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函数的单调性和奇偶性一、教学目标1．函数的单调性2．函数的奇偶性二、考点、热点回顾1．函数的单调性⑴函数的单调性是对于函数定义域内的某个区间而言的，即这个区间必定是函数定义区间的子区间．在一个函数的定义区间内，不同的子区间上函数可能有不同的单调性，因此，在谈某个函数的单调性时，必须同时说明相应的区间．在不提单调区间时，应认为函数在整个定义区间内有同一的单调性.函数的单调区间可能是开区间，可能是闭区间，也可能是半开半闭区间． ⑵函数不一定有单调区间，如函数x x x f -+-=11)(的定义域为{}1，显然不存在单调区间.又如函数⎩⎨⎧-=)(1)(1)(为无理数为有理数x x x f 也不存在单调区间．⑶判断函数的增减性，可以根据已研究过的函数的单调性，也可以根据函数单调性的定义.由定义判断函数)(x f y =在区间],[b a 上的单调性时，通常设b x x a ≤<≤21，然后作差式)()(21x f x f -，将该差式作适当的变形并判断差式的符号，从而得出结论．例1 画出函数34)(2+-=x x x f 的图像，并由图像写出函数)(x f 的单调区间．例2 画出函数12-++=x x y 的图像，并根据图像写出函数的单调区间．例3 求证：函数31)(x x f -=在定义域上是减函数.例4 求证：函数xx x f 4)(+=在区间]2,0(上递减，在区间),2[+∞上递增.例5 求函数228)(x x x F y --==的单调区间.2．函数的奇偶性⑴函数的奇偶性是对于函数的整个定义域而言的.由定义知，如果函数)(x f 是奇函数或偶函数，若x 在函数定义域内，则x -也一定在函数的定义域内，因此其定义域在数轴上表示的区间必然关于原点对称（简称“定义域关于原点对称”）.由此在判断函数是否具有奇偶性时，首先应检查其定义域是否关于原点对称.⑵证明函数的奇偶性，只能根据函数奇偶性的定义，即研究)(x f -和)(x f 的关系.⑶函数)(x f 的奇偶性情况有四种可能：①)(x f 是奇函数；②)(x f 是偶函数；③)(x f 既是奇函数又是偶函数；④)(x f 既非奇函数又非偶函数.⑷一个函数是奇函数的充要条件是函数的图像关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是函数的图像关于y 轴对称.函数奇偶性的证明通常根据奇偶性的定义.例6 判断函数的奇偶性:⑴ax x x f +=3)( ; ⑵1111)(22+++-++=x x x x x f ; ⑶x xx x f -+⋅-=11)1()(; ⑷⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=).0()1()0(,0)0(,)1()(22x x x x x x f ,例7 已知定义在),(+∞-∞上的偶函数)(x f 在区间]0,(-∞是增函数，求证：)(x f 在区间),0[+∞上是减函数.例8 已知定义在R 上的函数)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且11)()(2+-=+x x x g x f ，求函数)(x f 的解析式.例9 求证：函数1)1()(++-=k x k x f 不可能既是奇函数又是偶函数.DSE 金牌数学专题系列 第 讲过手训练 姓名：（快速五分钟，稳准建奇功）1．如果偶函数)(x f 在区间[)+∞,0上是增函数，那么)(x f 在区间(]0,∞-上（ ） A ．是减函数 B ．是增函数C ．可能是减函数，也可能是增函数D ．不一定具有单调性2．对于奇函数)(x f ，必有 （ ） A ．0)()(>--x f x f B ．0)()(≤--x f x f C ．0)()(>-⋅x f x f D ．0)()(≤-⋅x f x f3．函数122-+=mx x y 在区间[)+∞-,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1-≤mB ．1-≥mC ．1≤mD ．1≥m4．函数322-+=x x y递增区间是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．(]1,-∞- C ．[)+∞,1 D ．(]3,-∞- 5．函数⎩⎨⎧<+≥-=)0(2),0(2)(x x x x x f （ ） A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既非奇函数又非偶函数6．已知函数)(x f y =在区间[]2,0上是减函数，且)2(+=x f y 是偶函数，则下 列不等式中正确的是 （ ）A ．)21()23()3(f f f <<B ．)21()3()23(f f f << C ．)3()23()21(f f f << D ．)3()21()23(f f f << 7．已知函数1)3()23()32()(2232++++++--+=m x m x m m x m m x f ， 当=m 时是奇函数，当=m 时是偶函数.8．有三个命题：①若)(x f 是奇函数，则必有0)0(=f ；②偶函数的图像必与y 轴相交；③若函数)(x f y =既是奇函数又是偶函数，则)(0)(R x x f ∈=，其中假命题是 。
函数的奇偶性1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。
特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。
换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。
2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。
若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。
二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。
2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。
3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且12D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。
§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。
能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。
反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。
问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。
函数的奇偶性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 理解函数的奇偶性及其图像特征；2、 能够简单应用函数的奇偶性及其图像特征；一、函数奇偶性定义 1、图形描述：函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数 定量描述一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。
特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。
换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。
2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。
若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶性。
二、函数具有奇偶性的几个结论1、()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图像关于原点对称。
2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。
的两个区间上单调性相同。
4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且12D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。
6、多项整式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项的系数全为零。
类型一 函数奇偶性的判断例1：判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f (x )＝2x 4＋3x 2； (2)f (x )＝1x＋x ；练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2＋1；(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |类型二 分段函数奇偶性的判定例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋1x >0x 2－1x <0的奇偶性．练习1：判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x >00x ＝0－x 2－2 x <0的奇偶性．练习2：如果F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3x >0f x x <0是奇函数，则f (x )＝________.的单调性类型三 利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式例3：若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x (1－x )，求：当x ≥0时，函数f (x ) 的解析式．练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f (x )是R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝2x ＋1，则函数f (x )的解析式为________________．练习2：(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，则当x <0时，f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝x －1C ．f (x )＝－x ＋1D ．f (x )＝－x －1类型四 抽象函数奇偶性的证明 例4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数a 、b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证： f (x )为奇函数．练习1：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，若对于任意实数x 1、x 2，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．2：已知()f x 是定义在R 上的任意一个增函数，()()()G x f x f x =--，则()G x 必定为（ ） A 、增函数且为奇函数 B 、增函数且为偶函数 C 、减函数且为奇函数 D 、减函数且为偶函数 类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝x2＋|x －a|＋1的奇偶性．练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f (x )＝x 2＋ax，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．练习2：(2014～2015学年度潍坊市四县市高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝ax ＋b x(其中a 、b 为常数)的图象经过两点(1,2)和(2，52)．(1)求函数f (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的奇偶性．类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值例6: 已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.求实数a 、b 的值；练习1: (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)已知函数f (x )＝x ＋b1＋x2为奇函数.求b 的值；练习2: 若函数(0)y kx b k =+≠是奇函数，则b = ；若函数2(0)y ax bx c a =++≠为偶函数，则b = 。
类型七：利用奇偶性解不等式例7：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．练习1：定义在[－2,2]上的偶函数f(x)，当x ≥0时单调递减，设f(1－m)<f(m)，求m 的取值 范围．练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23类型八 利用奇偶性求函数值例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求 f(1)．练习1：已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝( ) A ．－15 B ．－13 C ．－5 D ．5练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( ) A ．0 B ．1 C ．52 D ．51、判断下列函数的奇偶性：（1）()11f x x x =+--； （2）()()111xf x x x+=-•-2、已知函数()f x 是奇函数，定义域为{}0x x R x ∈≠且，又()f x 在()0,+∞上为增函数，且()10f -=，则满足()0f x >的x 的取值范围是 。
3、 若2)(24+-=bx ax x f ，且5)(=c f ，求)(c f -的值；4、已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，3()(1f x x x =+，求()f x 的解析式。
5、已知()()2111x af x x x bx +=-≤≤++奇函数，求,a b 的值。
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (－3)＝－2，则f (3)＋f (0)＝( ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．72．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定经过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )，其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若二次函数f (x )＝x 2＋(b －2)x 在区间[1－3a,2a ]上是偶函数，则a 、b 的值是( ) A ．2,1 B ．1,2 C ．0,2D ．0,14．(2014·湖南理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．35．(2014·全国新课标Ⅰ理，3)设函数f (x )、g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在R上的解析式是( )A．f(x)＝－x(x－2) B．f(x)＝x(|x|－2)C．f(x)＝|x|(x－2) D．f(x)＝|x|(|x|－2)7．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝______.能力提升8．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)______f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)9．(2014～2015学年度青海师范大学附属第二中学高一上学期月考)设函数f(x)＝x2－2|x|(－3≤x≤3)．(1)证明：f(x)是偶函数；(2)画出此函数的图象，并指出函数的单调区间．10．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝(x2＋1)(x＋1)，求f(x)、g(x)．。
