x(a>0,且a≠1)互为反函数.1.对数的概念(1)对数的定义一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1) ,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N ,其中③a叫做对数的底数,④N叫做对数的真数.(2)几种常见的对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1) ⑤ log a N常用对数底数为10 ⑥ lg N自然对数底数为e ⑦ ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质(i)负数和0无对数.(ii)1的对数等于0,即log a1=0(a>0且a≠1).(iii)log a a=1(a>0且a≠1).▶提醒a log a N=⑧N ;log a a N=⑨N (a>0且a≠1). (2)换底公式及其推论换底公式:⑩ log b N =log a Nlog a b(a,b均大于0且不等于1).推论:log a b=1log b a ,lo g a m bn=nmlog a b(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0),log a b·log b c·log c d= log a d (a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).(3)对数的运算法则如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么log a(MN)= log a M+log a N ,log a MN= log a M-log a N ,log a M n=n log a M (n∈R).3.对数函数的图象与性质a>1 0<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0; 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >0 是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒 当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a >1和0<a <1两种情况进行讨论. 4.反函数指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =loga x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y =x 对称.知识拓展1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.2.对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a ,1),(1a ,-1),函数图象只在第一、四象限.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)函数y=log a x2与函数y=2log a x相等.()(3)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.()(4)函数y=ln1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)√2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=()A.0B.2C.4D.6答案 D3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln 3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是()A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a答案 A4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=log a x的图象,已知a取√3,43,35,110四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为()A.√3,43,35,110B.√3,43,110,35C.43,√3,35,110D.43,√3,110,35答案 A5.已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间[23,34]上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是.答案(12,1)对数式的化简与求值1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则()A.ab+bc=2acB.ab+bc=acC.2c =2a+1bD.1c=2b−1a答案AD∵a,b,c都是正数, 故可设4a=6b=9c=M,∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,则1a =log M4,1b=log M6,1c=log M9.∵log M4+log M9=2log M6,∴1a +1c=2b,即1c=2b−1a,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.2.计算:2log 23+2log 31-3log 77+3ln 1= . 答案 0解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0. 3.计算:(lg 14-lg25)×10012= . 答案 -20解析 原式=(lg 2-2-lg 52)×10012=lg (122×52)×10=lg 10-2×10=-2×10=-20.4.计算:(1-log 63)2+log 62·log 618log 64= .答案 1 解析 原式 =1-2log 63+(log 63)2+log 663·log 6(6×3)log 64=1-2log 63+(log 63)2+1-(log 63)2log 64=2(1-log 63)2log 62=log 66-log 63log 62=log 62log 62=1.名师点评1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b=N⇔b=log a N(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.对数函数的图象及应用典例1(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=1a x 与g(x)=lg ax的图象可能是()(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则2a+b的取值范围是()A.(2√2,+∞)B.[2√2,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)答案(1)A(2)B解析(1)由题意a>0且a≠1,所以函数g(x)=lg ax单调递减,故排除B、D;对于A、C,由函数f(x)=1a x 的图象可知0<a<1,对于函数g(x)=lg ax,g(1)=lg a<0,故A正确,C错误.(2)f(x)=|ln x|的图象如下:因为0<a<b且f(a)=f(b),所以|ln a|=|ln b|且0<a<1,b>1,所以-ln a=ln b,即ab=1,易得2a+b≥2√2ab=2√2,当且仅当2a=b,即a=√22,b=√2时等号成立.故选B.名师点评1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.(2020广东惠州模拟)当a >1时,在同一坐标系中,函数g (x )=a -x 与f (x )=-log a x 的图象大致是( )答案 D 因为a >1,所以g (x )=a -x=(1a )x为R 上的减函数,且过(0,1);f (x )=-log a x 为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0), 故只有D 选项符合.2.(2020陕西榆林三模)设x 1、x 2、x 3均为实数,且e -x 1=ln x 1,e -x 2=ln(x 2+1),e -x 3=lg x 3,则( ) A.x 1<x 2<x 3 B.x 1<x 3<x 2 C.x 2<x 3<x 1 D.x 2<x 1<x 3 答案 D 因为e -x 1=ln x1⇒(1e )x 1=ln x 1,e-x 2=ln(x 2+1)⇒(1e )x 2=ln(x 2+1),e-x 3=lg x3⇒(1e )x 3=lg x 3,所以作出函数y =(1e )x,y 1=ln x ,y 2=ln(x +1),y 3=lg x 的函数图象,如图所示:由图象可知函数y 2,y 1,y 3与y 的交点A ,B ,C 的横坐标依次为x 2,x 1,x 3,即有x 2<x 1<x 3.故选D .对数函数的性质及应用角度一 比较对数值的大小典例2 (2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( )A.a <b <cB.b <a <cC.b <c <aD.c <a <b 答案 A a =log 53∈(0,1),b =log 85∈(0,1),则ab =log 53log 85=log53·log58<(log 53+log 582)2=(log 5242)2<1,∴a <b.又∵134<85,∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log 13135<log 13(13×85),即log 138>45, ∴c >45. 又∵55<84,∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log 8(8×55)<log 885, 即log 85<45,∴b <45.综上所述,c >b >a ,故选A . 角度二 解简单的对数不等式典例3 若log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,12)C.(12,1)D.(0,1)∪(1,+∞)答案 C 由题意得a >0且a ≠1,故必有a 2+1>2a ,又log a (a 2+1)<log a 2a <0,所以0<a <1,且2a >1,∴a >12.故a 的取值范围是(12,1).角度三 与对数函数有关的复合函数问题典例4 已知函数f (x )=log a (ax 2-x ).(1)若a =12,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在区间[2,4]上是增函数,求实数a 的取值范围.解析 (1)当a =12时,f (x )=lo g 12(12x 2-x),由12x 2-x >0,得x 2-2x >0,解得x <0或x >2,所以函数f (x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),利用复合函数单调性可得函数f (x )的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).(2)令g (x )=ax 2-x ,则函数g (x )的图象开口向上,对称轴为x =12a 的抛物线,①当0<a<1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≥4,g(4)=116a-14>0,此不等式组无解.②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数, 则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,且g(x)min=ax2-x>0,即{12a≤2,g(2)=4a-2>0,解得a>12,又a>1,∴a>1.综上实数a的取值范围为(1,+∞).名师点评(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=23,则()A.a <c <bB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A 因为a =log 32=log 3√83<log3√93=23=c , b =log 53=log 5√273>log5√253=23=c ,所以a <c <b.故选A .2.若a >b >0,0<c <1,则 ( ) A.log a c <log b c B.log c a <log c bC.a c <b cD.c a >c b答案 B ∵0<c <1,∴当a >b >1时,log a c >log b c ,故A 项错误;∵0<c <1,∴y =log c x 在(0,+∞)上单调递减,又a >b >0,∴log c a <log c b ,故B 项正确;∵0<c <1,∴y =x c 在(0,+∞)上单调递增,又∵a >b >0,∴a c >b c ,故C 项错误;∵0<c <1,∴y =c x 在(0,+∞)上单调递减,又∵a >b >0,∴c a <c b ,故D 项错误.故选B .3.若函数f (x )=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)上恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为 .答案 (0,+∞)解析 令M =x 2+32x ,当x ∈12,+∞时,M ∈(1,+∞),因为f (x )>0,所以a >1,所以函数y =log a M 为增函数,又M =(x +34)2−916,因此M 的单调递增区间为(-34,+∞).又x 2+32x >0,所以x >0或x <-32,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).A组基础达标1.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设a log34=2,则4-a= ()A.116B.19C.18D.16答案 B2.(多选题)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.1a <1bB.ab<0C.a+b<0D.ab<a+b 答案BCD3.已知a=log2e,b=ln 2,c=lo g1213,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案 D4.(多选题)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),则下列论述中正确的是()A.当a=0时, f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)B.当a=0时,f(x)一定有最小值C.当a=0时, f(x)的值域为RD.若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是[-4,+∞)答案AC对于A,当a=0时,解x2-1>0,有x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故A正确;对于B,当a=0时,f(x)=lg(x2-1),x2-1∈(0,+∞),此时f(x)=lg(x2-1)的值域为R,故B错误,C正确;对于D,若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,此时y=x2+ax-a-1的图象的对称轴的方程为直线x=-a 2,则-a2≤2,解得a≥-4.但当a=-4时,f(x)=lg(x2-4x+3)在x=2处无意义,故D错误.故选AC.5.(2020陕西西安高三二模)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.答案(1,+∞)解析由题意可知x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,即函数y=log5(x2+2x-3)的定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).令g(x)=x2+2x-3,则函数g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性,可得函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+∞).6.函数f(x)=e x-e-x+ln1+x1-x+1,若f(a)+f(1+a)>2,则a的取值范围是.答案(-12,0)解析由题意得, f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称设g(x)=f(x)-1=e x-e-x+ln1+x1-x,则g(-x)=e-x-e x+ln1-x1+x,则g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是(-1,1)上的奇函数,因为f(a)+f(1+a)>2,所以f(1+a)-1>-f(a)+1,所以f(1+a)-1>-[f(a)-1],即g(1+a)>-g(a)=g(-a),因为y=e x-e-x单调递增,y=ln1+x1-x单调递增,所以g(x)单调递增,则{-1<a<1,-1<1+a<1,1+a>-a,即−12<a<0.故a的取值范围是(-12,0).7.已知函数f(x)=ln(2x2+ax+3).(1)若f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值及f(x)的值域;(2)若f(x)在区间[-3,1]上是减函数,求a的取值范围.解析(1)因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以ln(2x2+ax+3)=ln(2x2-ax+3),故a=0,所以f(x)=ln(2x2+3),定义域为R,符合题意.令t=2x2+3,则t≥3,所以ln t≥ln 3,故f(x)的值域为[ln 3,+∞).(2)设u(x)=2x2+ax+3,f(u)=ln u.因为f(x)在[-3,1]上是减函数,所以u(x)=2x2+ax+3在[-3,1]上是减函数,且u(x)>0在[-3,1]上恒成立,故{-a4≥1,u(x)min=u(1)=5+a>0,解得-5<a≤-4,即a的取值范围是(-5,-4].B组能力拔高8.(2020山西大同三模)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=2-ax,g(x)=log a(x+2)(a>0,且a≠1)的图象大致为()答案A由题意知,函数f(x)=2-ax(a>0,且a≠1)为减函数,当0<a<1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a>2,且函数g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上为减函数,故C,D均不正确;当a>1时,函数f(x)=2-ax的零点为x=2a <2,且x=2a>0,且g(x)=log a(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,故B不正确,故选A.9.(多选题)(2020山东济南模拟)已知函数f(x)=lg(1|x-2|+1),则下列说法正确的是()A.f(x+2)是偶函数B.f(x+2)是奇函数C.f(x)在区间(-∞,2)上是减函数,在区间(2,+∞)上是增函数D.f(x)没有最小值答案AD因为f(x)=lg(1|x-2|+1),所以f (x +2)=lg (1|x |+1),定义域为{x |x ≠0},关于原点对称,又f (-x +2)=lg (1|-x |+1)=lg (1|x |+1)=f (x +2),所以f (x +2)为偶函数,故A 说法正确,B 说法错误; f (x )=lg (1|x -2|+1)={lg (1x -2+1),x >2,lg (12-x +1),x <2.因为当x ∈(2,+∞)时,y =1x -2为减函数,所以y =1x -2+1为减函数,所以y =lg (1x -2+1)在区间(2,+∞)上为减函数,故C 说法错误;因为当x ∈(2,+∞)时,y =lg (1x -2+1)为减函数,且当x →+∞时,y →0,所以f (x )没有最小值,故D 说法正确.10.(2020辽宁高三三模)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f (x )=log 3(x +1)+ax 2-a +1(a 为常数),则不等式f (3x +4)>-5的解集为 ( )A.(-∞,-1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-2,+∞)答案 D 因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以f (0)=0,解得a =1,所以当x ≥0时,f (x )=log 3(x +1)+x 2.因为函数y =log 3(x +1)和y =x 2在x ∈[0,+∞)上都是增函数,所以f (x )在[0,+∞)上单调递增.由奇函数的性质可知,y =f (x )在R 上单调递增,因为f (2)=5,f (-2)=-5,所以f (3x +4)>-5⇒f (3x +4)>f (-2),即3x+4>-2,解得x>-2.11.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则()A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2答案B2a+log2a=22b+log2b<22b+log2(2b),令f(x)=2x+log2x,则f(a)<f(2b),又易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a<2b,故选B.12.(2020河北邢台模拟)若当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,则实数a的取值范围为.答案(1,2]解析因为当x∈(1,2]时,不等式(x-1)2≤log a x恒成立,所以{a>1,log a2≥1,解得1<a≤2,故实数a的取值范围是(1,2].13.已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f(√x)>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.解析(1)易知h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f (x 2)·f (√x )>k ·g (x )可得(3-4log 2x )(3-log 2x )>k ·log 2x.令t =log 2x ,因为x ∈[1,4],所以t =log 2x ∈[0,2],即(3-4t )(3-t )>k ·t 对任意t ∈[0,2]恒成立.当t =0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k <(3-4t )(3-t )t 恒成立, 即k <4t +9t -15恒成立.因为4t +9t ≥12,当且仅当4t =9t ,即t =32时取等号,所以4t +9t -15的最小值为-3,即k <-3.综上,k 的取值范围是(-∞,-3).C 组 思维拓展14.(2020吉林长春高三模拟)若函数f (x )={log 12(3-x )m ,x <1,x 2-6x +m ,x ≥1的值域为R,则m 的取值范围为( )A.(0,8]B.(0,92]C.[92,8] D.(-∞,-1]∪(0,92]答案B①若m>0,则当x<1时, f(x)=lo g12(3-x)m单调递增,当x≥1时, f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,若函数f(x)的值域为R,则需f(3)=m-9≤m lo g12(3-1)=-m,解得0<m≤92;②若m≤0,则当x<1时,f(x)=lo g12(3-x)m单调递减或为常数函数,当x≥1时,f(x)=x2-6x+m=(x-3)2+m-9在(3,+∞)上单调递增,在[1,3)上单调递减,不满足函数f(x)的值域为R,舍去.综上,m的取值范围为(0,92],故选B.15.(2020山西运城高三模拟)已知函数f(x)=ln2+x2-x,g(x)=m(x-√4-x)+2,若∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1),则实数m的取值范围是()A.[14ln3-12,1-12ln3]B.(14ln3-12,1-12ln3)C.(-12,1)D.[-12,1]答案C∀x1∈[0,4],∃x2∈[0,1],使得f(x2)<g(x1)等价于f(x)min<g(x)min.函数f(x)=ln2+x2-x=ln(2+x)-ln(2-x),-2<x<2.因为y=ln(2+x)与y=-ln(2-x)在[0,1]上为增函数,所以函数f(x)在[0,1]上为增函数,所以f(x)min=f(0)=0.易知函数y=x-√4-x在[0,4]上为增函数,则-2≤x-√4-x≤4.故当m>0时,-2m+2≤g(x)≤4m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<-2m+2,解得0<m<1;当m=0时,g(x)min=2>0,满足f(x)min<g(x)min;<m<0.当m<0时,4m+2≤g(x)≤-2m+2,因为f(x)min<g(x)min,所以0<4m+2,解得-12 <m<1.综上可知,-12。

第二章第二节对数函数第六课时导入新课思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数与函数y=\og（l x到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质（3）.思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图彖和性质的基础上，利用对数函数的图彖和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特別明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题.因此应搞清与函数）, =log沁的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力.教师点出课题：对数函数及其性质（3）.推进新课新知探究：提出问题①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出X=log2）\ y=2x与y=log2X的函数图象.②通过图象探索在指数函数中，x为自变量，），为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是歹的函数吗？③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.④探索）=2"与x=log2y的图象间的关系.⑤探索）=2、与y=log2x的图象间的关系.⑥结合②与⑤推测函数＞=/与函数y=log（t x的关系.X• • •-3-2-10123• • •Y• • •1814121248• • •y=log2x.Y• • •-3-2-10123• • •X• • •1814121248• • •图象如图7.②在指数函数）=2”屮，x是自变量，y是兀的函数（xeR,）€对），而且其在R上是单调递增函数.过y轴的正半轴上任意一点作兀轴的平行线，与y=2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，兀作为），的函数.③由指数式与对数式的关系，y=2A'得x=logM，即对于每一个y,舌关系式x=log2『的作用之下，都有唯一确定的值兀和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x=log2y.这吋我们把函数x=log2y +°°））叫做函数y=2\x^R）的反函数，但习惯上，通常以兀表示自变量，y表示函数，对调x=\og2y中的兀，丿写成j?=log2x,这样）= log2x （xe （O, +°°））是指数函数y=2"（xWR）的反函数.由上述讨论可知，对数函数j=log2x（xe（O, +8））是指数函数y=2A（xeR）的反函数；同时，指数函数y=2\x^R）也是对数函数y=log2X （x^（0, +°°））的反函数.因此，指数函数y=2A（x^R）与对数函数y=log2x （xe（o, +-））互为反函数.以后，我们所说的反函数是X,），对调后的惭数.如y=logw兀丘（0, +呵与）=3$WR）互为反函数，y=log0.sx与y=0.5'（兀WR）互为反函数.④从我们的列表中知道，尸F与X=10gM的函数图象相同.⑤通过观察图象可知，y=2v与y=Iog2X的图象关于直线对称.⑥通过②与⑤类比归纳知道，y=c'(a>0,且aHl)的反函数是)=lo财(a>0且aHl), 且它们的图象关于直线y=x对称.由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y =兀对称.提出问题(1)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：®y=log3X；②y=log3(x+l)；③y= l0g3(X-l).(2)从图彖上观察它们之间有什么样的关系？(3)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图彖：①y=logs%；②y=logM+l；③尸log^-1.,⑷从图彖上观察它们之间有什么样的关系？(5)你能推广到一般的情形吗?活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点.讨论结果：(1)如图&(2)观察图8可以看出,y=log共,y=log3(兀+1), y=log3(x—1)的图象间有如下关系: y=log3(x+l)的图象由y=lo g3x的图象向左移动1个单位得到；y=log?U-l)的图象由y=log秋的图象向右移动1个单位得到；J=log3(x—1)的图象由)=10g3(兀+1)的图象向右移动2个单位得到；,V = 10g3(x+l)的图象由,V = 10g3(A—1)的图象向左移动2个单位得到.(3)如图9.(4)观察图9 "J以看出，y=log3X，y=log3x+l，y=logax—1的图象间有如下关系：y=log3%+l的图彖由y=logsx的图彖向上平移1个单位得到；y=log3X—1的图彖由y=lo莎的图彖向下平移1个单位得到；)=10时一1的图象由)=logsx+l的图象向下平移2个单位得到；)=log秋+1的图象由y=log^-l的图象向上平移2个单位得到.(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：①由函数y=\o^x的图象得到函数y=\og a(x+h)的图象的变化规律为：当/?>0吋，只需将函数y=log泌的图象向左平移h个单位就可得到函数y=log“(x+/2)的图象；当/?<()时，只需将函数y=\og(l x的图象向右平移|川个单位就可得到函数y=loga(x+/2)的图彖.②由函数)=1。

2021高三统考北师大版数学一轮课时作业：第2章第6讲对数与对数函数含解析课时作业1．（2019·四川泸州一诊)2lg 2－lg 错误!的值为（）A．1 B．2C．3 D．4答案B解析2lg 2－lg 错误!＝lg错误!＝lg 100＝2，故选B．2．函数f（x）＝错误!的定义域是()A．(－3，0)B．（－3，0]C．(－∞，－3）∪（0，＋∞)D．(－∞，－3）∪（－3，0）答案A解析因为f（x）＝错误!，所以要使函数f（x)有意义,需使错误!即－3<x〈0.3．若函数y＝f(x）是函数y＝a x（a>0，且a≠1）的反函数，且f(2)＝1，则f（x)＝（)A．log2x B．错误!C．log错误!x D．2x－2答案A解析由题意知f（x）＝log a x(x>0）．∵f（2）＝1，∴log a2＝1。

∴a＝2。

∴f（x)＝log2x.4．已知函数f（x）＝log错误!x，x∈错误!，则f（x)的值域是（）A．错误!B．错误!C．[0，2］D．错误!答案A解析函数f(x)＝log错误!x，x∈错误!是减函数，所以函数的最小值为f错误!＝log错误!错误!＝错误!,函数的最大值为f错误!＝log错误!错误!＝2。

所以函数f(x）的值域为错误!.故选A．5．若x log23＝1,则3x＋3－x＝(）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!答案B解析因为x log23＝1，所以log23x＝1,所以3x＝2,3－x＝错误!，所以3x＋3－x＝2＋错误!＝错误!。

故选B．6．(2019·河北保定模拟）已知a＝log23＋log2错误!，b＝log29－log2错误!，c＝log32，则a，b，c的大小关系是（）A．a＝b〈c B．a＝b〉cC．a〈b<c D．a〉b>c答案B解析a＝log23＋log2错误!＝log23错误!，b＝log29－log2错误!＝log23错误!，因此,a＝b，而log23错误!>log22＝1，log32〈log33＝1，所以a＝b>c，故选B．7．(2020·北京东城区综合练习）已知函数f（x）＝错误!则f（2＋log23)的值为（)A ．24B ．16C ．12D ．8答案 A解析 因为3〈2＋log 23〈4,所以f （2＋log 23)＝f (3＋log 23）＝23＋log 23＝8×2log 23＝24.故选A ．8．函数y ＝log 13 ｜x ＋3｜的单调递增区间为（ ）A ．(－∞，3）B ．（－∞，－3)C ．(－3，＋∞)D ．（－∞，－3)∪（－3，＋∞)答案 B解析 因为函数y ＝log 错误!x 为减函数,y ＝｜x ＋3｜在（－∞,－3)上是减函数，所以函数y ＝log 错误!|x ＋3|的单调递增区间为(－∞，－3）．9．(2019·合肥模拟）若log a 错误!〈1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是（ )A ．错误!B ．错误!C ．错误!∪(1，＋∞）D ．错误!∪(1,＋∞） 答案 D解析 因为log a 23〈1,所以log a 错误!<log a a .若a >1，则上式显然成立；若0〈a <1,则应满足23>a 〉0.所以a 的取值范围是错误!∪（1,＋∞）．故选D ．10．（2019·安阳模拟)函数f （x )＝log a （6－ax ）(a 〉0且a ≠1)在［0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A．(0,1) B．(1，3）C．（1，3］D．[3，＋∞）答案B解析设u＝6－ax,由题意得该函数是减函数,且u>0在［0,2］上恒成立，∴错误!∴1<a<3。

3.3对数函数y=log a x 的图像和性质1.对数函数的概念：一般地，形如log (01)a y x a a =>≠且的函数叫对数函数.2.对数函数log (01)a y x a a =>≠且的图像和性质。

log a y x = 1a > 1a <图像性质（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是增函数（1）定义域：(0,)+∞ （2）值域：R（3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)+∞上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性 向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R + 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1）0<a<1自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； a>1自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1图象上升趋势是越来越陡函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；1．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性． （1）12log ()y x =-； （2）12log y x =-； （3）12log ||y x =．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【分析】根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.【详解】（1）由12log ()y x =-知：定义域为(,0)-∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （2）由12log y x =-知：定义域为(0,)+∞，图象如下：∴由图知：函数在(0,)+∞上单调递增，且为非奇非偶函数. （3）由12log ||y x =知：：定义域为(,0)(0,)-∞+∞，图象如下：∴由图知：函数在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，且偶函数.2．设a 与b 为实数，0a >，1a ≠.已知函数log ()a y x b =+的图象如图所示，求a 与b 的值.【答案】3a =，3b =【分析】由图象可知，函数图象过点(2,0),(0,2)-，将点的坐标代入函数中，可得关于,a b 的方程组，从而可求出,a b 的值【详解】由图象可知，函数log ()a y x b =+的图象过点(2,0),(0,2)-， 所以0log (2)a b =-+，且2log a b =，由0log (2)a b =-+，得21b -+=，解得3b =， 则2log 3a =，得3a =， 所以3a =，3b =3．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出它们之间的关系． (1)5log y x =； (2)15log y x =；(3)5x y =．【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析【分析】根据指数函数和对数函数的解析式画出对应的图象，利用数学结合的思想即可得出函数之间的关系. (1) 如图所示； (2)如图所示，函数5log y x =与函数15log y x=的图像关于x 轴对称；(3)如图所示，函数5log y x =与函数5x y =的图像关于直线y x =对称．题型二：判断对数函数的图像 1．函数eln ||()e e x xx f x -=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】判断出()f x 是偶函数，结合102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭可选出答案.【详解】由已知可得函数的定义域为{}0x x ≠，eln ||eln ||()()e e e e x x x xx x f x f x ----===++，所以()f x 是偶函数，函数图像关于y 轴对称，可排除 A ，B ； 由11221eln 1202e e f -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=< ⎪⎝⎭+，可排除D ． 故选：C2．函数ln||1()e x f x x=+的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】A【分析】当0x >时，根据函数的极值可以排除C 、D ，当0x <时，根据函数的单调性可以排除B ，从而得到结果. 【详解】当0x >时，1()f x x x=+，在1x =处取得最小值，排除C 、D ， 当0x <时，1()f x x x=-为减函数， 故选:A ．3（多选）．在同一坐标系中，函数x y a -=与log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当1a >时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递减，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递增，D 符合；当01a <<时，x y a -=定义域为R ，且在R 上单调递增，log a y x =定义域为(0,)+∞，且在(0,)+∞上单调递减，B 符合．故选：BD ．题型三：根据对数函数图像判断参数范围1．已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠，a ，b 为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（ ）A ．0a >，1b <-B ．0a >，10b -<<C ．01a <<，1b <-D ．01a <<，10b -<<【答案】D【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.【详解】因为函数()()log a f x x b =-为减函数，所以01a << 又因为函数图象与x 轴的交点在正半轴，所以10x b =+>，即1b >- 又因为函数图象与y 轴有交点，所以0b <，所以10b -<<， 故选：D2．如图是三个对数函数的图象，则a 、b 、c 的大小关系是（ ）A ．a ＞b ＞cB ．c ＞b ＞aC ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小．【详解】y ＝log ax 的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a ＞1，函数y ＝log bx ，y ＝log cx 的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b ，c ∈（0，1），又易知c ＞b ，故a ＞c ＞b . 故选：D ．3．已知函数f (x )=ln(x +a )的图象不经过第四象限，则a 的取值范围是（ ） A ．(0，1) B ．(0， +∞)C ．(0，1]D ．[1，+∞)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得．【详解】()f x 的图象是由ln y x =的图象向左平移a 个单位所得．ln y x =的图象过(1,0)点，函数为增函数，因此1a ≥． 故选：D ．二、多选题4．已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x x f x k a a-=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（ ）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤【答案】BCD【分析】对于A 结合对数型函数图像相关知识求解；对于B 运用定义法判断()f x 是否在R 上是奇函数；对于C 运用定义法判断函数单调性；对于D 通过作差法并对式子变形即可判断. 【详解】对于A ，由图像可知，函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）在()2,-+∞上单调递增，所以1a >，因为()g x 经过()1,0-，所以()()1log 10a g k -=-+=，所以01a k =-+，2k =，故A 错误.)x a -1．函数()log ,(01)a f x x a a =>≠且的图象所过定点的坐标为___________. 【答案】(1,0)【分析】由对数函数的性质求解，【详解】由题意得(1)0f =，()f x 的图象过定点(1,0)， 故答案为：(1,0)2．函数()()log 111a y x a =++>必过定点___________. 【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质，令0x =即可确定定点. 【详解】由对数的性质知：当0x =时log 111a y =+=， 所以函数必过定点(0,1). 故答案为：(0,1)3．已知0a >且1a ≠，若函数()x mf x a n +=+与()()log 14a g x x =-+的图象经过同一个定点，则m n +=__________. 【答案】1【分析】由log 10a =可得出函数()g x 所过定点，再由01a =可得出,m n 的值，得出答案. 【详解】函数()()log 14a g x x =-+的图象经过定点()2,4所以()x m f x a n +=+的图象也过定点()2,4， 即()22=4mf a n +=+则2,3m n =-=，所以1m n += 故答案为：1题型五：对数函数图像的应用1．已知函数()()log a f x x b =+的图象如图，则ab =________．【答案】8【分析】由图像可得：()f x 过点()3,0-和()0,2，代入解得a 、b ．【详解】由图像可得：()()log a f x x b =+过点()3,0-和()0,2，则有：()3log 0log 2b a a b -⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得42b a =⎧⎨=⎩． ∴8ab =． 故答案为：８．2．若1132log log m n >（01,01m n <<<<），则m ______n （填“<”或“>”）．【答案】< 【分析】结合1132log ,log y x y x==的图象确定正确结论. 【详解】画出1132log ,log y x y x==的图象如下图所示：通过观察这两个函数在区间()0,1上的图象可知，要使1132log log m n>，则需m n <.故答案为：<3．函数2()log (1)2f x x =++的图像是把函数2log y x =的图像先向___________平移___________个单位，再向上移动2个单位. 【答案】 左 1【分析】根据自变量加减左右移，函数值上加下减的平移原则，即可得到答案； 【详解】22log log (1)x x →+，图象向左平移1个单位，22log (1)log (1)2x x +→++，图象向上平移2个单位， 故答案为：左，1 题型六：对数函数单调性1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A ．2log y x = B ．2xy -=C ．1y x =+D ．3y x =【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.2．已知2log (1)log (2)a a a a +<，则实数a 的取值范围是_________.【答案】()0,1【分析】对a 进行分类讨论，结合对数函数的单调性求得a 的取值范围. 【详解】当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上递减， ()22212,2110a a a a a +>-+=->恒成立.当1a >时，log a y x =在()0,∞+上递增， ()22212,2110a a a a a +<-+=-<无解.综上所述，a 的取值范围是()0,1. 故答案为：()0,13．已知log 2log 1a a >，则底数a 的取值范围为_________. 【答案】(1,)+∞【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断a 的范围． 【详解】若0＜a ＜1，则log 2log 1a a <，不符题意； 若a ＞1，则log 2log 1a a >，符合题意； 综上，a ＞1． 故答案为：(1,)+∞．题型七：对数型复合函数单调性1．己知函数()22()log 45f x x x =--+，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(,2)-∞-B ．(5,2)--C ．(2,1)-D ．(2,)-+∞【答案】B【分析】求出给定函数的定义域，再利用复合函数单调性求解作答.【详解】函数()22()log 45f x x x =--+有意义，则2450x x --+>，解得51x -<<，即函数()f x 的定义域为(5,1)-，函数245u x x =--+在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减，而函数2log y u =在(0,)+∞上单调递增，因此函数()f x 在(5,2)--上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以函数()f x 的单调递增区间为(5,2)--. 故选：B2．若()()22log 6f x x ax =-+在区间[2,2)-上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[4,5]B ．(4,5]C ．[4,5)D ．[5,)+∞3．函数()2ln(421)f x x x =+-的单调递减区间是______.【答案】(,7)-∞-【分析】根据复合函数的单调规律来判断.【详解】要使()2ln(421)f x x x =+-有意义，则24210x x +->，解得7<-x 或3x >，()2ln(421)f x x x =+-定义域为()(),73,-∞-⋃+∞，设()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞，则ln y u =，因为ln y u =在定义域上单调递增；()()2421,,73,x x x μ=+-∈-∞-⋃+∞的增区间为()3,+∞，减区间为(),7-∞-，所以根据复合函数的单调性可得()2ln(421)f x x x =+-的递减区间为(),7-∞-故答案为：(),7-∞-题型八：对数函数单调性应用1．已知lge 2ln e,10a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．b<c<a2．已知e 是自然对数的底数，函数()e e x x f x -=-，实数,m n 满足不等式(32)(2)0f n m f n -+->，则下列结论正确的是（ ） A ．e 2e m n > B ．若1,n >-则11n nm m+>+ C ．ln()0m n -> D ．20222022m n >3．已知()()()512,10,1log ,1a a x a x f x a a x x ⎧-+≤=>≠⎨>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是______. 1．已知函数12log y x =，当3,x a a ⎡⎤∈⎣⎦时，函数的最大值比最小值大4，则实数=a ______．2．设a ＞1，函数f (x )＝log ax 在区间[a ，2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________．3．已知函数()22,4log ,4x a x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，若()f x 存在最小值，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2-∞-【分析】根据分段函数的解析式讨论x 的取值范围，再利用指数函数、对数函数的单调性即可求解.【详解】当4x <时，()2xf x a =-的取值范围是(),16a a --,当4x ≥时，()2log 42f x ≥=, 若()f x 存在最小值，则2-≥a ， 解得2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],2-∞-. 故答案为：(],2-∞-.题型十：根据对数函数的最值求参数1．函数log a y x =在[]2,3上最大值比最小值大1，则=a ______.2．已知函数()f x 为函数(1)x y a a =>的反函数，且()f x 在区间[],2a a 上的最大值与最小值之差为1，则a 的值为___________. 【答案】2【分析】由题意知：()log a f x x =且在[,2]a a 上单调递增，由此即可列出等式，解出答案. 【详解】因为()f x 为函数x y a =的反函数，所以()log a f x x =， 又1a >，所以()f x =log a x 在[,2]a a 上单调递增，所以当[,2]x a a ∈时min ()()log 1a f x f a a ===，()max ()(2)log 2a f x f a a ==， 由题意，()log 211a a -=， 所以()log 22a a =，22a a =， 解得2a =或0a =（舍去）. 故答案为：2.3．已知函数41()log (41).2xf x x =+-(1)求证：44log (41)log (14)x xx -+-=+；(2)若函数()y f x =的图象与直线12y x a =+没有交点，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)0a ≤.1．设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A【点睛】关键点点睛：本题的关键是要熟悉充分条件和必要条件的定义，能正确判断条件能否推出结论，结论能否推出条件.2．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围为（ ） A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭3．若关于x 的不等式9log 2(0xa x a -≤>且1)a ≠在02⎛⎤ ⎥⎝⎦，上恒成立，则a 的取值范围为______．。

第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ，N ，a ，b 都是正数，且a ，b ≠1)①a log a N ＝N ；②log a a N＝N ；③log b N ＝log a N log ab ；④log am b n＝n m log a b ；⑤log a b ＝1log ba ，推广log ab ·log bc ·log cd ＝log a d .(2)对数的运算法则(a >0，且a ≠1，M >0，N >0)①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log anM ＝1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域：(0，＋∞)值域：R过点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)等错误.1．思维辨析(1)若log 2(log 3x )＝log 3(log 2y )＝0，则x ＋y ＝5.( ) (2)2log 510＋log 5(3)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝2.( ) (4)当x >1时，log a x >0.( ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(6)若log a m <log a n ，则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4 的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1) D ．(－1,1]答案 C解析 要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，所以函数的定义域为(－1,1)．3．(1)若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝________. (2)已知a 23 ＝49(a >0)，则log 23 a ＝________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a＝5b＝10，∴a ＝log 210，b ＝log 510，∴1a ＝lg 2，1b ＝lg 5，∴1a ＋1b ＝lg 2＋lg 5＝1.(2)因为a 23 ＝49(a >0)，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233，故log 23 a ＝log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3.[考法综述] 考查对数运算，换底公式及对数函数的图象和性质，对数函数与幂指数函数相结合．综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点．主要以选择题、填空题形式出现．典例 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 －34＋log 354＋log 345＝________. (3)已知a >0，b >0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2>g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234－34 ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－3＋log 31＝278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时，log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值．当log 2a 与log 2(2b )都大于零时，log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a ＋log 2(2b )22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22＝4，当且仅当a ＝2b ，即a ＝4，b ＝2时“＝”成立．[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >q答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a ＋b2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f ()ab ＝p ，∴p ＝r <q .故选B.2.函数f (x )＝log 12 (x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 答案 D解析 由x 2－4>0得x >2或x <－2，因此函数定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．令t ＝x 2－4，当x ∈(－∞，－2)时，t 随x 的增大而减小，y ＝log 12 t 随t 的增大而减小，所以y ＝log 12 (x 2－4)随x 的增大而增大，即f (x )在(－∞，－2)上单调递增．故选D.3．设a ＝log 37，b ＝2，c ，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39，∴1<a <2，由2>21＝2得b 0＝1得c <1，因此c <a <b ，故选B.4．已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)D ．(10，＋∞)答案 C解析 当x >0时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1，∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝1＋lg a1－lg a有正根，∴0<1＋lg a1－lg a <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋lg a1－lg a<1，1＋lg a1－lg a >0，解得－1<lg a <0，∴a <1.故选C.5．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ；又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.6．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 答案433解析 ∵a ＝log 43＝log 23，∴2a ＋2－a＝2log 23 ＋2－log 23 ＝3＋13＝433.函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是________．[错解][错因分析] 易出现两种错误：一是不考虑定义域，二是应用复合函数的单调性法则时出错．[正解] 由x 2－2x >0，得函数y ＝log 12(x 2－2x )的定义域为(－∞，0)∪(2，＋∞)．令u ＝x 2－2x ，则u 在(－∞，0)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是减函数，所以函数y ＝log 12(x 2－2x )在(－∞，0)上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数．故函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是(2，＋∞)．故填(2，＋∞)．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x － 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]＝0，得log 3(log 2x )＝1，即log 2x ＝3，解得x ＝8，所以x － 12 ＝8－ 12 ＝18＝122＝24.故选D.2．[2016·武邑中学仿真]lg 51000－8 23 ＝( ) A.235 B ．－175 C ．－185 D ．4答案 B解析 lg 51000－8 23 ＝lg 5103－8 23 ＝lg 1035 －(23) 23 ＝35－4＝－175.3．[2016·冀州中学猜题]已知x ＝log 23，y ＝log 4π，z ，则( ) A ．x <y <z B ．z <y <x C ．y <z <x D ．y <x <z答案 A解析 y ＝log 4π＝log 2πlog 24＝log 2π>log 23，即y >x ，z >1，所以x <y <z .故选A.4．[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )＝log 2x ，若在[1,8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4，∴所求概率为4－28－1＝27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数，f (x )＝g (x －2)，且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x －2)f ′(x )>0，若1<a <3，则( )A ．f (4a )<f (3)<f (log 3a )B ．f (3)<f (log 3a )<f (4a )C ．f (log 3a )<f (3)<f (4a )D ．f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x －2)f ′(x )>0，∴x >2时，f ′(x )>0；x <2时，f ′(x )<0.∴f (x )在(2，＋∞)上递增，在(－∞，2)上递减．∵g (x )是偶函数，∴g (x －2)关于x ＝2对称，即f (x )关于x ＝2对称，∵1<a <3，∴f (3)<f (log 3a )<f (4a )．故选B.6．[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )＝|log 12 x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是( )A ．[23，＋∞)B ．(23，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12 m ＝－log 12n .∴mn ＝1.∴0<m <1，n >1.∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.7．[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[－4,4]D ．(－4,4]答案 D解析 令t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log t 在定义域上为减函数，要使f (x )＝log(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a 在[2，＋∞)上单调递增，且t ＝g (x )＝x 2－ax ＋3a >0，即⎩⎨⎧－－a 2≤2，g (2)>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4，a >－4，即－4<a ≤4，选D. 8．[2016·武邑中学预测]函数y ＝lg 1|x ＋1|的大致图象为( )答案 D解析 y ＝lg 1|x |是偶函数，关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，而y ＝lg1|x ＋1|的图象是由y ＝lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的．故选D.9．[2016·冀州中学仿真]函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论，结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断，D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12，0<－b 2a <12或－12<－b2a <0，故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ，N 满足条件：①M ，N 都在函数y ＝f (x )的图象上； ②M ，N 关于原点对称．则称点对[M ，N ]为函数y ＝f (x )的一对“友好点对”．(注：点对[M ，N ]与[N ，M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0)，－x 2－4x (x ≤0)，此函数的“友好点对”有( )A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对答案 C解析 由题意，当x >0时，将f (x )＝log 3x 的图象关于原点对称后可知，g (x )＝－log 3(－x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )＝－x 2－4x 的图象存在两个交点，如图所示，故“友好点对”的个数为2，故选C.11．[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝alg (x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a (x 2－5x ＋7)>0的解集为________． 答案 (2,3)解析 因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2有最小值2，所以lg (x 2－2x ＋3)≥lg 2，所以要使函数f (x )有最大值，则函数f (x )必须单调递减，所以0<a <1.由log a (x 2－5x ＋7)>0得0<x 2－5x ＋7<1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2－5x ＋7，x 2－5x ＋7<1，解得2<x <3，即原不等式的解集为(2,3)． 12．[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )＝log 12 (x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)由题意可知，x 2－2ax ＋3＝0的两根为x 1＝1， x 2＝3，∴x 1＋x 2＝2a ，∴a ＝2.(2)因为函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1， 所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2， 由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2， 所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，有y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，1－2a ＋3>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，a <2，故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－ 12 ，则( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32＝ln 2ln 3<ln 2，而c ＝5－ 12 ＝15<12，∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x ＋1|，x <1log 2(x －m )，x >1，若f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，且x 1＋x 2＋x 3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．答案 1解析 作出f (x )的图象，如图所示，可令x 1<x 2<x 3，则由图知点(x 1,0)，(x 2,0)关于直线x ＝－12对称，所以x 1＋x 2＝－1.又1<x 1＋x 2＋x 3<8，所以2<x 3<9.由f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)(x 1，x 2，x 3互不相等)，结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log 2(9－m )，解得m ＝1.15．[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )＝log a (8－ax )(a >0，a ≠1)，若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，83 解析 当a >1时，f (x )＝log a (8－ax )在[1,2]上是减函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－2a )>1，解之得1<a <83，若0<a <1时，f (x )在x ∈[1,2]上是增函数， 由f (x )>1恒成立，则f (x )min ＝log a (8－a )>1， 且8－2a >0，所以a >4，且a <4，故不存在．综上可知，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1，83. 16．[2016·武邑中学月考]已知f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如右图．由图知，要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒有|f (x )|≤1，只需|f (13)|≤1， 即－1≤log a 13≤1，即log a a －1≤log a 13≤log a a .当a >1时，得a －1≤13≤a ，即a ≥3； 当0<a <1时得a －1≥13≥a ，得0<a ≤13.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞)．。

新高考数学复习考点知识与题型专题讲解21 对数函数的概念1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是_____________．温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.2．对数函数的图象及性质注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．3．当底数不同时对数函数图象的变化规律作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.答案：x (0，＋∞)题型一 对数函数的定义域和值域 1．函数2ln 2()||x f x x x =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠， 又()()()2222ln ()||ln x x x f x f x x x x---===---， 所以函数()f x 是奇函数，故排除A ，C ； 又因为11()2ln 024f =<，故排除D.故选：B题型二 对数函数的图像问题2．如果函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，那么函数log (1)a y x =-+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】因为函数(0,1)x y a a a =>≠的反函数是增函数，可得函数x y a =为增函数，所以1a >， 所以函数log (1)a y x =-+为减函数，可排除B 、D ； 又由当0x =时，log (01)0a y =-+=，排除A. 故选：C.题型三 对数函数的单调性3．函数()12log f x x =的单调递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()0,∞+【答案】C【解析】由112211222log ,01log ,01()log log ,1log ,1x x x x f x x x x x x <<⎧<<⎧⎪⎪===⎨⎨-≥⎪⎪≥⎩⎩，而对数函数12log y x=在()0,1上是减函数，2log y x =在[)1,+∞上是增函数，所以函数()f x 单调递增区间为[)1,+∞． 故选：C题型四 对数函数的最值及参数问题4．已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】若[]10,3x ∀∈，[]21,2x ∃∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min min f x g x ≥.由于函数()()2ln 1f x x =+在区间[]0,3上为增函数，则()()min 00f x f ==，由于函数()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]1,2上为减函数，则()()min 124g x g m ==-，所以，104m -≤，解得14m ≥.故选：D.5．在b ＝log 3a －1(3－2a )中，实数a 的取值范围是（ ） A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭∪3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭∪23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭D ．23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子b ＝log 3a －1(3－2a )有意义， 则310,311,320,a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩解得1233a << 或 2332a <<.故选：B ．6．已知函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．（1，3]B ．（1，3）C ．（0，1）D ．[3，+∞） 【答案】A【解析】由函数()log (6)a f x ax =-在（0，2）上为减函数， 可得函数6t ax =-在（0，2）上大于零，且t 为减函数，1a >，故有1620a a >⎧⎨-≥⎩，解得13a故选：A ．7．若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1B ．－1 C ．2D ．无法确定 【答案】B【解析】函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 故选：B.8．下列不等号连接不正确的是（ ） A ．0.5 0.5 log 2.2log 2.3>B ．36log 4log 5> C ．35log 4log 6>D ．log log e e ππ> 【答案】D【解析】对于选项A ：因为0.5log y x =在()0,∞+单调递减，2.2 2.3<，所以0.50.5log 2.2log 2.3>，故选项A 正确；对于选项B ：33log 4log 31>=，6660log 1log 5log 61=<<=，即3log 41>，6log 51<， 所以36log 4log 5>，故选项B 正确；对于选项C ：33333444log 4log 3log 3log 1log 333⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，55555666log 6log 5log 5log 1log 555⎛⎫=⨯=+=+ ⎪⎝⎭，因为33546log log log 3565>>，所以3541log log 3615+>+， 故选项C 正确；对于选项D ：log log 1e πππ<=，log log 1e e e π>=，所以log log e e ππ<，故选项D 不正确； 所以只有选项D 不正确， 故选：D9．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．12．已知0a >，且1a ≠，函数x y a =与()log a y x =-的图象只能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】当1a >时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：当01a <<时，函数x y a =与()log a y x =-的大致图象如图所示：根据题意，所以正确的是B ． 故选：B ．13．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数， 故③④为对数函数， 所以共有2个. 故选：B14．已知函数f (x )＝|lg x |，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋4b 的取值范围是________． 【答案】(5，＋∞)【解析】函数f (x )＝|lg x |定义域为()0,∞+，图象如下：因为f (a )＝f (b )，且0<a <b ，所以0<a <1<b ，且－lg a ＝lg b ， 即1b a=，所以a ＋4b ＝a ＋4a ，令g (a )＝a ＋4a ，易知对勾函数g (a )在(0，1)上为减函数，所以g (a )>g （1）＝1＋41＝5，即a ＋4b 的取值范围是(5，＋∞)． 故答案为：(5，＋∞)．15．已知24log 02x +⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ；（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）由24log 02x +⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤， 故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--，∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤，∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. （3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-， ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.。

强化专题一 换底公式【题型目录】一、换底公式的正用二、换底公式的逆用 三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 五、解对数方程六、证明对数恒等式【例题详解】一、换底公式的正用1．已知2log 3a =，则下列能化简为12a a 的是（ ） A ．8log 3B ．18log 3C ．18log 6D ．12log 3 【答案】B【分析】由对数运算法则和换底公式依次化简各个选项即可. 【详解】对于A ，382211log 3log 3log 333a ===，A 错误； 对于B ，222182222log 3log 3log 3log 3log 18log 22log 312log 312a a====+++，B 正确； 对于C ，2222182222log 6log 2log 31log 31log 6log 18log 22log 312log 312a a +++====+++，C 错误； 对于D ，222122222log 3log 3log 3log 3log 122log 2log 32log 32a a====+++，D 错误. 故选：B.2．()()2839log 3log 3log 2log 2-+=______．（用数字作答）【答案】1【分析】利用对数换底公式及性质计算作答.【详解】()()3228392323log 2log 3log 3log 3log 2log 2(log 3)(log 2)log 8log 9-+=-+ 2233231123(log 3log 3)(log 2log 2)log 3log 213232=-+=⨯=. 故答案为：13．若log 86x =，则2log x =___________.【答案】12 【分析】利用换底公式及对数的运算法则计算可得.【详解】解：因为log 86x =，所以22log 86log x =，即223log 26log x =，即236log x =， 所以21log 2x =； 故答案为：124．计算：ln 259elog 3log 25-等于___________. 【答案】1【分析】由对数的定义、对数的换底公式计算． 【详解】ln259ln32ln5e log 3log 252211ln52ln3-=-⋅=-=. 故答案为：1．二、换底公式的逆用1．计算：log 52×log 727log 513×log 74＝________. 【答案】－34【详解】原式＝log 52log 513×log 727log 74 ＝13log 2log 427＝lg 2lg 13×lg 27lg 4 ＝12lg 2－lg 3×3lg 32lg 2＝－34.200.557357log 2log 93(2)(0.01)15log log 43-⋅-⋅= ________ 【答案】212- 【分析】根据对数函数换底公式及运算法则，指数运算法则进行计算.【详解】()00.557233573212log 2log 92log 5log 7320.011101125log log 43log 53log 7-⋅⋅⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭⋅-⋅ 32323log 5log 7132199log 5log 7222⋅⎛⎫⋅--=--=- ⎪⋅⎝⎭故答案为：212-三、换底公式的基本变形一：log a b ＝1log b a 1．若43m =，则3log 12=（ ）A ．1m m +B ．21m m +C ．2m m +D ．212m m+ 【答案】A【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m =得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+= 故选：A2．已知182,1.52x y ==，则x y-=______; 【答案】3【分析】由指对数关系可得1832log 2,log 2x y ==，再应用对数的运算性质化简求目标式的值. 【详解】由题设，1832log 2,log 2x y ==， 则2221832121234log 182log log (18)3log 2log 229x y -=-=-=⨯=. 故答案为：33．已知35a b A ==，则122a b+=，则A 等于__________． 【答案】53【分析】将指数式化为对数式，然后利用对数运算，化简求得A 的值.【详解】∵35a b A ==,∴3log a A =，5log ,0=>b A A .∴1log 3=A a ，1log 5=A b. 又∵122a b+=,log 32log 52log 3log 522∴+=⇒+=A A A A ,即log 752=A ，∴275=A ，053>∴=A A .故答案为：53四、换底公式的基本变形二：log n m a b ＝m nlog a b 1．化简4839(2log 3log 3)(log 2log 2)=++____________【答案】2【分析】结合log log m n a a n b b m=、换底公式化简计算即可 【详解】原式2233111(2log 3log 3)(log 2log 2)232=⨯++ 2343log 3log 2232=⨯=. 故答案为：2.2．已知log 1627＝a ，则log 916＝________.【答案】32a【详解】∵log 1627＝a ，∴432log 3＝a ，∴34log 23＝a ，∴log 23＝43a ， ∴log 916＝243log 2＝42log 32＝2log 32＝2·1log 23＝2×34a ＝32a.五、解对数方程1．方程222log log 1x x +=的解为x =___________．32【分析】利用对数的运算性质有32log 1x =，进而求解即可.【详解】由22223log log log 1x x x ==+且0x >，则3x 2=，故3x 2=.故答案为：322．方程()233log 12log (1)x x -=+-的解为x =___________.【答案】8【分析】由对数运算法则化方程为233log (1)log [9(1)]x x -=-．再根据对数函数的性质求解．【详解】由()233log 12log (1)x x -=+-得233log (1)log [9(1)]x x -=-，所以219(1)10x x x ⎧-=-⎨->⎩，解得8x =． 故答案为：8．3．求下列各式中x 的值：(1)()3log lg 1=x ；(2)()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦.【答案】(1)1000x =；(2)625x =【分析】（1）结合对数运算求得x 的值.（2）结合对数运算求得x 的值.【详解】（1）()3log lg 1=x ，3lg 3,101000x x ===. （2）()345log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，()4455log log 1,log 4,5625x x x ====.4．解方程：(1)2555log log 1x x x+=. (2)()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭ 【答案】(1)5x =或1或125；(2)3log 10x =或34log 3x = 【分析】（1）利用换底公式将原方程化为55551log (1log )(1log )1log x x x x -=-++，然后移项通分即可解得方程的根. （2）由()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，可得()()33log 31log 3112x x ⎡⎤-⋅--=⎣⎦，令()3log 31x t =-，化为220t t --=，解得t 从而求出x .【详解】(1)因为555555log 51log log log 51log x x x x x x -==+，所以原方程可化为55551log (1log )(1log )1log x x x x -=-++， 即5551(1log )(1log )01log x x x -+-=+，2555(1log )1(1log )01log x x x+--=+， 所以5log 1x =或51log 1x +=±，解得5x =或1或125.(2)()1331log 31log 323x x -⎛⎫-⋅-= ⎪⎝⎭，()()133log 31log 3312x x -⎡⎤∴-⋅-=⎣⎦，()()1333log 31log 31log 32x x -⎡⎤∴-⋅-+=⎣⎦， ()()33log 31log 3112x x ⎡⎤∴-⋅--=⎣⎦，令()3log 31x t =-，化为220t t --=解得2t =或1t =-，所以()3log 312x -=或()3log 311x -=-，解得3log 10x =或34log 3x =. 六、证明对数恒等式1．利用换底公式证明：log log log 1a b c b c a ⋅⋅=．【答案】证明见解析【分析】将已知条件中的对数都转化为以10为底的对数，然后通过约分证得结论.【详解】证明：lg lg lg log log log 1lg lg lg b a c b c a b c a a b c⋅⋅=⋅⋅= 即log log log 1a b c b c a ⋅⋅= 2．设==a b c x y z ，且111a b c+=，求证：z xy = 【答案】证明见解析.【分析】首先设===a b c x y z k ，得到log =x a k ，log =y b k ，log =z c k ，根据111a b c+=得到111log log log +=x y z k k k ，再利用换底公式即可证明.【详解】设===a b c x y z k ，0k >，则log =x a k ，log =y b k ，log =z c k .因为111a b c+=，所以111log log log +=x y z k k k ， 即log log log +=k k k x y z .所以()log log =k k xy z ，即z xy =.【点睛】本题主要考查对数的换底公式，同时考查指数、对数的互化公式，属于简单题.。

对数函数对数的运算 【知识简介】对数的运算在高考中单独出现的频率不高，通过对数运算，可以降低运算级别，把积、商、幂转化成和、差、倍运算，常与等差数列、等比数列结合考查，难度不大． 【典例】 1(1)(2013·四川文，11)lg 5＋lg 20的值是________． (2)(2014·安徽文，11)⎝⎛⎭⎫1681－34＋log 354＋log 345＝________. 【解析】 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫234－34＋log 3⎝⎛⎭⎫54×45＝⎝⎛⎭⎫23－3＋log 31＝278. 【答案】 (1)1 (2)278(2013·陕西文，3)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a cB 由对数换底公式可知A 错误．log a b ·log c a ＝log a b ·1log a c ＝log a b log a c ＝log c b ，故B 正确．因为log a (bc )＝log a b＋log a c ，所以C ，D 均错误，故选B.,对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． 对数函数 【知识简介】对数函数的图象与性质是每年高考的必考内容之一，主要考查比较对数值的大小，解简单的对数不等式，有时考查判断对数型函数的单调性、奇偶性及最值问题．多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．【典例】2(1)(2013·湖南，5)函数f(x)＝2ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋5的图象的交点个数为() A．3B．2C．1D．0(2)(2014·山东文，6)已知函数y＝log a(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1【解析】(1)在同一直角坐标系下画出函数f(x)＝2ln x与函数g(x)＝x2－4x＋5＝说(x－2)2＋1的图象，如图所示．【答案】(1)B(2)D(2015·山东威海一模，13)已知a＞0且a≠1，若函数f(x)＝log a(ax2－x)在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是________．【答案】 (1，＋∞),对数值大小比较的主要方法 (1)化同底数后利用函数的单调性； (2)化同真数后利用图象比较；(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．与对数函数有关的复合函数问题的求解策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，首先要确定函数的定义域，所有问题必须在定义域内讨论；其次分析底数与1的大小关系，底数大于1与底数小于1的两个函数的性质截然不同；最后考虑复合函数的构成，分析它是由哪些基本初等函数复合而成的． 综合应用 【知识简介】综合考查指数、对数运算，及指数函数、对数函数的单调性、图象等，高考中常以选择题、填空题形式出现，难度中等．【典例】 3(1)(2014·辽宁，3)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a(2)(2015·四川，8)设a ，b 都是不等于1的正数，则“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2013·课标Ⅰ，11)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x ＞0，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】 (1)由于0<2－13<20，所以0<a <1；由于log 213<log 21＝0，所以b <0；由于log 1213>log 1212＝1，所以c >1.综上，c >a >b .(2)由3a >3b >31，得a ＞b >1，∴log 3a ＞log 3b ＞0. 由换底公式得，1log a 3＞1log b 3＞0，即log a 3＜log b 3. 而由log a 3<log b 3不能推出a >b >1，例如，当a <1，b >1时，满足log a 3<log b 3，但此时3b ＞3＞3a . 故“3a >3b >3”是“log a 3<log b 3”的充分不必要条件．【答案】 (1)C (2)B (3)D 【名师点睛】题(3)恒成立问题首先想到分离参数，所以当x ≤0时，把x 2－2x ≥ax 化为x [(x －2)－a ]≥0，得到(x －2)－a ≤0，就达到了参变分离的效果；当x >0时，采用画图，通过数形结合就可以看出a 的范围． (2012·课标全国文，11)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) B 方法一：由题意得，当0<a <1时，要使得4x <log a x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12，即当0<x ≤12时，函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，把点⎝⎛⎭⎫12，2代入函数y ＝log a x ，得a ＝22，若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1.解决不等式有解或恒成立问题的方法对于较复杂的不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法为： (1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f (x )，g (x )； (2)在同一坐标系下作出两函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象；(3)比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况．利用对数函数的图象可求解的两类问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【针对训练】1．(2015·山东日照质检，3)2lg 2－lg 125的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．41．B 2lg 2－lg 125＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2.2．(2016·河北石家庄二模，3)已知a ＝312，b ＝log 1312，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c2．A 因为a ＝3>1，0<b ＝log 1312＝log 32<1，c ＝log 213＝－log 23<0，故a >b >c ，故选A.3．(2016·山东烟台一模，5)已知函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(其中a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则f (x )，g (x )在同一坐标系内的大致图象是()3．B ∵f (4)＝a 4－2＝a 2>0，又f (4)g (－4)<0，∴g (－4)＝log a |－4|＝log a 4<0，∴0<a <1，∴f (x )在R 上单调递减，过点(2，1)，g (x )为偶函数，其图象在(0，＋∞)上单调递减，故选B.4．(2016·山西太原五中质检，9)若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0且a ≠1)在区间⎝⎛⎭⎫－12，0内单调递增，则 a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，1 B.⎣⎡⎭⎫34，1 C.⎣⎡⎭⎫94，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫1，945．(2015·河南安阳模拟，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |（0＜x ≤e ），2－ln x （x ＞e ）.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围为________．5．【解析】 画出函数f (x )的图象，如图．不妨令a ＜b ＜c ，由已知和图象可知，0＜a ＜1＜b ＜e ＜c ＜e 2. ∵－ln a ＝ln b ，∴ab ＝1.∵ln b ＝2－ln c ，∴bc ＝e 2， ∴a ＋b ＋c ＝b ＋e 2＋1b (1<b <e)，∵⎝⎛⎭⎫b ＋e 2＋1b ′＝1－e 2＋1b 2<0，故其在(1，e)上为减函数，∴2e ＋1e <a ＋b ＋c <e 2＋2，∴a ＋b ＋c 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1e ＋2e ，2＋e 2. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫1e ＋2e ，2＋e 2【点击高考】1．(2016·课标Ⅰ，8，中)若a >b >1，0<c <1，则( ) A ．a c <b c B ．ab c <ba c C ．a log b c <b log a c D ．log a c <log b c2．(2014·福建，4，易)若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的( )2．B 由题图可知y ＝log a x 过点(3，1)， ∴log a 3＝1，∴a ＝3.对A ，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上为减函数，错误； 对B ，y ＝x 3，符合；对C ，y ＝－x 3在R 上为减函数，错误；对D ，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．3．(2013·课标Ⅱ，8，中)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c3．D 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图象得log 32＞log 52＞log 72，所以a ＞b ＞c ，故选D.4．(2014·四川，9，难)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎫2x1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②③ C ．①③ D ．①②当x ∈[0，1)时，|f (x )|＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝ln 1＋x1－x ，2|x |＝2x ，令g (x )＝ln 1＋x1－x－2x ，则g ′(x )＝2x 21－x 2≥0，∴g (x )在[0，1)上为增函数，∴g (x )≥g (0)＝0，即|f (x )|≥2|x |；当x ∈(－1，0)时，|f (x )|＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－ln 1＋x1－x ，2|x |＝－2x ，令h (x )＝2x －ln 1＋x1－x ，则h ′(x )＝－2x 21－x 2＜0，∴h (x )在(－1，0)上为减函数， ∴h (x )＞0，即|f (x )|＞2|x |.∴当x ∈(－1，1)时，|f (x )|≥2|x |，故③正确．5．(2016·浙江，12，中)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.【答案】 4 26．(2015·浙江，12，易)若a ＝log 43，则2a ＋2-a ＝________． 6．【解析】 ∵a ＝log 43＝12log 23，∴2a ＋2－a ＝212log 23＋2－12log 23＝(2log 23)12＋(2log 23)－12＝312＋3－12＝3＋13＝433.【答案】4337．(2014·重庆，12，易)函数f (x )＝log 2x ·log2(2x )的最小值为________．1【答案】－4。

第6讲对数与对数函数[学生用书P30]1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log aN＝N(a>0，且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nm log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a(MN)＝log a M＋log a N.()(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．()(3)函数y＝log2x及y＝log133x都是对数函数．()(4)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(5)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②.答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1[学生用书P31]对数式的化简与求值(自主练透) 1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B ．19 C.18D.16解析：选B.方法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log 34＝log 43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法五：令4－a ＝t ，两边同时取对数得log 34－a ＝log 3t ，即a log 34＝－log 3t ＝log 31t ，因为a log 34＝2，所以log 31t ＝2，所以1t ＝32＝9，所以t ＝19，即4－a ＝19，故选B.方法六：令4－a ＝t ，所以－a ＝log 4t ，即a ＝－log 4t ＝log 41t .由a log 34＝2，得a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49，所以log 41t ＝log 49，所以1t ＝9，t ＝19，即4－a ＝19，故选B.2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1 B ． 10.1 C. lg 10.1D. 10－10.1解析：选A.根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.3．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：24．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：35．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________． 解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. 因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2. 所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：106．已知log 23＝a ，3b ＝7，则log 37221的值为________．解析：由题意3b ＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab .答案：2＋a ＋ab2a ＋ab对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1(2)方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a <b <1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，则函数f (x )＝4x 和函数g (x )＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.【答案】 (1)A (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22【迁移探究】 (变条件)在本例(2)中，若4x <log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，则函数f (x )＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入g (x )＝log a x ，得a ＝22.若函数f (x )＝4x 的图象在函数g (x )＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )解析：选B.由函数f (x )的值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B.2．若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，只需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 解对数方程、不等式(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．【解析】 (1)原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (－a )＝log 12a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝log 12(－a )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.所以方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}． 【答案】 (1)x ＝5 (2){1，－1}【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎨⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a >1或－1<a <0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)对于形如log a f (x )>b 的不等式，一般转化为log a f (x )>log a a b ，再根据底数的范围转化为f (x )>a b 或0<f (x )<a b .而对于形如log a f (x )>log b g (x )的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．角度二 对数函数性质的综合应用已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A.令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[)1，2.2．已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解：(1)由f (－1)＝－3，得log 12(4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝log 12(x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝log 12μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)． (2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．比较指数式、对数式的大小(师生共研)(1)(2021·广州调研)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝log 23，c ＝log 46，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >c >bB ．a <b ＝cC ．a >b >cD ．a <c <b(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】 (1)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，b ＝log 23>log 22＝1，c ＝log 46>log 44＝1，所以a 为三者中的最小值．由于 c ＝log 46＝12log 26＝log 26<log 23＝b ，所以a <c <b .故选D.(2)因为45＝log 8845，b ＝log 85，(845)5＝84>55，所以845>5，所以45＝log 8845>log 85＝b ，即b <45.因为45＝log 131345，c ＝log 138，(1345)5＝134<85，所以1345<8，所以45＝log 131345<log 138＝c ，即c >45.又2 187＝37<55＝3 125，所以lg 37<lg 55，所以7lg 3<5lg 5，所以lg 3lg 5<57，所以a ＝lg 3lg 5<57<45，而85<57，所以5lg 8<7lg 5，所以lg 5lg 8>57，所以b ＝lg 5lg 8>57，所以c >b >a .【答案】 (1)D (2)A(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.1．(2020·六校联盟第二次联考)设a ＝log 30.4，b ＝log 23，则( ) A ．ab >b 且a ＋b >0 B ．ab <0且a ＋b >0 C ．ab >0且a ＋b <0D ．ab <0且a ＋b <0解析：选 B.因为－1＝log 313<log 30.4<log 31＝0，所以a ∈(－1，0)，b ＝log 23>log 22＝1，所以ab <0，a ＋b >0，选B.2．(2020·全国统一考试(模拟卷))若a >b >c >1且ac <b 2，则( ) A ．log a b >log b c >log c a B ．log c b >log b a >log a c C ．log b c >log a b >log c aD ．log b a >log c b >log a c解析：选B.因为a >b >c >1，所以log a b <log a a ＝1，log b c <log b b ＝1，log c a >log c c＝1，排除选项A ，C ；log a b －log b c ＝lg b lg a －lg c lg b ＝（lg b ）2－lg a lg clg a lg b，因为lg a lgc <⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg ac 22<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b 222＝(lg b )2，所以（lg b ）2－lg a lg c lg a lg b >0，所以log a b >log b c ，所以log c b >log b a ，排除选项D.所以选B.3．已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 32 ，b ＝f (log 213)，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A.ln 32<ln e ＝12，log 23>12， 所以log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (log 23)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213，所以a <c <b .[学生用书P33]思想方法系列5 数形结合法在对数函数问题中的应用 设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1【解析】 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图． 显然x 1<0，x 2<0.不妨令x 1<x 2， 则x 1<－1<x 2<0，所以10 x 1＝lg(－x 1)，10 x 2＝－lg(－x 2)， 此时10x 1<10 x 2，即lg(－x 1)<－lg(－x 2)， 由此得lg(x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1，故选D. 【答案】 D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1，0<c <lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)[学生用书P283(单独成册)][A 级 基础练]1．函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2] B ．[1，2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x >12，解得x ≥23.2．(2020·河北九校第二次联考)设a ＝4－12，b ＝log 1213，c ＝log 32，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B.a ＝4－12＝1412＝12，b ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，c ＝log 32>log 33＝12，且c ＝log 32<log 33＝1，即12<c <1，所以a <c <b ，故选B.3．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D. 当x >32时，函数为减函数； 当x <32时，函数为增函数，所以选A. 4．若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是( )A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a解析：选B.由题意知0<log a x <1，又0<a <1，所以a <x <1.5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以1<a <2.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178.答案：1787．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm ＝9.答案：99．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增， 可得函数g (x )的单调减区间为(0，1)．[B 级 综合练]11．(2020·高考全国卷Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2解析：选B.方法一：令f (x )＝2x ＋log 2x ，因为y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增．又2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 2(2b )，所以f (a )<f (2b )，所以a <2b .故选B.方法二：(取特值法)由2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝4b ＋log 2b ，取b ＝1，得2a ＋log 2a ＝4，令f (x )＝2x ＋log 2x －4，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)<0，f (2)>0，所以f (1)f (2)<0，f (x )＝2x ＋log 2x －4在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以1<a <2，故a >2b ＝2，a <b 2都不成立，排除A ，D ；取b ＝2，得2a ＋log 2a ＝17，令g (x )＝2x ＋log 2x －17，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (3)<0，g (4)>0，所以g (3)g (4)<0，g (x )＝2x ＋log 2x －17在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以3<a <4，故a >b 2＝4不成立，排除C.故选B.12．已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3 x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.13．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：2314．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1.解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1， 解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，115．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )<lg m （x ＋1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.所以函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －11＋x ·－x －11－x ＝0，所以f (x )为奇函数． 所以f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2，6]时，f (x )<lg m （x ＋1）（7－x ）恒成立可化为x －11＋x<m （x ＋1）（7－x ）恒成立， 即m >(x －1)(7－x )在[2，6]上恒成立．又当x ∈[2，6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.所以当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，所以m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．[C 级 提升练]16．我们知道，互为反函数的指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，而所有偶函数的图象都关于y 轴对称．现在我们定义：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，即已知函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，若y ＝f (x )，x ＝f (y )也成立，则称函数f (x )为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f (x )＝－x ＋b 都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f (x )＝k x (k ≠0)是“自反函数”．“自反函数”f(x)＝kx(k≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k>0时，f(x)＝kx(k≠0)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k<0时，f(x)＝kx(k≠0)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f(x)＝kx(k≠0)是奇函数，但不是周期函数．。

第6讲对数与对数函数[考纲解读] 1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)3.通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.1．对数2．对数函数的图象与性质续表3．反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数□01y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线□02y ＝x 对称．1．概念辨析(1)log 2x 2＝2log 2x .( )(2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( )(3)函数y ＝ln 1＋x1－x 与y ＝ln (1＋x )－ln (1－x )的定义域相同．( )(4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b .( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．小题热身(1)已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x与y ＝log a (－x )的图象可能是( )答案 B解析 y ＝log a (－x )的定义域是(－∞，0)，所以排除A ，C ；对于选项D ，由y ＝a x的图象知0<a <1，由y ＝log a (－x )的图象知a >1，矛盾，故排除D.故选B.(2)设a ＝log 213，b ＝e －12 ，c ＝ln π，则( )A ．c <a <bB ．a <c <bC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 C解析 a ＝log 213<0，b ＝e － 12 ∈(0,1)，c ＝ln π>1，所以a <b <c .(3)有下列结论：①lg (lg 10)＝0；②lg (ln e)＝0；③若lg x ＝1，则x ＝10；④若log 22＝x ，则x ＝1；⑤若log m n ·log 3m ＝2，则n ＝9.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③④⑤解析 lg (lg 10)＝lg 1＝0，故①正确；lg (ln e)＝lg 1＝0，故②正确；③④正确；log m n ·log 3m ＝log 3nlog 3m·log 3m ＝log 3n ＝2，故n ＝9，故⑤正确．(4)若函数y ＝f (x )是函数y ＝2x的反函数，则f (2)＝________. 答案 1解析 由已知得f (x )＝log 2x ，所以f (2)＝log 22＝1.题型 一 对数式的化简与求值1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f [f (1)]＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．答案 5解析 因为f (1)＝log 21＝0，所以f [f (1)]＝f (0)＝2. 因为log 312<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log 312 ＋1 ＝3log 32＋1＝2＋1＝3.所以f [f (1)]＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝2＋3＝5.2．计算下列各式： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)log 34273log 5[4 12 log 210－(33) 23 －7log 72]．解 (1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－1log 55＝－14.3．已知log 189＝a,18b＝5，试用a ，b 表示log 3645. 解 因为log 189＝a,18b＝5，所以log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×51＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．如举例说明2(1)．(3)转化：a b＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．如举例说明3中18b＝5的变形．计算下列各式：(1)计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________； (2)若lg x ＋lg y ＝2lg (2x －3y )，则log 32 xy 的值为________；(3)计算：(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)＝________. 答案 (1)2 (2)2 (3)54解析 (1)原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 52＝lg 2×lg 100＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. (2)由已知得lg (xy )＝lg (2x －3y )2，所以xy ＝(2x －3y )2，整理得4x 2－13xy ＋9y 2＝0，即4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－13×x y＋9＝0，解得x y ＝1或x y ＝94.由x >0，y >0,2x －3y >0可得xy＝1，不符合题意，舍去，所以log 32 x y ＝log 3294＝2.(3)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型 二 对数函数的图象及应用1．(2019·某某模拟)函数f (x )＝lg (|x |－1)的大致图象是( )答案 B解析 易知f (x )为偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x －1，x >1，lg －x －1，x <－1，当x ＞1时，y ＝lg x 的图象向右平移1个单位，可得y ＝lg (x －1)的图象，结合选项可知，f (x )的大致图象是B.2．当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2) 答案 B解析 构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 条件探究1 若举例说明2变为：若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，某某数a 的取值X围．解 若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 条件探究2 若举例说明2变为：若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，某某数a的取值X 围．解 由x 2－log a x <0得x 2<log a x ，设f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝log a x ，要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，不等式x 2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立；当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.条件探究3 若举例说明2变为：当0<x ≤14时，x <log a x ，某某数a 的取值X 围．解 若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14时成立，则0<a <1，且y ＝x 的图象在y ＝log a x 图象的下方，如图所示，由图象知14<log a 14， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a12 >14，解得116<a <1.即实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116，1.1．对数函数图象的特征(1)底数与1的大小关系决定了图象的升降，即a >1时，图象上升；0<a <1时，图象下降．(2)对数函数在同一直角坐标系中的图象如图，其中图象的相对位置与底数大小有关，图中0<c <d <1<a <b .在x 轴上侧，图象从左到右相应的底数由小变大； 在x 轴下侧，图象从右到左相应的底数由小变大． (无论在x 轴的上侧还是下侧，底数都按顺时针方向变大) 2．利用对数函数的图象可求解的三类问题(1)对数型函数图象的识别．解此类问题应从对数函数y ＝log a x 的图象入手，抓住图象上的三个关键点(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，特别地要注意a >1和0<a <1的两种不同情况．(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．如举例说明2.1．已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x与g (x )＝－log b x 的图象可能是( )答案 B解析 因为lg a ＋lg b ＝0，所以lg (ab )＝0，所以ab ＝1，即b ＝1a，故g (x )＝－log b x＝－log 1ax ＝log a x ，则f (x )与g (x )互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，结合图象知，B 正确．2．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值X 围是________．答案 (0,1)解析 由图象可知0<a <1<b <10，又因为|lg a |＝|lg b |＝c ，所以lg a ＝－c ，lg b ＝c ， 即lg a ＝－lg b ，lg a ＋lg b ＝0， 所以ab ＝1，于是abc ＝c ，而0<c <1. 故abc 的取值X 围是(0,1)． 题型 三 对数函数的性质及应用角度1 比较对数值的大小1．(2018·某某高考)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 D解析 因为e ＝2.71828…>2，所以a ＝log 2e>log 22＝1；b ＝ln 2<ln e ＝1；又因为c ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，又因为a ＝log 2e<log 23＝c ，所以c >a >b .角度2 解对数不等式2．(2018·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－1,0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0,1) 答案 C解析 若a >0，则log 2a >log 12 a ，即2log 2a >0，所以a >1.若a <0，则log 12 (－a )>log 2(－a )，即2log 2(－a )<0，所以0<－a <1，－1<a <0.综上知，实数a 的取值X 围是(－1,0)∪(1，＋∞)． 角度3 与对数函数有关的综合问题 3．已知函数f (x －3)＝log ax6－x(a >0，且a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由； (2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解 令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u3－u (a >0，且a ≠1，－3<u <3)，所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，且a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )．又定义域(－3,3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．(2)令t ＝3＋x 3－x ＝－1－6x －3，则t 在(－3,3)上是增函数，当0<a <1时，函数y ＝log a t是减函数，所以f (x )＝log a3＋x3－x(0<a <1)在(－3,3)上是减函数， 即函数f (x )的单调递减区间是(－3,3)．1．比较对数值大小的方法若底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论若底数不同，真数相同 可以先用换底公式化为同底后，再进行比较 若底数与真数都不同 常借助1,0等中间量进行比较，如举例说明12．求解对数不等式的两种类型及方法 类型 方法形如 log a x >log a b 借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论形如 log a x >b 需先将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解3．解决与对数函数有关的综合问题单调性的步骤 一求求出函数的定义域二判判断对数函数的底数与1的关系，分a >1与0<a <1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”的原则判断函数的单调性，如举例说明3(2)1．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >1,0<c <1，则( ) A ．a c<b cB ．ab c<ba cC ．a log b c <b log a cD ．log a c <log b c 答案 C解析 解法一：由a >b >1,0<c <1，知a c>b c，A 错误； ∵0<c <1，∴－1<c －1<0，∴y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，∴bc －1>ac －1，又ab >0，∴ab ·bc －1>ab ·ac －1，即ab c >ba c，B 错误；易知y ＝log c x 是减函数，∴0>log c b >log c a ，∴log b c <log a c ，D 错误；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，∴－a log b c >－b log a c >0，∴a log b c <b log a c ，故C 正确．解法二：依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A ，B ，D 错误，只有C 正确．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0log 2x ，x >0，若f [f (x )]≥－2，则x 的取值X 围为( )A ．[－2,1]B ．[42，＋∞)C ．[－2,1]∪[42，＋∞) D．[0,1]∪[42，＋∞) 答案 C解析 解法一：①若x ≤0，则f [f (x )]＝log 22x＝x ≥－2，所以－2≤x ≤0.②若x >1，则f [f (x )]＝log 2(log 2x )≥－2，log 2x ≥2－2，x ≥2 14 ＝42，所以x ≥42. ③若0<x ≤1，则f [f (x )]＝2log 2x＝x ≥－2， 所以0<x ≤1.综上知，x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 解法二：作出函数f (x )的图象如下：由图象可知，若f [f (x )]≥－2，则f (x )≥14或f (x )≤0.再次利用图象可知x 的取值X 围是[－2,1]∪[42，＋∞)． 3．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．答案 －14解析 f (x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (log 22＋log 2x ) ＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14， 所以当log 2x ＝－12，即x ＝22时，f (x )取得最小值－14.。

高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第六节对数与对数函数学案文含解析新人教A 版第六节 对数对数函数2019考纲考题考情1．对数的概念 (1)对数的定义如果a x＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

(2)几种常见对数(1)对数的性质 ①alog aN＝N (a >0且a ≠1，N >0)。

②log a a N＝N (a ＞0，且a ≠1)。

(2)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零，且不等于1，N >0)。

②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

(3)对数的运算法则如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N 。

②log a M N＝log a M －log a N 。

③log a M n＝n log a M (n ∈R )。

④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R )。

3．对数函数的图象与性质4.y ＝a x与y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的关系指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称。

1．指数与对数的等价关系：a x＝N ⇔x ＝log a N 。

2．换底公式的三个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log am b n＝n mlog a b ；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d 。

3．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。