图形的位似作图练习

4．8 图形的位似第1课时位似图形及其画法基础题知识点1 位似的基本概念1．下列每组的两个图形不是位似多边形的是( )2．(东营中考)下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是( )A．②③ B．①②C．③④ D．②③④3．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为( )A．1B．2C．4D．84．如图是几组三角形的组合图形，图1中，△AOB∽△DOC；图2中，△ABC∽△ADE；图3中，△ABC∽△ACD；图4中，△ACD∽△CBD.小Q说：图1、2是位似变换，其位似中心分别是O和A.小R说：图3、4是位似变换，其位似中心是点D.请你观察一番，评判小Q，小R谁对谁错．知识点2 位似作图5．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在( )A．原图形的外部 B．原图形的内部C．原图形的边上 D．任意位置6．如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，已知四边形ABCD和点O，请以O为位似中心，作出四边形ABCD的位似图形，把四边形ABCD放大为原来的2倍．中档题8．(玉林中考)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6C．9 D．129．如图，已知△EFH和△M NK是位似图形，那么其位似中心是点________．10．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′＝________cm，请在图中画出位似中心O.11．如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，相似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，相似比k2＝1.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？相似比是多少？12．在放映电影时，我们需要把胶片上的图片放大到银幕上，以便人们欣赏．如图，点P为放映机的光源，△ABC 是胶片上面的画面，△A′B′C′为银幕上看到的画面．若胶片上图片的规格是2.5 cm×2.5 cm，放映的银幕规格是2 m×2 m，光源P与胶片的距离是20 cm，则银幕应距离光源P多远时，放映的图像正好布满整个银幕？综合题13．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，点A 、B 、A′、B′、O 共线，点O 为位似中心．(1)AC 与A′C ′平行吗？为什么？(2)若AB ＝2A′B′，OC ′＝5，求CC′的长．参考答案1．B 2.A 3.B 4.根据位似图形的定义得出：小Q 对，1，2都可以看成位似变换，位似中心分别为O 、A ，3、4虽然都存在相似三角形，但对应顶点的连线不相交于一点，而且对应边也不平行，所以3、4不是位似变换． 5.D 6.D 7.连接OA ，OB ，OC ，OD ，延长OA 到A′使OA′＝2OA ，延长OB 到B′使OB′＝2OB ，延长OC 到C′使OC′＝2OC ，延长OD 到D′使OD′＝2OD ，顺次连接A′、B′、C′、D′，则四边形A′B′C′D′就是所求作的四边形． 8.D 9.B 10.4 如图，点O 即为所求． 11.∵四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D ′.∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″.∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD.∵对应顶点的连线过同一点，∴四边形A ″B″C″D″和四边形ABCD 是位似图形．∵四边形ABC D 和四边形A′B′C′D′位似，相似比k 1＝2，四边形A ′B ′C ′D ′和四边形A″B″C″D″位似，相似比k 2＝1，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD 的相似比为12. 12.图中△A′B′C′是△ABC 的位似图形．设银幕距离光源P 为x m 时，放映的图像正好布满整个银幕．则相似比为x 0.2＝20.025.解得x ＝16.所以银幕应距离光源P 为16 m 时，放映的图像正好布满整个银幕． 13.(1)AC∥A′C′.理由如下：∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.∴∠A ＝∠C′A′B′.∴AC∥A′C′.(2)∵△ABC∽△A′B′C′，∴AB A′B′＝AC A′C′.∵AB ＝2A′B′，∴AC A′C′＝21.又∵△ABC 与△A′B′C′是位似图形，∴OC OC′＝AC A′C′＝21.∵OC ′＝5，∴OC ＝10.∴CC′＝OC －OC′＝10－5＝5.。

第1题 第3题 第4题 第17课时：图形的位似班级 姓名 学号【基础训练】1、如图，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，PA 1＝32PA ，则AB:A 1B 1的值为 . 2、两个位似图形的对应线段长为3cm 和4.5cm ，且较小图形的周长为45cm ，则较大图形的周长为 ．3、如图，矩形ABCD 与矩形EFGH 是位似形，点O 是位似中心，且OB ︰OF ＝3︰5，则矩形ABCD 与矩形EFGH 的面积之比等于 .4、如图，△ABC 与△A′B′C′是位似形，点O 是位似中心，若OA ＝2AA′，S △ABC ＝8，则 S △A′B′C′＝ .5、如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ） A 、（－a ，－2b ） B 、（－2a ，－b ） C 、（－2a ，－2b ） D 、（－2b ，－2a ）6、如图，△ABC 中，A ，B 两个顶点在x 轴的上方，C 的坐标是（－1，0)．以点C 为位似中心,在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍，记所得的像是△A ′B ′C′, 设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是 （ ） A 、a 21-B 、)1a (1+-C 、)1a (21--D 、)3a (21+-7、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别 为A （1，2）、B （4，1）、C （3，3）在第一、三象限分别画出与△ABC 为2:1，并分别写出所画三角形的顶点坐标为：在第一象限内：A 1 ，B 1 ，C 1 ；在第三象限内：A 2 ，B 2 ，C 2 .C ′ C B ′ B A ′ A O O AD EH G F B C B A CED P D 1E 1 A 1 B 1 C 1【拓展提升】8、如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为（3，2），（－1，－1），【分析过程】9、如图，在直角坐标系中△ABC 的A 、B 、C 三点坐标为A(7，1)、B(8，2)、C(9，0)．（1）请在图中画出△ABC 的一个以点P (12，0)为位似中心，相似比为3的位似图形(要求与△ABC 同在P 点一侧)；（2）求线段BC 的对应线段B′C′所在直线的解析式．10、如图，用下面的方法可以画△AOB 的“内接等边三角形”.阅读后证明相应的问题： 画法：（1）在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上,点D 在OB 上，（2）连接OE 并延长，交AB 于E 1；过点E 1作E 1C 1∥EC ，交OA 于点C 1，作E 1D 1∥ED ，交OB 于点D 1，（3）连接C 1D 1，则△C 1D 1E 1是△AOB 的内接三角形； 请你判断△C 1D 1E 1是否是等边三角形，并说明理由.完成时间：家长签字：A B O CD EE 1C 1D 1。

位似【学习目标】1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图．【学习难点】利用位似将一个图形放大或缩小．【学习过程】[探究研讨][活动1]提出问题：生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？图27.3-2通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)知识点八：位似1、位似的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形。

交点叫做位似中心。

每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．2、位似的性质：位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小4、位似变换与坐标的关系在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -例题1：已知EFH ∆和MNK ∆是位似图形，请找出位似中心A例2：把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的21． 分析：把原图形缩小到原来的21，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．问：此题目还可以如何画出图形？作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ， OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ， OB ， OC ， OD的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3． 作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得21OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．（当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）例题3：如图：五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似图形，O 为位似中心、OD ＝12OD '，则A B AB ''为______例4：ABC ∆三个顶点坐标分别为()6,6A -、()8,2B -、()4,0C -、画出它的以原点为位似中心，相似比为12的位似图形。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《27.3位似》同步题型分类练习题（附答案）一．位似变换1．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（）A．4：7B．4：3C．6：4D．9：52．如图平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形ABCD的边长为3，则F点坐标为（）A．（16.5，9）B．（18，12）C．（16.5，12）D．（16，12）3．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，能够与四边形ABCD是位似图形的为（）A．四边形NGMF B．四边形NGME C．四边形NHMF D．四边形NHME 4．如图所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），C（﹣2，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：2放大，放大后的图形记作△A'B'C'，则C'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（﹣5，2）C．（﹣4，2）D．（﹣3，2）5．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD与矩形EFGO位似，矩形ABCD的边CD在y轴上，点B的坐标为（﹣4，4），矩形EFGO的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为（2，1），则矩形ABCD与EFGO的位似中心的坐标是．6．如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（0，2），C、D 两点的坐标分别为C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．若线段AB和线段CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为．8．《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．9．如图，△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（1，2）在第一象限的对应点A1的坐标是．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，以点O为位似中心，△A1B1C1和△ABC 相似比为2：1，在网格中画出新图象△A1B1C1，若每个小正方形边长均为1，请写出A1，B1，C1的坐标．11．如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△A n B n∁n组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点…A n是OA n﹣1的中点，顶点B2，B3，…，B n．C2，C3，…，∁n都在B1C1边上．（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；（2）求出第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长．12．如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．（1）求证：四边形PQMN为正方形；（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．13．（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴t，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是，若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'点E重合，则点E表示的数是．（2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4），对△ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同个实数a，将得到的点先向右平移m单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到△A′B′C′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′（1，2），B′（3，2）．△ABC内部是否存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，若存在，求出点F 的坐标；若不存在请说明理由．14．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．二．作图-位似变换15．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．116．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（1，1），17．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（）A．（m，n+3）B．（m，n﹣3）C．（m，n+2）D．（m，n﹣2）18．如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为．19．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA ＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是．21．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A 不在同一象限内，则点A1的坐标为．22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．23．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，0），B（3，1），C （2，3）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△DEF，△ABC 与△DEF的位似比为；（2）如果△ABC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M'的坐标（，）．24．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．（1）在平面直角坐标系中画出位似中心；（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，确定点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．25．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．（1）在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心M点的位置并写出M点的坐标．（2）若以点A1为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1．（3）直接写出（2）中C2点的坐标．26．如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并写出A2的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．28．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．参考答案一．位似变换1．解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴＝，∵AC∥DF，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝，∴AO：AD＝4：7，故选：A．2．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，∴＝＝，即＝＝，解得：EF＝12，OB＝4，∴F（16，12）．故选：D．3．解：如图，四边形ABCD的位似图形是四边形NGMF．故选：A．4．解：∵以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作△AB'C'，∴AC＝AC′，∴点C是线段AC′的中点，∵A（1，0），C（﹣2，1），∴C'的坐标为（﹣5，2）．故选：B．5．解：连接BF交y轴于点P，∵C和F是对应点，∴点P为位似中心，由题意得，GF＝2，AD＝4，GC＝4﹣1＝3，∵BC∥GF，∴△BPC∽△FPG，∴＝，即＝2，解得，GP＝1，∴OP＝2，∴位似中心的坐标是（0，2），故答案为：（0，2）．6．解：作BE⊥OA于E，则∠BEO＝90°，∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，∴点B的坐标为：（3，），∵以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2），即（6，2），故答案为：（6，2）．7．解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，∵A（﹣1，2）、B（0，2），C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．∴AB＝1，CD＝2，BC＝3，∵线段AB和CD是位似图形，∴AB∥CD，∴＝，即＝，解得BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝1，∴位似中心点E的坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．8．解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．9．解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，∵A（1，2），点A（1，2）在第一象限的对应点是A1，∴点A1的坐标为：（2，4）．故答案为：（2，4）．10．解：如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，8），B1（6，6），C1（6，2）．11．解：（1）∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，∴正△A2B2C2的边长为，正△A3B3C3的边长为（）2，正△A10B10C10和的边长为（）9，正△A7B7C7的边长为（）6，∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝；它们的位似中心为点O；（2）∵第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的边长为（）n﹣1，∴第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长为．12．（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，∴四边形PQMN为矩形，∵四边形P'Q'M'N'是正方形，∴PN∥P′N′，∴＝，∵MN∥M′N′，∴＝，∴＝，而P′N′＝M′N′，∴PN＝MN，∴四边形PQMN为正方形；（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，∵△ABC的面积＝1.5，∴AB•AC＝1.5，∴AB＝2，∴BC＝＝2.5，∵BC•AD＝1.5，∴AD＝＝，设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即PN的长为m．13．解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；故答案为：0，3，；（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+2＝x，y+2＝y，解得x＝y＝4，所以，点F的坐标为（4，4），∵点F的坐标为（4，4）不在△ABC内，故△ABC内部不存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合．14．解：（1）在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0，即0＝﹣x2+x+2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），令x＝0，即y＝2，∴C（0，2）；（2）如图，当抛物线经过A1（2，6），B1（﹣4，6）时，设抛物线的解析式，y＝﹣x2+bx+c，则有，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+14＝﹣（x+1）2+15，当抛物线经过A2（﹣2，﹣2），B2（4，﹣2）时，同法可得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7．∵原来的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，∴+1＝，15﹣＝，∴原来抛物线向左平移，再向上平移单位得到y＝﹣x2﹣2x+14．1﹣＝，7﹣＝，原来抛物线向右平移单位，再向上平移单位得到y＝﹣x2+2x+6．二．作图-位似变换15．解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．故选：A．16．解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），k的值为：＝．故选：B．17．解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x，y），则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1，∴＝＝，即＝＝，解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），故选：A．18．解：由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点C的坐标为（3×，6×），即（1，2），当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．19．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；AO：AA'＝2：1；点C、O、C'三点在同一直线上，①①②④正确，故答案为：①②④．20．解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．21．解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），故答案为：（﹣1，2.5）．22．解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．23．解：（1）如图，△DEF即为所求；（2）M′（﹣2a，﹣2b）．故答案为：﹣2a，﹣2b．24．解：（1）如图点O即为位似中心；（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标（2a，2b）．25．解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）C2（﹣4，2）．26．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．A2的坐标（﹣2．，﹣2）．27．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．28．解：（1）如图，（2）2：1，（3）A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）．。

第二十七章第3节《位似》单元测试题 (17)一、单选题1．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为（9，0）、（6，﹣9），△AB'O'是△ABO 关于点A 的位似图形，且O'的坐标为（﹣3，0），则点B'的坐标为（ ）A ．（8，﹣12）B ．（﹣8，12）C ．（8，﹣12）或（﹣8，12）D ．（5，﹣12）2．1. 下列说法不正确的是 （ ）A ．位似图形一定是相似图形B ．相似图形不一定是位似图形C ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D ．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行3．将OAB ∆以点O 为位似中心放大为原来的2倍，得到OA B ''∆，则:OAB OA B S S ''∆∆等于（ ） A ．1:2 B ．1:3 C ．1:4 D ．1:84． 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上， OC 在y 轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的14，那么点B′的坐标是（ ）A ．（－2，3）B ．（2，－3）C ．（3，－2）或（－2，3）D ．（－2，3）或（2，－3） 5．平面直角坐标系中，有一条鱼，它有六个顶点，则( )A．将各点横坐标乘以2，纵坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似B．将各点纵坐标乘以2，横坐标不变，得到的鱼与原来的鱼位似C．将各点横，纵坐标都乘以2，得到的鱼与原来的鱼位似D．将各点横坐标乘以2，纵坐标乘以12，得到的鱼与原来的鱼位似6．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)、B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)7．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．128．在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．9．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在第一象限内，按照位似比2:3将OAB放大得到OCD，且A点坐标为(2,3)，B点坐标为(3,3)，则线段CD长为（）A ．13B ．2C ．23D ．32二、解答题10．如图，△ABC 的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)，以原点为位似中心，在原点的另一侧画出△A 1B 1C 1 ，使11AB A B =12，并写出△A 1B 1C 1 各顶点的坐标.11．已知O 是坐标原点，A 、B 的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）：（1）画出△OAB 绕点O 顺时针旋转90°后得到的△OA 1B 1；（2）以O 为位似中心，相似比为2，在y 轴左侧将△OAB 放大，得到△OA 2B 2，在网格中画出△OA 2B 2并直接写出A 2、B 2两点坐标．12．如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，有一个格点△ABC （各个顶点都是正方形网格的格点）．（1）画出△ABC 关于直线l 对称的格点△111A B C ；A B C；（2）画出以点O为位似中心，在网格内把△ABC放大到原来的2倍的△222A B C．（3）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△33313．如图,在平面直角坐标系中,点A,B,E,D,F的坐标分别是A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF 是由△AOB经过位似变换得到的,求位似中心的坐标.14．如图，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（3，2）、B（2，0），将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍，得到对应点D、E、F．(1)在图中画出△DEF；(2)点E是否在直线OA上？为什么？(3)△OAB与△DEF______位似图形（填“是”或“不是”）15．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A、B、C的坐标分别为（－2，4）、（－2，0）、（－4，1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将△ABC绕O点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以点P（－1，1）为位似中心，在△ABC的异侧作位似变换，且使△ABC的面积扩大为原来的4倍，得到△A2B2C2，并写出点A2的坐标.16．如图，已知在平面直角坐标系中，A（2，1），B（3，3），C（5，2）．（1）画图：以A点为位似中心向右侧放大两倍；（2）△ABC内有一点p（a，b）求放大后对应点的坐标．17．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是．（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG ⊥BE ．（3）应用：在（2）情况下，连结GE （点E 在AB 上方），若GE ∥AB ，且AB AE ＝1，则线段DG 是多少？（直接写出结论）18．如图，以O 为位似中心，在网格内作出四边形ABCD 的位似图形，使新图形与原图形的相似比为2：1，并以O 为原点，写出新图形各点的坐标．19．图①、图②、图③都是66⨯的网格，每个小正方形的顶点称为格点．ABC 顶点A 、B 、C 均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图痕迹．（1）在图①中画出ABC 中BC 边上的中线AD ；（2）在图②中确定一点E ，使得点E 在AC 边上，且满足BE AC ⊥；（3）在图③中画出BMN △，使得BMN △与BCA 是位似图形，且点B 为位似中心，点M 、N 分别在BC 、AB 边上，位似比为13．20．如图，直线13y x b =-+与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，与反比例函数()0k y x x=<交于点,C 点A 的坐标为()3,0,CD x ⊥轴于点D ．（1）点B 的坐标为 ；（2）若点B 为AC 的中点，求反比例函数()0k y x x=<的解析式； （3）在（2）条件下，以CD 为边向右作正方形,CDEF EF 交AC 于点,G 直接写出CGF △的周长与ABO 的周长的比．21．ABC ∆在边长为1的正方形网格中如图所示．（1）以点C 为位似中心，作出ABC ∆的位似图形111A B C ∆，使其位似比为1:2.且111A B C ∆位于点C 的异侧，并表示出1A 的坐标；（2）作出ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒后的图形222A B C ∆．三、填空题22．已知：△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以O为位似中心画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是_________．23．已知ABC与DEF是位似图形，以x轴上的一点为位似中心，点(1,1)A-的对应点D的坐标为(1,2)，则(2,2)B-的对应点E的坐标为_______.24．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是_____________．25．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是_______．26．如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3 ，点A 的坐标为（0，2），则点E的坐标是____.27．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为12，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′_____，B′_____；点A到原点O的距离是______．28．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4,∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是______．29．如图，在平行四边形ABCD中，E为边BC上一点，AC与DE相交于点F，若CE＝2EB，S△AFD ＝27，则S△EFC等于_____．【答案与解析】1．D【解析】过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，利用位似图形的性质可求出B′D的长，可得B′的纵坐标，利用待定系数法可得直线AB的解析式，把B′纵坐标代入即可得B′的横坐标，即可得答案.过点B作BC⊥OA于点C，过点B′作B′D⊥AO于点D，∴BC、B′D分别是△ABO和△AB′O′的高，∵A（9，0）、B（6，﹣9），O′（-3，0），∴AO=9，AO′=12，BC=9，∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，∴AOAO'＝BCB D'，即912＝9DB'，解得：B′D＝12，∴点B′的纵坐标为-12，设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴9069 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得：k3b27=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为：y＝3x﹣27，当y＝﹣12时，﹣12＝3x﹣27，解得：x＝5，故B′点坐标为：（5，﹣12），故选D．此题主要考查了位似图形的性质以及相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题关键.2．D【解析】本题主要考查了位似图形的定义．如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，因而A，B，C正确，D错误．解：根据位似图形的定义可知，B，C正确，似图形中每组对应点所在的直线相交于一点，D错误．故选D．3．C【解析】根据位似图形都是相似图形，再直接利用相似图形的性质：面积比等于相似比的平方计算可得．）∵将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA′B′，∴S△OAB：S△OA′B′=1：4.故选：C.本题考查位似图形的性质，解题关键是首先掌握位似图形都是相似图形．4．D【解析】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形．把一个图形变换成与之位似的图形是位似变换．因此，∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC．∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，∴位似比为：12．∵点B的坐标为（－4，6），∴点B′的坐标是：（－2，3）或（2，－3）．故选D．5．C【解析】解：平面直角坐标系中图形的各个顶点，如果横纵坐标同时乘以同一个非0的实数k，得到的图形与原图形关于原点成位似图形，位似比是|k|．若乘的不是同一个数，得到的图形一定不会与原图形关于原点对称．故选C．6．A试题分析：利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，∴端点C的坐标为：（3，3）．故选A．考点：位似变换；坐标与图形性质．7．D【解析】利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．解：根据位似比可得：△ABC的面积：△A′B′C′的面积=1:4，则△A′B′C′的面积=12.故选：D此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．8．D【解析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．9．D【解析】先求出AB的长，再根据位似图形的性质即可求解．∵A点坐标为(2,3)，B点坐标为(3,3)，∴AB=1∵按照位似比2:3将OAB放大得到OCD，∴23 AB CD故CD=32故选D ．此题主要考查位似的求解，解题的关键是熟知位似图形的性质10．画图见解析；点A 1(-2，-6)，B 1(-8，-4)，C1(-4，-2).【解析】 根据题意利用画位似图形的作图技巧以原点为位似中心，以12为位似比作图并结合图像写出△A 1B 1C 1 各顶点的坐标. 解：利用画位似图形的作图技巧以原点为位似中心，以12为位似比作图: 因为11AB A B =12，△A 1B 1C 1 各顶点的坐标为原坐标A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)，横纵坐标互为相反数的2倍，即A 1(-2，-6)，B 1(-8，-4)，C 1(-4，-2).本题考查位似图形的作图，熟练掌握并利用画位似图形的作图技巧以及位似比进行作图分析是解题的关键.11．(1)见解析；（2）A 2（﹣6，﹣2）、B 2（﹣4，2）【解析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．（1）如图所示：△OA 1B 1，即为所求；（2）如图所示：△OA 2B 2，即为所求，A 2（﹣6，﹣2）、B 2（﹣4，2）．考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．12．（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）利用对称的性质分别作出A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1；（2）延长AO到A2使A2O=2OA，则点A2为点A的对应点，同样方法作出B、C的对应点B2、C2，从而得到△A2B2C2为所作；（3）根据网格特点和旋转的性质画出A、B、C对称点A3、B3、C3，从而得到△A3B3C3．（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）如图，△A2B2C2为所作；（3）如图，△A3B3C3为所作．．【知识点】本题考查了位似变换以及轴对称变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．13．位似中心的坐标为P(-5,0).【解析】利用已知坐标得出位似比，进而求出位似中心的坐标．解:连接DA,并延长交x轴于点P,因为A(4,3),B(4,0),E(5,0),D(13,6),F(13,0),△DEF是由△AOB经过位似变换得到,所以相似比为3162=,则12PBPF=,即41132POPO+=+,解得PO=5.故位似中心的坐标为P(-5,0).此题考查位似变换以及坐标与图形的性质，解题关键是得出位似比．14．（1）见解析；（2）点E在直线OA上；（3）是.【解析】（1）根据题意将各点坐标扩大2倍得出答案；（2）求出直线OA的解析式，进而判断E点是否在直线上；（3）利用位似图形的定义得出△OAB与△DEF的关系．解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）点E在直线OA上，理由：设直线OA的解析式为：y＝kx，将A（3，2）代入得：2＝3k，解得：k＝23，故直线OA的解析式为：y＝23x，当x＝6时，y＝23×6＝4，故点E在直线OA上；（3）△OAB与△DEF是位似图形．故答案为是．本题考查的知识点是作图-位似变换，解题的关键是熟练的掌握作图-位似变换. 15．（1）作图见解析（2）作图见解析，点A2的坐标为：（1，－5）【解析】（1）根据旋转的意义，分别连接OA、OB、OC，将它们绕点O分别逆时针旋转90°即可.（2）根据相似的性质，得出两图形的相似比，相似比即为位似比，然后根据位似的作图方法进行位似作图即可.通过观察图形即可确定A 2的坐标.解：（1）分别连接OA 、OB 、OC将OA 、OB 、OC 分别以点O 为旋转中心，逆时针旋转90°，到111OA OB OC 、、，连接111A B C 、、，如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；（2）根据相似的性质，面积之比等于相似比的平方，可知变换后的图形与三角形ABC 相似，且相似比为21：，位似比等于相似比，连接AP 并延长AP 到2A ,使2PA =2AP,连接CP 并延长CP 到2C ,使2PC =2CP,连接BP,并延长BP 至2B ,使22PB BP ，连接222A B C 、、如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，由图可知：点A 2的坐标为：（1，－5）.本题考查了旋转作图和位似作图，解决本题的关键是熟练掌握旋转和位似的意义以及它们的作图方法.16．（1）如图，△AB ′C ′为所作；见解析；（2）（2a ﹣2，2b ﹣1）．【解析】（1）作AB BB '=，AC CC '=，连接B C ''即可；（2）先平移到原点，再根据为似图形求解即可；（1）如图，△AB ′C ′为所作；（2）把A 点向左平移2个单位，向下平移1个单位与原点重合，点P （a ，b ）向左平移2个单位，向下平移1个单位的对应点P 1的坐标为（a ﹣2，b ﹣1）， 点P 1（a ﹣2，b ﹣1）以原点为位似中心向右侧放大两倍的对应点P 2的坐标为（2a ﹣4，2b ﹣2）， 把点P 2（2a ﹣4，2b ﹣2）向右平移2个单位，向上平移1个单位的对应点P ′的坐标为（2a ﹣2，2b ﹣1）．故答案为（2a ﹣2，2b ﹣1）．本题主要考查了坐标系中位似图形的知识点，准确分析作图是解题的关键．17．（1）BE ＝DG ，BE ⊥DG ；（2）证明见解析；（3）4【解析】（1）先判断出△ABE ≌△ADG ，进而得出BE=DG ，∠ABE=∠ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE ∽△ADG ，得出∠ABE=∠ADG ，再利用等角的余角相等即可得出结论；（3）先求出BE ，进而得出BE=AB ，即可得出四边形ABEG 是平行四边形，进而得出∠AEB=90°，求出BE ，借助（2）得出的相似，即可得出结论．（1）①∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，∴AE=AG ，AB=AD ，∠BAD=∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG ，在△ABE 和△ADG 中，AB AD BAE DAG AE AG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴BE=DG ；②如图2，延长BE 交AD 于G ，交DG 于H ，由①知，△ABE ≌△ADG ，∴∠ABE=∠ADG ，∵∠AGB+∠ABE=90°，∴∠AGB+∠ADG=90°，∵∠AGB=∠DGH ，∴∠DGH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE ⊥DG（2）∵四边形ABCD 与四边形AEFG 都为矩形，∴∠BAD=∠DAG ，∴∠BAE=∠DAG ，∵AD=2AB ，AG=2AE ， ∴12AB AE AD AG ＝=， ∴△ABE ∽△ADG ，∴∠ABE=∠ADG ，∵∠AGB+∠ABE=90°，∴∠AGB+∠ADG=90°，∵∠AGB=∠DGH ，∴∠DGH+∠ADG=90°，∴∠DHB=90°，∴BE⊥DG；（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）∵EG∥AB，∴∠DME=∠DAB=90°，在Rt△AEG中，AE=1，∴AG=2AE=2，根据勾股定理得，∵∴EG=AB，∵EG∥AB，∴四边形ABEG是平行四边形，∴AG∥BE，∵AG∥EF，∴点B，E，F在同一条直线上如图5，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，，由（3）知，△ABE∽△ADG，∴12 BE ABDG AD＝，∴212 DG＝，∴DG=4．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．18．作图详见解析；A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．【解析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，使各边都扩大2倍，再根据O为原点，写出新图形各点的坐标即可．解：如图所示，新图形为四边形A′B′C′D′，新图形各点坐标分别为A′（2，4），B′（4，8），C′（8，10），D′（6，2）．本题考查作图——位似变换．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）根据中线的定义，取BC中点D，连接AD即可；（2）将AC所在的2×4的长方形逆时针旋转90°即可确定点E；（3）将AC向左平移4个单位后，分别与BC、AB交于点M、N即可得出答案．解：（1）如图①所示，AD即为所求；（2）如图②所示，点E即为所求；（3）如图③所示，△BMN即为所求．本题主要考查作图﹣位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质及平行线分线段成比例定理．20．（1）()0,1；（2）6y x =-；（3）23【解析】（1）将点A 代入一次函数，从而得出一次函数的解析式，然后再求B 点的坐标；（2）根据题意，OB 是△ACD 的中位线，利用中位线的性质可得点C 的坐标，代入反比例函数可得解析式；（3）先证△CFG ∽△AOB ，在根据点的坐标，可求得CD 、AO 的长，根据相似三角形线段比即为周长比解得．（1）∵一次函数过点A ()3,0，代入得： 1033b =-⋅+ 解得：b=1∴一次函数为：113y x =-+ 令x=0，则y=1∴B(0，1)（2）,//.AB BC OB CD =,2OA OD CD OB ∴==()()()3,0,0,1,3,2A B C -.点C 在k y x=上 2,k x∴= 6y ∴=-∴反比函数解析式为6y x =-. （3）()()()3,0,D 3,0,3,2A C --∴CD=2，AO=3∵四边形CFED 是正方形，∴CF=CD=2，CF ∥AO ，∠F=90°∴∠FCG=∠BAO∵∠BOA=∠F=90°∴△CFG ∽△AOB∴CGF △的周长与ABO 的周长的比为：CF AO =23本题考查正方形的性质、求一次函数和反比例函数的解析式、相似的应用，解题关键是利用函数解析式，得出各个点的坐标，从而得出线段长度，进而开展推导过程．21．（1）图见解析，A 1的坐标为（3，-3）；（2）图见解析．【解析】(1)延长AC 到A 1使A 1C=2AC ，延长BC 到B 1使B 1C=2BC ，则△A 1B 1C 满足条件，再写出A 1坐标即可；(2)利用网格特点和旋转的性质画出A 、B 的对应点A 2、B 2，从而得到△A 2B 2C ．解：(1)如图，△A 1B 1C 为所作，点A 1的坐标为（3，-3）；(2)如图，△A 2B 2C 为所作；本题考查了作图——位似变换和作图——旋转变换．（1）中画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．（2）作旋转图形时，需明确旋转中心，旋转方向和旋转角度．22．()6,3或()6,3--【解析】根据位似图形的特点可知将对应点坐标乘以±3故可求解． 解：∵以O 为位似中心画△A 1B 1C 1，使得△A 1B 1C 1与△ABC 位似，且相似比是3，∴对应点坐标乘以±3，∵C （2，1），∴点C 1的坐标为：（6，3）或（﹣6，﹣3）．故答案为：（6，3）或（﹣6，﹣3）．此题主要考查坐标与图形性质、位似变换，解题的关键是熟知位似的特点．23．(7,4)-【解析】根据位似性质，先画出对应边AB 和DE ，作AF ⊥x 轴，DG ⊥x 轴，根据对应点的纵坐标求出位似比，根据位似比的意义求出位似中心坐标和点E 的纵坐标，再根据位似性质进一步求出E 的横坐标.如图，画出对应边AB和DE，则AB∥DE,作AF⊥x轴，DG⊥x轴，由已知可设位似中心P（x,0）,E （a,b）因为AF⊥x轴，DG⊥x轴，所以AF∥DG所以AF PADG PD==PBPE=ABDE因为点A(-1,1)的对应点D的坐标为(1,2)，所以，AB AF PADE DG PD===12，所以，212 PA PBPD PE b-===所以，根据位似性质，1121,122xx b---==-，分别解得x=-3,b=-4所以PBPE=()()23132a--=--，解得a=7所以E（7，-4）故答案为（7，-4）考核知识点：坐标与位似图形.根据题意画出图形，求出位似比是关键. 24．1:4【解析】由题意可知：△DEF∽△ABC，且相似比为1：2，∴△DEF与△ABC的面积比为：1：4.故答案为1：4.25．（52，-1）或（-52，1）．【解析】试题解析：∵以原点O 为位似中心，位似比为1：2，把△ABO 缩小，B （5，-2），∴点B 的对应点B′的坐标是：（52，-1）或（-52，1）． 考点：1.位似变换；2.坐标与图形性质．26．（3，3）【解析】根据位似图形的比求出OD 的长即可解题.解：∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图，位似比为 2：3 ，∴OA:OD=2:3,∵点A 的坐标为（0，2），即OA=2,∴OD=3,DE=EF=3,故点E 的坐标是（3，3）.本题考查了位似图形,属于简单题,根据位似图形的性质求出对应边长是解题关键.27．（12m ，12m ） （n ，12n ） m ．【解析】根据位似图形的性质得出即可．∵点A （m ，m ），B （2n ，n ），以原点O 为位似中心，相似比为1：2把线段AB 缩小，∴A ，B 对应点都乘以12或即可得出答案， 则点A 的对应点坐标为：（12m ，12m ），点B 的对应点坐标为：（n ，12n ）．由勾股定理得，=故答案为（12m ，12m ）；（n ，12n ）； m ．此题主要考查了位似变换的性质，注意要分在位似中心的同侧与异侧两种情况求解．28．（2，【解析】根据题意得出D 点坐标，再解直角三角形进而得出答案．分别过A 、C 作AE ⊥OB ，CF ⊥OB ，∵∠OCD ＝90°，∠AOB ＝60°，∴∠ABO ＝∠CDO ＝30°，∠OCF ＝30°，∵△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B 的坐标是（6，0），∴D（8，0），则DO＝8，故OC＝4，则FO＝2，CF＝CO•cos30°＝4×2＝故点C的坐标是：（2，．故答案为：（2，．此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．29．12【解析】由于四边形ABCD是平行四边形，所以得到BC∥AD、BC=AD，而CE=2EB，由此即可得到△AFD∽△CFE，它们的相似比为3：2，最后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD、BC=AD，CE=2EB，∴△AFD∽△CFE，且它们的相似比为3：2，∴S△AFD：S△EFC=（32）2，而S△AFD=27，∴S△EFC=12．故答案为12．本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是首先利用平行四边形的对边平行且相等构造相似三角形的相似条件，然后利用其性质即可求解．。

专题4.5图形的位似（5个考点）【考点1位似图形的识别】【考点2位似图形性质】【考点3位似图形的点坐标】【考点4判定位似中心】【考点5位似图形-作图】【考点1位似图形的识别】1．下列每组的两个图形不是位似图形的是（）A．B．C．D．2．在下列四个三角形中，以O为位似中心且与△ABC位似的图形序号是（）A．①B．②C．③D．④【答案】B【分析】根据位似图形的概念判断即可．【详解】解：∵②与△ABC相似，对应点的连线相交于点O，对应边互相平行，∴②与△ABC是位似图形且O为位似中心，故选：B．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．3．在下列图形中，不是位似图形的是()A．B．C．D．【答案】D【分析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．【详解】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．【点睛】此题主要考查了位似图形，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．4．下列图形中不是位似图形的为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意，B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意，根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意，根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意，【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．【考点2位似图形性质】5．如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若AA′:OA′=1:2，则△ABC的周长与△A′B′C′的周长比是（）A．3:2B．2:3C．9:4D．4:96．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DFE是以点O为位似中心的位似图形，OA=2OD，若AB=6，则DF 的值为（）A．3B．2C．3D．2【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形是相似图形，相似比等于位似比求解即可．7．如图，△ABC与△A1B1C1位似，位似中心是点O，若OA:OA1=1:2，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（）A．1:2B．2:1C．1:4D．4:18．如图，△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，OA:OD=1:2，若△DEF的面积为8，则△ABC的面积为（）A．2B．4C．6D．8【答案】A【分析】本题主要考查位似的性质，熟练掌握位似的性质即可得到答案．根据面积比等于位似比的平方计算即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是位似中心，∴△ABC∽△DEF∵OA:OD=1:2，∴AB DE=OA OD=12，∴S△ABC S△DEF=(12)2=14，∵△DEF的面积为8，故△ABC的面积为2．故选A．9．如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A′B′C′，下列说法中，错误的是（）A．AO:AA′=1:2B．AC∥A′C′C．S△ABC:S△A′B′C′=1:4D．A，O，A′三点在同一条直线上【答案】A【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵以点O为位似中心，把△ABC的各边长放大为原来的2倍得到△A′B′C′，∴A，O，A′三点在同一条直线上，AO:OA′=OC:OC′=1:2；△ABC∽△A′B′C′，且相似比为1:2，∴S△ABC:S△A′B′C′=1:4，∵AO:OA′=OC:OC′=1:2，∠AOC=∠A′OC′，∴△AOC∽△A′′，∴∠ACO=∠A′C′O，∴AC∥A′C′；综上：只有选项A错误；故选A．10．四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O．点A与点E对应，若OA OE=13，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为．11．如图，放缩尺是利用图形的位似将图形放大或缩小的工具，点O的位置固定不变，在A，A′处装有笔，当画笔A沿图F运动时，画笔A′画出图形F′，图形就放大了，反之，图形就缩小了．位似比可以通过调节点B，D的位置来确定，调整时确保AB∥CD，AD∥BC，点O，F，F′在同一直线上，若OD:DC=1:2，图形F的面积为1.5，则图形F′的面积为．【答案】13.5【分析】本题考查位似变换，平行线的性质等知识．利用位似变换的性质求解．【详解】解：如图，因为O，F，F′在同一直线上，连接OF′．∵DF∥CF′，∴OF:FF′=OD:DC=1:2，∴OF:OF′=1:3，∴图形F的面积：图形F′的面积=1:9，∵图形F的面积为1.5，∴图形F′的面积=13.5，故答案为：13.5．12．如图，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′．已知OA OA′=13，若△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积为．∵△ABC的面积是3，∴△A′B′C′的面积=3×9=27，故答案为：27．【考点3位似图形的点坐标】13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为(5,4)，点C的坐标为(3,0)，且AB=2DE，则点D的坐标为（）A．(2,2)B．(2,−2)C．(1,2)D．(1,−2)∵△ABC与△DEC是以点∴△ABC∽△DEC，∴AC DC=AB DE=2，∵A5,4，C3,0，∴OM=5，OC=3，AM=14．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A(−3,1)的对应点为A′(−6,2)，则点B(−2,4)的对应点B′的坐标为（）A．(−4,8)B．(8,−4)C．(−8,4)D．(4,−8)15．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O的坐标为0,0，顶点B的坐标为B(6,4)，若矩形OA′B′C′与矩形OABC关于原点O位似，且矩形OA′B′C′的周长为矩形OABC周长的12，则点B′的坐标为（）A．3,2B．−3,−2C．3,2或−3,6D．3,2或−3，−2的周长为矩形16．如图，平面直角坐标系中，A(2,0)),B(1,2),C(−1,1)，以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：3放大，放大后的图形记作△AB1C1，则C1的坐标为（）A．−10,4B．−7,4C．−10,3D．−7,317．如图，在平面直角坐标系中，等边△OAB的顶点O0,0，B1,0，已知△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，则点A对应点A′的坐标为（）A1232B．23,2或−23,−2C．4,43D．2,23或−2,−23【答案】D【分析】本题考查的是位似变换的性质，根据位似变换的性质以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，计算即可．【详解】解：∵等边△OAB的顶点O0,0，B1,0，∴OA=OB=2，过A作AC⊥x轴于C，∵△AOB是等边三角形，∴OC=12OB=12，∴AC=AO2−OC2=32，∴A12,32，∵△OA′B′与△OAB位似，位似中心是原点O，且△OA′B′的面积是△OAB面积的16倍，∴△OA′B′与△OAB的位似比为4：1，∴点A的对应点A′的坐标是12×4，32×4或12×−4，32×−4，即2,23或−2,−23，故选：D．18．已知：如图，E−4,2，F−1,−1，以O为位似中心，按比例尺1:2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）.A．2,−1或−2,1B．−2,−1或2,−1C．2,−1D．2,−119．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的12，得到△CDO，则点A−4,2的对应点C的坐标是（）A．−2,1B．−8,4C．−2,1或2,−1D．−8,4或8,−420．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点A、D均在x轴正半轴上．若点A坐标为1,0，AB=1.5,DE=4.5，则点D的坐标为．【答案】3,0【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，根据位似图形一定相似，位似比等于相似比，求出两个图形的位似比，进而求出点D的坐标即可．【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC与△DEF的相似比=AB:DE=1.5:4.5=1:3，∴△ABC与△DEF的位似比为1:3，∵A1,0，∴点D的坐标为3,0．故答案为3,0．21．如图，△A′B′C和△ABC是以点C为位似中心的位似图形，△A′B′C和△ABC的面积之比为1:4，点C的坐标为2,0；若点B的横坐标为8，则点B的对应点B′的横坐标为．′E⊥x轴于，则BF∥B′E，∴△BCF∽△B′CE，∴EC CF=B′C BC，∵点C的坐标为2,0；若点B的横坐标为的面积之比为21．如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，相似比为2∶1，点A的坐标为1,2，则点A′的坐标为．【答案】2,4【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．【详解】解：根据题意，△A'B'C'与△ABC关于原点O位似，且相似比为2∶1，则OA′=2OA，∵点A的坐标为1,2，则A′的坐标为2,4故答案为：2,4．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，AB A′B′=23，已知A1,2，则顶点A′的坐标为．【考点4判定位似中心】23．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】D【分析】此题主要考查了位似变换的性质．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，即可解答．【详解】解：如图，∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，故选：D．24．如图，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，且点D与点G是一对对应点，点D2，2，点G0，1，则它们位似中心的坐标是（）A．(−2，0)B．(−1，0)C．(0，0)D．(−3，0)故选A．【点睛】考题考查了判断位似中心和求解位似中心，待定系数法求一次函数，熟练掌握位似中心的定义是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形．位似中心是（）A．（8，0）B．（8，1）C．（10，0）D．（10，1）【答案】C【分析】连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心．【详解】解：如图，点E即为位似中心，E（10，0），故选：C．【点睛】此题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键．26．如图，点O是正三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形，此时△P′Q′R′与△PQR的位似中心是（）A．点O B．点P C．点R D．点Q27．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是．【答案】（9，0）【分析】根据位似中心的概念解答即可．【详解】解：连接A′A和B′B并延长相交于点D，则点D即为位似中心，作图如下：点D的坐标为（9，0），即位似中心的坐标为（9，0），故答案为：（9，0）．【点睛】本题考查的是位似变换的概念，解题的关键是掌握各对应点所在直线的交点即为位似中心．28．如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是．【答案】（﹣4，﹣3）【分析】根据位似图形的性质，对应点的连线交于一点则可得出答案．【详解】解：∵△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则连接A1A和B1B并延长相交，交点即为P点，∴如图所示，P点的坐标为：(−4,−3)，故答案为：(−4,−3)．【点睛】本题考查了位似图形的性质，得出位似图形对应点的连线交于一点是解题的关键．【考点5位似图形-作图】29．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A−1,−1，B−4,−2，C0,−3(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以点O为位似中心，在网格内将△ABC放大为原来的2倍，得到△A2B2C2，并写出点B2的坐标．【答案】(1)见解析(2)画图见解答；B28,4【分析】本题考查作图-轴对称变换、位似变换，熟练掌握作图方法是解题关键．（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）根据位似的性质作图，即可得出答案．【详解】（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．由图可得，B28,4．30．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标为O(0,0)，A(−2,−1)，B(−1,−3)，△O1A1B1与△OAB是以点P为位似中心的位似图形，点O1，A1，B1都在格点上．(1)在图中画出点P，并写出点P的坐标；(2)以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出与△OAB位似的△OA2B2，使它与△OAB的相似比为2:1，并写出点A的对应点A2的坐标．【答案】(1)见解析，点P的坐标为−5,−1．(2)见解析，点A2的坐标为−4,−2【分析】本题主要考查了位似变换作图，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键．（1）连接O1O与BB1，交点即为点P；（2）根据相似比画出图形即可得到答案．【详解】（1）解：点P的位置如图所示．点P的坐标为−5,−1；（2）解：△OA2B2如图所示．点A2的坐标为−4,−2．．31．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为1,0，4,−1，3,2．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．(1)写出点P的坐标__________；(2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使相似比为2∶1．【答案】(1)0，−2(2)作图见解析作位似图形等知识，，在平面直角坐标系中直接写出坐标即可得到答案；∴（2）解：如图所示：∴32．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的9×9网格中，已知点O、A、B、C均为网格线的交点．(1)以点O为位似中心，在网格中画出△ABC的位似图形△A1B1C1使原图形与新图形的相似比为1:2；(2)把△ABC向上平移3个单位长度后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；(3)△A2B2C2的面积为______．【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)2．∴如图所示，△A1B1C1就是所求作的三角形；（2）如图，△ABC的每一个顶点都向上平移∴如图所示，△A2B2C2就是所求作的三角形；（3）解：△A2B2C2的面积故答案为：2．33．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，△ABC是格点三角形（顶点为网格线的交点），O为格点．(1)将△ABC向左平移4个单位长度，画出平移后的△A111；(2)在给定的网格中，以点O为位似中心，画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的位似比为1:2．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键．（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案．【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）解∶如图所示，△A2B2C2即为所求．34．在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,−4)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．(2)在y轴右侧画出以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来12后得到的△A2B2C2．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了作作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接下来根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到的坐标，然后描点即可；2B2C235．图①、图②都是6×6的网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成作图，并保留作图痕迹．(1)在图①中，以点C为位似中心，将△ABC放大到原来的2倍；(2)在图②中，在线段AC上作点D，使得AD∶CD=2∶3．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【分析】本题考查了位似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键；（1）根据位似的性质作图即可；（2）取格点M，N，使MN∥CN，且AM∶CN=2∶3，连接MN，交AC于点D，点D即为所求．【详解】（1）如图①，△A′B′C即为所求．（2）取格点M，N，使MN∥CN连接MN，交AC于点D，∵∴∠MAD=NCD，∠AMD=CND∴△ADM∽△CDN，∴AD CD=AM CN=23，则点D即为所求．36．如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A4,6，B4,2，C10,2，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，点A，B，C的对应点分别为点A′，B′，C′，其中点B′的坐标是2,1．(1)△A′B′C′与△ABC的相似比是______；(2)请在图中画出△A′B′C′；(3)若边AC上有一点M a,b，则在边A上与点M对应的点的坐标是______．′B′C′（3）解：AC边上有一点M a,b，在A′C′边上与故答案为：12a,12b．37．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A−2，1，B−1，4，C−3，2．(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，位似比为2:1，在y轴的左侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出A2，B2，C2三点的坐标．【答案】(1)见解析(2)作图见解析，A2，B2，C2三点的坐标为A2−4，2，B2−2，8，C2−6，4【分析】本题考查了作图—轴对称变换，作图—位似变换，理解轴对称图形与位似图形的定义是解答本题的关键．（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标特征，把A、B、C的横坐标都乘以2得到A2，B2，C2点的坐标，然后描点即可．【详解】（1）解：如图1，△A1B1C1为所作；（2）解：如图2，△A2B2C2为所作，A2，B2，C2三点的坐标为A2−4，2，B2−2，8，C2−6，4．。

作图-位似变换
能量储备
位似图形的画法
一般步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点，通常是多边形的顶点；(3)分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取)；(4)根据已知的相似比，确定所画位似图形关键点的位置；(5)顺次连接各点，得到放大或缩小后的图形．
通关宝典
★基础方法点
方法点1：选取几个关键点，并按相似比找到关键点的对应点，顺次连接对应点，即可得出符合要求的位似图形．
例：把图中的四边形ABCD以点O为位似中心沿AO方向放大为原来的2倍(即新图形与原图形的相似比为2)．
解：作法：(1)连接OA，并延长AO到点A′，使OA′＝2OA.
(2)连接OB，OC，OD，并延长BO到点B′，延长CO到点C′，延长DO到点D′，使OB′＝2OB，OC′＝2OC，OD′＝2OD.
(3)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，则四边形A′B′C′D′与四边形ABCD是位似图形，点O是位似中心，并且相似比为2.,
分别连接AO，BO，CO，DO并延长，然后按相似比分别截取，得到点A，B，C，D的对应点，然后顺次连接即可．
★★易混易误点
蓄势待发
考前攻略
画位似图形，主要考查利用位似把图形放大或缩小，多以画图题形式出现．
完胜关卡。

2023-11-01•位似图形的定义•位似图形的性质•位似图形的判定方法•位似图形的作法•位似图形的练习题及解答目•位似图形的应用题及解答录01位似图形的定义位似图形的定义如果两个图形以某一点为基准，按照相同的方向和相同的比例放大或缩小，那么这两个图形被称为位似图形。

位似图形的特性位似图形不仅是相似图形，而且满足共线性质，即位似中心到对应点的距离之比等于相似比。

位似图形的定义及特性位似图形中连接两个相似顶点的线段叫做位似中心，它也是两个对应点连线的中垂线。

位似图形的基本概念位似中心的定义位似图形中对应线段的比叫做位似比，它等于相似比。

位似比的定义对于两个位似图形，如果其中一个图形是由另一个图形经过位似变换得到的，则这种变换叫做位似变换。

位似变换的定义02位似图形的性质位似图形两个图形相似，且对应线段平行（或共线）时，我们称这两个图形为位似图形。

位似中心对于位似图形，我们把对应线段的交点称为位似中心。

位似图形的定义位似图形是相似图形，它们对应线段的比等于相似比。

相似性位似中心与相似比共线性质位似中心到对应点的距离之比等于相似比，这个性质在作图时非常有用。

位似图形的对应线段要么平行，要么共线。

03位似图形的性质020103位似图形的判定方法平行法如果两个三角形有两边平行，那么这两个三角形可能相似。

定义法根据相似三角形的定义，如果两个三角形的对应角相等，对应边的比也相等，那么这两个三角形相似。

直角三角形相似如果两个直角三角形的对应角相等，那么这两个直角三角形相似。

相似三角形的判定方法位似图形的判定方法旋转法将一个图形绕某点旋转一定角度，如果旋转后的图形与原图形位似，那么这两个图形位似。

对称法如果两个图形关于某直线对称，那么这两个图形位似。

定义法根据位似图形的定义，如果两个图形对应点的连线相交于一点，且对应线段比相等，那么这两个图形位似。

04位似图形的作法选择一个点作为位似中心，这个点可以是图形中的一个点或者是图形的外点。

初三数学图形的位似试题1.如图，点是四边形与的位似中心，则________＝________＝________；________， ________．【答案】，，；，【解析】位似图形的性质：位似图形的对应边成比例，对应角相等.∵点是四边形与的位似中心∴＝＝；，．【考点】位似图形的性质点评：本题是位似图形的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.2.如图，，则与的位似比是________．【答案】【解析】先根据可得∽，再根据位似图形的相似比也叫做位似比即可得到结果.∵∴∽∴与的位似比是．【考点】位似图形的判定和性质点评：相似三角形全等的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.把一个正多边形放大到原来的2.5倍，则原图与新图的相似比为________．【答案】【解析】相似图形的性质：相似图形的对应边的比等于相似比.由题意得原图与新图的相似比为．【考点】相似图形的性质点评：本题是相似图形的性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.4.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线________，那么这样的两个图形叫做位似图形．【答案】相交于一点【解析】直接根据位似图形的定义填空即可.两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形．【考点】位似图形的定义点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较单一，因而在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.位似图形的相似比也叫做________．【答案】位似比【解析】直接根据位似比的定义填空即可.位似图形的相似比也叫做位似比.【考点】位似比的定义点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较单一，因而在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.6.位似图形上任意一对对应点到________的距离之比等于位似比．【答案】位似中心【解析】直接根据位似图形的性质填空即可.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．【考点】位似图形的性质点评：本题是位似图形的判定方法与性质的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度不大.7.画出下列图形的位似中心．【答案】如图所示：【解析】连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心．点O就是所求的位似中心．【考点】位似中心的画法点评：作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.8.将四边形放大2倍．要求：（1）对称中心在两个图形的中间，但不在图形的内部．（2）对称中心在两个图形的同侧．（3）对称中心在两个图形的内部．【答案】（1）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形；（2）四边形A′BC′D′就是所求的四边形；（3）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形．【解析】画任意一个四边形ABCD，设对称中心为O．（1）对称中心在四边形外，连接对称中心和顶点A，并延长到A′，使A′到对称中心的距离等于A到对称中心的距离，同法得到其余点的对应点，顺次连接各对应点即为所求的图形；（2）对称中心在四边形的顶点，依照（1）的方法做；（3）对称中心在四边形的内部，依照（1）的方法做．（1）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形；（2）四边形A′BC′D′就是所求的四边形；（3）四边形A′B′C′D′就是所求的四边形．【考点】画位似图形点评：作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.9.如图，四边形和四边形′位似，位似比，四边形和四边形位似，位似比．四边形和四边形是位似图形吗？位似比是多少？【答案】是位似图形，【解析】因为四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线已经相交于一点了，所以我们只要证明四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD即可；相似具有传递性，所以可证得四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD；又因为位似比等于相似比，所以可求得四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比．∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″．∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD．∵对应顶点的连线过同一点，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形．∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k=2，1=1，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为.【考点】位似图形的判定方法与性质点评：本题是位似图形的判定方法与性质的基础应用题，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大.10.请把如图所示的图形放大2倍．【答案】如图所示：【解析】可选择原图形的一个顶点作为位似中心，分别连接原图形中的关键点及位似中心并延长到放大后的新顶点，使新顶点到位似中心的距离等于2倍的原顶点到位似中心的距离，按原图形中的关键点的顺序连接新图形中的对应点即可．【考点】画位似图形点评：作图能力是初中数学学习中一个极为重要的能力，是中考的热点，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.。

青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题2（附答案详解） 1．如图所示，正方形EFGH 是由正方形ABCD 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积比是（ ）A ．1：6B ．1：5C ．1：4D ．1：22．如图，DEF ∆是由ABC ∆经过位似变换得到的，O 点是位似中心，OD 2DA 3=，则DEF ∆与ABC ∆的面积比为（ ）A ．2：3B ．4：9C ．2：5D ．4：253．如图，在平面直角坐标系中，与ΔABC 是位似图形的是A ．①B ．②C ．③D ．④4．已知正△ABC 的中心为O ，边长为1．将其沿直线l 向右不滑动的翻滚一周时，其中心O 经过的路径长是（ ）A 433πB 233C ．4πD ．2π 5．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）6．在直角坐标系中，已知点(6 3)A -，，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段OA 缩小为'OA ，则点A '的坐标为（ ）A ．(21)-，，(21)--，B ．(21)-，，(21)，C ．(21)，，(21)--， D ．(21)-，，(21)-， 7．如图,已知BC ∥DE ，则下列说法不正确的是( )A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．AE ∶AD 是相似比 D ．点B 与点E ，点C 与点D 是对应位似点 8．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）A ．(0,9)B ．(8,0)C ．(9,0)D ．(10,0)9．如图，点()8,6P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到'''A B C ∆，点P 在''A C 上的对应点P'的的坐标为( )A ．()4,3B ．()3,4C ．()5,3D ．()4,410．在平面直角坐标系中，将一个四边形各顶点的横、纵坐标都乘2，所得图形与原图形相比，下列说法正确的是( )A ．所得图形相当于将原图形横向拉长为原来的2倍，纵向不变B ．所得图形相当于将原图形纵向拉长为原来的2倍，横向不变C ．所得图形形状不变，面积扩大为原来的4倍D ．所得图形形状不变，面积扩大为原来的2倍11．在平面直角坐标系中，点C 、D 的坐标分别为C(3，-2)、D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB=2则点C 的对应点A 的坐标为______.12．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC 缩小，使变换得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标为____．13．如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．14．如图，在平面直角坐标系中，ABC 和A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OB BB =, 如果点(23)A ，，那么点A '的坐标为_______．15．ABC ∆三个顶点坐标分别为()()()2,2,4,5,5,2A B C ---，以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍. 相应坐标是_____ （写出一种即可）16．△ABC 与△DEF 是位似图形，且△ABC 与△DEF 的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是____．17．在Rt △ABC 中，∠BAC =90，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，P 是线段AD 上的一个动点，以点P 为直角的顶点，向上作等腰直角三角形PBE ，连接DE ，若在点P 的运动过程中，DE 的最小值为3，则AD 的长为____．18．如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是______．19．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为____．20．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．（1）如图2，当点F与点B重合时，求CE和CG的长；（2）如图3，当点E是BD中点时，求CE和CG的长；（3）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明．21．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE （1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；（2）直接写出△DEF 的面积．22．如图，正方形ABCD ，点P 在射线CB 上运动(不包含点B 、C)，连接DP ，交AB 于点M ，作BE ⊥DP 于点E ，连接AE ，作∠FAD=∠EAB ，FA 交DP 于点F ．(1)如图a ，当点P 在CB 的延长线上时，①求证：DF=BE ；②请判断DE 、BE 、AE 之间的数量关系并证明；(2)如图b ，当点P 在线段BC 上时，DE 、BE 、AE 之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明；(3)如果将已知中的正方形ABCD 换成矩形ABCD ，且AD ：AB=3：1，其他条件不变，当点P 在射线CB 上时，DE 、BE 、AE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．23．如图，在方格运中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和ABC ∆.(1)画图：以点0为位似中心，把ABC ∆缩小为原来的一半（不改变方向），得到A B C '''∆；(2)ABC ∆与A B C '''∆的相似比为______.24．如图，已知△PAB 的三个顶点落在格点上．（注：每个小正方形的边长均为1）．（1）△PAB 的面积为 ；（2）在图①中，仅用直尺画出一个以A 为位似中心，与△PAB 相似比为1：2的三角形；（3）在图①中，画一个以AB 为边且面积为6的格点三角形ABC ，符合条件的点C 共 个；（4）在图②中，只借助无刻度的直尺，在图中画出一个以AB 为一边且面积为12的矩形ABMN ．25．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的三个顶点都在小正方形的格点上，按照下列要求作图：（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的的A B C '''∆；（2）以点O 为位似中心，作出ABC ∆的位似图形A B C ''''''∆，使它们分别位于点O 的两侧，且位似比1:2.26．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动，同时动点Q 从点A 出发沿对角线AC 向终点C 运动．过点P 作PE ∥DC ，交AC 于点E ，动点P 、Q 的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x 秒，当点P 运动到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设PE ＝y ；（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）探究：当x 为何值时，四边形PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点P 和点Q ，使P 、Q 、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，0)，B(0，−2)，C(2，−1)；（1）以原点O为位似中心，在第二象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；（2）点P（a，b）为线段AC上的任意一点，则点P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为．参考答案1．C【解析】【分析】由正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点，易求得位似比等于EH：AD=1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得正方形EFGH与正方形ABCD的面积比．【详解】∵正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，∴正方形EFGH∽正方形ABCD，∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴EH=12 AD，即位似比为：EH：AD=1：2，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是：1：4．故选C．【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于利用相似的性质进行解答.2．D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC，∵OD2 DA3=，∴25ODOA=，即△DEF与△ABC的相似比为25，∴△DEF与△ABC的面积比是4：25，故选D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质解答即可．【详解】因为图③与△ABC这两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，所以与△ABC是位似图形的是③．故选C．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．4．B【解析】【分析】先过C点作AB的垂线，求出旋转是弧的半径，旋转的角度，再根据旋转的次数即可得到结果.【详解】如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，∵CD＝32BC＝32．∴OC＝23CD＝33．根据等边三角形的性质，∠BCD＝12∠ACB＝12×60°＝30°，∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°﹣2×30°＝120°，等边三角形翻滚3次翻滚一周，∴点O旋转的角度为：120°×3＝360°，∴中心O经过的路径长是：2π•OC＝故选：B【点睛】此题重点考察学生对图形旋转的理解，把握旋转前后的图形性质是解题的关键.5．D【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．6．D【解析】【分析】根据相似比将线段OA缩小，又因为原点O为位似中心可得有两个符合的点，即可求出本题答案.【详解】∵相似比为13，当A点在第四象限时，所以可得A1’＝(6×13，－3×13)＝（2，－1）；根据位似的性质可知在第二象限亦有一点，因为第二象限的点和第四象限的点互为相反数，所以可得A2’（－2，1）.故答案为：D.【点睛】本题考查了位似的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.7．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质与定义分别进行分析可得答案.【详解】解：A.∵BC∥DE，且BE与CD相交于点A，∴两个三角形是位似图形，正确，不符合题意；B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不符合题意；C. AE︰AB是相似比，故此选项错误，符合题意；D. 点B与点E，点C与点D分别是对应点，正确，不符合题意.故选C.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义与性质是解题的关键. 8．C【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．【详解】解：如图所示：点D即为所求，坐标为：（9，0）．故选：C．【点睛】本题考查位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是解题关键．9．A【解析】【分析】根据位似的性质解答即可.【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．10．C【解析】【分析】根据图形的相似判断出前后两个图形是相似图形,再利用相似图形面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】解：由相似的性质可知, 将一个四边形各顶点的横、纵坐标都乘2，图形的形状不发生改变,并且这两个图形为相似图形,相似比为2:1,∴图形的面积比为4:1,∴图形的面积扩大4倍,故选C.【点睛】本题考查了图形的相似,相似图形坐标的特征,中等难度,熟悉相似图形的性质是解题关键. 11．（6，-4）或（-6,4）【解析】【分析】正确画出图形，利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．注意有两解．【详解】解：如图，由题意，位似中心是O，位似比为2，∴OC=AC，∵C（3，-2），∴A（6，-4）或（-6，4），故答案为（6，-4）或（-6，-4）【点睛】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，学会正确画出图形解决问题，注意一题多解．解题的关键是正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．12．(2，32)或(－2，－32) 【解析】【分析】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．本题中k ＝2或−2．【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−12）或1：12，AC 的中点是（4，3）， ∴对应点是（2，32）或（−2，−32）． 【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．13． 【解析】【分析】利用点B 和点D 的坐标之间的关系得到线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，然后确定C 点坐标．【详解】解：∵将线段AB 缩小得到线段CD ，点B （5，0）的对应点D 的坐标为（2.0）， ∴线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，∴点C 的坐标为（1，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14．46（，）【解析】【分析】观察点B 点和B ′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A ′的坐标.【详解】∵'OB BB =，∴1'2OB OB =∴位似比为2，∵A 的坐标是()23，， ∴点A '的坐标为()46，故答案是：()46，【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．15．(4,4),(8,10),(10,4)A B C '''---或(4,4),(8,10),(10,4)A B C '''---【解析】【分析】把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2或﹣2即可．【详解】把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2得：A ′（4，－4），B ′（8，－10），C ′（10，－4）；把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以﹣2得：A ′（－4，4），B ′（－8，10），C ′（－10，4）． 故答案为：A ′（4，－4），B ′（8，－10），C ′（10，－4）或A ′（－4，4），B ′（－8，10），C ′（－10，4）．【点睛】本题考查了位似变换．掌握以原点为位似中心的图形的坐标特点是解答本题的关键． 16．8【解析】【分析】根据位似图形面积比等于位似比的平方，知道其中一个面积，就可以求出另外一个面积.【详解】位似图形面积比等于位似比的平方，位似比是1:2，所以面积比是1:4，已知△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是8故答案为8【点睛】此题重点考察学生对位似图形面积的计算，抓住面积比等于位似比的平方是解题的关键.17．32【解析】【分析】当DE ⊥CE 时，DE 的有最小值，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】当DE ⊥CE 时，DE 的有最小值．连接CE ．∵△BAC 和△EBP 是等腰直角三角形，∴∠EBC +∠CBP =∠CBP +∠PBA =45°，BC =2BA ，BE =2BP ，∴∠EBC =∠PBA ，2BE BC BP BA==，∴△EBC ∽△PBA ，∴∠ECB =∠P AB ． ∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴∠P AB =45°，BD =DC =AD ，∴∠ECD =45°． ∵∠DEC =90°，∴△DEC 是等腰直角三角形，∴DC =2DE =32，∴AD =32． 故答案为：32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．（-2，0）【解析】【分析】利用如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而得出位似中心．【详解】解：如图所示：点P（-2，0）即为所求．故答案为：（-2，0）．【点睛】本题考查位似变换，根据题意得出位似中心的位置是解题的关键．19．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．【详解】把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（12-，1），把点（12-，1）先上平移1个单位得到（12-，2），所以D点坐标为（12-，2）．故答案为：（12-，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．20．（1）CE＝245，CG＝185，（2）CE＝5，CG＝154；（3）结论：△EBG是直角三角形．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；（3）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断．【详解】解：（1）如图2中，在Rt△BAD中，BD＝22AD AB+＝10，∵S△BCD＝12•CD•BC＝12•BD•CE，∴CE＝245．CG＝BE＝222465⎛⎫- ⎪⎝⎭＝185，（2）如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．∵DE＝BE，∴CE＝12BD＝5，∵△CME∽△ENF，∴CM EN CE EF=，∴CG＝EF＝154．（3）结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH＝CH，∴BH＝FH＝CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH＝HG＝HF＝HC，∴BH＝EH＝HG，∴△EBG是直角三角形．【点睛】四边形的综合题，主要考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题．21．（1）作图见解析；（2）7.5．【解析】【分析】（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=5，BC=2，AC=5，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=10；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；（2）△DEF 的面积=12×5×3=7.5． 【点睛】 本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（1）详见解析；②AE ，理由详见解析；（2）AE ﹣BE ；（3）或DE=2AEBE ．【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得到AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，判断出△ABE ≌△ADF ，即可；②由①得到△ABE ≌△ADF ，并且判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE ≌△ADF ，再用判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE ∽△ADF ，AF，DF，再判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理结合图形可得结论．【详解】（1）①正方形ABCD 中，AD=AB ，∠ADM+∠AMD=90°∵BE ⊥DP ，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME ，∴∠EBM=∠ADM ，在△ABE 和△ADF 中，FAD EAB EBM ADM AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF ，∴DF=BE ；②，理由：由（1）有△ABE ≌△ADF ，∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴EF=2AE，∵DE=DF+EF，∴DE=BE+2AE；（2）DE=2AE﹣BE；理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°∵BE⊥DP，∴∠BEA+∠AEF=90°，∴∠BEA=∠AFE，∵∠FAD=∠EAB，AD=AB∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，BE=DF∵∠EAF=90°∴EF=2AE，∵EF=DF+DE=2AE，∴DE=2AE﹣DF=2AE﹣BE；（3）DE=2AE+3BE或DE=2AE﹣3BE．①如图1所示时，正方形ABCD 中，∠ADM+∠AMD=90° ∵BE ⊥DP ，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME ，∴∠EBM=∠ADM ，∵∠FAD=∠EAB∴△ABE ∽△ADF ，∴AB AE BE AD AF DF==， ∵AD ：AB=3：1，∴3AE BE AF DF ==， ∴AF=3AE ，DF=3BE∵∠FAD=∠EAB∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，∴EF=22AE AF +=2AE=DE ﹣DF=DE ﹣3BE ，即：DE=2AE+3BE ；②如图2所示，∵∠DAF=∠BAE ，∴∠EAF=∠BAD=90°，∵∠DAF=∠BAE ，∴△BAE ∽△DAF ，∴AB AE BE AD AF DF==，∵AD ：AB=3：1，∴3AE BE AF DF ==， ∴AF=3AE ，DF=3BE ，∵∠EAF=90°，根据勾股定理得，EF=22AE AF +=2AE=DE+DF=DE+3BE ，∴DE=2AE ﹣3BE ．【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理得到线段的关系． 23．(1)见解析；（2）2：1【解析】【分析】（1）运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图．（2）利用相似三角形对应边的比值即是相似比求出即可．【详解】(1)利用三角形相似作图,连接OA,OB,OC,分别找出这三条线段的中点A′、B′、C′,顺次连接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如图所示：(2)根据相似三角形的性质，因为ABC ∆与A B C '''∆是相似三角形，且BC:B′C′=2:1，故答案为2:1.【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握相似三角形的性质.24．（1）132；（2）见解析；（3）见解析，3；（4）见解析.【解析】 【分析】 （1）利用分割法取三角形面积即可．（2）利用三角形中位线定理，分别取PA ，AB 的中点E ，F 即可．（3）利用数形结合的思想，根据三角形的面积公式以及平行线间的距离相等解决问题即可． （4）过点B 作BJ ⊥C 1C 2于点M ，过点A 作BN ⊥C 1C 2于点N ，可得矩形ABMN ．【详解】解：（1）S △PAB ＝4×4﹣12×1×4﹣12×4×3﹣12×1×3＝132． 故答案为132. （2）△PEF 如图①中所示．∵CD=PD,DE ∥AC,∴AE=PE,即E 是AP 的中点，同理可证F 是AB 的中点，∴EF 是△ABP 的中位线，∴△AEF 与△PAB 相似比为1：2；（3）满足条件的点C 如图所示，有3个.S △ABC1=11143622AC BH ⨯=⨯⨯=, 同理可求△ABC 2的面积=6，∴C 1C 2∥AB ，∴△△ABC 3的面积=6，故答案为3．（4）矩形ABMN如图②中所示．过点B作BJ⊥C1C2于点M，过点A作BN⊥C1C2于点N，∵△ABC1的面积=6，∴矩形ABMN的面积=12.【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据旋转的性质及方格纸的特点找出对应点，然后连接即可；（2）根据位似的性质及方格纸的特点找出对应点，然后连接即可【详解】解：（1）如图；（2）如图.【点睛】本题考查了旋转的性质，以及位似的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.旋转的性质：对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角. 位似图形的性质，①位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.26．（1）y＝﹣34x+3（2）当x＝45时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形（3）当x＝43或x＝2013或x＝2827或x＝83时，△PQE为等腰三角形【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ 与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ＝PE，PQ＝EQ，PE＝QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE＝QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．【详解】（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y，DC＝3，∴AP AE PEAD AC DC==，即4453x AE y-==，∴y＝﹣34x+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣54x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴PA AQ AQBC CE AC AE==-，即445455(5)4x x xxx-==--+，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝45，∴当x＝45时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣54x+5﹣x＝5﹣94x，（i）当QE＝PE时，5﹣94x＝﹣34x+3，解得：x＝43；（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣94x，解得：x＝20 13；（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，可得：FE＝12 QE＝12（5﹣94x）＝2098x-，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝35CDAC=，∵cos∠AEP＝FEPE＝2098334xx--+＝35，解得：x＝2827；当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣54x+5，PE＝﹣34x+3，∴﹣34x+3＝x﹣（﹣54x+5），解得：x＝83．综上，当x＝43或x＝2013或x＝2827或x＝83时，△PQE为等腰三角形．【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．27．（1）见解析；（2）坐标为（-2a，-2b）【解析】【分析】（1）依据以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1作图即可；【详解】解：（1）如图所示，以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则△AB1C1即为所求；（2）如图所示，∵P（a，b）为线段AC上的任意一点，点P，P1以原点O为位似中心，∴点P1在线段A1C1上，并且P1坐标为：（-2a，-2b）.【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换以及位似变换进行作图．。