中考数学专题复习(新定义型问题)教学设计

蔡园初级中学 九 年级 数学 学科导学案教师寄语：有梦才会有期望，有期望才会有拼搏，守住自己的梦，勇敢地走下去，你就会比别人提前到达成功的彼岸。

班级 九一 课题--中考新定义型专题 课型：专题复习学习目标：1、要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行习题的运算、推理、迁移。

2、通过自主学习、合作探究等方式，在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力学习重点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．学习难点：根据新定义进行习题的运算、推理、迁移。

教学环节：一、 情境引入在上次模拟试卷中,我们曾经解答过这样的一道思考题：（嘉兴市中考题）n”运算：①当n 为奇数时，结果为3n ＋5；②当为n 偶数时，结果为 k 是使 ，并且运算重复进行．如取＝26，则：若n ＝449，则第449次“F 运算”的结果是________.二、解读中考（一）专题诠释本题创设了一种“新定义运算”的问题情境，既渗透了转化思想、分类思想，又蕴涵了规律探索问题，是新课标理念下不可多得的一道好题．近几年的中考题中出现了一类“新定义运算”型的题目，这类题以加、减、乘、除、乘方、开方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算. 定义的新运算，实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和演算能力.解此类题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们熟悉的加、减、乘、除、乘方、开方等旧运算.谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.（二）解题策略和解法“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、考点赏析考点一：规律题型中的新定义例1.（2009山东枣庄，18，4分）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如：2的差倒数是1112=--，－1的差倒数是111(1)2=--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．【解】：解：根据差倒数定义可得：2111311413a a ===-+，321143114a a ===--431111143a a ===---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等．【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律． 考点二：运算题型中的新定义例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b=+＞），如：3*2== 那么6*（5*4）= ．【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵*0a b a b a b=+（＞）﹣， =3， ∴6*（5*4）=6*3， =1．故答案为：1． 【评注】：本题主要考查了实数的运算，在解题时要先明确新的运算表示的含义是本题的关键．四、中考链接题组一1. 现规定:a*b=ab，如3*2＝32＝9，则1/2*3＝（）.A. 1/8B.8C. 1/6D.3/22. 若“！”是一种数学新运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1，…，则100!/98!值为（）.A.50/49B.99！C.9900D.2！．3. 规定“*”的运算为：a*b=a÷b×2+3×a－b，则169*13= .4. 用“←”与“→”定义：对于任意实数a，b，都有a←b=a，a→b＝b，例如：3←2＝3，3→2＝2，则（2006→2005）←（2004→2003）＝．5. 用“★”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a★b＝b2+1.如7★4＝42+1＝17，那么5★3＝＿＿＿；m★(m★2)＝＿＿＿.问题：由以上体验你想到了什么？题组二1：规定：a▲b= a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+……+(a+b-1)，其中a、b表示自然数. （1）求1▲100的值；（2）已知x▲10=75，求x的值.解：（1）1▲100=1+2+3+……+（1+100-1）=1+2+3+……+100 =（1+100）×100÷2=5050；（2）x▲10=75，即x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+……+(x+9)=75，10x+45=75，10x=30，即x=3.2：定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝b2；当a＜b时，a⊕b＝a．求当x＝2时，(1⊕x)·x－(3⊕x)的值.(“·”和“－”仍为实数运算中的乘号和减号)．解：当x=2时，(1⊕x)·x-(3⊕x)=(1⊕2) ×2 -（3⊕2）=1×2-22=-2.3：定义运算“※”为：a※b＝a×b－（a＋b），（1）求5※7，7※5；（2）求12※（3※4）,（12※3）※4；（3）这个运算“※”有交换律、结合律吗？（4）如果3※（5※x）＝3，求x值.解：（1） 5※7＝5×7－（5＋7）＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝23（2）∵3※4＝3×4－（3＋4）＝5，∴12※（3※4）= 12※5＝12×5－（12＋5）＝43；∵ 12※3＝12×3－（12＋3）＝21，∴（12※ 3）※4 =21※4＝21×4－（21＋4）＝59.（3）这个运算“※”有交换律，没有结合律. (4)∵5※x ＝5×x －（5＋x ）＝4x －5； ∴3※（5※x ）＝3※（4x －5）＝3（4x －5）－（3＋4x －5）＝8x －13; 即 8x －13＝3， 解得，x ＝2.五、课堂检测要求：独立完成，成绩记入小组积分(每题1分，共5分).1. 规定a ※b ＝ab+ a －b ，则a ※b+( b －a)※b 等于（ ）. A.a2-b B.b2-b C.b2 D. b2-a2.规定：a ●b ＝a2－b2，则2●5的结果为 .3. 规定：a b ＝a 和 a b ＝b.例如，3 2＝3， 3 2＝2，则(2010 2009) (2008 2007)＝_____.4.A 、B 是两个自然数，我们规定：A △B 表示一种新的运算， 它是以A 开头的连续B 个自然数的和，如：2△3=2+3+4，则（4△5）△3= .5.在数学中，为了简便，记．3×2×1.则六、课堂小结1.（1）本节你有何收获或困惑？（2）请与本组同学交流心得，释疑解惑. 2. 师点评：本节我们探讨了新定义运算型问题，解决的关键就是本节的课题“新定义、旧运算”. 在解答时要注意：（1）有括号时，应当先算括号里面的；（2）新定义的运算往往不一定具备交换律和结合律，不能随便套用这些运算律来解题；（3）符号如：※，△，●，★……所表示的运算并不是一种固定的算法，而是因题而异，不同的题目有不同的规定，我们应当严格按不同的规定进行运算. 此外，新定义型问题还有新定义概念型、新定义名词型，新定义规则型等，我们将在下一节课继续探讨，相信同学们会对“遮遮掩掩似新人，揭去面纱是故友”有更深的理解.七、布置作业1.若用记号“*”表示求两数a 与b 的算术平均数的运算，即a*b=(a+b)/2，请写出两边均含有“*”和“+”，且对于任意3个数a 、b 、c 都成立的一个等式.2.请你编制一道新定义运算型题目，要有新意、有解答，下节课投影展示你的创新成果.()11231n k k n n==++++-+∑例3.（2010重庆江津区，15，4分）我们定义abad bccd=-，例如错误！未指定书签。

Presented by Csuzzy，All Rights Reserved.15新定义§15-1新定义计算对某一个函数给出如下定义：若存在实数k ，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点()1,a b ，()21,a b +，21b b k -≥都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的k 中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数2y x =-+，当x 取值a 和1a +时，函数值分别为12b a =-+，21b a =-+，故211b b k -=-≥，因此函数2y x =-+是限减函数，它的限减系数为1-．（1）写出函数21y x =-的限减系数；（2）0m >，已知()11,0y x m x x=-≤≤≠是限减函数，且限减系数4k =，求m 的取值范围；（3）已知函数2y x =-的图象上一点P ，过点P 作直线l 垂直于y 轴，将函数2y x =-的图象在点P 右侧的部分关于直线l 翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数1k ≥-，直接写出P 点横坐标n 的取值范围．1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量x ，这两个函数对应的函数值记为1y ，2y ，都有点()1,x y 和()2,x y 关于点(),x x 中心对称（包括三个点重合时），由于对称中心都在直线y x =上，所以称这两个函数为关于直线y x =的特别对称函数．例如：12y x =和32y x =为关于直线y x =的特别对称函数．（1）若32y x =+和()0y kx t k =+≠为关于直线y x =的特别对称函数，点()1,M m 是32y x =+上一点．①点()1,M m 关于点()1,1中心对称的点坐标为．②求k ，t 的值．（2）若3y x n =+和它的特别对称函数的图象与y 轴围成的三角形面积为2，求n 的值．（3）若二次函数2y ax bx c =++和2y x d =+为关于直线y x =的特别对称函数．①直接写出a ，b 的值．②已知点()3,1P -，点()2,1Q ，连接PQ ，直接写出2y ax bx c =++和2y x d =+两条抛物线与线段PQ 恰好有两个交点时d 的取值范围．§15-2新定义几何定义：如图1，点M，N 把线段AB 分割成AM ，MN 和BN ，若以AM ，MN ，BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M ，N 是线段AB 的勾股点．（1）已知点M ，N 是线段AB 的勾股点，若1AM =，2MN =，求BN 的长；（2）如图2，点(),P a b 是反比例函数()20y x x=>图象上的动点，直线2y x =-+与坐标轴分别交于A ，B 两点，过点P分别向x ，y 轴作垂线，垂足为C ，D ，且交线段AB 于点E ，F ．证明：E ，F 是线段AB 的勾股点；（3）如图3，已知一次函数3y x =-+的图象与坐标轴交于A ，B 两点，与二次函数24y x x m =-+的图象交于C ，D 两点，若C ，D 是线段AB 的勾股点，求m 的值．知解求参1Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1M ，()1,1N -，经过某点且平行于OM ，ON 或MN 的直线，叫该点关于OMN △的“关联线”．例如，如图1，点()3,0P 关于OMN △的“关联线”是：3y x =+，3y x =-+，3x =．（1）在以下3条线中，是点()4,3关于OMN △的“关联线”（填出所有正确的序号）：①4x =；②5y x =--；③1y x =-．（2）如图2，抛物线()214y x m n =-+经过点()4,4A ，顶点B 在第一象限，且B 点有一条关于OMN △的“关联线”是5y x =-+，求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，点E 是线段AC 上除点C 外的任意一点，连接OE ，将OCE △沿着OE 折叠，点C 落在点C '的位置，当点C '在B 点关于OMN △的平行于MN 的“关联线”上时，满足（2）中条件的抛物线沿对称轴向下平移多少距离，其顶点落在OE 上?2在平面直角坐标系xOy 中，对于半径为()0r r >的O 和点P ，给出如下定义：若32r PO r ≤≤，则称P 为O 的“近外点”．（1）当O 的半径为2时，点()4,0A ，5,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,3C ，()1,1D -中，O 的“近外点”是；（2）若点()3,4E 是O 的“近外点”，求O 的半径r的取值范围；（3）当O 的半径为2时，直线()303y x b b =+≠与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在O 的“近外点”，直接写出b 的取值范围．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.设平面内一点到等边三角形中心的距离为d ，等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ．对于一点与等边三角形，给出如下定义：满足r d R ≤≤的点叫做等边三角形的中心关联点．在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC △的三个顶点的坐标分别为()0,2A ，()3,1B --，)3,1C -．（1）已知点()2,2D ，)3,1E ，1,12F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．在点D ，E ，F 中，是等边ABC △的中心关联点的是；（2）如图1，①过点A 作直线交x 轴正半轴于点M ，使30AMO ∠= ．若线段AM 上存在等边ABC △的中心关联点(),P m n ，求m 的取值范围；②将①中直线AM 向下平移得到直线y kx b =+，当b 满足什么条件时，直线y kx b =+上总存在等边ABC △的中心关联点；（直接写出答案，不需过程）（3）如图2，点Q 为直线1y =-上一动点，Q 的半径为12．当点Q 从点()4,1--出发，以每秒1个单位的速度向右移动，运动时间为t 秒．是否存在某一时刻t ，使得Q 上所有点都是等边ABC △的中心关联点?如果存在，请直接写出所有符合题意得t 得值；如果不存在，请说明理由．第15次课同步练习1.定义：若一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=-存在两个不同的公共点，则称函数2y ax bx c =++为一次函数y ax b =+与反比例函数c y x =-的“生成函数”．（1）判断一次函数5y x =-+与反比例函数6y x=-是否存在“生成函数”，若存在，请写出“生成函数”，若不存在，请说明理由．（2）若一次函数y x b =-（0b >）与反比例函数2y x =交于()11,A x y ，()22,B x y （12x x <）两点，如图1，连接AB ，AO ，BO （O 为坐标原点），若AOB △的面积为2b ，求y x b =-与2y x=的“生成函数”．（3）如图2，若一次函数y ax b =+与反比例函数3y x =的“生成函数”经过()1,1-且与x 轴交于C ，D 两点，与y 轴交于点E ，其中0a b >>，求CDE △面积S 的取值范围．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.2.在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C 我们给出如下定义：“横长”a ：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b ：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点()2,0A -，点()1,1B ，点()1,2C --，则A ，B ，C 三点的“横长”()123a =--=，A ，B ，C 三点的“纵长”()123b =--=．因为a b =，所以A ，B ，C 三点为正方点．（1）在点()3,5R ，()3,2S -，()4,3T --中，与点A ，B 为正方点的是；（2）点()0,P t 为y 轴上一动点，若A ，B ，P 三点为正方点，t 的值为；（3）已知点()1,0D ．①平面直角坐标系中的点E 满足以下条件：点A ，D ，E 三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E 组成的图形；②若直线l ：12y x m =+上存在点N ，使得A ，D ，N 三点为正方点，直接写出m 的取值范围．第16次课作业1.在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如()3,5-与()5,3-是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上?为什么?（2）M ，N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(),m n ，求直线MN 的表达式（用含m ，n 的代数式表示）；（3）在抛物线2y x bx c =++的图象上有一对“互换点”A ，B ，其中点A 在反比例函数2y x =-的图象上，直线AB 经过点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求此抛物线的表达式．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.112.在平面直角坐标系xOy 中有不重合的两个点()11,Q x y 与()22,P x y ，若Q ，P 为某个直角三角形的两个锐角顶点，且该直角三角形的直角边均与x 轴或y 轴平行（或重合），则我们将该直角三角形的两条直角边的边长之和称为点Q 与点P 之间的“直距”，记做PQ D ，特别地，当PQ 与某条坐标轴平行（或重合）时，线段PQ 的长即为点Q 与点P 之间的“直距”．例如在如图中，点()1,1P ，点()3,2Q ，此时点Q 与点P 之间的“直距”3PQ D =．（1）①已知O 为坐标原点，点()2,1A -，()2,0B -，则AO D =，BO D =；②点C 在直线3y x =-+上，请你求出CO D的最小值；（2）点E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，点F 是直线24y x =+上一动点，请你直接写出点E 与点F 之间“直距”EF D 的最小值.。

中考数学复习新定义问题所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点．在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力．解决“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其解决问题的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．类型1 新法则、新运算型例题：（2017甘肃天水）定义一种新的运算：x*y=，如：3*1==，则（2*3）*2= 2 ．【考点】1G：有理数的混合运算．【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：（2*3）*2=（）*2=4*2==2，故答案为：2同步训练：定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，①若AB=CD=1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD=CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，点P是对角线BD上一点，且BP=2PD，过点P 作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF=AB 时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB=AC=1，AB∥CD，∴S四边形ABCD是平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD=AC==．（2）如图1中，连接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE=AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE=AB=5．②当BF=AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF=AB=5，∵DE∥BF，∴DE：BF=PD：PB=1：2，∴DE=2.5，∴AE=9﹣2.5=6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．解题方法点析此类问题在于读懂新定义，然后仿照范例进行运算，细心研读定义，细致观察范例是解题的关键．类型2 新定义几何概念型例题：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．同步训练：（2017湖北随州）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax﹣a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=﹣x+，点A的坐标为（﹣2，2），点B的坐标为（1，0）；（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B 的坐标；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N 点坐标；（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（﹣1，t），由A、C的坐标可表示出AC 中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣x+2，∴其梦想直线的解析式为y=﹣x+，联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，∴A（﹣2，2），B（1，0），故答案为：y=﹣x+；（﹣2，2）；（1，0）；（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，在y=﹣x2﹣x+2中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴AC==，由翻折的性质可知AN=AC=，∵△AMN为梦想三角形，∴N点在y轴上，且AD=2，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN===3，∵OD=2，∴ON=2﹣3或ON=2+3，∴N点坐标为（0，2﹣3）或（0，2+3）；（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=2，∵抛物线对称轴为x=﹣1，∴F点的横坐标为0或﹣2，∵点F在直线AB上，∴当F点横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，∴E到y轴的距离为EH﹣OF=2﹣=，即E点纵坐标为﹣，∴E（﹣1，﹣）；当F点的横坐标为﹣2时，则F与A重合，不合题意，舍去；②当AC为平行四边形的对角线时，∵C（﹣3，0），且A（﹣2，2），∴线段AC的中点坐标为（﹣2.5，），设E（﹣1，t），F（x，y），则x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=2，∴x=﹣4，y=2﹣t，代入直线AB解析式可得2﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4，）；综上可知存在满足条件的点F，此时E（﹣1，﹣）、F（0，）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4，）．解题方法点析解决此类问题的关键在于仔细研读几何新概念，将新的几何问题转化为已知的三角形、四边形或圆的问题，从而解决问题．对于几何新概念弄清楚条件和结论是至关重要的．类型3 新内容理解把握例题：（2017湖南岳阳）已知点A在函数y1=﹣（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对 B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对【分析】根据“友好点”的定义知，函数y1图象上点A（a，﹣）关于原点的对称点B（a，﹣）一定位于直线y2上，即方程ka2﹣（k+1）a+1=0 有解，整理方程得（a﹣1）（ka﹣1）=0，据此可得答案．【解答】解：设A（a，﹣），由题意知，点A关于原点的对称点B（（a，﹣），）在直线y2=kx+1+k上，则=﹣ak+1+k，整理，得：ka2﹣（k+1）a+1=0 ①，即（a﹣1）（ka﹣1）=0，∴a﹣1=0或ka﹣1=0，则a=1或ka﹣1=0，若k=0，则a=1，此时方程①只有1个实数根，即两个函数图象上的“友好点”只有1对；若k≠0，则a=，此时方程①有2个实数根，即两个函数图象上的“友好点”有2对，综上，这两个函数图象上的“友好点”对数情况为1对或2对，故选：A．【点评】本题主要考查直线和双曲线上点的坐标特征及关于原点对称的点的坐标，将“友好点”的定义，根据关于原点对称的点的坐标特征转化为方程的问题求解是解题的关键．同步训练：（2017湖南株洲）如图示，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PBA=∠PCB，则点P为△ABC的布洛卡点．三角形的布洛卡点（Brocard point）是法国数学家和数学教育家克洛尔（A．L．Crelle 1780﹣1855）于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡（Brocard 1845﹣1922）重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布洛卡点，DQ=1，则EQ+FQ=（）A．5 B．4 C．D．【考点】R2：旋转的性质；JB：平行线的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】由△DQF∽△FQE，推出===，由此求出EQ、FQ即可解决问题．【解答】解：如图，在等腰直角三角形△DEF中，∠EDF=90°，DE=DF，∠1=∠2=∠3，∵∠1+∠QEF=∠3+∠DFQ=45°，∴∠QEF=∠DFQ，∵∠2=∠3，∴△DQF∽△FQE，∴===，∵DQ=1，∴FQ=，EQ=2，∴EQ+FQ=2+，故选D专题训练1.（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：22. （2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．3. (2017湖北宜昌)阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为：其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．【考点】KT：勾股数；KQ：勾股定理．【分析】由n=1，得到a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，根据直角三角形有一边长为5，列方程即可得到结论．【解答】解：当n=1，a=（m2﹣1）①，b=m②，c=（m2+1）③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ、当a=5时，（m2﹣1）=5，解得：m=（舍去），Ⅱ、当b=5时，即m=5，代入①③得，a=12，c=13，Ⅲ、当c=5时，（m2+1）=5，解得：m=±3，∵m＞0，∴m=3，代入①②得，a=4，b=3，综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4．4. （2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．（1）二次项系数2=1×2；（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4）．【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）即可．【解答】解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．故答案为：（x+3）（3x﹣4）5. (2017湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”．理解：（1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF 是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P 的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．【解答】解：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ==2，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM==，故点P的坐标（﹣，），（，）．6.（2017•益阳）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（﹣3，5）与（5，﹣3）是一对“互换点”．（1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M、N是一对“互换点”，若点M的坐标为（m，n），求直线MN的表达式（用含m、n 的代数式表示）；（3）在抛物线y=x2+bx+c的图象上有一对“互换点”A、B，其中点A在反比例函数y=﹣的图象上，直线AB经过点P（，），求此抛物线的表达式．【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征；FA：待定系数法求一次函数解析式；H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，于是得到结论；（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到结论；（3）设点A（p，q），则，由直线AB经过点P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，于是得到结论．【解答】解：（1）不一定，设这一对“互换点”的坐标为（a，b）和（b，a）．①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由可得，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有解得，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则，∵直线AB经过点P（，），由（2）得，∴p+q=1，∴，解并检验得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴这一对“互换点”是（2，﹣1）和（﹣1，2），将这一对“互换点”代入y=x2+bx+c得，∴解得，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．。

一、教学目标1. 知识与技能：了解新定义问题的概念，掌握新定义问题的解题方法。

2. 过程与方法：通过小组合作、探究式学习，培养学生的创新思维和问题解决能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作精神。

二、教学重难点1. 教学重点：新定义问题的概念，解题方法。

2. 教学难点：如何引导学生进行创新思维，培养学生的合作精神。

三、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、新定义问题案例、小组合作学习材料。

2. 学生准备：预习新课内容，思考新定义问题的特点。

四、教学过程（一）导入新课1. 教师通过提问，引导学生回顾已学过的数学知识，如定义、性质、定理等。

2. 教师简要介绍新定义问题的概念，让学生对新课内容产生兴趣。

（二）探究新定义问题1. 教师呈现新定义问题案例，让学生阅读并思考。

2. 学生分组讨论，分析新定义问题的特点，提出解题思路。

3. 教师巡视指导，解答学生提出的问题。

（三）展示交流1. 各小组派代表展示解题过程，其他小组进行评价。

2. 教师对学生的解题过程进行点评，总结新定义问题的解题方法。

（四）巩固练习1. 教师布置课后练习题，让学生巩固所学知识。

2. 学生独立完成练习，教师巡视指导。

（五）课堂小结1. 教师总结本节课所学内容，强调新定义问题的解题方法。

2. 学生分享学习心得，提出自己的疑问。

五、作业布置1. 完成课后练习题。

2. 思考新定义问题在生活中的应用。

六、教学反思1. 教师反思自己在教学过程中的不足，如课堂组织、教学语言等。

2. 教师思考如何提高学生的创新思维和问题解决能力。

3. 教师总结新定义问题的教学效果，为以后的教学提供借鉴。

新定义教案初中数学1. 让学生理解并掌握新定义的概念，能够运用新定义解决相关问题。

2. 培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

3. 提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 新定义的概念及性质。

2. 新定义的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：新定义的概念及性质。

2. 难点：运用新定义解决实际问题。

四、教学过程1. 导入：通过复习相关基础知识，引导学生思考与新定义相关的问题，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：（1）介绍新定义的背景和意义。

（2）讲解新定义的定义及性质，引导学生通过观察、思考、归纳，理解并掌握新定义。

（3）通过例题，演示新定义的应用，让学生体会新定义在解决实际问题中的作用。

3. 课堂练习：（1）设计一些具有代表性的练习题，让学生运用新定义解决问题。

（2）引导学生相互讨论、交流，共同解决问题，提高学生的合作能力。

4. 拓展与应用：（1）引导学生运用新定义解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

（2）鼓励学生发挥创新意识，探索新定义的推广和应用。

5. 课堂小结：回顾本节课的学习内容，总结新定义的概念及性质，强调新定义在解决实际问题中的应用。

6. 课后作业：布置一些有关新定义的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用新定义解决实际问题的能力。

五、教学策略1. 采用直观演示、讲解、练习、交流等多种教学方法，让学生充分理解新定义。

2. 设计具有针对性和代表性的练习题，让学生在实践中掌握新定义。

3. 注重个体差异，给予不同程度的学生适当的指导和帮助。

4. 鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考问题的方式、合作交流的能力等。

2. 课后作业：检查学生完成作业的质量，评估学生对新定义的掌握程度。

3. 综合测试：通过阶段性的测试，了解学生对新定义的运用情况，为下一步教学提供依据。

总之，本节课的教学目标是让学生理解并掌握新定义的概念及性质，能够运用新定义解决相关问题。

“新定义型题” 专题复习课◎教材分析所谓新定义试题是指即时定义新概念、新公式、新运算、新法则，这些都是学生从未接触过的，要求学生在解题时能够运用已掌握的知识和方法理解新定义，做到化生为熟，现学现用。

本节课首先让学尝试解决两道分别相关代数与几何的新定义型题，接着通过新定义型计算、新定义型变换和新定义型图形三个方面进行展开，把阅读、操作，证明融于一体，其目的是培养学生的阅读理解能力、接受能力、应变能力和创新能力，培养学生自主学习、主动探究的数学品质。

新定义试题是历年各地中考数学试题中的一朵奇葩，以其清雅、新颖的风格彰显出新课标中。

由知识立意向能力立意，过渡的要求，是学生可持续发展理念的具体体现，同时也警示我们的初中数学教学必须改变过去单一的教法和学法，重视学生的数学阅读能力、数学迁移能力，以及运用数学方法解决实际问题能力的培养，重视知识过程的学习，在培养学生创新意识和应用能力上要有进一步的突破。

另外，此类试题重视数学学习潜能的综合考查，且命题中常引初中数学教学中未曾见过的新概念，而这些新概念往往有着高中数学的背景，因此对综合考查学生进一步深造的潜能有着不可低估的作用。

同时，由于中考命题队伍中高中教师所占的比例正逐年增加，这就为高中数学的思想和方法经过改造后进入中考数学试卷，创新中考数学命题开辟了一条新路。

基于这些原因，对新概念试题进行深层次、多方位的研究，并在毕业复习中对学生有意加强这方面的训练，就显得尤为重要。

◎教学过程 一、尝试解决1、（2015•济南二模）若x 是不等于1的实数，我们把 11x-称为x 的差倒数，如2的差倒数是,1211-=- -1的差倒数为，）（21111=--，现已知311-=x ，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依次类推，则2014x = ． 2、（2013•淄博）在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A ，B ），过点P 的一条直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC ，过点P 的△ABC 的相似线最多有___条． 二、新定义计算例1、 （2015•河北）定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b=a （a-b ）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2-5）+1=2×（-3）+1=-6+1=-5。