位似图形习题

《位似》习题一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列每组的两个图形不是位似图形的是()A．B．C．D．2．如图所示的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )A．点O B．点P C．点M D．点N第2题图第3题图3．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A 的坐标为(1，0)，则E点的坐标为( )A．(2，0) B．(0，2) C．(2，2) D．(2，2)4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是( )A．3 B．6 C．9 D．125．关于对位似图形的表述，下列命题正确的是( )①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．A．①②B．①④C．②③D ．③④二、填空题(每小题5分，共25分)6．下列四幅图中的两个图形属于位似图形的是__________．(将序号填入横线上)B DCAEB①②③④7．如图所示，DC∥AB，OA=2OC，则OCD△与OAB△的位似比是__________．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1：2，若AB=2cm，则A′B ′=_________cm．第7题图第8题图第10题图9．在平面直角坐标系中，已知点E(﹣4，2)，F(﹣2，﹣2)，以原点O为位似中心，位似比为2：1将△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是__________．10．如图，将△DE F缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP、FP，取它们的中点B、C，得到△ABC，则下列说法正确的有________ __个．①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比是1：2；④△ABC与△DEF的面积比是1：2．三、解答题(共50分)11．(10分)如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出位似中心．12．(10分)如图，在方格纸上，与是关于点O为位似中心的位似图形，他ABC∆111CBA∆们的顶点都在格点上．(1)画出位似中心O；(2)求出与的位似比；ABC∆111CBA∆CABD E(2)(1)O(4)(5)(3)以O 点为位似中心，再画一个使它与的位似比等于3222C B A∆13．(10分)如图，△ABC 在方格纸中．(1)请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出B 点坐标；(2)以原点O 为位似中心，位似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的位似图形；A B C '''△(3)计算的面积S ．A B C '''△14．(10分)如图，已知矩形ABCD 与矩形AB C D '''是位似图形，A 为位似中心，已知矩形ABCD 的周长为24，4,2BB DD ''==．求AB 与AD 的长．15．(10分)如图，在平面直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A (2，1)、O (0，0)、B (1，－2)．(1)P (a ，b )是△AOB 的边AB 上一点，△AOB 经平移后点P 的对应点为P 1(a －3，b +1)，请画出上述平移后的△A 1O 1B 1，并写出点A 1的坐标；DB 'C 'D(2)以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1，并分别写出点A、P的对应点A2、P2的坐标；(3)判断△A2OB2与△A1O1B1能否是关于某一点Q为位似中心的位似图形，若是，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标．参考答案1．B【解析】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形；据此可得A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；而B的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选B．2．B．【解析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．点P在对应点M和点N所在直线上，故选B．3．C【解析】由题意可得OA：OD=1：2，又由点A的坐标为(1，0)，即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴OA：OD=1：2，∵点A的坐标为(1，0)，即OA=1，∴OD=2，∵四边形ODEF是正方形，∴DE=OD=2．∴E点的坐标为：(2，2)．故选C．4．D．【解析】∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．5．C【解析】如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，这个点是位似中心，但不是所有的相似图形都是位似图形，并且位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比．解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，错误；②位似图形一定有位似中心，是对应点连线的交点，正确；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，正确；④位似图形上对应点与位似中心的距离之比等于位似比，错误．故选C．6．①②③【解析】根据位似图形的定义分析各图，对各选项逐一分析，即可得出答案．解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．根据位似图形的概念，①②③三个图形中的两个图形都是位似图形；④中的两个图形是相似三角形，但不符合概念，故不是位似图形．故填①②③．7．1︰2【解析】先证明△OAB∽△OCD，△OCD与OAB的对应点的连线都过点O，所以可得△OC D与△OAB的位似，即可求得△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．解：∵DC∥AB∴△OAB∽△OCD∵△OCD与OAB的对应点的连线都过点O∴△OCD与△OAB的位似∴△OCD与△OAB的位似比为OC：OA=1：2．8．4．【解析】根据△ABC与△A′B′C′是位似图形，可知△ABC∽△A′B′C′，利用位似比是1：2，即可求得A′B′=4cm．解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形∴△ABC ∽△A ′B ′C ′∵位似比是1：2∴AB ：A ′B ′=1：2∵AB =2cm ∴A ′B ′=4cm ．9．(﹣2，1)或(2，﹣1)【解析】根据题意得：则点E 的对应点E ′的坐标是(﹣2，1)或(2，﹣1)．10．3【解析】位似图形同时也是相似图形，位似比等于其相似比，等于其对应边的比，对应周长的比，面积比等于位似比的平方．解：由于△ABC 是由△DEF 缩小一半得到，所以△ABC 与△DEF 是位似图形，①正确；位似图形也是相似图形，②正确；将△DEF 缩小为原来的一半，得到△ABC ，所以△ABC 与△DEF 的位似比为1：2，所以其周长比也为1：2，③正确；所以其面积比为1：4，④错误．题中共有3个结论正确．11．答案见解析【解析】根据位似图形的定义及位似中心分析各图，即可得出答案．解:图(1)(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点P ，图(2)中的点A ，图(4)中的点O ．12． 答案见解析【解析】(1)如下图所示；(2)与的位似比是2；ABC ∆111C B A ∆(3)如下图所示．e 【解析】(1)根据A (2，3)，C (6，2)，找出原点，求出点B 的坐标即可；(2)根据位似比为2，得出三角形各顶点坐标即可得出答案；(3)利用所画图形得出三角形的底与高求出即可．解：(1)B 点：(2，1)(2)(3)的面积S =16A B C '''△14． 答案见解析【解析】解:∵矩形ABCD 的周长为24∴12AB AD +=设,12AB x AD x==-则 ∴4,14AB AB BB x AD AD DD x ''''=+=+=+=- ∵矩形ABCD 与矩形AB C D '''是位似图形 ∴AB ADAB AD ='' 即12414x x x x-=+- 解得8x =∴8,4AB AD ==15．(1)作图见解析，A 1(﹣1，2)；(2)作图见解析，A 2(4，2)，P 2 (2a ，2b )；(3)是，Q (﹣6，2)．【解析】(1)如图所示，画出平移后的△A1O1B1，找出A1的坐标即可；(2)如图所示，画出位似图形△A2OB2，求出A2、P2的坐标即可；(3)根据题意得到△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形，找出Q坐标即可．解：(1)如图所示，A1(﹣1，2)；(2)如图所示，A2(4，2)，P2 (2a，2b)；(3)如图所示，△A2OB2与△A1O1B1是关于点Q为位似中心的位似图形．此时Q(﹣6，2)．。

27.3 位似第1课时 位似图形的概念及画法1.下列说法正确的是（ ）A. 位似图形一定是相似图形B. 相似图形不一定是位似图形C. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 2.下列说法正确的是（ ）A. 分别在∆ABC 的边AB.AC 的反向延长线上取点D.E.使DE ∥BC,则∆ADE 是∆ABC 放大后的图形 B.两位似图形的面积之比等于位似比 C. 位似多边形中对应对角线之比等于位似比 D. 位似图形的周长之比等于位似比的平方3.如图，五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1是位似图形，点A 和点A 1是一对对应点，P 是位似中心，且2 P A ＝3 P A 1，则五边形ABCDE 和五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比等于 ( ) A 、32． B 、23． C 、53． D 、35．4.如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm.且较小图形周长为30cm,则较大图形周长为5.已知∆ABC.以点A 为位似中心.作出∆ADE.使∆ADE 是∆ABC 放大2倍的图形.这样的图形可以作出 个 。

他们之间的关系是6.如左下图，五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′是位似图形，点O 是位似中心，位似比为2：1. 若五边形ABCDE 的面积为17 cm 2， 周长为20 cm ，那么五边形A ′B ′C ′D ′E ′的面积为______，周长为______.第6题图 第7题图7.如图，A ′B ′∥AB ，B ′C ′∥BC ，且OA ′∶A ′A =4∶3，则△ABC 与_______是位似图形，位似比为______；△OAB 与________是位似图形，位似比为______. 8.如图, ∆OAB 与∆ODC 是位似图形 。

试问:(1) AB 与CD 平行吗？请说明理由 。

(2) 如果OB=3,OC=4,OD=3.5.试求∆OAB 与∆ODC 的相似比及OA 的长 。

位似图形的练习题位似图形，简单来说就是形状相似但大小不同的图形。

在数学中，位似图形是一个非常重要的概念，它能帮助我们理解几何形状之间的关系，解决一些实际问题。

本文将介绍一些位似图形的练习题，以帮助读者更好地理解和运用此概念。

问题一：给定一个正方形，边长为4cm，如图所示。

现在需要将这个正方形进行位似变换，使得新图形的边长是原来的2倍。

请问新图形的面积是多少？解析：根据题目描述，原正方形的边长为4cm，面积为4^2 = 16cm^2。

要将边长变为2倍，就是将原正方形放大。

根据位似图形的性质，放大比例为2，面积的放大比例为2^2 = 4。

所以新图形的面积为16cm^2 ×4 = 64cm^2。

问题二：现在有一个矩形，长为8cm，宽为5cm，如图所示。

要将这个矩形进行位似变换，使得新的矩形的长为原来的3倍，宽为原来的2倍。

请问新矩形的周长是多少？解析：原矩形的长为8cm，宽为5cm，周长为2 × (8 + 5) = 26cm。

要将长变为3倍，宽变为2倍，根据位似图形的性质，周长的放大比例为3 + 2 = 5。

所以新矩形的周长为26cm × 5 = 130cm。

问题三：给定一个三角形ABC，其面积为12cm^2，如图所示。

现在需要将这个三角形进行位似变换，使得新三角形的面积是原来的3倍。

请问新三角形的高是多少？解析：根据题目描述，原三角形的面积为12cm^2。

要将面积变为3倍，根据位似图形的性质，边长的放大比例为√3。

设新三角形的高为h，我们可以利用三角形的面积公式：面积 = 底边 ×高 / 2。

将原面积和放大比例代入公式得到：12 = √3 × 2 × h / 2。

化简得到h = 6 / √3 = 2√3 cm。

通过以上的练习题，我们可以看到位似图形在解决几何问题中的应用。

掌握了位似图形的基本原理和性质，我们能够更好地理解几何形状之间的关系，快速解决一些实际问题。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《27.3位似》同步题型分类练习题（附答案）一．位似变换1．如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，则AO：AD的值为（）A．4：7B．4：3C．6：4D．9：52．如图平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形ABCD的边长为3，则F点坐标为（）A．（16.5，9）B．（18，12）C．（16.5，12）D．（16，12）3．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，能够与四边形ABCD是位似图形的为（）A．四边形NGMF B．四边形NGME C．四边形NHMF D．四边形NHME 4．如图所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，2），C（﹣2，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：2放大，放大后的图形记作△A'B'C'，则C'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（﹣5，2）C．（﹣4，2）D．（﹣3，2）5．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD与矩形EFGO位似，矩形ABCD的边CD在y轴上，点B的坐标为（﹣4，4），矩形EFGO的两边都在坐标轴上，且点F的坐标为（2，1），则矩形ABCD与EFGO的位似中心的坐标是．6．如图，平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，且OA＝4，∠BOA＝30°，∠B＝90°，以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，则点B的对应点B′的坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（﹣1，2）、B（0，2），C、D 两点的坐标分别为C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．若线段AB和线段CD是位似图形，且位似中心在y轴上，则位似中心的坐标为．8．《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．9．如图，△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，则点A（1，2）在第一象限的对应点A1的坐标是．10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，以点O为位似中心，△A1B1C1和△ABC 相似比为2：1，在网格中画出新图象△A1B1C1，若每个小正方形边长均为1，请写出A1，B1，C1的坐标．11．如图所示，由位似的正△A1B1C1，正△A2B2C2，正△A3B3C3，…正△A n B n∁n组成的相似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点…A n是OA n﹣1的中点，顶点B2，B3，…，B n．C2，C3，…，∁n都在B1C1边上．（1）试写出△A10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；（2）求出第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长．12．如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．（1）求证：四边形PQMN为正方形；（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．13．（1）对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点P的对应点P′．点A，B在数轴t，对线段AB上的每个点进行上述操作后得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为A′，B′．如图1，若点A表示的数是﹣3，则点A′表示的数是，若点B′表示的数是2，则点B表示的数是；已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对应点E'点E重合，则点E表示的数是．（2）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣2，0），B（2，0），C（2，4），对△ABC及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横、纵坐标都乘以同个实数a，将得到的点先向右平移m单位，再向上平移n个单位（m＞0，n＞0），得到△A′B′C′及其内部的点，其中点A，B的对应点分别为A′（1，2），B′（3，2）．△ABC内部是否存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合，若存在，求出点F 的坐标；若不存在请说明理由．14．在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝﹣x2+x+2与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）连接AC、BC，以点C为位似中心，将△ABC扩大到原来的2倍得到△A1B1C，其中点A1、B1分别是点A、B的对应点，如何平移抛物线L才能使其同时经过点A1、B1，求出所有的平移方式．二．作图-位似变换15．如图所示△DEF是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．116．如图，在平面直角坐标系中，已知点O（0，0），A（6，0），B（0，8），以某点为位似中心，作出与△AOB的位似比为k的位似△CDE，则位似中心的坐标和k的值分别为（）A．（0，0），2B．（2，2），C．（2，2），2D．（1，1），17．如图，在坐标系中，以A（0，2）为位似中心，在y轴右侧作△ABC放大2倍后的位似图形△AB'C'，若C的对应点C'的坐标为（m，n），则点C的坐标为（）A．（m，n+3）B．（m，n﹣3）C．（m，n+2）D．（m，n﹣2）18．如图，以点O为位似中心，把△AOB缩小后得到△COD，使△COD∽△AOB，且相似比为，已知点A（3，6），则点C的坐标为．19．如图，以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，①AB∥A'B'；②△ABC∽△A'B'C'；③AO：AA'＝1：2；④点C、O、C'三点在同一直线上．则以上四种说法正确的是．20．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA ＝2．OC＝1，则矩形AOCB的对称中心的坐标是；在第二象限内，将矩形AOCB 以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，按此规律，则矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是．21．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，﹣5），若以原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为2：1，且点A1和点A 不在同一象限内，则点A1的坐标为．22．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画△A1B1C1，使它与△ABC的相似比为2，则点B的对应点B1的坐标是．23．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1，0），B（3，1），C （2，3）．请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△DEF，△ABC 与△DEF的位似比为；（2）如果△ABC内部一点M的坐标为（a，b），请写出M的对应点M'的坐标（，）．24．如图，在平面直角坐标系网格中，将△ABC进行位似变换得到△A1B1C1．（1）在平面直角坐标系中画出位似中心；（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，确定点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标．25．如图，小明在学习图形的位似时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC的位似图形△A1B1C1．（1）在图中标出△ABC和△A1B1C1的位似中心M点的位置并写出M点的坐标．（2）若以点A1为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的位似比为2：1．（3）直接写出（2）中C2点的坐标．26．如图，△ABC三个顶点分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．（1）画出△ABC向上平移5个单位得到的△A1B1C1；（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使得△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并写出A2的坐标．27．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1）、B（﹣3，2）、C（﹣1，4）．（1）以原点O为位似中心，在第二象限内画出将△ABC放大为原来的2倍后的△A1B1C1．（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2．28．如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并直接写出△A′B′C′各顶点的坐标．参考答案一．位似变换1．解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16：9，∴＝，∵AC∥DF，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝，∴AO：AD＝4：7，故选：A．2．解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为，∴＝＝，即＝＝，解得：EF＝12，OB＝4，∴F（16，12）．故选：D．3．解：如图，四边形ABCD的位似图形是四边形NGMF．故选：A．4．解：∵以A为位似中心，把△ABC按相似比1：2放大，放大后的图形记作△AB'C'，∴AC＝AC′，∴点C是线段AC′的中点，∵A（1，0），C（﹣2，1），∴C'的坐标为（﹣5，2）．故选：B．5．解：连接BF交y轴于点P，∵C和F是对应点，∴点P为位似中心，由题意得，GF＝2，AD＝4，GC＝4﹣1＝3，∵BC∥GF，∴△BPC∽△FPG，∴＝，即＝2，解得，GP＝1，∴OP＝2，∴位似中心的坐标是（0，2），故答案为：（0，2）．6．解：作BE⊥OA于E，则∠BEO＝90°，∵∠ABO＝90°，∠BOA＝30°，∴OB＝OA•cos30°＝4×＝2，∴BE＝OB＝，OE＝OB•cos30°＝2×＝3，∴点B的坐标为：（3，），∵以点O为位似中心，在第一象限内将△AOB放大，使相似比为2：1，∴点B的对应点B'的坐标为：（3×2，×2），即（6，2），故答案为：（6，2）．7．解：连接AD交BC于E，则点E为位似中心，∵A（﹣1，2）、B（0，2），C（0，﹣1）、D（2，﹣1）．∴AB＝1，CD＝2，BC＝3，∵线段AB和CD是位似图形，∴AB∥CD，∴＝，即＝，解得BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝1，∴位似中心点E的坐标为（0，1），故答案为：（0，1）．8．解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．9．解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：2，∵A（1，2），点A（1，2）在第一象限的对应点是A1，∴点A1的坐标为：（2，4）．故答案为：（2，4）．10．解：如图，△A1B1C1即为所求，A1（0，8），B1（6，6），C1（6，2）．11．解：（1）∵△A1B1C1的边长为1，点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，∴正△A2B2C2的边长为，正△A3B3C3的边长为（）2，正△A10B10C10和的边长为（）9，正△A7B7C7的边长为（）6，∴正△A10B10C10和正△A7B7C7的相似比＝＝；它们的位似中心为点O；（2）∵第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的边长为（）n﹣1，∴第n个三角形△A n B n∁n（n≥2）的周长为．12．（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，∴四边形PQMN为矩形，∵四边形P'Q'M'N'是正方形，∴PN∥P′N′，∴＝，∵MN∥M′N′，∴＝，∴＝，而P′N′＝M′N′，∴PN＝MN，∴四边形PQMN为正方形；（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，∵△ABC的面积＝1.5，∴AB•AC＝1.5，∴AB＝2，∴BC＝＝2.5，∵BC•AD＝1.5，∴AD＝＝，设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AE＝﹣x，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即PN的长为m．13．解：（1）点A′：﹣3×+1＝﹣1+1＝0，设点B表示的数为a，则a+1＝2，解得a＝3，设点E表示的数为b，则b+1＝b，解得b＝；故答案为：0，3，；（2）根据题意，得：，解得：，设点F的坐标为（x，y），∵对应点F′与点F重合，∴x+2＝x，y+2＝y，解得x＝y＝4，所以，点F的坐标为（4，4），∵点F的坐标为（4，4）不在△ABC内，故△ABC内部不存在点F，使得点F经过上述操作后得到的对应点F′与点F重合．14．解：（1）在y＝﹣x2+x+2中，令y＝0，即0＝﹣x2+x+2，解得：x1＝2，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（2，0），令x＝0，即y＝2，∴C（0，2）；（2）如图，当抛物线经过A1（2，6），B1（﹣4，6）时，设抛物线的解析式，y＝﹣x2+bx+c，则有，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+14＝﹣（x+1）2+15，当抛物线经过A2（﹣2，﹣2），B2（4，﹣2）时，同法可得抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+6＝﹣（x﹣1）2+7．∵原来的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣）2+，∴+1＝，15﹣＝，∴原来抛物线向左平移，再向上平移单位得到y＝﹣x2﹣2x+14．1﹣＝，7﹣＝，原来抛物线向右平移单位，再向上平移单位得到y＝﹣x2+2x+6．二．作图-位似变换15．解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点．故选：A．16．解：如图所示：位似中心F的坐标为：（2，2），k的值为：＝．故选：B．17．解：过点A作x轴的平行线DD′，作CD⊥DD′于D，作C′D′⊥DD′于D′，设C（x，y），则CD＝y﹣2、AD＝﹣x，C′D′＝2﹣n，AD′＝m，∵△AB′C′与△ABC的位似比为2：1，∴＝＝，即＝＝，解得：x＝﹣m，y＝﹣n+3，∴点C的坐标为（﹣m，﹣n+3），故选：A．18．解：由题意得，点A与点C是对应点，△AOB与△COD的相似比是3，∴点C的坐标为（3×，6×），即（1，2），当点C值第三象限时，C（﹣1，﹣2）故答案为：（1，2）或（﹣1，﹣2）．19．解：∵以点O为位似中心，把△ABC放大2倍得到△A'B'C''，∴AB∥A'B，△ABC∽△A'B'C'；AO：AA'＝2：1；点C、O、C'三点在同一直线上，①①②④正确，故答案为：①②④．20．解：∵OA＝2．OC＝1，∴B（﹣2，1），∴矩形AOCB的对称中心的坐标为（﹣1，），∵将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，∴B1（﹣3，），同理可得B2（﹣，），B3（﹣，），B4（﹣，），∴矩形A4OC4B4的对称中心的坐标是（﹣，）．故答案为（﹣1，），（﹣，）．21．解：在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（1，﹣2.5），不在同一象限内，∵△ABC与△A′B′C′是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是2：1，A坐标为（2，﹣5），∴则点A′的坐标为：（﹣1，2.5），故答案为：（﹣1，2.5）．22．解：如图所示：△A1B1C1和△A′B′C′与△ABC的相似比为2，点B的对应点B1的坐标是：（4，2）或（﹣4，﹣2）．故答案为：（4，2）或（﹣4，﹣2）．23．解：（1）如图，△DEF即为所求；（2）M′（﹣2a，﹣2b）．故答案为：﹣2a，﹣2b．24．解：（1）如图点O即为位似中心；（2）设点P（a，b）为△ABC内一点，则点P在△A1B1C1内的对应点P1的坐标（2a，2b）．25．解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C2即为所求；（3）C2（﹣4，2）．26．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．A2的坐标（﹣2．，﹣2）．27．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）如图，△A2B2C2即为所求．28．解：（1）如图，（2）2：1，（3）A′（﹣6，0），B′（﹣3，2），C′（﹣4，4）．。

位似图形练习题图形练习题旨在提高我们对位似图形的辨别能力。

通过练习，我们能够锻炼自己在空间思维、几何形状和视觉感知方面的能力。

本文将介绍一些经典的位似图形练习题，帮助读者更好地理解和解答这些题目。

一、第一类第一类位似图形练习题通常涉及到几何形状之间的比例关系。

我们需要通过观察和比较找出不同形状之间的相似性，然后根据相似性来找出规律或推理出正确的答案。

例题1：请找出下图中不同的一组图形。

A B C D_______ _______ ________ _______| | | ||________| |________| |_________|A. B. C. D.解析：在这个例子中，我们可以看到四组图形，每组图形由若干个小正方形构成。

观察A、B、C和D这四组图形中，只有B组图形的小正方形数量与其他组不同，所以答案是B组。

二、第二类第二类位似图形练习题与图形的位置和方向有关。

我们需要根据图形的移动或旋转，找出正确的图形。

例题2：请判断下图中哪个图形与原图不匹配。

A B C D_______ _______ ________ _______| | | ||________| |________| |_________|A. B. C. D.解析：在这个例子中，我们可以看到四组图形，每组图形中的几何形状在位置上存在一定的变化。

仔细观察A、B、C和D这四组图形中，可以发现D组图形与其他组的位置关系不符，所以答案是D组。

三、第三类第三类位似图形练习题与图形的变化规律有关。

我们需要通过观察图形的变化来推测下一个图形的形状。

例题3：请根据下图的变化规律填入合适的图形，使得整个序列保持一致。

A B C_______ _______ _______| | ||________| |________| |_________|D E ?_______ _______ _______| | ||________| |________| |_________|A. B. C. D. E. F.解析：在这个例子中，我们可以看到一个序列的图形在形状上存在一定的变化。

相似三角形（三）◆三角形、梯形中位线1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。

注意：三角形的中位线有3条。

2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

例1 △ABC 中，D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，AD 、CE 相交于G 。

求证： 31==ADGD CEGE小结：在右图，取AC 的中点F ，取BC 的中点D,假设BF 与AD 交于G ′，那么同理有31='='BF F G AD D G ，所以有31='=AD D G AD GD ，即两图中的点G 与G ′是重合的。

于是，我们有以下结论：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31。

例2中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，试判断线段GH 与DC 的关系。

例3．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AB 的三等分点。

求证：GE BG 3=。

A BDCFE BDC例4．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，EF 为中位线，EG=10，GF=4，AB=10。

求梯形的周长和面积。

【练习】：1．如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形．3．已知：△ABC 的中线BD 、CE 交于点O ，F 、G 分别是OB 、OC 的中点． 求证：四边形DEFG 是平行四边形．4．如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，中位线EF 分别与BD 、AC 交于点G 、H ，若AD=6，BC=10，求GH 的长。

中考数学复习----《位似》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1. 位似的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

2. 位似与平面直角坐标系：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k 。

练习题1、（2022•百色）已知△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，则△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是（ ）A ．1：3B ．1：6C ．1：9D ．3：1【分析】利用为位似的性质得到△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，然后根据相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC 与△A 'B 'C '是位似图形，位似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '相似比是1：3，∴△ABC 与△A 'B 'C '的面积比是1：9．故选：C ．2、（2022•梧州）如图，以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，已知 OA OA ＝31，若四边形ABCD 的面积是2，则四边形A ′B ′C ′D ′的面积是（ ）A ．4B ．6C ．16D ．18【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．【解答】解：∵以点O 为位似中心，作四边形ABCD 的位似图形A ′B ′C ′D ′，＝，∴＝＝， 则四边形A ′B ′C ′D ′面积为：18．故选：D ．3、（2022•威海）由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝…＝∠LOM ＝30°．若S △AOB ＝1，则图中与△AOB 位似的三角形的面积为（ ）A ．（34）3B ．（34）7C ．（34）6D ．（43）6 【分析】根据余弦的定义得到OB ＝OA ，进而得到OG ＝（）6OA ，根据位似图形的概念得到△GOH 与△AOB 位似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos∠AOB＝，∴OB＝OA，同理，OC＝OB，∴OC＝（）2OA，……OG＝（）6OA，由位似图形的概念可知，△GOH与△AOB位似，且位似比为（）6，∵S△AOB＝1，∴S△GOH＝[（）6]2＝（）6，故选：C．4、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长之比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，故选：A．5、（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC 的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4 B．6 C．9 D．16【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF 的周长．【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．6、（2022•黔西南州）如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O．若点A（4，0），点C（2，0），则△OAB与△OCD周长的比值是．【分析】利用关于原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到相似比为2：1，然后根据相似三角形的性质解决问题．【解答】解：∵△OAB与△OCD位似，位似中心是坐标原点O，而点A（4，0），点C（2，0），∴相似比为4：2＝2：1，∴△OAB与△OCD周长的比值为2．故答案为：2．7、（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A'B'C'D'，若A'B'：AB＝2：1，则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为．【分析】如图，连接B′D′．利用相似多边形的性质求出正方形A′B′C′D′的面积，求出边长，再求出B′D′可得结论．【解答】解：如图，连接B′D′．设B′D′的中点为O．∵正方形ABCD∽正方形A′B′C′D′，相似比为1：2，又∵正方形ABCD的面积为4，∴正方形A′B′C′D′的面积为16，∴A′B′＝A′D′＝4，∵∠B′A′D′＝90°，∴B′D′＝A′B′＝4，∴正方形A′B′C′D′的外接圆的周长＝4π，故答案为：4π．8、（2022•成都）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若OA：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的周长比是．【分析】先根据位似的性质得到△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，再利用比例性质得到OA：OD＝2：5，然后利用相似比等于位似比和相似三角形的性质求解．【解答】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．∴△ABC和△DEF的位似比为OA：OD，∵OA：AD＝2：3，∴OA：OD＝2：5，∴△ABC与△DEF的周长比是2：5．故答案为：2：5．。

人教版九年级下册第1课时位似图形的概念及画法(188)1.如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛AB在暗盒中所成像CD的长是（）A.16cm B.13cm C.12cm D.1cm2.如图,四边形ABCD的周长为12cm,它的位似图形为四边形A′B′C′D′,位似中心为点O．若OA∶AA′=1∶3,则四边形A′B′C′D′的周长为（）A.12cmB.24cmC.12cm或24cmD.以上都不对3.如图所示，已知五边形ABCDE，O是五边形ABCDE内一点，A1，B1，C1，D1，E1分别是OA，OB，OC，OD，OE上的点，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE．若OD=2OD1，S五边形ABCDE=100cm2，求五边形A1B1C1D1E1的面积．4.如图,已知△OAB与△ODC是位似图形．(1)AB与CD平行吗？请说明理由；(2)如果OB=3,OC=4,OD=3.5,试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长．5.如图,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形,阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在边OA上,点D在边OB上；②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′；③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．6.图中的两个相似三角形不是位似图形的是（）A. B. C. D.7.图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（）A.点MB.点NC.点OD.点P8.下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．其中正确的是（）A.②③B.①②C.③④D.②③④9.四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是两个位似图形,点O是位似中心,且OA=32OA′,则AB∶A′B′等于（）A.23B.53C.52D.3210.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB等于（）A.2∶3B.3∶2C.4∶5D.4∶911.如图，A′B′∥AB，B′C′∥BC，且OA′∶OA=4∶7，则△ABC与是位似图形，相似比为；△OAB与是位似图形，相似比为．, 12.如图,△ABC与△DEF位似,位似中心为点O,且△ABC的面积等于△DEF面积的49则AB∶DE=．13.分别画出下图中的每组位似图形的位似中心．14.已知四边形ABCD及点O，试以点O为位似中心，将如图所示的四边形放大为原来的2倍．参考答案1.【答案】:D【解析】:∵AB∥CD，∴△ODC∽△OBA，∴CD6=212，∴CD=1(cm)2.【答案】:B【解析】:∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是位似图形，∴ADA′D′=OAOA′.又∵OAAA′=13,∴设OA=k，则AA′=3k，∴OA′=AA′−OA=3k−k=2k，∴ADA′D′=OAOA′=k2k=12,即A′D′=2AD.同理A′B′=2AB,B′C′=2BC,C′D′=2CD.∴四边形A′B′C′D′的周长为A′B′+B′C′+C′D′+D′A′=2(AB+BC+CD+DA)=2×12=24(cm).3.【答案】:∵A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE，∴OA1OA =OB1OB=OC1OC=OD1OD=OE1OE，且各对应顶点的连线都经过点O，∴五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1是位似图形．∵OD=2OD1，∴OD1OD =12,∴S五边形A1B1C1D1E1S五边形ABCDE=14．∵S五边形ABCDE=100cm2，∴五边形A1B1C1D1E1的面积为25cm2【解析】:∵A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1D1∥CD，D1E1∥DE，A1E1∥AE，∴OA1OA =OB1OB=OC1OC=OD1OD=OE1OE，且各对应顶点的连线都经过点O，∴五边形ABCDE与五边形A1B1C1D1E1是位似图形．∵OD=2OD1，∴OD1OD =12,∴S五边形A1B1C1D1E1S五边形ABCDE=14．∵S五边形ABCDE=100cm2，∴五边形A1B1C1D1E1的面积为25cm24(1)【答案】AB∥CD．理由：∵△OAB与△ODC是位似图形,∴△OAB∽△ODC,∴∠A=∠D,∴AB∥CD(2)【答案】显然点O是△OAB与△ODC的位似中心,相似比为OB∶OC=3∶4.∵OB∶OC=OA∶OD,即3∶4=OA∶3.5,∴OA=2.625【解析】:根据位似图形性质可得出，注意对应边成比例。

相似三角形的应用及位似（习题）➢例题示范例1：小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20 米．当她与镜子的距离CE=2.5 米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC=1.6 米，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度（注：入射角=反射角）．解：由题意，AE=20，CE=2.5，DC=1.6，∠FEB=∠FED∴∠BEA=∠DEC∵∠BAE=∠DCE=90°∴△BAE∽△DCE∴ AB=AEDC EC∴ AB=201.62.5∴AB=12.8∴大楼AB 的高为12.8 米．例2：如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分在地面上，另一部分在建筑物的墙面上．小明测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为9.6 m，在墙面上的影长CD 为2 m．同一时刻，小明又测得竖立于地面长1 m 的标杆的影长为1.2 m．请帮助小明求出旗杆的高度．解：如图，过点D 作DE∥BC 交AB 于点E，则四边形BCDE 为矩形．由题意，BC=9.6，CD=2，∴BC=DE=9.6，CD=BE=2由题意，AE=ED1 1.2∴AE=8∴AB=AE+EB=8+2=10∴旗杆的高度为10 m．➢巩固练习1.如图，AB∥CD，AD，BC 相交于点E，过E 作EF∥AB 交BD于点F，则图中相似的三角形有对．2.如图是测量河宽的示意图，AE 与BC 相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求得河宽AB= m．3.如图，在同一时刻，小明测得他的影长为1 m，距他不远处的一棵槟榔树的影长为5 m，若小明的身高为1.5 m，则这棵槟榔树的高度是．4.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（）A．1.25 尺B．57.5 尺C．6.25 尺D．56.5 尺5.小刚身高1.7 m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85 m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶（）A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m 6.如图是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 m，BP=1.8 m，PD=12 m，那么该古城墙的高度是（）A．8 m B．10 mC．15 m D．18 m7.如图5，小明同学用自制的直角三角形纸板EFG 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边EG 保持水平，并且边EF 所在的直线经过点A，已知纸板的两条直角边EF=60 cm，FG=30 cm，测得小明与树的水平距离BD=8 m，边EG 离地面的高度DE=1.6 m，则树高为．8.如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m，留在墙上的影子高为1 m，则旗杆的高度是．第8 题图第9 题图9.如图，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD 与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度为．10.如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14 m，塔影长DE=36 m，小明和小华的身高都是1.6 m，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4 m，2 m，那么塔高AB= ．第10 题图第11 题图11.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m，一级台阶高为0.3 m，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m，则树高为．12.如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA=10 cm，OA'=20 cm，则五边形ABCDE 的周长与五边形A′B′C′D′E′的周长比是．13.如图，△ABC 与△DEF，且直线AD，CF，BE 相交于点O，OA=OB=OC=2，已知AB=4，则DE 的长为．OD OE OF 314.如图，在△ABC 中，A，B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(-1，0)．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形，并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍，记所得的像是△A′B′C．设点B 的对应点B′的横坐标是a，则点B 的横坐标是．➢思考小结1.如图，四边形ABCD 的顶点坐标分别为A(4，2)，B(8，6)，C(6，10)，D(-2，6)．1 A B C D1（）将，，，的横坐标、纵坐标都乘2，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（2）将A，B，C，D 的横坐标、纵坐标都乘 1，得到四个2点，以这四个点为顶点的四边形与四边形ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心并求出相似比．（3）在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形，位似中心是，它们的相似比为．2.实际生活中测量旗杆的高度，都是利用了相似三角形的原理进行的．下列三种方法都利用了物体与地面垂直的特性，除此之外，这三种方法还分别用了哪些实际生活中的原理呢？请把选项填到对应的横线上．①利用阳光下的影子：②利用标杆：③利用镜子的反射：A．镜子的反射定律：借助入射角、反射角相等B．视线与一组平行线相交，同位角相等C．同一时刻，太阳光线（平行光线）与水平地面的夹角相等3.影子上墙问题的常见处理方法：推墙法、砍树法、抬高地面法，这三种方法的实质都是构造三角形相似，在构造的时候，我们主要是想办法构造出来太阳光线与地面的夹角．【参考答案】➢ 巩固练习1. 32. 1003. 7.5 m4. B5. A6. A7. 5.6 m8. 8 m9. (7 + 3) m10. 20 m11. 11.8 m12. 1:213. 614. -3 +a 2➢思考小结1.（1）位似；位似中心是原点；相似比是1 2（2）位似；位似中心是原点；相似比是12（3）位似；原点；|k|．2.C；B；A。

人教版九年级数学下册第二十八章位似之位似图形的概念与性质习题练习（附答案）一、选择题1.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是()A． 1B． 2C． 3D． 42.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC的面积比是4∶9，则OB′∶OB为()A． 2∶3B． 3∶2C． 4∶5D． 4∶93.如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为()A． 1B． 2C． 4D． 84.下列说法正确的是()A．分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC放大后的图形B．两位似图形的面积之比等于位似比C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比D．位似图形的周长之比等于位似比的平方5.如图所示，矩形ABCD中，AB＝9，BC＝6，若矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为2，则C、F3之间的距离为()A．√13B． 2√13C． 3√13D． 126.下列四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是()A．点EB．点FC．点GD．点D二、填空题7.在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点A为位似中心，把△ABC放大3倍后得到△AEF，则∠E＝__________.8.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF分别交AC、CD于P、E，则图中的位似三角形共有________对．三、解答题9.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB＝2 cm，则A′B′等于多少 cm，请在图中画出位似中心O.10.请在如图的正方形网格纸中，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍．(画一个即可)．11.“位似变化”是一种重要的几何变化，可以将图形放大或缩小，且与原图形相似．你能用位似变化解决下列问题吗？如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝6，有矩形EFGH的一边EF在边AC上，点H在斜边AC 上，EF＝2，HE＝1.(1)请你用圆规和无刻度直尺在Rt△ABC内作一个最大的矩形且与矩形EFGH位似；(不要求写作法，但必须保留作图痕迹)(2)请证明你作图方法的正确性；(3)求最大矩形与矩形EFGH的面积之比．12.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点)．(1)△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；(2)请以△ABC的B点为位似中心画相似三角形，使得该三角形与△ABC的相似比为1∶2.13.画出下列图形的位似中心．14.如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．(1)AE和ED的数量关系为__________；AE和ED的位置关系为__________；(2)在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD.分别得到图2和图3.①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1∶2，H是EC的中点．求证：GH＝HD，GH⊥HD.②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH＝HD且GH⊥HD(用含k的代数式表示)．15.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1.四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形吗？位似比是多少？16.数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连接OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I.(1)请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；(2)还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形(保留画图痕迹，不要求证明)．17.我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．(1)选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为__________；A ．2、点P ，B.?12、点P ，C.2、点O ，D.?12、点O ； (2)如图2，用下面的方法可以画△AOB 的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB 内画等边三角形CDE ，使点C 在OA 上，点D 在OB 上；②连接OE 并延长，交AB 于点E ′，过点E ′作E ′C ′∥EC ，交OA 于点C ′，作E ′D ′∥ED ，交OB 于点D ′； ③连接C ′D ′，则△C ′D ′E ′是△AOB 的内接三角形．求证：△C ′D ′E ′是等边三角形．答案解析1.【答案】D【解析】由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选D.2.【答案】A【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积的比4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴OB′OB ＝23，故选A.3.【答案】B【解析】∵C1为OC的中点，∴OC1＝12OC，∵△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，∴A1B1AB ＝OB1OB，B1C1∥BC，∴OB1OB ＝OC1OC，∴A1B1AB ＝OC1OC，即A1B14＝12，∴A1B1＝2.故选B.4.【答案】C【解析】∵分别在△ABC的边AB，AC的反向延长线上取点D，E，使DE∥BC，则△ADE是△ABC 放大或缩小后的图形，∴A错误．∵位似图形是特殊的相似形，满足相似形的性质，∴B，D错误，正确的是C.故选C.5.【答案】A【解析】连接AF、FC，∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，∴A、F、C在同一条直线上，EF∥BC，∵AB＝9，BC＝6，∴AC＝2+BC2＝3√13，∵矩形AEFG与矩形ABCD位似，位似比为2，3∴CF＝1AC＝√13，3故选A.6.【答案】D【解析】四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是点D.故选D.7.【答案】72°【解析】∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°∵△ABC∽△AEF，∴∠E＝∠B＝72°.8.【答案】5【解析】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABP∽△CEP，△APF∽△CPB，△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，∴△ABF∽△CEB，△ABC≌△CDA，∴此图中共有6对相似三角形．但△ABF∽△CEB不是位似．9.【答案】解∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，∵位似比是1∶2，∴AB∶A′B′＝1∶2，∵AB＝2 cm，∴A′B′＝4 cm.位似中心如图，点O即为所求．【解析】10.【答案】解 如图所示：(只要做对一个即可)【解析】分别找出的三角形的对应点，扩大对应边2倍即可得出答案．11.【答案】解 (1)①作AC 的垂直平分线，TK ，交AB 于M ，交AC 于N ，②过点M 作MD ⊥BC 垂足为D ，四边形MNCD 就是所求．(2)∵MN ⊥AC ，MD ⊥BC ，∴∠C ＝∠MNC ＝∠CDM ＝90°，∴四边形MNCD 是矩形，∵AN ＝NC ，MN ∥BC ，∴AM ＝MB ，∵MD ∥AC ，∴CD ＝DB ，∴MD ＝12AC ＝6，MN ＝12BC ＝3， ∴MD ∶CD ＝2，EF ∶HE ＝2，∴EF MD ＝HE CD ，∴矩形EFGH 与矩形MNCD 是位似图形．(3)S 矩形MNCES 矩形EFGH ＝3×61×2＝9.【解析】(1)作出△ABC的中位线MN，MD即可解决问题；(2)只要证明矩形的两边成比例即可；(3)根据矩形的面积公式求出比值即可．12.【答案】解(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；(2)如图所示：△BEF和△BDN即为所求．【解析】(1)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；(2)利用位似图形的性质结合位似中心得出对应点位置进而得出答案．13.【答案】解点O就是所求的位似中心．【解析】连接两个位似图形两对对应点，对应点连线的交点就是位似中心．14.【答案】解(1)∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，∴BE ＝EC ＝DC ＝AB ，∠B ＝∠C ＝90°，∴△ABE ≌△DCE ，∴AE ＝DE ，∠AEB ＝∠DEC ＝45°，∴∠AED ＝90°，∴AE ⊥ED .故答案为AE ＝ED ，AE ⊥ED ；(2)①由题意，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BE ＝EC ＝DC ，∵△EGF 与△EAB 的相似比1∶2，∴∠GFE ＝∠B ＝90°，GF ＝12AB ，EF ＝12EB ，∴∠GFE ＝∠C ，∴EH ＝HC ＝12EC ， ∴GF ＝HC ，FH ＝FE ＋EH ＝12EB ＋12EC ＝12BC ＝EC ＝CD ，∴△HGF ≌△DHC .∴GH ＝HD ，∠GHF ＝∠HDC .∵∠HDC ＋∠DHC ＝90°.∴∠GHF ＋∠DHC ＝90°∴∠GHD ＝90°.∴GH ⊥HD .②根据题意得出：∵当GH ＝HD ，GH ⊥HD 时，∴∠FHG ＋∠DHC ＝90°，∵∠FHG＋∠FGH＝90°，∴∠FGH＝∠DHC，∴{DH＝GH,∠FGH＝∠DHC,∠DCH＝∠GFH,∴△GFH≌△HCD，∴CH＝FG，∵EF＝FG，∴EF＝CH，∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，∴BE＝EC＝1，∴EF＝k，∴CH的长为k.【解析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE＝ED，AE⊥ED；(2)①根据△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH＝HC＝12EC，进而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH＝HD，GH⊥HD；②根据恰好使GH＝HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，进而得出CH的长．15.【答案】解∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.∵四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，∴四边形A′B′C′D′∽四边形A″B″C″D″.∴四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD.∵对应顶点的连线过同一点，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD是位似图形．∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′位似，位似比k1＝2，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″位似，位似比k2＝1，∴四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比为12.【解析】因为四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的对应顶点的连线已经相交于一点了，所以我们只要证明四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD即可；相似具有传递性，所以可证得四边形A″B″C″D″∽四边形ABCD；又因为位似比等于相似比，所以可求得四边形A″B″C″D″和四边形ABCD的位似比．16.【答案】解(1)四边形GHIJ是正方形．证明如下：如图1，∵GJ⊥OA，GH⊥GJ，HI⊥OA，∴∠GJO＝∠JIH＝∠JGH＝90°，∴四边形GHIJ是矩形，∵四边形CDEF是正方形，CD边与矩形GHIJ的IJ边在同一条直线上，∴FC∥HI，EF∥GH，∴△FOC∽△HOI，△EFO∽△GHO.∴OFOH ＝FCHI，OFOH＝EFGH.∴FCHI ＝EFGH.又∵FC＝EF，∴HI＝GH.∴四边形GHIJ是正方形；(2)如图2，正方形MNGH为所作．【解析】(1)由作法可得四边形CDEF与四边形IJGH是位似图形，位似中心为点O，由于四边形CDEF为正方形，所以四边形GHIJ是正方形；(2)先画正方形CDEF，点C、F在OA、OB上，再作正方形CDEF以点O为位似中心的位似图形，使它的位似图形的四个顶点落在扇形半径OA、OB和弧AB上即可．17.【答案】(1)解选择D.∵△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2，∴位似比是1∶2，位似中心为点O.故选D；(2)证明∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′∴CE∶C′E′＝OE∶OE′，DE∶D′E′＝OE∶OE′，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O∴CE∶C′E′＝DE∶D′E′，∠CED＝∠C′E′D′∴△CDE∽△C′D′E′∵△CDE是等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形．【解析】(1)根据中位线定理可知，△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1∶2，所以位似比是1∶2，位似中心为点O；(2)根据作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证的对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果．。

位似图形练习题 一、选择题1、如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果矩形OA ′B ′C ′与矩形OABC 关于点O 位似，且矩形OA ′B ′C ′的面积等于矩形OABC面积的41，那么点B ′的坐标是（ ）A ．（-2，3） B ．（2，-3） C ．（3，-2）或（-2，3）D ．（-2，3）或（2，-3）2、如图，△ABO 缩小后变为△A ′B ′O ，其中A 、B 的对应点分别为A ′、B ′点A 、B 、A ′、B ′均在图中在格点上．若线段AB 上有一点P （m ，n ），则点P 在A ′B ′上的对应点P ′的坐标为（ ）A ．（2m ，n ） B ．（m ，n ） C ．（m ，2n ） D ．（2m，2n）3、如图，△ABC 中，A 、B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（-1，0）．以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ，并把△ABC 的边长放大到原来的2倍．设点B 的对应点B ′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）A ．-21aB ．-21(a+1)C ．-21(a-1)D ．-21(a+3)4、图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A ．点M B ．点N C ．点O D ．点P5、如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF ．若AD=OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为（ ）A 、1：2 B 、1：4 C 、1：5 D 、1：67、如图，△OAB 与△OCD 是以点O 为位似中心的位似图形， 相似比为l ：2，∠OCD =90°，CO =CD .若B (1，0)，则点C 的坐标为( )A .(1,2) B .(1,1) C .(2, 2) D .(2,1) 8、下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（）A．②③ B．①② C．③④ D．②③④二、填空题1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为三、解答题：如图，将△ABC在网格中（网格中每个小正方形的边长均为1）依次进行位似变换、轴对称变换和平移变换后得到△A1B1C1．（1）△ABC与△A1B1C1的位似比等于；（2）在网格中画出△A1B1C1关于y轴的轴对称图形△A2B2C2；（3）请写出△A1B1C1是由△A2B2C2怎样平移得到的？（4）设点P（x，y）为△ABC内一点，依次经过上述三次变换后，点P的对应点的坐标为．。

27.3位似同步习题一．选择题1．如图中的两个三角形是位似图形，点M的坐标为（3，2），则它们位似中心的坐标是（）A．（0，2）B．（0，3）C．（2，﹣1）D．（2，3 ）2．已知两点A（4，6）、B（6，2），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点C的坐标为（）A．（2，3）B．（3，1）C．（2，1）D．（3，3）3．如图，若△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（1，1）C．（2，0）D．（0，﹣1）4．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（4，2），B（5，0），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（）A．（2，1）B．（2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）或（﹣2，﹣1）5．如图，△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则OA与OD之比为（）A．2：3B．3：2C．2：5D．3：56．如图，点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，则点D的横坐标为（）A．2B．2或﹣2C．D．或﹣7．已知线段AB的两个端点的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后，A的对应点A′的坐标是（）A．（m，n）B．（﹣m，﹣n）C．（m，m）或（﹣m，﹣m）D．（n，n）或（﹣n，﹣n）8．如图，四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，则位似中心是（）A．点A B．点B C．点F D．点D9．下列说法中正确的有（）①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为4：9；④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形一定相似．A．1个B．2个C．3个D．4个10．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR 二．填空题11．在平面直角坐标系中，△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，若点A的坐标为（3，6），则其对应点A1的坐标是．12．如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连结AG，DG．若▱ABCD的面积为24，则△ADG的面积为．13．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．14．如图，已知矩形ABCD和矩形BEFG是位似图形，点O是位似中心，若点D的坐标为（1，2），点F的坐标为（4，4），则点G的坐标是．15．如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），则△A'B'C'的面积为．三．解答题16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1．17．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1的位似比为1：2．（2）以点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，若点M（a，b）在线段AC上，请直接写出点M经过（1）的位似变换后的对应点M'的坐标．18．如图，在正方形格中，每一个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点分别为A（2，3），B（2，1），C（5，4）．（1）写出△ABC的外心P的坐标．（2）以（1）中的外心P为位似中心，按位似比2：1在位似中心的同侧将△ABC放大为△A′B′C′，放大后点A、B、C的对应点分别为A′、B′，C′，请在图中画出△ABC．参考答案一．选择题1．解：如图，点O为两个三角形的位似中心，∵点M的坐标为（3，2），∴位似中心O的坐标为（0，2），故选：A．2．解：以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，点A的坐标为（4，6），则则点A的对应点C的坐标为（4×，6×），即（2，3），故选：A．3．解：延长A′A、B′B交于点P，则点P（1，﹣1）为位似中心，故选：A．4．解：点A为（4，2），以O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，得到△A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为（4×，2×）或（﹣4×，﹣2×），即（2，1）或（﹣2，﹣1），故选：D．5．解：∵△ABC是△DEF以点O为位似中心经过位似变换得到的，∴AC∥FD，△ABC∽△DEF，∵△ABC与△DEF的周长比为2：3，∴＝，∵AC∥FD，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝，故选：A．6．解：以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的一半，点B的横坐标为3，∴点B的对应点D的横坐标为3×或3×（﹣），即或﹣，故选：D．7．解：∵以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，A（m，m），∴A的对应点A′的坐标（m，m）或（﹣m，﹣m），故选：C．8．解：∵四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，∴点A与点G是对应点，点C与点E是对应点，∵AG、CE交于点B，∴位似中心的点B，故选：B．9．解：①位似图形都相似，本选项说法正确；②两个等腰三角形不一定相似，本选项说法错误；③两个相似多边形的面积比是2：3，则周长比为：，本选项说法错误；④若一个矩形的四边分别比另一个矩形的四边长2，那么这两个矩形对应边的比不一定相等，两个矩形不一定一定相似，本选项说法错误；故选：A．10．解：∵以点O为位似中心，∴点C对应点M，设网格中每个小方格的边长为1，则OC＝＝，OM＝＝2，OD＝，OB＝＝，OA ＝＝，OR＝＝，OQ＝2，OP＝＝2，OH＝＝3，ON＝＝2，∵＝＝2，∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故选：A．二．填空题11．解：∵△ABC和△A1B1C1的相似比等于，并且是关于原点O的位似图形，点A的坐标为（3，6），∴点A1的坐标是（3×3，6×3）或（﹣3×3，﹣6×3），即（9，18）或（﹣9，﹣18），故答案为：（9，18）或（﹣9，﹣18）．12．解：连接BG，∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，∴点D、G、B在同一条直线上，EG∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，面积为24，∴△ADB的面积为12，∵EG∥AD，∴＝＝，∴＝，∴△ADG的面积＝12×＝4，故答案为：4．13．解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．14．解：∵矩形ABCD，点D的坐标为（1，2），∴AD＝BC＝2，∵矩形BEFG，点F的坐标为（4，4），∴EF＝BG＝4，∴＝＝＝，∴OB＝2，故点G的坐标是（2，4）．故答案为：（2，4）．15．解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A（2，2），B（3，4），C（6，1），B'（6，8），∴A′（4，4），C′（12，2），∴△A'B'C'的面积为：6×8﹣×2×4﹣×6×6﹣×2×8＝18．故答案为：18．三．解答题16．解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．17．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）M'（﹣2a，﹣2b）．18．解：（1）如图．P点坐标为（4，2）；故答案为（4，2）；（2）如图，△A′B′C′为所作．。

青岛版2020九年级数学1.4图形的位似自主学习基础过关练习题2（附答案详解） 1．如图所示，正方形EFGH 是由正方形ABCD 经过位似变换得到的，点O 是位似中心，E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，则正方形EFGH 与正方形ABCD 的面积比是（ ）A ．1：6B ．1：5C ．1：4D ．1：22．如图，DEF ∆是由ABC ∆经过位似变换得到的，O 点是位似中心，OD 2DA 3=，则DEF ∆与ABC ∆的面积比为（ ）A ．2：3B ．4：9C ．2：5D ．4：253．如图，在平面直角坐标系中，与ΔABC 是位似图形的是A ．①B ．②C ．③D ．④4．已知正△ABC 的中心为O ，边长为1．将其沿直线l 向右不滑动的翻滚一周时，其中心O 经过的路径长是（ ）A 433πB 233C ．4πD ．2π 5．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣4，2），B （﹣6，﹣4），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A ′的坐标是（ ） A ．（﹣2，1） B ．（﹣8，4）C ．（﹣8，4）或（8，﹣4）D ．（﹣2，1）或（2，﹣1）6．在直角坐标系中，已知点(6 3)A -，，以原点O 为位似中心，相似比为13，把线段OA 缩小为'OA ，则点A '的坐标为（ ）A ．(21)-，，(21)--，B ．(21)-，，(21)，C ．(21)，，(21)--， D ．(21)-，，(21)-， 7．如图,已知BC ∥DE ，则下列说法不正确的是( )A ．两个三角形是位似图形B ．点A 是两个三角形的位似中心C ．AE ∶AD 是相似比 D ．点B 与点E ，点C 与点D 是对应位似点 8．如图，图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC 与△A 1B 1C 1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（ ）A ．(0,9)B ．(8,0)C ．(9,0)D ．(10,0)9．如图，点()8,6P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到'''A B C ∆，点P 在''A C 上的对应点P'的的坐标为( )A ．()4,3B ．()3,4C ．()5,3D ．()4,410．在平面直角坐标系中，将一个四边形各顶点的横、纵坐标都乘2，所得图形与原图形相比，下列说法正确的是( )A ．所得图形相当于将原图形横向拉长为原来的2倍，纵向不变B ．所得图形相当于将原图形纵向拉长为原来的2倍，横向不变C ．所得图形形状不变，面积扩大为原来的4倍D ．所得图形形状不变，面积扩大为原来的2倍11．在平面直角坐标系中，点C 、D 的坐标分别为C(3，-2)、D(1，0)，现以原点为位似中心，将线段CD 放大得到线段AB ，若点D 的对应点B 在x 轴上且OB=2则点C 的对应点A 的坐标为______.12．如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(2，2)，B(4，2)，C(6，4)，以原点为位似中心，将△ABC 缩小，使变换得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为1∶2，则线段AC 的中点P 变换后对应点的坐标为____．13．如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______．14．如图，在平面直角坐标系中，ABC 和A B C '''是以坐标原点O 为位似中心的位似图形，且'OB BB =, 如果点(23)A ，，那么点A '的坐标为_______．15．ABC ∆三个顶点坐标分别为()()()2,2,4,5,5,2A B C ---，以原点O 为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍. 相应坐标是_____ （写出一种即可）16．△ABC 与△DEF 是位似图形，且△ABC 与△DEF 的位似比是1：2，已知△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是____．17．在Rt △ABC 中，∠BAC =90，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，P 是线段AD 上的一个动点，以点P 为直角的顶点，向上作等腰直角三角形PBE ，连接DE ，若在点P 的运动过程中，DE 的最小值为3，则AD 的长为____．18．如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD的位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是______．19．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为____．20．如图1，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6；点E是对角线BD上一动点，连接CE，作EF⊥CE交AB边于点F，以CE和EF为邻边作矩形CEFG，作其对角线相交于点H．（1）如图2，当点F与点B重合时，求CE和CG的长；（2）如图3，当点E是BD中点时，求CE和CG的长；（3）在图1，连接BG，当矩形CEFG随着点E的运动而变化时，猜想△EBG的形状？并加以证明．21．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在图中正方形网格（每个小正方形边长为1）中有一格点△ABC和一线段DE （1）以DE为一边做格点△DEF与△ABC相似；（2）直接写出△DEF 的面积．22．如图，正方形ABCD ，点P 在射线CB 上运动(不包含点B 、C)，连接DP ，交AB 于点M ，作BE ⊥DP 于点E ，连接AE ，作∠FAD=∠EAB ，FA 交DP 于点F ．(1)如图a ，当点P 在CB 的延长线上时，①求证：DF=BE ；②请判断DE 、BE 、AE 之间的数量关系并证明；(2)如图b ，当点P 在线段BC 上时，DE 、BE 、AE 之间有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明；(3)如果将已知中的正方形ABCD 换成矩形ABCD ，且AD ：AB=3：1，其他条件不变，当点P 在射线CB 上时，DE 、BE 、AE 之间又有怎样的数量关系？请直接写出答案，不必证明．23．如图，在方格运中（每个小方格的边长都是1个单位）有一点O 和ABC ∆.(1)画图：以点0为位似中心，把ABC ∆缩小为原来的一半（不改变方向），得到A B C '''∆；(2)ABC ∆与A B C '''∆的相似比为______.24．如图，已知△PAB 的三个顶点落在格点上．（注：每个小正方形的边长均为1）．（1）△PAB 的面积为 ；（2）在图①中，仅用直尺画出一个以A 为位似中心，与△PAB 相似比为1：2的三角形；（3）在图①中，画一个以AB 为边且面积为6的格点三角形ABC ，符合条件的点C 共 个；（4）在图②中，只借助无刻度的直尺，在图中画出一个以AB 为一边且面积为12的矩形ABMN ．25．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形，ABC ∆的三个顶点都在小正方形的格点上，按照下列要求作图：（1）将ABC ∆绕点O 顺时针旋转90︒，画出旋转后的的A B C '''∆；（2）以点O 为位似中心，作出ABC ∆的位似图形A B C ''''''∆，使它们分别位于点O 的两侧，且位似比1:2.26．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动，同时动点Q 从点A 出发沿对角线AC 向终点C 运动．过点P 作PE ∥DC ，交AC 于点E ，动点P 、Q 的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x 秒，当点P 运动到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设PE ＝y ；（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）探究：当x 为何值时，四边形PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点P 和点Q ，使P 、Q 、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，0)，B(0，−2)，C(2，−1)；（1）以原点O为位似中心，在第二象限画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1；（2）点P（a，b）为线段AC上的任意一点，则点P在△A1B1C1中的对应点P1的坐标为．参考答案1．C【解析】【分析】由正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD的中点，易求得位似比等于EH：AD=1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得正方形EFGH与正方形ABCD的面积比．【详解】∵正方形EFGH是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点O是位似中心，∴正方形EFGH∽正方形ABCD，∵E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，∴EH=12 AD，即位似比为：EH：AD=1：2，∴正方形EFGH与正方形ABCD的面积比是：1：4．故选C．【点睛】此题考查位似变换，解题关键在于利用相似的性质进行解答.2．D【解析】【分析】根据位似变换的性质得到△DEF∽△ABC，根据题意求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．【详解】∵△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，∴△DEF∽△ABC，∵OD2 DA3=，∴25ODOA=，即△DEF与△ABC的相似比为25，∴△DEF与△ABC的面积比是4：25，故选D．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．3．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质解答即可．【详解】因为图③与△ABC这两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，所以与△ABC是位似图形的是③．故选C．【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．4．B【解析】【分析】先过C点作AB的垂线，求出旋转是弧的半径，旋转的角度，再根据旋转的次数即可得到结果.【详解】如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，∵CD＝32BC＝32．∴OC＝23CD＝33．根据等边三角形的性质，∠BCD＝12∠ACB＝12×60°＝30°，∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°﹣2×30°＝120°，等边三角形翻滚3次翻滚一周，∴点O旋转的角度为：120°×3＝360°，∴中心O经过的路径长是：2π•OC＝故选：B【点睛】此题重点考察学生对图形旋转的理解，把握旋转前后的图形性质是解题的关键.5．D【解析】【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，即可求得答案．【详解】∵点A（-4，2），B（-6，-4），以原点O为位似中心，相似比为12，把△ABO缩小，∴点A的对应点A′的坐标是：（-2，1）或（2，-1）．故选D．【点睛】此题考查了位似图形与坐标的关系．此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k．6．D【解析】【分析】根据相似比将线段OA缩小，又因为原点O为位似中心可得有两个符合的点，即可求出本题答案.【详解】∵相似比为13，当A点在第四象限时，所以可得A1’＝(6×13，－3×13)＝（2，－1）；根据位似的性质可知在第二象限亦有一点，因为第二象限的点和第四象限的点互为相反数，所以可得A2’（－2，1）.故答案为：D.【点睛】本题考查了位似的定义，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.7．C【解析】【分析】直接利用位似图形的性质与定义分别进行分析可得答案.【详解】解：A.∵BC∥DE，且BE与CD相交于点A，∴两个三角形是位似图形，正确，不符合题意；B.点A是两个三角形的位似中心，正确，不符合题意；C. AE︰AB是相似比，故此选项错误，符合题意；D. 点B与点E，点C与点D分别是对应点，正确，不符合题意.故选C.【点睛】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义与性质是解题的关键. 8．C【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点的连线的交点即可得出答案．【详解】解：如图所示：点D即为所求，坐标为：（9，0）．故选：C．【点睛】本题考查位似变换，利用位似图形的性质得出位似中心的位置是解题关键．9．A【解析】【分析】根据位似的性质解答即可.【详解】解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，进而结合已知得出答案．10．C【解析】【分析】根据图形的相似判断出前后两个图形是相似图形,再利用相似图形面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】解：由相似的性质可知, 将一个四边形各顶点的横、纵坐标都乘2，图形的形状不发生改变,并且这两个图形为相似图形,相似比为2:1,∴图形的面积比为4:1,∴图形的面积扩大4倍,故选C.【点睛】本题考查了图形的相似,相似图形坐标的特征,中等难度,熟悉相似图形的性质是解题关键. 11．（6，-4）或（-6,4）【解析】【分析】正确画出图形，利用位似图形的性质结合对应点坐标与位似比的关系得出C点坐标．注意有两解．【详解】解：如图，由题意，位似中心是O，位似比为2，∴OC=AC，∵C（3，-2），∴A（6，-4）或（-6，4），故答案为（6，-4）或（-6，-4）【点睛】本题考查位似变换、坐标与图形的性质等知识，学会正确画出图形解决问题，注意一题多解．解题的关键是正确把握位似比与对应点坐标的关系是解题关键．12．(2，32)或(－2，－32) 【解析】【分析】 位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ．本题中k ＝2或−2．【详解】解：∵两个图形的位似比是1：（−12）或1：12，AC 的中点是（4，3）， ∴对应点是（2，32）或（−2，−32）． 【点睛】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．13． 【解析】【分析】利用点B 和点D 的坐标之间的关系得到线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，然后确定C 点坐标．【详解】解：∵将线段AB 缩小得到线段CD ，点B （5，0）的对应点D 的坐标为（2.0）， ∴线段AB 缩小2.5倍得到线段CD ，∴点C 的坐标为（1，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．14．46（，）【解析】【分析】观察点B 点和B ′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A ′的坐标.【详解】∵'OB BB =，∴1'2OB OB =∴位似比为2，∵A 的坐标是()23，， ∴点A '的坐标为()46，故答案是：()46，【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．15．(4,4),(8,10),(10,4)A B C '''---或(4,4),(8,10),(10,4)A B C '''---【解析】【分析】把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2或﹣2即可．【详解】把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以2得：A ′（4，－4），B ′（8，－10），C ′（10，－4）；把点A 、B 、C 的横纵坐标分别乘以﹣2得：A ′（－4，4），B ′（－8，10），C ′（－10，4）． 故答案为：A ′（4，－4），B ′（8，－10），C ′（10，－4）或A ′（－4，4），B ′（－8，10），C ′（－10，4）．【点睛】本题考查了位似变换．掌握以原点为位似中心的图形的坐标特点是解答本题的关键． 16．8【解析】【分析】根据位似图形面积比等于位似比的平方，知道其中一个面积，就可以求出另外一个面积.【详解】位似图形面积比等于位似比的平方，位似比是1:2，所以面积比是1:4，已知△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是8故答案为8【点睛】此题重点考察学生对位似图形面积的计算，抓住面积比等于位似比的平方是解题的关键.17．32【解析】【分析】当DE ⊥CE 时，DE 的有最小值，根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质即可得到结论．【详解】当DE ⊥CE 时，DE 的有最小值．连接CE ．∵△BAC 和△EBP 是等腰直角三角形，∴∠EBC +∠CBP =∠CBP +∠PBA =45°，BC =2BA ，BE =2BP ，∴∠EBC =∠PBA ，2BE BC BP BA==，∴△EBC ∽△PBA ，∴∠ECB =∠P AB ． ∵△BAC 是等腰直角三角形，AD ⊥BC ，∴∠P AB =45°，BD =DC =AD ，∴∠ECD =45°． ∵∠DEC =90°，∴△DEC 是等腰直角三角形，∴DC =2DE =32，∴AD =32． 故答案为：32．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．18．（-2，0）【解析】【分析】利用如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，进而得出位似中心．【详解】解：如图所示：点P（-2，0）即为所求．故答案为：（-2，0）．【点睛】本题考查位似变换，根据题意得出位似中心的位置是解题的关键．19．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】通过把位似中心平移到原点，利用关于以原点为位似中心的对应点的坐标规律求解．【详解】把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（12-，1），把点（12-，1）先上平移1个单位得到（12-，2），所以D点坐标为（12-，2）．故答案为：（12-，2）．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．20．（1）CE＝245，CG＝185，（2）CE＝5，CG＝154；（3）结论：△EBG是直角三角形．理由见解析.【解析】【分析】（1）利用面积法求出CE，再利用勾股定理求出EF即可；（2）利用直角三角形斜边中线定理求出CE，再利用相似三角形的性质求出EF即可；（3）根据直角三角形的判定方法：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形即可判断．【详解】解：（1）如图2中，在Rt△BAD中，BD＝22AD AB+＝10，∵S△BCD＝12•CD•BC＝12•BD•CE，∴CE＝245．CG＝BE＝222465⎛⎫- ⎪⎝⎭＝185，（2）如图3中，过点E作MN⊥AM交AB于N，交CD于M．∵DE＝BE，∴CE＝12BD＝5，∵△CME∽△ENF，∴CM EN CE EF=，∴CG＝EF＝154．（3）结论：△EBG是直角三角形．理由：如图1中，连接BH．在Rt△BCF中，∵FH＝CH，∴BH＝FH＝CH，∵四边形EFGC是矩形，∴EH＝HG＝HF＝HC，∴BH＝EH＝HG，∴△EBG是直角三角形．【点睛】四边形的综合题，主要考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形或直角三角形解决问题．21．（1）作图见解析；（2）7.5．【解析】【分析】（1）由于每个小正方形边长为1，先利用勾股定理求出△ABC的三边分别为AB=5，BC=2，AC=5，DE=5，根据三边对应成比例的两三角形相似，可以画出格点△DEF，使DF=5，EF=10；（2）根据三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）如图所示，△DEF与△ABC相似；（2）△DEF 的面积=12×5×3=7.5． 【点睛】 本题考查了利用相似变换作图，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积，熟练掌握网格结构，根据相似比准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（1）详见解析；②AE ，理由详见解析；（2）AE ﹣BE ；（3）或DE=2AEBE ．【解析】【分析】（1）①由正方形的性质得到AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，判断出△ABE ≌△ADF ，即可；②由①得到△ABE ≌△ADF ，并且判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；（2）先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE ≌△ADF ，再用判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理即可；（3）分两种情况讨论，先由正方形的性质和已知条件判断出△ABE ∽△ADF ，AF，DF，再判断出△EAF 为直角三角形，用勾股定理结合图形可得结论．【详解】（1）①正方形ABCD 中，AD=AB ，∠ADM+∠AMD=90°∵BE ⊥DP ，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME ，∴∠EBM=∠ADM ，在△ABE 和△ADF 中，FAD EAB EBM ADM AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADF ，∴DF=BE ；②，理由：由（1）有△ABE ≌△ADF ，∴AE=AF，∠BAE=∠DAF，∴∠BAE+∠FAM=∠DAF+∠FAM，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴EF=2AE，∵DE=DF+EF，∴DE=BE+2AE；（2）DE=2AE﹣BE；理由：正方形ABCD中，AD=AB，∠BAD=∠BAE+∠DAE=90°，∵∠FAD=∠EAB，∴∠EAF=∠BAD=90°，∴∠AFE+∠AEF=90°∵BE⊥DP，∴∠BEA+∠AEF=90°，∴∠BEA=∠AFE，∵∠FAD=∠EAB，AD=AB∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，BE=DF∵∠EAF=90°∴EF=2AE，∵EF=DF+DE=2AE，∴DE=2AE﹣DF=2AE﹣BE；（3）DE=2AE+3BE或DE=2AE﹣3BE．①如图1所示时，正方形ABCD 中，∠ADM+∠AMD=90° ∵BE ⊥DP ，∴∠EBM+∠BME=90°，∵∠AMD=∠BME ，∴∠EBM=∠ADM ，∵∠FAD=∠EAB∴△ABE ∽△ADF ，∴AB AE BE AD AF DF==， ∵AD ：AB=3：1，∴3AE BE AF DF ==， ∴AF=3AE ，DF=3BE∵∠FAD=∠EAB∴∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠FAD+∠BAF=∠BAD=90°，∴EF=22AE AF +=2AE=DE ﹣DF=DE ﹣3BE ，即：DE=2AE+3BE ；②如图2所示，∵∠DAF=∠BAE ，∴∠EAF=∠BAD=90°，∵∠DAF=∠BAE ，∴△BAE ∽△DAF ，∴AB AE BE AD AF DF==，∵AD ：AB=3：1，∴3AE BE AF DF ==， ∴AF=3AE ，DF=3BE ，∵∠EAF=90°，根据勾股定理得，EF=22AE AF +=2AE=DE+DF=DE+3BE ，∴DE=2AE ﹣3BE ．【点睛】此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是用勾股定理得到线段的关系． 23．(1)见解析；（2）2：1【解析】【分析】（1）运用相似的原理，进行图形的扩大或者缩小变换，要求熟练掌握相似作图．（2）利用相似三角形对应边的比值即是相似比求出即可．【详解】(1)利用三角形相似作图,连接OA,OB,OC,分别找出这三条线段的中点A′、B′、C′,顺次连接A′、B′、C′即可得到△A′B′C′；如图所示：(2)根据相似三角形的性质，因为ABC ∆与A B C '''∆是相似三角形，且BC:B′C′=2:1，故答案为2:1.【点睛】本题考查作图-位似变换，解题的关键是掌握相似三角形的性质.24．（1）132；（2）见解析；（3）见解析，3；（4）见解析.【解析】 【分析】 （1）利用分割法取三角形面积即可．（2）利用三角形中位线定理，分别取PA ，AB 的中点E ，F 即可．（3）利用数形结合的思想，根据三角形的面积公式以及平行线间的距离相等解决问题即可． （4）过点B 作BJ ⊥C 1C 2于点M ，过点A 作BN ⊥C 1C 2于点N ，可得矩形ABMN ．【详解】解：（1）S △PAB ＝4×4﹣12×1×4﹣12×4×3﹣12×1×3＝132． 故答案为132. （2）△PEF 如图①中所示．∵CD=PD,DE ∥AC,∴AE=PE,即E 是AP 的中点，同理可证F 是AB 的中点，∴EF 是△ABP 的中位线，∴△AEF 与△PAB 相似比为1：2；（3）满足条件的点C 如图所示，有3个.S △ABC1=11143622AC BH ⨯=⨯⨯=, 同理可求△ABC 2的面积=6，∴C 1C 2∥AB ，∴△△ABC 3的面积=6，故答案为3．（4）矩形ABMN如图②中所示．过点B作BJ⊥C1C2于点M，过点A作BN⊥C1C2于点N，∵△ABC1的面积=6，∴矩形ABMN的面积=12.【点睛】本题考查了作图-位似变换，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，矩形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．25．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据旋转的性质及方格纸的特点找出对应点，然后连接即可；（2）根据位似的性质及方格纸的特点找出对应点，然后连接即可【详解】解：（1）如图；（2）如图.【点睛】本题考查了旋转的性质，以及位似的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键.旋转的性质：对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角. 位似图形的性质，①位似图形的任意一对对应点与位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比.26．（1）y＝﹣34x+3（2）当x＝45时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形（3）当x＝43或x＝2013或x＝2827或x＝83时，△PQE为等腰三角形【解析】【分析】（1）由四边形ABCD为矩形，得到∠D为直角，对边相等，可得三角形ADC为直角三角形，由AD与DC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由PE平行于CD，利用两直线平行得到两对同位角相等，可得出三角形APE与三角形ADC相似，由相似得比例，将各自的值代入，整理后得到y与x的关系式；（2）若QB与PE平行，得到四边形PQBE为矩形，不合题意，故QB与PE不平行，当PQ 与BE平行时，利用两直线平行得到一对内错角相等，可得出一对邻补角相等，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，可得出三角形APQ与三角形BEC相似，由相似得比例列出关于x的方程，求出方程的解即可得到四边形PQBE为梯形时x的值；（3）存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形，分两种情况考虑：当Q在AE上时，由AE﹣AQ表示出QE，再根据PQ＝PE，PQ＝EQ，PE＝QE三种情况，分别列出关于x的方程，求出方程的解即可得到满足题意x的值；当Q在EC上时，由AQ ﹣AE表示出QE，此时三角形为钝角三角形，只能PE＝QE列出关于x的方程，求出方程的解得到满足题意x的值，综上，得到所有满足题意的x的值．【详解】（1）∵矩形ABCD，∴∠D＝90°，AB＝DC＝3，AD＝BC＝4，∴在Rt△ACD中，利用勾股定理得：AC5，∵PE∥CD，∴∠APE＝∠ADC，∠AEP＝∠ACD，∴△APE∽△ADC，又PD＝x，AD＝4，AP＝AD﹣PD＝4﹣x，AC＝5，PE＝y，DC＝3，∴AP AE PEAD AC DC==，即4453x AE y-==，∴y＝﹣34x+3；（2）若QB∥PE，四边形PQBE是矩形，非梯形，故QB与PE不平行，当QP∥BE时，∠PQE＝∠BEQ，∴∠AQP＝∠CEB，∵AD∥BC，∴∠PAQ＝∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，由（1）得：AE＝﹣54x+5，PA＝4﹣x，BC＝4，AQ＝x，∴PA AQ AQBC CE AC AE==-，即445455(5)4x x xxx-==--+，整理得：5（4﹣x）＝16，解得：x＝45，∴当x＝45时，QP∥BE，而QB与PE不平行，此时四边形PQBE是梯形；（3）存在．分两种情况：当Q在线段AE上时：QE＝AE﹣AQ＝﹣54x+5﹣x＝5﹣94x，（i）当QE＝PE时，5﹣94x＝﹣34x+3，解得：x＝43；（ii）当QP＝QE时，∠QPE＝∠QEP，∵∠APQ+∠QPE＝90°，∠PAQ+∠QEP＝90°，∴∠APQ＝∠PAQ，∴AQ＝QP＝QE，∴x＝5﹣94x，解得：x＝20 13；（iii）当QP＝PE时，过P作PF⊥QE于F，可得：FE＝12 QE＝12（5﹣94x）＝2098x-，∵PE∥DC，∴∠AEP＝∠ACD，∴cos∠AEP＝cos∠ACD＝35CDAC=，∵cos∠AEP＝FEPE＝2098334xx--+＝35，解得：x＝2827；当点Q在线段EC上时，△PQE只能是钝角三角形，如图所示：∴PE＝EQ＝AQ﹣AE，AQ＝x，AE＝﹣54x+5，PE＝﹣34x+3，∴﹣34x+3＝x﹣（﹣54x+5），解得：x＝83．综上，当x＝43或x＝2013或x＝2827或x＝83时，△PQE为等腰三角形．【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，梯形的判定，以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．27．（1）见解析；（2）坐标为（-2a，-2b）【解析】【分析】（1）依据以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1作图即可；【详解】解：（1）如图所示，以原点O为位似中心，△A1B1C1与△ABC的位似比为2：1，则△AB1C1即为所求；（2）如图所示，∵P（a，b）为线段AC上的任意一点，点P，P1以原点O为位似中心，∴点P1在线段A1C1上，并且P1坐标为：（-2a，-2b）.【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换以及位似变换进行作图．。