平行四边形及重心 初三数学

【初中数学】初中数学知识点：重心重心定义：物体的重心与物体的形状有关，规则图形的重心就是它的几何中心。

如：线段，平行四边形，三角形，正多边形等等。

其它图形重心：注：下面的几何体都是均匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。

三角形的重心就是三边中线的交点。

线段的重心就是线段的中点。

平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。

平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。

圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。

锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。

四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。

正多边形的重心是其对称轴的交点。

由物理方法，我们可以找出任意四边形的重心。

三角形重心：重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明。

三角形重心性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系??横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

6.(莱布尼兹公式)三角形ABC的重心为G，点P为其内部任意一点，则3PG2=(AP2+BP2+CP2)-1/3(AB2+BC2+CA2)。

7.在三角形ABC中，过重心G的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP+AC/AQ=3。

8.从三角形ABC的三个顶点分别向以他们的对边为直径的圆作切线，所得的6个切点为Pi，则Pi均在以重心G为圆心，r=1/18(AB2+BC2+CA2)为半径的圆周上。

三角形“五心歌”三角形有五颗心；重、垂、内、外和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混。

九年级平行四边形知识点平行四边形是初中数学中重要的几何概念之一，它具有很多独特的性质和应用。

在本文中，我们将对九年级学生需要掌握的平行四边形知识点进行讨论。

一、平行四边形的定义和性质平行四边形是一个具有两组相对平行的对边的四边形。

根据这个定义，我们可以得出以下性质：1. 对边性质：平行四边形的对边相等。

这意味着平行四边形的相对边长相等。

2. 同位角性质：平行四边形的对边线段的夹角叫做同位角。

平行四边形的同位角相等。

3. 对角线性质：平行四边形的对角线互相平分，并且相交点之间的线段互相平分。

除了这些性质之外，平行四边形还有一些特殊的情况：1. 矩形：矩形是所有边相等的平行四边形。

它的对角线相等、垂直且平分。

2. 正方形：正方形是所有边相等且夹角为直角的平行四边形。

3. 菱形：菱形是所有边相等的平行四边形。

它的对角线互相垂直且平分。

二、平行四边形的面积计算平行四边形的面积需要知道底边和高的长度。

平行四边形的面积公式为：面积 = 底边 ×高。

当我们没有给出高的长度时，可以通过平移所求平行四边形，将其变成一个矩形或三角形，从而求得面积。

三、平行四边形的判断方法在解题过程中，我们经常需要判断一个四边形是否是平行四边形。

下面是几种判断方法：1. 边长判断法：如果一个四边形的两组对边相等，并且相对边平行，则它是一个平行四边形。

2. 夹角判断法：如果一个四边形的相邻内角相加为180度，并且相对边平行，则它是一个平行四边形。

3. 对角线判断法：如果一个四边形的对边互相平分，并且相交点之间的线段互相平分，则它是一个平行四边形。

四、平行四边形的应用平行四边形在几何学、建筑学和工程学中有许多应用。

以下是一些常见的应用：1. 斜面设计：在建筑和工程中，平行四边形常被用来设计斜面，比如斜屋顶、坡道等。

2. 包装设计：在包装设计中，平行四边形常用于设计袋子、盒子等容器，以充分利用空间。

3. 地砖铺设：在铺设地砖时，平行四边形的铺法可以增强地面的美观度，并且减少浪费。

《重心》活动模板《重心》主题活动设计方案活动来源：本节课内容是在已学特殊平形四边形的基础上，对基本几何知识的实际应用。

重点在于学生的亲身活动，自主探索。

本节中，通过几种具体的探索活动，引导学生去认识各种几何图形的重心，了解规则的几何图形的重心就是它的几何中心，探究不规则几何体的重心，体会数学与物理学科之间的联系。

对于整个的探究过程，先从最简单的几何图形线段入手，进一步研究平行四边形、三角形等规则的几何图形，在对已有知识进行回顾反思，理解的基础上，去探究它们的重心．对于不规则图形的重心的找法，可以启发学生的学习兴趣，构建学科之间的交流与互动。

活动目的：通过一系列的活动设计，让学生掌握重心的物理意义。

并且通过合作探究线段的重心，平行四边形的重心，三角形的重心，得出任意多边形的重心的方法，让学生经历这种由特殊到一般的规律研究过程，提高其动手操作，合作交流，创新研究能力的发展。

活动准备：在本节课上课之前教师准备了多媒体课件(或投影)；不规则多边形薄纸板；学生每小组也准备了均匀木条2～3根；各种平行四边形薄纸板等等，并对本节课的活动内容进行了初步的预习和了解。

活动过程：第一个活动：探究一；线段的重心．（学生在课前的自学中获得进行活动的基本思路）活动要求：以小组为单位合作学习，组长负责记录。

活动步骤与指导：1．学生分组活动，用手指顶住一根均匀的木条，来找木条的平衡点；2．用刻度尺量出平衡点的位置，3．再用另外一根木条重复上面的活动。

【进行小组间的交流，得出木条的重心就是木条的中点。

进而得到线段的重心即为线段的中点】活动作业/成果：线段的重心即为线段的中点第二个活动：探究二：平行四边形的重心活动要求：以小组为单位合作学习，组长负责记录。

活动步骤与指导：1、用一个手指顶住平行四边形薄板，使薄板保持平衡，那么就找到薄板的重心了．把点画出来。

每个同学都试过，点的位置差不多。

2、用正方形薄板来探究，由于前面的探究一中，得知：线段的重心是线段的中点，而正方形的四条边是相等的线段，所以，探究结论是正方形的重心在它两对对边中点连线的交点处。

初三数学
平行四边形知识点总结
一．正确理解定义
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．
（2）表示方法：ABCD记
作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．
2．熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．
（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；
（4）面积：①S=
底高ah；
=⨯
②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
3．平行四边形的判别方法
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形。

九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。

（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。

（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

注意：平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。

（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。

（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。

（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。

（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

中考数学平行四边形知识点整理2019中考现在已是所有初三学生着力备考的重点，为了帮助大家掌握正确的复习方向，现将2019中考数学平行四边形知识点为大家整理如下，希望大家能仔细参考阅读~1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号□ABCD表示，如平行四边形ABCD记作□ABCD，读作平行四边形ABCD。

2、平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。

(2)平行四边形的对边平行且相等。

推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)假设一直线过平行四边形两对角线的交点，那么这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离唐宋或更早之前，针对〝经学〞〝律学〞〝算学〞和〝书学〞各科目，其相应传授者称为〝博士〞，这与当今〝博士〞含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授〝武事〞或讲解〝经籍〞者，又称〝讲师〞。

〝教授〞和〝助教〞均原为学官称谓。

前者始于宋，乃〝宗学〞〝律学〞〝医学〞〝武学〞等科目的讲授者；而后者那么于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

〝助教〞在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之〝助教〞一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监〔国子学〕一科的〝助教〞，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是〝博士〞〝讲师〞，还是〝教授〞〝助教〞，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

四边形重心的定义四边形的重心是四条边线的中点连线的交点。

对于四边形的重心（质心）求解。

质心的定义，Σmi*ri=r*Σmi。

这是对于离散型的质点；对于质量密度均匀的平面，那么就是二重积分∫∫ρ*dxdy*（x，y）=(xG,yG) *∫∫ρ*dxdy，所以，xG=∫∫x*dxdy/∫∫dxdy，yG=∫∫y*dxdy/∫∫dxdy。

先说昨天上一篇过重心G的直线不一定能均分两块面积的问题。

今天想通了，既然两个质量不相等的质点能有一个质心坐标，这就是说明，质心或过质心的直线未必能分成两部分质量相等。

质心坐标或矢量，是与各部分的质量权重因子有关的；只是当两部分面积或质量相等时，权重因子各为1/2,质心恰好是两者的中间位置。

对于一般的四边形，四个顶点不是轮换对称的，这与三角形不一样，所以不能用四点有一个质量为1的小球质点去等效质量均匀的薄木板。

也就是xG=1/4*(xA+xB+xC+xD)并不通用，只有对称图形，比如平行四边形才可以用。

我们得用基本的积分方法，作为简单举例，我们以45°角的平行四边形为例，一是积分简单，而是可以简单验证是不是对称中心就是重心。

设定坐标A（b，b），B(0,0),C(a,0),D(a+b,b)。

我们先用基本的积分方法求面积∫∫dxdy，这里分为3部分，一是y=x直线的积分，y区间是（0，x），x区间是（0，b）；二是矩形部分，y区间是（0，b），x区间是（b，a+b）；第三部分是要减去的y=x-a直线的积分，y区间（0，x-a），x区间（a，a+b）。

即，∫∫dxdy=1/2*b^2+ab-1/2*b^2=ab。

再计算∫∫xdxdy=1/3*b^3+b*1/2*[(a+b)^2-b^2]- ∫(x-a)xdx，中间过程有点复杂，最后化简结果是1/2*ab(a+b)。

这样，我们就能求得重心G的x坐标，xG=1/2*ab(a+b)/(ab)= 1/2*(a+b)。

再计算∫∫ydxdy=∫1/2*x^2*dx+1/2*b^2*a-∫1/2*(x-a)^2*dx=1/2*ab^2；所以，yG=1/2*ab^2/(ab)=1/2*b。

平行四边形的重心教案平行四边形是指有两组对边平行的四边形，它具有许多特殊的性质和应用，是初中数学中的重要内容之一。

而平行四边形的重心又是平行四边形的一个重要概念之一，该概念在物理、计算机图形学等领域也有广泛的应用。

本篇文章将从理论知识、教学流程和教学案例三个方面，探讨中学数学教学中平行四边形的重心的教学内容及方法。

一、理论知识部分一、定义：平行四边形的重心是连接它的对角线的交点，同时也是它两条对角线的交点的中点。

二、性质1、重心到每条边的距离相等。

2、三角形重心定理：平行四边形的重心把它分成两个面积相等的三角形。

3、平衡点定理：平行四边形的重心在形心（平行四边形的中心点）与它任意顶点中点的连线上，这条数学定理也叫平行四边形平衡点定理。

二、教学流程部分一、教学目标1、了解平行四边形的基本定义和性质。

2、掌握求平行四边形重心的方法。

3、应用平行四边形重心定理解决实际问题。

二、教学过程1、引入介绍平行四边形的定义和性质，引导学生思考如何求解平行四边形的重心，以及平行四边形重心对实际生活的作用。

2、讲解向学生详细介绍平行四边形重心的定义和性质；在此基础上，讲解如何通过球面三角形和向量法求平行四边形重心。

对于三角形重心定理和平衡点定理，做出疏通的解释，帮助学生理解这些含义，并能灵活运用它们解决实际问题。

3、实践操作在课堂上，教师可以邀请学生分组合作，选择一些能够反映生活中平行四边形重心作用的问题，通过创造性思考，尝试运用课上所学的知识以及方法来解决问题，从而培养学生的问题解决能力和动手能力。

三、教学案例部分以下是一些关于平行四边形重心的教学案例，供参考。

1、样例一已知平行四边形ABCD，AD、BC的中点分别为E、F，求平行四边形的重心G所在的直线的方程。

【解】根据平行四边形的平衡点定理，G在点AE上。

连接线段AC。

那么：AG=2/3×AE，FC=1/2×AD故：GC=2/3×FC=1/3×AD又因为AE∥DC，所以：AD/AG=DC/AC带入已知条件，得：（AD+DC）/AG=2AD+DC=2AGAG=1/2×AD将AG代入AE=2/3×AG，得：AE=1/3×AD所以点A（1/3AD,0,0)，向量EA（-1/3AD,AD,0），向量AC（AD,0,0）。

平行四边形重心计算公式
计算平行四边形的重心可以使用以下公式：
1.给定平行四边形的坐标法
若平行四边形的四个顶点坐标分别为（x1, y1）、(x2, y2)、(x3, y3)和(x4, y4)，则平行四边形重心的横坐标xg和纵坐标yg分别为：xg = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4
yg = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4
解释：
如果要计算平行四边形的面积也可以使用以下公式：
2.给定平行四边形的两条邻边的长度和夹角
若平行四边形的两条邻边长分别为a和b，邻边夹角为θ，则平行四边形的面积S和重心距离中心线的距离h分别为：
S = a * b * sin(θ)
h = a * sin(θ / 2)
解释：
以上两个公式可以根据实际情况灵活运用。

通常情况下，在实际问题中，已知平行四边形的坐标法较为常见，因此我们经常使用第一个公式计算平行四边形的重心。

举例：
假设有一个平行四边形ABCD，已知其四个顶点的坐标分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,10)和D(10,14)，我们可以使用第一个公式来计算重心的坐标。

将坐标代入公式可得：
xg = (1 + 4 + 7 + 10) / 4 = 22 / 4 = 5.5
yg = (2 + 6 + 10 + 14) / 4 = 32 / 4 = 8
因此，该平行四边形的重心的坐标为(5.5,8)。

九年级数学下册平行四边形知识点总结
平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

本篇文档将总结九年级数学下册中与平行四边形相关的重要知识点。

1. 定义：
平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

2. 性质：
- 对角线互相平分：平行四边形的两条对角线互相平分。

- 边角关系：平行四边形的对边相等，对角线互相分割的两对内角互补。

- 对边相等：平行四边形的对边相等。

- 内角和定理：平行四边形的内角和为180度。

- 性质推论：平行四边形的内角为独立角。

3. 平行四边形的判定方法：
- 对边平行法：根据平行四边形的定义，可以通过判断四边形的对边是否平行来判定平行四边形。

- 对角线互相平分法：可以通过判断四边形的对角线是否互相平分来判定平行四边形。

4. 平行线与平行四边形的关系：
- 平行四边形的定义可以扩展到平行线的关系。

当两条直线上的对应角相等时，这两条直线是平行的，从而可以得出平行四边形的对边是平行的。

5. 平行四边形的性质应用：
- 平行四边形可以应用于解题，如通过已知条件证明图形为平行四边形，或利用平行四边形的性质推导其他结论。

以上是九年级数学下册中关于平行四边形的知识点总结。

平行四边形的定义、性质、判定方法以及与平行线的关系都是研究和解题的重要基础。

在研究过程中，深入理解这些知识点，灵活运用，有助于提高数学能力。

注：本文档内容为个人独立创作，如需引用，请确认内容的准确性。