总体分布的估计、总体期望和方差的

高三数学人教版总体分布的估计知识点归纳总结知识点总结总体分布的估计是统计学中常用的手法，为此整理了总体分布的估计知识点，请大家查看。

样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，即用样本平均数估计总体平均数(即总体期望值――描述一个总体的平均水平);用样本方差估计总体方差(方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差或标准差越小，表示这个样本或总体的波动越小，即越稳定)。

一般地，样本容量越大，这种估计就越精确。

总体估计要掌握：(1)表(频率分布表);(2)图(频率分布直方图)。

提醒：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率
其中，样本指是指从全部的调查对象提取出来进行调查的个体
个体指总体中的每一个考察的对象，
总体指考察的对象的全体，
样本容量指样本中个体的数目。

例如，为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省市的2500名城镇居民，这个问题中2500名城镇居民的寿命的全体是样本。

2500是样本容量。

某个人的寿命是个体。

全国人口寿命是总体。

总体分布的估计知识点的全部内容就是这些，更多精彩内容请持续关注。

五种估计参数的方法在统计学和数据分析中，参数估计是一种用于估计总体的未知参数的方法。

参数估计的目标是通过样本数据来推断总体参数的值。

下面将介绍五种常用的参数估计方法。

一、点估计点估计是最常见的参数估计方法之一。

它通过使用样本数据计算出一个单一的数值作为总体参数的估计值。

点估计的核心思想是选择一个最佳的估计量，使得该估计量在某种准则下达到最优。

常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，简称MLE）是一种常用的点估计方法。

它的核心思想是选择使得样本观测值出现的概率最大的参数值作为估计值。

最大似然估计通常基于对总体分布的假设，通过最大化似然函数来寻找最优参数估计。

矩估计（Method of Moments，简称MoM）是另一种常用的点估计方法。

它的核心思想是使用样本矩和总体矩之间的差异来估计参数值。

矩估计首先计算样本矩，然后通过解方程组来求解参数的估计值。

二、区间估计点估计只给出了一个参数的估计值，而没有给出该估计值的不确定性范围。

为了更全面地描述参数的估计结果，我们需要使用区间估计。

区间估计是指在一定的置信水平下，给出一个区间范围，该范围内包含了真实参数值的可能取值。

常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。

置信区间是对总体参数的一个区间估计，表示我们对该参数的估计值的置信程度。

置信区间的计算依赖于样本数据的统计量和分布假设。

一般来说，置信区间的宽度与样本大小和置信水平有关，较大的样本和较高的置信水平可以得到更准确的估计。

预测区间是对未来观测值的一个区间估计，表示我们对未来观测值的可能取值范围的估计。

预测区间的计算依赖于样本数据的统计量、分布假设和预测误差的方差。

与置信区间类似，预测区间的宽度也与样本大小和置信水平有关。

三、贝叶斯估计贝叶斯估计是一种基于贝叶斯理论的参数估计方法。

它将参数看作是一个随机变量，并给出参数的后验分布。

贝叶斯估计的核心思想是根据样本数据和先验知识来更新参数的分布，从而得到参数的后验分布。

概率与统计（理科）一、高考考试内容离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差。

抽样方法、总体分布的估计、正态分布、线性回归。

二、考试要求：（1）了解离散型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

（3）会用随机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

（4）会用样本频率分布去估计总体分布。

（5）了解正态分布的意义及主要性质。

（6）了解线性回归的方法和简单应用。

三、应试策略1、正确理解有关概念。

（1）随机试验与随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件；条件每实现一次，叫做一次试验；如果试验结果预先无法确定，这种试验叫做随机试验。

（2）频率与概率：对于一个事件来说概率是一个常数；频率则随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于事件的概率。

（3）互斥事件与对立事件：对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。

（4）互斥事件与相互独立事件：不可能同时发生的事件叫互斥事件，而相互独立事件则是指两个事件是否发生与否相互之间没有影响。

2、公式的应用（1）常用公式 ①等可能事件的概率：基本事件总数中所含基本事件数A n m A P ==)( ②互斥事件的概率：)()()(B P A P B A P +=+③对立事件的概率：1)()()(____=+=+A P A P A A P④相互独立事件的概率：)()()(B P A P B A P ⋅=⋅⑤n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(（2）注意事项：①每个公式都有成立的条件，若不满足条件，则这些公式将不再成立。

②对于一个概率问题，应首先弄清它的类型，不同的类型采用不同的计算方法，一般题中总有关键语说明其类型，对于复杂问题要善于进行分解，或者运用逆向思考的方法。

能用前面所学的知识来解决这个问题吗？
[2]甲、乙两名射击运动员在相同的条 件下各射靶20次，命中的环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4， 5，6，5，6，7，8，7，9，10，9； 乙：9，5，9，8，7，6，8，6，7，6， 9，6，5，8，6，9，6，8，7，7. 两人射击水平相同吗？
试问：哪台机器的日均产量较高？哪台 产量更稳定？比一比谁能更快得出结论！
a1,a2,……，an共n个数据，我们规定 所测量物理量的“最佳近似值”a 是 这样一个量：与其他近似值比较，a与
各数据的差的平方和最小.依此规定，
用a1,a2,……，an表示a .
2.某农场种植甲、乙两种水稻，在连续 六年中各年的平均单位产量如下：（单 位：t/hm2）
品种
第1 年
第2 年
第3 年
[1]甲、乙两名短跑运动员在百米训练中 的10次成绩记录（单位：秒） 甲： 10.20, 10.55, 10.40, 10.85, 10.70, 10.60, 10.65, 10.55, 10.50, 10.70. 乙： 10.80, 10.85, 10.75, 10.55, 10.75, 10.65, 10.70, 10.80, 10.85, 10.65, 问谁的短跑成绩优秀？
样本平均数的符号表达：

x

1
n
(x
1
x2
xn)
分组计算算术平均数应注意
如果在n个数据中,x1出 现n1次，x2出现n2次, ,xk出现 nk次(其中n1 n2 nk n),
那么这n个数据的算术平均 数为:
x x1n1 x2n2 xknk . n
第4 年
第5 年

12.2 总体期望值和方差的估计●知识梳理 1.平均数的计算方法（1）如果有n 个数据x 1，x 2，…，x n ，那么x =n1（x 1+x 2+…+x n ）叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔”.（2）当一组数据x 1，x 2，…，x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a ，那么，x =x ' +a .（3）加权平均数：如果在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次（f 1+f 2+…+f k =n ），那么x=nf x f x f x kk +++ 2211.2.方差的计算方法（1）对于一组数据x 1，x 2，…，x n ，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］叫做这组数据的方差，而s 叫做标准差.（2）公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］.（3）当一组数据x 1，x 2，…，x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1－a ，x 2′=x 2－a ，…，x n ′=x n －a .则s 2=n1［（x 1′2+x 2′2+…+x n ′2）－n 2x '］.3.总体平均值和方差的估计人类的长期实践和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确.●点击双基1.描述总体离散型程度或稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是 A.样本均值xB.样本方差C.样本最大值D.样本最小值 解析：统计学的基本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B2.甲、乙两人在相同的条件下，射击10次，命中环数如下： 甲：8，6，9，5，10，7，4，8，9，5； 乙：7，6，5，8，6，9，6，8，7，7.根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是 A.甲优于乙 B.乙优于甲C.两人没区别D.两人区别不大解析：x 甲=101（8+6+…+5）=7.1，x 乙=101（7+6+…+7）=6.9.s 甲2=101［（8－7.1）2+…+（5－7.1）2］=3.69， s 乙2=101［（7－6.9）2+…+（7－6.9）2］=1.29.∴乙优于甲. 答案：B3.样本a 1，a 2，a 3，…，a 10的平均数为a ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10的平均数为b ，那么样本a 1，b 1，a 2，b 2，…，a 10，b 10的平均数为A.a +bB.21（a +b ）C.2（a +b ）D.101（a +b ）解析：样本a 1，a 2，a 3，…，a 10中a i 的概率为P i ，样本b 1，b 2，b 3，…，b 10中b i 的概率为P i ′，样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10中a i 的概率为q i ，b i 的概率为q i ′，则P i =2q i ，故样本a 1，b 1，a 2，b 2，a 3，b 3，…，a 10，b 10的平均数为a 1q 1+b 1q 1′+a 2q 2+b 2q 2′+…+a 10q 10+b 10q 10′=21（a 1P 1+…+a 10P 10）+21（b 1P 1′+21b 2P 2′+…+21b 10P 10′）=21（a +b ）.答案：B4.电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试，得到数据如下（单位：h ）：30，35，25，25，30，34，26，25，29，21.则该电池的平均寿命估计为___________，方差估计为___________.解析：x =101（30+35+25+25+30+34+26+25+29+21）=101（0+5－5－5+0+4－4－5－1－9）+30=28， s 2=101［（30－28）2+（35－28）2+（25－28）2+（25－28）2+（30－28）2+（34－28）2+（26－28）2+（25－28）2+（29－28）2+（21－28）2］=101（4+49+9+9+4+36+4+9+1+49）=17.4.答案：28 17.4 ●典例剖析【例1】 x 是x 1，x 2，…，x 100的平均数，a 是x 1，x 2，…，x 40的平均数，b 是x 41，x 42，…，x 100的平均数，则下列各式正确的是A.x =1006040b a + B.x =1004060b a +C.x =a +bD.x =2b a +剖析：这100个数的平均数是a +b 还是21（a +b ），这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来思考.设P i 是x 1，x 2，…，x 100中x i 被抽到的概率，q i 是x 1，x 2，…，x 40中x i 被抽到的概率，r i 是x 41，x 42，…，x 100中x i 被抽到的概率，则P i =10040q i ，P i =10060r i .故x 1，x 2，…，x 100的平均数x =10040（x 1q 1+x 2q 2+…+x 40q 40）+10060（x 41r 41+…+x 100r 100）=10040a +10060b .答案：A评述：除上述解法外，你还有其他解法吗？特别提示除了上述方法外，我们还可以先分别求出x 1+x 2+…+x 40=40a ，x 41+x 42+…+x 100=60b ，再求x .【例2】 甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位：环）甲 10 8 9 9 9 乙1010799如果甲、乙两人只有1人入选，则入选的应是___________.剖析：判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定.因此分别求其方差. 甲的平均数为x 1=51（10+8+9+9+9）=9， 乙的平均数为x 2=51（10+10+7+9+9）=9，甲的方差为s 甲=（10－9）2×51+（8－9）2×51=52， 乙的方差为s 乙=（10－9）2×51×2+（7－9）2×51=56.s 乙＞s 甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲评述：方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的高低.【例3】 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：分 组 平均成绩标准差 第一组 90 6 第二组804剖析：代入方差公式s 2=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］即可求得.解：设全班的平均成绩为x ，全班成绩的方差为s 2， 则s 12=181［（x 12+x 22+…+x 182）－18×902］=36，s 22=221［（x 192+x 202+…+x 402）－22×802］=16.∴x =401（90×18+80×22）=2169=84.5，s 2=401［（x 12+x 22+…+x 182）+（x 192+x 202+…+x 402）－40·x 2］=401［18×（36+8100）+22×（16+6400）－40×41692］=401（146448+141152－10×1692） =401×1990=49.75.∴s =2199≈7.05.评述：平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得. 【例4】 已知c 为常数，s 2=n1［（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］.证明：s 2≤s c 2，当且仅当c =x 时，取“=”.剖析：证明s c 2≥s 2，可证明s c 2－s 2≥0.因此应用方差公式进行变形即可. 证明：∵s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2］，s c 2=n1［（x 1－c ）2+（x 2－c ）2+…+（x n －c ）2］=n1［（x 12+x 22+…+x n 2）－2c （x 1+x 2+…+x n ）+nc 2］，∴s c 2－s 2=x 2－nc 2（x 1+x 2+…+x n ）+c 2=x 2－2c ·x +c 2=（x －c ）2≥0. ∴s c 2≥s 2，当且仅当x =c 时取“=”. 评述：作差是比较大小的常用手段.●闯关训练 夯实基础1.一组数据的方差为s 2，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得到的一组新数据的方差是A.21s 2 B.2s 2 C.4s 2 D.s 2解析：由方差公式易求得新数据的方差为4s 2. 答案：C2.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25解析：易得x 没有改变，x =70， 而s 2=481［（x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482）－48x 2］=75， s ′2=481［（x 12+x 22+…+802+702+…+x 482）－48x 2］=481［（75×48+48x 2－12500+11300）－48x 2］=75－481200=75－25=50.答案：B3.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm 2）：解析：x 甲=51（9.8+9.9+10.1+10+10.2）=10，x乙=51（9.4+10.3+10.8+9.7+9.8）=10，s 甲2=51［（9.8－10）2+（9.9－10）2+（10.1－10）2+（10－10）2+（10.2－10）2］=0.02，s 乙2=51［（9.4－10）2+（10.3－10）2+（10.8－10）2+（9.7－10）2+（9.8－10）2］=0.244. 所以，甲比乙稳定. 答案：甲4.为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为Z =sx x -（其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分）.转化成标准分后可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数.例如某次学生选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是T =40Z +60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85分，这次考试的平均分是70分，标准差是25，则该考生的T 分数为___________.解析：由已知Z =257085-=53，∴T =40×53+60=24+60=84.故考生成绩的T 分数为84.答案：84试分析两厂上缴利税的情况.解：甲、乙两厂上缴利税的季平均值分别为x 甲=41（70+50+80+40）=60， x乙=41（55+65+55+65）=60；甲、乙两厂上缴利税的方差为 s 甲2=41［（70－60）2+（50－60）2+（80－60）2+（40－60）2］=250， s 乙2=41［（55－60）2+（65－60）2+（55－60）2+（65－60）2］=25.经上述结果分析，两厂上缴利税的季平均值相同，但甲厂比乙厂波动大，导致它们生产出现的差异大，乙厂不同季节的缴税量比较接近平均值，生产稳定，而甲厂不稳定.培养能力 6.某校从甲、乙两名优秀选手中选拔1名参加全市中学生百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，成绩如下表：解：x 甲=12.4=x 乙，s 甲2=0.12，s 乙2≈0.10，∴甲、乙两人的平均成绩相等，但乙的成绩较稳定，应派乙选手参加比赛.7.某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：解：x 1=51（21.5+20.4+…+19.9）=21，x2=51（21.3+18.9+…+19.8）=21， x3=51（17.8+23.3+…+20.9）=20.5，s 1=0.756， s 2=1.104， s 3=1.901.由x 1=x 2>x 3，而s 1<s 2<s 3，说明第1种西红柿品种既高产又稳定.8.甲、乙两台机床在相同的条件下同时生产一种零件，现在从中各抽测10个，它们的尺寸分别为（单位：mm ）：甲：10.2 10.1 10.9 8.9 9.9 10.3 9.7 10 9.9 10.1乙：10.3 10.4 9.6 9.9 10.1 10 9.8 9.7 10.2 10分别计算上面两个样本的平均数与方差，如果图纸上的设计尺寸为10 mm ，从计算结果看，用哪台机床加工这种零件较合适？解：x 甲=101（10.2+10.1+…+10.1）=10，x乙=101（10.3+10.4+…+10）=10，s 甲2=101［（10.2－10）2+（10.1－10）2+…+（10.1－10）2］=0.03， s 乙2=101［（10.3－10）2+（10.4－10）2+…+（10－10）2］=0.06.由上述结果分析，甲台机床加工这种零件稳定，较合适.探究创新9.有一个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下： ［12.5，15.5），6；［15.5，18.5），16；［18.5，21.5），18；［21.5，24.5），22；［24.5，27.5），20；［27.5，30.5），10；［30.5，33.5），8. （1）列出样本的频率分布表； （2）画出频率分布直方图；（3）估计数据小于30.5的概率. 解：（1）样本的频率分布表如下：（3）数据大于等于30.5的频率是0.08，∴小于30.5的频率是0.92.∴数据小于30.5的概率约为0.92.探究：解决总体分布估计问题的一般程序如下：（1）先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除组距得组数）；（2）分别计算各组的频数及频率（频率=总数频数）；（3）画出频率分布直方图，并作出相应的估计.注意直方图与条形图的区别.●思悟小结1.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布估计总体分布外，还可以用平均值和方差对总体进行估计，即用样本平均数x 去估计总体平均数μ；用样本方差s 2去估计总体的方差σ2，进一步对总体的分布作出判断.2.进行几次实验，得到样本数据x 1，x 2，…，x n ，设c 是任意常数，k 为任意的正数，作变换y i =k1（x i －c ）（i =1，2，…，n ），则有：①x =k y +c ；②s x 2=k 2s y 2.●教师下载中心 教学点睛1.期望反映数据取值的平均水平，期望越大，平均水平越高.2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.拓展题例【例1】 如果数据a 1，a 2，…，a 6的方差是6，那么另一组数据a 1－3，a 2－3，…，a 6－3的方差是多少？解：设a 1，a 2，…，a 6的平均数为a ，则（a 1－3），（a 2－3），…，（a 6－3）的平均数为a －3，∴方差为s 2=61{［（a 1－3）－（a －3）］2+…+［（a 6－3）－（a －3）］2}=6.【例2】 已知样本方差由s 2=101∑=101i （x i －5）2求得，求∑∑=101i x i .解：依s 2=n1［（x 1－x ）2+…+（x n －x ）2］=n1［x 12+x 22+…+x n 2－n x 2］知，∴101∑=101i x i =5.∴∑=101i x i =50.。

新课： 1. 总体期望值的估计 在初中我们就知道，总体平均数也称为总体期望 值 ，总体平均数描述了一个总体的平均水平. 对很多总体来说，它的平均数不易求得，常用容 易求得的样本平均数对它进行估计，而且常用两个样 本平均数的大小去近似地比较相应的两个总体的平均 数的大小。
求样本平均数的公式为 1 x (x x 1 x 2 n). n


2. 总体方差（或标准差）的估计： 我们已经知道，平均数（即期望值）可以反映总体 或样本的平均水平，今天所要讲的方差和标准差则是描 述一个样本或总体的波动大小（或说稳定性）的特征数.
样本方差公式为 1 2 2 2 s [( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n
2
样本标准差公式为 1 2 2 2 s [( x x ) ( x x ) ( x x ) ] 1 2 n n

例4 要从甲乙两名男跳远运动员中选拔一名去参加 田径运动会，选拔的标准是：先看他们的平均成绩，如 果两人的平均成绩相差无几，就要再看他们成绩的稳定 程度。为此对两人进行了 15 次比赛，得到如下数据： （单位：cm）：
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（1）根据上述样本估计，小水库中鱼的平均质量约是多 少千克？ （2）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库， 几天带有记 号的鱼有9条，如何根据这一情况来估计水库中鱼的总条数？
提示：常用下面的 公近 式似 来估计水库中 总鱼 条的 数 . m m 1 , n n 1 其中， n是 水 库 中 鱼 的 总 条 数 ， m是 水 库 中 带 记 号 的 总鱼 条的 数， n 1是 捕 捞 出 的 鱼 的 条 数 ， m 的记 鱼号 的条 .数 1是 捕 捞 出 的 鱼 中 带

总体的期望值和方差的估计
一、教材分析 二、教学对象分析 三、教学目标分析 四、教法和学法分析 五、教学过程设计
一：教材分析
⒈本节在教材中的地位和作用 ⒉教学重难点 ⒊教材的内容处理
⒈本节在教材中的地位和作用
⑴上节用样本频率分布直方图初略直观 的估计总体，本节用两个特征数估计总 体，体系更完备； ⑵本节复习和提高初中内容，更强调应 用性和实用性； ⑶大学将进一步学习数理统计知识； ⑷课程标准，大纲和考纲要求学生 会用 样本的平均数和方差估计总体。
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有了充裕の时候,加上他偏执の幸运子,结果侥幸突破了圣人境,强势归来了. 只是…他本以为他可以重振大房,重新再次掌权,恢复他往日の荣耀和尊严.但是他却发现,似乎雾霭城の天已经变了.白重炙成为了少族长,地位稳压他一头,并且世家竟然不仅没有册封他天上长老之位,就连实权长老之 位都没有,并且儿子却还没人种下了魂种… 好吧,继续忍！ 当那天那个黑袍人强势出场,秒杀一片圣人巅峰,并且他从夜枪那里确定了这黑袍人の身份之后.他知道,他不能再忍了,他…决定出手了. "你呀确定屠千军死在蛮荒山脉?" 书房内,夜剑不咋大的心翼翼の释放了圣域,同时还非常不咋大 的心の传音和夜轻狂交流起来.通过几日来他收集の资料,他感觉他似乎就要触摸到这个秘密の核心了. "父亲,这是神城异族降临前最大の事情,并且屠神卫还开出了条件,谁要是找到凶手,立即解除他体内の魂种,这么大の事俺怎么会记错?"夜轻狂才回到白家堡不久,却被夜剑召唤而来,还以为 发生了什么大事.不料夜剑却是问起了一件以前他偶然给夜剑汇报过の事情. 夜剑听到夜轻狂确定の消息之后,沉默了良久,脸色变幻不停,俨然内心在挣扎.综合所有の消息,他已经把大致の事情了解清楚了.他开始犹豫,在徘徊.和十多年前,他决定将夜刀の消息出卖给妖族一样…这是一些赌博, 风险和利益却是参半の豪赌. "是你呀们bi人太甚,别怪俺,反正这事迟早要暴露の！"沉默了半个时辰,夜剑脸色终于露出一丝狠色,轻声自言自语起来,而后他转过头对着很是茫然の夜轻狂传音起来："过几日俺会安排你呀出雾霭城,而后你呀秘密去神城一趟！" "俺去神城干什么?"夜轻狂一惊, 那地方他躲开躲不及,怎么敢独自前去?毕竟魂奴私自上神城,或许被击杀也不一定. "蠢货,你呀…去见屠神卫,告诉他杀屠千军の凶手,让他给你呀解除魂种.而后在帮俺带几句话！你呀说…"夜剑淡淡起身,开始详细和夜轻狂细细传音起来. "这…"夜轻狂听完之后,顿时满脸兴奋起来,他父亲这 计划可是一石三鸟啊.只是片刻之后他突然想起什么,有些惊疑の问道："父亲大人,这计策好是好,俺就怕,到时候,会连累白家,要是白家灭了,俺们也逃不过一些死字啊！" "蠢货,这事你呀以为能瞒多久?反正最后都会知道の,还不如让你呀解除魂种."夜剑对于这个儿子の智商俨然非常不满意, 怒骂一声,脸色很阴沉の继续说道："过几日等你呀差不多到神城の时候,俺会去面见老祖宗の,和他痛陈厉害关系,将白重炙驱逐出白家去,否则白家迟早要毁在他手里…" "对,对！还是父亲大人高啊,嘿嘿……过几天俺就偷偷去神城！白重炙.你呀这次死定了！哈哈…"夜轻狂突然想放声狂笑, 只是刚张开嘴巴却感觉到,似乎此刻笑得有些不合时宜,看着夜剑冷冷の目光,连忙讪讪の摸了摸鼻子,准备离去. "记住,要保密,送完信会你呀也暂时别回来了.过段日子俺会将你呀两位弟弟分别送走,,如果白家真の因为白重炙而灭亡の话,也好留下些火种."夜剑淡淡の挥了挥手,让夜轻狂离去. 他自己却怔怔の望着窗外发呆起来. 十多年前,他就赌过一次,最后他赢了.这次,他却不知道最后结果究竟会怎么样,或许生或许死,或许荣华富贵,或许魂归西天.他都不在乎了,因为他认为这样の日子他在也忍不下去了… 本书来自 聘熟 当前 第叁玖2章 在路上 几日之后,破仙府东面の一座大 城玄武城迎来一辆特殊の马车.品 书 网 （ . t . ） 玄武城是破仙府一百坐大城之一,属于花家の附属大城之一,距离落花城不远.城内是三个破仙府内有名の大世家共同管理着. 由于最近破仙府不怎么太平,所以城门口是站满了守城检查の护卫. "停车,检查！" 司马圣杰是玄武城三大 世家司马世家の一名外事子弟,今日轮到他带队守门.突然发现一辆马车直接往城内驶去,并没有丝毫停下来の意思.并且见这马车异常豪华,但是却没有任何大世家の标志,嘴角一弯意识到,发财の机会来了,连忙站起身来,板着脸带人直接过去将马车包围了起来. "诸位大人,不咋大的の是大鸟车 马行の,马车上の公子是俺们老板の贵客,检查就免了吧！"赶车の是名老头,估计也是经常跑进跑出の,懂得规矩,伸手递过去一不咋大的袋晶币.笑呵呵の说道. "抱歉,最近有些严格,所以必须检查一下！" 司马圣杰一瞥这不咋大的袋晶币,面色变得更为严肃了,手却动了都没动一分.前段时候异 族降临,搞得他们很久没有油水可捞.好不容易遇到一些大事主,这点就想打发了? "咻！" 赶车の老头还想继续说些什么,而司马圣杰却正好要装腔作势打开车帘检查の时候,马车内却突然飞出一片紫色の不明物体,直射司马圣杰の脑门. 司马圣杰大惊,好在这暗器速度并不快,他双腿在地面一跺 脚,身子猛然后退,同时单手化拳为掌,快速朝紫色暗器抓去,终于在暗器即将射到脑门の时候,成功将这暗器用两根手指夹住了. "漂亮！" "好！杰大人,这手追星逐月竟然修炼得如此出神入化?佩服佩服！" 司马生意不咋大的露了一手,旁边の队员纷纷叫好拍马屁起来.司马圣杰有些傲然の微微 抬着头,似乎对他刚才の反应很是满意,本欲想把手中暗器随手一丢,却看到手指中の那抹熟悉の紫色,和上面刻画の熟悉の图案. 眼睛转了几圈,他面色陡然变幻起来,很是愤怒の一拂袖,将手指中紫晶币不留痕迹の收入衣袖中,而后冷然望着马车说道："阁下,你呀这是什么意思?" "咻！" 又是 一枚紫色の暗器直线射来,朝司马圣杰の脑门射去. "哼！" 司马圣杰一见眼中精光一闪,不退反进,单手幻化出一条道残影,直接将暗器抓在手中,再次收入袖中,表情却似乎更加愤怒了几分,沉声冷冷喝道："阁下の暗器功夫似乎不怎么厉害,今日…如果你呀能用暗器将俺击倒,俺就破例让你呀进 城！" "咻咻咻！" 马车内の人没有客气,竟然飞出无数紫色の暗器,直射司马圣杰の身体各个要害部位.司马圣杰眼睛陡然间睁得老大,身体战气暴涨,这次却是双手都同时动用起来,不停在空中闪烁,将一枚枚紫色の暗器抓起,就来连嘴巴也是咬住一枚暗器.最后还是因为暗器太多,让一枚暗器击 中胸口,踉跄了几步,一屁股坐在地上. "哼…算你呀狠,让开,给他们入城！" 司马圣杰却顾不得坐在地上狼狈の样子,又是不着痕迹の快速将胸口の紫色暗器收入袖中,这才满脸悲愤の朝马车沉喝起来,同时大手一挥让前面の手下全部让开. "咯咯,公子,这人太无趣了,俺还想继续砸哪！"马车朝 着城门绝尘而去,留下一些银铃般の年轻女人声音. "杰大人,你呀没事吧！有没有伤到哪里?" "大人,您怎么放他们进城了?应该发出世家信号,让人拿下他们！" 马车一进城,那群护卫连忙过来扶着司马圣杰,满脸关心和愤怒の说道. "嘿嘿,你呀们懂个屁！"司马圣杰,一些鲤鱼打挺直接站了起 来,朝城门口の马车背影望了一望,嘴角露出一丝阴笑.而后左手在衣袖内一掏,而后在众人不解の目光下,张开手掌,露出一片刺眼の紫光,赫然是十多枚紫晶币. 围着司马圣杰の十多名护卫,一见这刺眼の紫光,却突然有大半人傻了.这,这可是一千多晶币啊,能在玄武城最顶级の青楼消费一年了. 马车内,究竟是何人?居然用紫晶币砸人玩?要知道就是他们破仙府东方の第一公子花草,也不敢这样玩吧！ 并且似乎刚才那个女人还说没砸够? …… 马车行驶在平坦の长街上,马车内の软椅上,一名年轻の公子慵懒着斜斜躺着.旁边却坐着一名绝美出尘の女子,一双漂亮の不咋大的手,正将一些 果子拨开,而后分成一不咋大的份送去年轻公子口中. "怎么样?不咋大的桃花,刚才用紫晶币砸人の感觉如何?是不是特别爽啊?嘿嘿！"年轻公子张开嘴巴一口将果肉咬住,同时连带这在这名美人の漂亮不咋大的手上快速亲了一下,笑眯眯の说道. "哼,一点都不好玩,俺还

概率论与数理统计：六大基本分布及其期望和方差绪论：概率论中有六大常用的基本分布，大致可分成两类：离散型（0-1分布、二项分布、泊松分布），连续型（均匀分布、指数分布、正态分布）。

补充：在进入正文之前先讲一下期望和均值的一些区别：期望和均值都具有平均的概念，但期望是指的随机变量总体的平均值，而均值则是指的从总体中抽样的样本的平均值，即前者是理想的均值，而后者则是实际观测出来的数据的均值。

例如：对于一个六面的骰子，其期望E = （1+2+3+4+5+6）/ 6 = 3.5。

然后掷5次骰子，每次掷的点数分别为1,3,5,5,1，则平均值为（1+3+5+5+1）/ 5 = 3。

可以发现两者并不相等。

方差（variance）：方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数，方差度量了随机变量与期望（也可说均值）之间的偏离程度。

标准差为方差的开根号。

协方差（Covariance）：用于衡量两个变量之间的误差，而方差是协方差的特殊情况，即当两个变量相同的情况。

其公式如下：，表示含义为：E（∑（“X与其均值之差” * “Y与其均值之差”））当协方差为正时：表示两变量正相关（即同时变大变下）。

当协方差为负时：表示两变量负相关（即你变大，我变小，反之亦然）。

当协方差为0时：两变量相互独立。

相关系数：其公式如下，表示的含义为用X和Y的协方差除以X 和Y的标准差。

所以相关系数也可以看成协方差，一种剔除两个变量量纲影响，标准化后的特殊协方差。

正文：1、0-1分布已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中 0 < p< 1，则成X服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X） = p 方差D（X） = p（1-p）；2、二项分布n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X） = np 方差D（X） = np（1-p）；3、泊松分布表示单位时间内某稀有事件发生k次的概率，其公式为其中方差和期望均为，详细了解请☞戳4、均匀分布若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布其中期望E（X） = （a+b）/ 2 ，方差D（X） = （b-a）^2 / 12。

A．450
B．400
C．250
பைடு நூலகம்
D．150
解析
电子元件的寿命大于或等于 200 小时并且小于
400 小时的频率是(0.001 5＋0.002 5)×100＝0.4，故其个 数是 1 000×0.4＝400.
答案 B
题型分类
深度剖析
题型一 频率分布直方图的绘制 例1 从全校参加科技知识竞赛 的学生试卷中，抽取一个样本， 考察竞赛的成绩分布．将样本 分成 5 组，绘成频率分布直方 图(如图)，图中从左到右各小 组的小长方形的高的比是 1∶3∶6∶4∶2，最后边一 组的频数是 6. 请结合频率分布直方图提供的信息，解答下列问题： (1)样本的容量是多少？ (2)列出频率分布表； (3)成绩落在哪个范围内的人数最多？并求该小组的频 数、频率； (4)估计这次竞赛中， 成绩不低于 60 分的学生占总人数 的百分比．
解析 x＝20－(2＋3＋5＋4＋2)＝4， 2＋3＋4＋5 4＋2 7 P＝ ＝0.7 或 P＝1－ 20 ＝10＝0.7. 20
4．在某电视台举办的“麦霸”歌手大奖赛上，五位歌手 的分数如下：9.4、9.4、9.6、9.4、9.7，则五位歌手 得分的期望与方差分别是( D ) A．9.4 C．9.5
(3)成绩落在[70.5,80.5)之间的人数最多， 该组的频数和频 3 率分别是 18 和 . 8 (4)不低于 60 分的学生占总人数的百分比约为 1 1－ ×100%≈94%. 16
探究提高：用频率分布直方图解决相关问题时，应正确 理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问 题的关键．频率分布直方图有以下几个要点：(1)纵轴表 示频率/组距； (2)频率分布直方图中各长方形高的比也就 是其频率之比；(3)直方图中每一个矩形的面积是样本数 据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等 于 1，即频率之和为 1.

(2)总体方差的估计 方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特 征数，样本方差是指 1 2 S ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]， n 样本标准差是指 1 S＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]. n
选择题
1．(江苏高考)在一次歌手大奖赛上，七位评委为某歌手 打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7去掉一个最高分和一
高分别画成矩形，这样得到的直方图即频率分布的直方图，图
中每个矩形的面积等于相应组的频率，即 ×组距＝频率，
图中各小矩形面积和为1，各组频率的和等于1.
5．频率分布与相应的总体分布的关系： 样本容量越大，分组越多时，各组的频率就越接近于总 体在相应各组取值的概率．样本容量越大，估计就越精确． 6．总体期望值和方差的估计 (1)总体期望值的估计 总体平均数(又称总体期望值)描述了一个总体的平均水 平， 1 通常用样本平均数，即 x ＝ (x1＋x2＋…＋xn)，对总体 n 进行估计．
D．2.7,83
[解析] 由图象可知，前 4 组的公比为 3，最大频率 a＝0.1×33×0.1＝0.27， 设后六组公差为 d， 则 0.01＋0.03 5×6 ＋0.09＋0.27×6＋ d＝1，解得：d＝－0.05，后四组 2 公差为－0.05，所以，视力在 4.6 到 5.0 之间的学生数为 (0.27＋0.22＋0.17＋0.12)×100＝78(人)．
个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
( A．9.4,0.484 ) B．9.4,0.016
C．9.5,0.04
D．9.5,0.016
[解析] 因为数据的平均值 x ＝ 9.4＋9.4＋9.6＋9.4＋9.7 ＝9.5， 5 1 2 方差 S ＝ [(9.4 － 9.5)2 ＋ (9.4 － 9.5)2 ＋ (9.6 － 9.5)2 ＋ 5 (9.4－9.5)2＋(9.7－9.5)2]＝0.016， 所以应选 D.

概率论中的常见分布和期望与方差——概率论知识要点概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。

在概率论中，常见的分布函数和概率密度函数描述了随机变量的分布规律，而期望和方差则是描述随机变量的中心位置和离散程度的重要指标。

本文将介绍概率论中的常见分布以及期望和方差的概念和计算方法。

一、离散型分布在概率论中，离散型分布描述了随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。

以下是几个常见的离散型分布：1. 伯努利分布伯努利分布是最简单的离散型分布，描述了只有两个可能结果的随机试验，比如抛硬币的结果。

设随机变量X表示试验的结果，取值为1或0，表示成功或失败的情况。

伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。

2. 二项分布二项分布描述了一系列独立的伯努利试验中成功的次数。

设随机变量X表示成功的次数，取值范围为0到n，n为试验的次数，p为每次试验成功的概率。

二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数。

3. 泊松分布泊松分布描述了在一定时间或空间内随机事件发生的次数。

设随机变量X表示事件发生的次数，取值范围为0到无穷大。

泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中λ为事件发生的平均次数。

二、连续型分布在概率论中，连续型分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率分布。

以下是几个常见的连续型分布：1. 均匀分布均匀分布描述了随机变量在某个区间内取值的概率相等的情况。

设随机变量X 在[a, b]区间内取值，均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a≤x≤b。

2. 正态分布正态分布是概率论中最重要的分布之一，也被称为高斯分布。

正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。

02
对于很多总体来说，它的平均值不易求得，通常用容易求得的样本平均数对它进行估计.而且常用两个样本平均数的大小去近似地比较相应两个总体的平均数的大小.
03
样本平均数的符号表达：
04
01
方差估计：
02
样本方差：
03
样本标准差：
04
方差和标准差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数.
计算器使用
On 2ndf STAT
自然！
课堂评价
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谢谢大家！
演讲人姓名
机器乙:147 146 148 155 157 149 146 148 146 149 146 148 158 147 147
试问：哪台机器的日均产量较高？哪台产量更稳定？比一比谁能更快得出结论！
比一比：
方案设计
南湖渔场在2004年底投放了大量鱼苗，经过一年喂养，现在要了解湖中养殖鱼的情况，如每条鱼的平均重量，南湖中鱼的总条数？请你拟定统计方案？
￣
注：数据录入错误用2ndf cd 键清除
例题讲解：
01
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某工厂研制甲、乙两种电灯泡，从两种电灯泡中各抽取了20只进行寿命试验，得到如下数据（单位:小时）：
灯泡甲：1610 1590 1540 1650 1450 1650 1570 1630 1690 1720 1580 1620 1500 1700 1530 1670 1520 1690 1600 1590
想一想：
用样本平均值去估计总体平均值一定准确吗？请说明理由!
你认为减少错误发生的途径有哪些？
想一想：
增大样本的容量
采用更合理的抽样方法
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高中数学知识点第十二章-概率与统计 考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n 0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p +q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q pk n k n k E k n k)!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=-x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。

高中数学概率与统计问题的题型与方法篇一：高二数学概率与统计问题的题型与方法2一．复习目标：1．了解典型分布列：0～1分布，二项分布，几何分布。

2．了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

3．在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。

4．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。

5．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体N(,2)转化为标准正态总体N（0，1）的公式F(某)(某)及其应用。

6．通过生产过程的质量控制图，了解假设检验的基本思想。

7．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。

8．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算。

了解相关性检验的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。

二．考试要求：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

⑷会用样本频率分布去估计总体分布。

⑸了解正态分布的意义及主要性质。

⑹了解假设检验的基本思想。

⑺会根据样本的特征数估计总体。

⑻了解线性回归的方法。

三．教学过程：（Ⅰ）基础知识详析㈠随机事件和统计的知识结构：㈡随机事件和统计的内容提要1．主要内容是离散型随机变量的分布列、期望与方差，抽样方法，总体分布的估计，正态分布和线性回归。

2．随机变量的概率分布（1）离散型随机变量的分布列：两条基本性质①pi0(i1,2,)；②P1+P2+=1。

（2）连续型随机变量概率分布：由频率分布直方图，估计总体分布密度曲线y=f(某)；总体分布密度函数的两条基本性质：①f(某)≥0(某∈R)；②由曲线y=f(某)与某轴围成面积为1。

3．随机变量的数学期望和方差（1）离散型随机变量的数学期望：E某1p1某2p2；反映随机变量取值的平均水平。

概率论各种分布的期望和方差
概率论是描述和研究不确定性现象的基础学科，而概率分布是统计中最基本的概念，其中包括期望和方差。

期望是描述抽样变量数据的一个重要的描述统计量，它反映了该变量的总体分布特征。

方差，也称样本方差，是围绕其期望计算的一个重要的统计量，它能够揭示该抽样变量的变异程度。

对常见的概率分布来说，它们的期望和方差都是可以计算的。

针对均匀分布，它具有特定的概率赋值范围，同时，数学期望采用其平均值作为衡量标准即可计算出，而方差则是概率变量的期望值在两个方向上偏离之和的1/2倍。

此外，对于二项分布来说，它是表示在抽样次数已知且抽样几率未发生变化的情况下，典型抽样变量发生成功事件的次数分布，而它的期望和方差都是根据其抽样概率和抽样次数计算出的，期望是抽样概率乘以抽样次数，而方差则是期望乘以其补数，再乘以抽样次数。

此外，高斯分布是最常用、有着重要作用的概率分布之一，它具有广泛的应用场景，例如在定量分析中，用来进行参数估计或数据拟合，而它的期望和方差的计算也是基于其均值和标准差的，期望就是均值，而方差则是标准差的平方。

此外，指数分布也是一种常用的概率分布，它会用来描述随机变量的行为，主要是其它类型的连续分布之一，其期望和方差也是可以计算的，其期望直接取常数α，而方差是取α²。

综上所述，期望和方差都是无偏抽样变量分析中重要的统计量，它们是针对常见概率分布可以实行计算的重要概念，可以帮助我们更好地理解数据的分布情况，从而使其可以更加准确地进行应用和分析。

高中数学知识点第十二章-概率与统计考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．（2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ΛΛ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1Λ=i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.有性质①Λ,2,1,01=≥i p ； ②121=++++ΛΛi p p p .注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0Λ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C kn kkn⋅=-.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A AP(k)P(ξk 1k 21-==Λ.根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-==Λ),3,2,1(1Λ==-k p q k 于是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中Λ3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C r m =，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a Λ=⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n Λ=+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ΛΛ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()(Λ===k p x P k k ξ时，则称ΛΛ+-++-+-=n n p E x pE x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差.显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（+ q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)( ⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =所围成的曲边梯形的面积图像的函数)(x f 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f . （σμ,,R x ∈为常数，且0φσ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E .⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近. ⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=-ππx ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤π.注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)(φx Φ.比如5.00793.0)5.0(π=-Φσμ则σμ-5.0S 阴=0.5S a =0.5+S如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.。

Mister.D知识点总结：统计与概率I 统计1三大抽样 （1） 基本定义：① 总体：在统计中，所有考查对象的全体叫做全体. ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. （2） 抽样方法：① 简单随机抽样： 逐个不放回、等可能性、有限性。

=======★适用于总体较少★抽签法：整体编号（1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。

随机数表法：整体编号（等位数，如 001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机（上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。

② 系统抽样：容量大•等距，等可能。

=======★适用于总体多^N用随机方法编号，若 N 无法被整除，则剔除后再分组，k。

再用简单随机抽样法来抽取一个n个体，设为I ，则编号为I , k+l , 2k+l ……（n-1） k ,抽出容量为n 的样本。

（每组编号相同）。

③ 分层抽样：总体差异明显•按所占比例抽取•等可能.=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样•抽样比为:3. 总体分布的估计: （1） 一表二图：★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1（2）茎叶图：样本容量抽样比=总体个数=各层样本容量 各层个体数量②频率分布直方图③频率分布折线图便于观察总体分布趋势11 m Il lift n 冲 11 11=7MIF①频率分布表——数据详实①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数•众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

（1）在频率直方图中计算众数•平均数.中位数众数 在样本数据的频率分布直方图中，就是 最高矩形的中点的横坐标。