期望与方差的性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即()1k k k E X x p ∞==∑。

设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。

即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。

性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。

2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。

概率的期望与方差概率是概率论中的重要概念，它描述了某个事件发生的可能性。

在概率论中，期望与方差是两个与概率密切相关的重要概念。

本文将就概率的期望与方差进行探讨。

一、期望期望是概率论中描述随机变量平均数的指标。

它代表了随机事件在一次试验中发生的长期平均结果。

概率的期望可以以数学期望的方式进行计算。

对于一个离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为：P(X=x1)=p1, P(X=x2)=p2, ..., P(X=xn)=pn其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X)=x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn对于一个连续型随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x)其期望E(X)可以通过以下公式计算：E(X)=∫xf(x)dx二、方差方差是衡量随机变量离散程度的指标。

它是随机变量与其期望的差值的平方的期望，用来描述随机事件的波动程度。

对于一个离散型随机变量X，其方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)=E[(X-E(X))^2]=∑(xi-E(X))^2 * P(X=xi)对于一个连续型随机变量X，其方差Var(X)可以通过以下公式计算：Var(X)=E[(X-E(X))^2]=∫(x-E(X))^2 * f(x)dx三、概率的期望与方差的意义1. 期望表示了一次试验中随机变量的平均结果，可以用来预测概率分布的中心位置。

2. 方差表示了一次试验中随机变量的波动程度，用来衡量随机事件的不确定性。

3. 期望和方差是概率分布的两个基本性质，可以通过它们来描绘随机事件的特征。

四、概率的期望与方差的应用1. 期望和方差在金融学中有着广泛的应用，用来衡量金融资产的收益和风险。

2. 在统计学中，期望和方差是估计参数和检验假设的重要工具。

3. 期望和方差也在工程、物理等领域中有广泛的应用，用来分析实验数据和优化系统性能。

总结：概率的期望与方差是概率论中重要的概念，用来描述随机事件的平均结果和波动程度。

随机变量的数字特征一、数学期望E（x)的性质：性质一：常数C，E（C)=C;性质二：X为随机变量，C为常数，则E(CX）=CE（X)；性质三：X，Y为随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E(Y)；性质三：X,Y为相互独立的随机变量时，E（XY）=E（Ｘ）Ｅ（Ｙ）二、方差的性质：D(X)=E(X²）-[E(X)]²性质一：C为常数，则D(C)=0；性质二：X为随机变量，C为常数，则D(CX)=C²D(X)D(X±C)=D(X)性质三：X，Y为相互独立随机变量Ｄ（X±Y)=D(X)+D(Y)当X，Y不相互独立时：D(X±Y）=D(X)+D(Y)±2COV(X,Y);关于协方差COV（X+Y，X-Y)=D(X)-D(Y)的证明？证：由COV（X，Y）=E（XY）-E(X)E(Y) 得COV（Ｘ＋Ｙ，Ｘ－Ｙ）＝E[(X+Y)（X-Y)]-E（X+Y)E(X-Y) =E（X^2-Y^2）-{[E(X)+E(Y)][E(X)-E(Y)]}=E(X^2)-E(Y^2)-E(X)E(X)+E(Y)E(Y)=E(X^2)-E(X)E(X)-[E(Y^2)-E(Y)(Y)]=D(X)-D(Y)三、常用函数期望与方差：⑴（0-1）分布：①分布律：P{X=K}=p^k(1-p)^1-k,k=0,1,2...(0<p<1）②数学期望：p③方差：pq (q=1-p)⑵二项分布B（n,p):①分布律：P{X=K}=（n,k)p^k(1-p)n-k (k=0,1..n;n>=1,0<p<1,q=1-p)②数学期望：np③方差：npq⑶泊松分布π（λ）：①分布律：P{X=k}=(λ^k *e^(-λ))/k! (k=0,1,2...;λ>0)②数学期望：λ③方差：λ⑷均匀分布U（a,b):①分布律：f(X)=1/(b-a), a<x<b; f(X)=0,x∈其他值时②数学期望：（a+b）/2③方差：（b-a)²/12⑸指数分布E（λ）：①分布律：f(X)=λe^(-λ), X>0; f(X)=0, X≦0;②数学期望：1/λ③方差：1/λ²⑹正态分布N（μ，ρ²）①分布律：f(x)=1/﹙√2π *ρ)*e^(-(x-μ)²/(2ρ²)),(-∞<x<+∞,ρ>0)②数学期望：μ③方差：ρ²四、切比雪夫不等式：随机变量的数学期望E(x)与方差D(x)存在，则对于任意整数ε，不等式：P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε²成立。

离散型随机变量的期望和方差
离散型随机变量期望和方差是统计学中一个重要的知识点，也是概率论的基础知识。

期望和方差是离散随机变量可以推断出的一些重要数学性质，它们反映了离散随机变量的变化趋势。

在数学表述上，离散型随机变量的期望是指，取值不同的概率乘以该值的积分的平均值，用记号μ (mu)表示。

期望是离散型随机变量的基本特征，它描述了离散型随机变量中最有可能出现的值的程度，它的大小也反映了随机变量的中心位置。

离散型随机变量的方差是指期望和均值之差的平均平方值，用记号σ2 (sigma squared)表示，其中σ (sigma)是标准差。

方差反映了离散型随机变量取值之间的方差，它比较了每一个取值与离散型随机变量在期望上的偏差，表示了离散型随机变量取值分布情况。

运用离散型随机变量的期望和方差可以推断出更多的信息，即对离散随机变量要有更深入的了解，以便于更准确的预测。

可以利用期望和方差的知识来分析一个离散随机变量的发展趋势，以及在分析工具使用中的投资组合。

总之，离散型随机变量的期望和方差是随机变量分析的基础，也是揭示离散随机变量分布情况的重要工具，在众多领域都有重要的应用价值，如统计分析、投资组合设计等等。

以上就是关于离散型随机变量期望和方差的主要内容。

数学期望与方差的运算性质教程一：复习公式离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i jP X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑连续随机变量()()()2,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=⎰⎰二：期望运算性质()E aX bY c aEX bEY c ++=++应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ⎧=⎨⎩１第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则m X X X ++= 1由于()()1101,111,n ni i P X P X m m ⎛⎫⎛⎫==-==-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111/ni EX m =--，()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--==++=∑=nmi i m m m EX X X E EX 11111三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance()()cov(,)X Y E X Y θμ=--⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()()()()EYEX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ⨯-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμθμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y解答：(,)()()(1)!i i jj ji j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-!(1)(1)!!()!!()!i i j i j j i j e i e p p p p i j i j j i j λλλλ----=-=---000(,)(1)!()!i ij i ji j i i j e EXY ijP X i Y j ij p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EX iP X i Y j i p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑000(,)(1)!()!iij i j i j i i j e EY jP X i Y j j p p j i j λλ-∞∞-=≤======--∑∑∑∑clear clcsyms i j p lamda positiveEXY=symsum(symsum(i*j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EX=symsum(symsum(i*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)EY=symsum(symsum(j*exp(-lamda)*lamda^i/gamma(j+1)/gamma(i-j+1)*p^j*(1-p)^(i-j),j,0,i),i,0,inf)cov=simple(EXY-EX*EY); cov EXY =p*lamda*(lamda+1) EX = lamda EY = lamda*p cov = lamda*p可以看到，协方差不为０ 例题：P180 3.4.8()[0,1][0,2],~(,)1/3()(,)f x y x y I x y ξη⨯=+，求(238)Var X Y -+syms x y positivemoment1=int(int((2*x-3*y+8)*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); moment2=int(int((2*x-3*y+8)^2*1/3*(x+y),x,0,1),y,0,2); Var=moment2-moment1^2 Var = 245/81协方差计算公式()()()(),cov(,)EX a EY bX Y E X EX E Y EY E X a E Y b ===--=--()()()()E XY aY bX ab E XY aE Y bE X ab =--+=--+ ()E XY ab ba ab =--+ ()()()E XY E X E Y =-注： Ｙ＝Ｘ时得到什么公式？例题：若随机变量,X Y 独立，求它们的协方差解答：,EX EY θμ==，因为,X Y 独立，所以X Y θμ--、也相互独立()()()()cov(,)0X Y E X Y E X E Y θμθμ=--=-⨯-=⎡⎤⎣⎦注：相互独立随机变量协方差为０的逆命题不成立，如，假定随机变量~(1,1)X U -，则显然2cov(,)0X X =，但是2X X 、不独立 四、协方差和方差性质１：协方差是方差推广，方差是特殊协方差cov(,)()X X Var X =，cov(,)0X c =，cov(,)cov(,)X Y Y X =1111cov(,)cov(,)m n m ni i j j i j i j i j i j c X d Y c d X Y =====∑∑∑∑特殊地11111()cov(,)cov(,)mmmmmi i i i j i i i i j Var X X X X X =======∑∑∑∑∑111cov(,)cov(,)cov(,)m m m i j i j i i i j i j i X X X X X X ===≠⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑1cov(,)()mi j i i j i X X Var X =≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑11cov(,)()mmi j i i i j i X X Var X ==≠⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑∑12cov(,)()mi j i i j iX X Var X =>=+∑∑特别地121212()()()2cov(,)Var X X Var X Var X X X +=++121212112212()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X X X X X X -=--=-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 11122122cov(,)cov(,)cov(,)cov(,)X X X X X X X X =+-+-+-- 1122122()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =---- 1121222()cov(,)cov(,)cov(,)Var X X X X X X X =--+ 1212()()2cov(,)Var X Var X X X =+-这个结论说明，一般，和的方差并不等于方差之和 定理：若随机变量1,,n X X 相互独立，则111()2cov(,)()()nnni i j i i i i i j iVar X X X Var X Var X ===>=+=∑∑∑∑。

概率论中的期望与方差概率论是研究随机现象规律的一门学科，其中，期望与方差是重要的概念。

本文将介绍期望与方差的定义与性质，并探讨它们在概率论中的应用。

1. 期望的定义与性质期望是描述随机变量平均取值的指标，用E(X)表示，对于离散型随机变量，期望的定义如下：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量的取值，P(X=x)为该取值发生的概率。

期望具有以下性质：（1）线性性质：对于任意常数a和b，有E(aX+b) = aE(X)+b；（2）非负性质：对于任意非负的随机变量X，有E(X)≥0；（3）单调性质：对于任意两个随机变量X和Y，若X≤Y，则有E(X)≤E(Y)。

2. 方差的定义与性质方差反映随机变量的离散程度，用Var(X)表示，对于离散型随机变量，方差的定义如下：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中，E(X)为随机变量X的期望。

方差具有以下性质：（1）非负性质：对于任意随机变量X，有Var(X)≥0；（2）零方差性质：若Var(X)=0，则X为常数；（3）线性性质：对于任意常数a和b，有Var(aX+b) = a^2Var(X)。

3. 期望与方差的应用期望与方差在概率论中具有广泛的应用，以下是其中的几个例子：（1）二项分布：对于二项分布，其期望为np，方差为np(1-p)，其中n为试验次数，p为成功概率；（2）正态分布：对于正态分布，其期望为μ，方差为σ^2，其中μ为均值，σ为标准差；（3）协方差：对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，可以用于衡量两个随机变量的相关性。

4. 期望与方差的计算方法在实际计算中，期望与方差可以通过概率分布函数进行计算，具体的计算方法取决于随机变量的类型。

常见的计算方法包括：（1）离散型随机变量：根据随机变量的概率质量函数，利用期望和方差的定义进行计算；（2）连续型随机变量：根据随机变量的概率密度函数，利用连续型随机变量的性质进行计算；（3）样本估计：当随机变量的概率分布未知或无法确定时，可以通过样本的统计量来估计期望与方差。