基本不等式的综合应用

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二 利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

应用基本不等式解决实际问题的方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.问题的提出II.基本不等式的应用方法III.实际问题中的应用IV.结论正文（篇1）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为数学中的重要工具，在解决实际问题中发挥着越来越重要的作用。

本文旨在探讨基本不等式在解决实际问题中的应用方法。

首先，我们需要明确基本不等式的概念。

基本不等式是指两个或多个数相加或相乘，它们的和或积不超过另外两个数之和或积的等式。

基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用，如工程设计、财务管理、物流规划等领域。

其次，在解决实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的基本不等式。

例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度等。

最后，通过具体实例，我们可以看到基本不等式在解决实际问题中的有效性。

例如，在物流规划中，我们可以使用基本不等式来计算运输成本，从而优化物流方案；在财务管理中，我们可以使用基本不等式来计算投资回报率，从而做出更明智的投资决策；在工程设计中，我们可以使用基本不等式来计算结构强度，从而确保工程的安全性。

总之，基本不等式作为一种有效的数学工具，在解决实际问题中具有广泛的应用。

目录（篇2）1.引言2.基本不等式的概念和性质3.应用基本不等式解决实际问题的方法4.结论正文（篇2）随着数学在各个领域的广泛应用，基本不等式作为一种重要的数学工具，在解决实际问题中起到了关键作用。

基本不等式是数学中的一种重要不等式，它可以用来解决各种实际问题，包括但不限于最大值、最小值、平均值等问题。

基本不等式是指“和的平方等于各加和的平方和”，即“a+b≥2√ab”。

它具有以下基本性质：一、乘法分配律；二、乘法结合律；三、二次方差恒等式。

这些性质使得基本不等式在解决实际问题中具有广泛的应用。

在解决实际问题时，我们需要将问题转化为基本不等式可以解决的问题。

基本不等式及其应用篇一：基本不等式及其应用基本不等式及其应用一、知识结构二、重点叙述1. 基本不等式模型一般地,如果a>0,b>0,则立。

我们常把叫做正数a、b的算术平均数,把ab叫做正数a、b的几何平均数, ,或,当且仅当a=b时等号成即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,当且仅当两个正数相等时等号成立。

拓展:若a、b∈R,则2. 基本不等式证明方法,当且仅当a=b时等号成立。

3.基本不等式的应用①利用基本不等式证明不等式或比较大小; ②利用基本不等式求最值或求范围; ③利用基本不等式解决实际问题。

三、案例分析案例1：(1)（2009天津·理）设的最小值为A8B4C 1D (2) （2007海南、宁夏·理7）已知，，成等差数列，若成等比数列，则Ａ．Ｂ．的最小值是（）Ｃ．Ｄ．分析：（1）由是与的等比中项，得。

用“1代换法”，把看成，进而利用基本不等式求得最小值。

（2）可用直接法解之。

根据等差、等比数列的“等距离”性质，把多元函数转化为x、y的二元函数，由二元的基本不等式求其最小值。

也可以用特殊值法解决。

解：（1）∵是与的等比中项，∴，得。

∴，当且仅当即时，“=”成立。

故选择C。

成等差数列，成等比数列，（2）（直接法）∵∴∴，∵，，∴，∴，当且仅当时，等号成立。

∴。

故选D。

成等差数列，成等比数列分别都为另解：（特殊值法）令，则，故选D。

案例2：(1) （2009重庆·文）已知A．2B．，则C．4的最小值是（）D．5(2)（2007山东·理16）函数y=loga (x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n＞0，则的最小值为________________.分析：(1)用基本不等式解之，由于两次使用基本不等式，两次的“等号”成立应该“同时”。

(2)抓住函数图象过定点，求得定点A的坐标，建立m、n的线性关系，两次应用基本不等式求得最小值，同样注意两次的“等号”成立是否“同时”？只有“同时”，最小值才存在。

基本不等式应用题的四大类型
基本不等式应用题的四大类型如下：
1. 求最值：这种题型的特点是两个式子中x的次数互为相反数，相乘后可以抵消掉。

如果是以多项式为整体应用基本不等式，为了让多项式产生联系，通常采用对多项式加减常数来解决。

2. 分式结构的基本不等式：这种题型有一次比二次型、二次比一次型、二次比二次型。

对于一次比二次型和二次比一次型，通常令一次结构部分为t，将y化成关于t的函数，然后分子分母同除以t。

对于二次比二次型，通常先分离常数，然后再采用上述方法。

3. 带限制条件的基本不等式问题：这类问题通常需要结合其他数学知识，如代数、方程、函数等，通过设立代数式、方程或不等式来解决。

4. 直接应用基本不等式：题目中已有基本不等式的结构，且满足“一正、二定、三相等”，只需直接运用即可。

如需更多信息，建议请教数学老师或者查看数学教材。

试卷第1页，总7页 高考数学：基本不等式在实际生活中的应用典例1．为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为： 250900y x x =-+，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．（1）当[]10,15x ∈时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润； 如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解：（1）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系： (1010)P x y =+-22050900x x x =-+-270900x x =-+-()235325x =--+，[10,15]x ∈.∵35[10,15]x =∉，()235325P x =--+在[10,15]上为增函数，可求得[300,75]P ∈--.∴国家只需要补贴75万元，该工厂就不会亏损．（2）设平均处理成本为 90050y Q x x x==+-5010≥=， 当且仅当900x x =时等号成立，由0x >得30x =． 因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．点评：（1）本题考查函数应用，属于容易题，解题的关键是列出收益函数，收益等于收入减成本，因此有利润(1010)P x y =+-，化简后它是关于x 的二次函数，利用二次函数的知识求出P 的取值范围，如果P 有非负的取值，就能说明可能获利，如果P 没有非负取值，说明不能获利，而国家最小补贴就是P 中最大值的绝对值.（2）每吨平均成本等于y x，由题意90050y x x x =+-，我们根据基本不等式的知识就可以求出它的最小值以及取最小值时的x 值. 变式题1．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化。

基本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析 由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号若函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋my (m >0)的最小值为3，则m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析 由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析 圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析 由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析 依题意知a ＞0，b ＞0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2已知a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4若a ，b 都是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析 由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12已知a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析 由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，则1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b 2时等号成立已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析 依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q已知函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，若f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析 由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116已知实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4已知x <54，则()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析 令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________解析 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________ 解析 由已知得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6， 当且仅当121＋y＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6已知函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，则a 的取值范围是______解析 对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g(x)＝x＋8x，x∈N＋，则g(2)＝6，g(3)＝173∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝173，∴－(x＋8x)＋3≤－83，∴a≥－83，故a的取值范围是[－83，＋∞)已知x>0，y>0，且1x＋2y＝1，则x＋y的最小值是________解析∵x>0，y>0，∴x＋y＝(x＋y)(1x＋2y)＝3＋yx＋2xy≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)，∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋2 2函数y＝1－2x－3x(x<0)的最小值为________解析∵x<0，∴y＝1－2x－3x＝1＋(－2x)＋(－3x)≥1＋2(－2x)·3－x＝1＋26，当且仅当x＝－62时取等号，故y的最小值为1＋2 6若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________解析分离变量得－(4＋a)＝3x＋43x≥4，得a≤－8设a＋b＝2，b>0，则12|a|＋|a|b取最小值时，a的值为________解析∵a＋b＝2，∴12|a|＋|a|b＝24|a|＋|a|b＝a＋b4|a|＋|a|b＝a4|a|＋b4|a|＋|a|b≥a4|a|＋2b4|a|×|a|b＝a4|a|＋1，当且仅当b4|a|＝|a|b时等号成立又a＋b＝2，b>0，∴当b＝－2a，a＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值若当x>－3时，不等式a≤x＋2x＋3恒成立，则a的取值范围是________解析设f(x)＝x＋2x＋3＝(x＋3)＋2x＋3－3，∵x>－3，所以x＋3>0，故f(x)≥2(x＋3)×2x＋3－3＝22－3，当且仅当x＝2－3时等号成立，∴a的取值范围是(－∞，22－3]若对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________解析 xx 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x ，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，则13＋x ＋1x ≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，则xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16解析 由32＋x ＋32＋y＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)， 即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)则xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1已知m >0，a 1>a 2>0，则使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立， 则2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1]已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________ 解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤1211设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，则ab 的最大值为________解析 由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，则6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，则t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，则0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。

基本不等式的实际应用例1某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用)建筑总面积练习1..某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)2.经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系y＝920vv2＋3v＋1 600(v>0)．(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？3.某加工厂需定期购买原材料，已知每千克原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每千克原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400千克，每次购买的原材料当天即开始使用(即有400千克不需要保管)．(1)设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；(2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最小，并求出这个最小值．线性规划相关应用题例1.一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料, 甲种饮料主要西方是每3份李子汁加1份苹果汁, 乙种饮料的西方是李子汁和苹果汁各一半. 该厂每天能获得的原料是2000L李子汁和1000L苹果汁, 又厂方的利润是生产1L甲种饮料得3元, 生产1L乙种饮料得4元. 那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少, 才能获利最大?练习1.有粮食和石油两种物资, 可用轮船与飞机两种方式运输, 每天每艘轮船和每架现在要在一天内运输2000吨粮食和1500吨石油, 需怎样安排轮船和飞机，使轮船和飞机总数最少?2. (2010·四川)某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B 产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为()A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱3. (2011·四川)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于()A．4 650元B．4 700元C．4 900元D．5 000元4．(12分)(2010·广东)某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素 C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？例1 解 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x ＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N *)． (2)∵x >0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440， 当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．答 当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．练习1 解 (1)由题意可设3－x ＝k t ＋1， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1.当年生产x 万件时， ∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3.当销售x (万件)时，年销售收入为150%⎣⎡⎦⎤32⎝⎛⎭⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)． (2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42(万元)， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，y max ＝42， ∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．2．解 (1)y ＝920v v 2＋3v ＋1 600＝920v ＋1 600v ＋3≤ 9202v ×1 600v ＋3＝92083≈11.08.(4分) 当v ＝1 600v ，即v ＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11.08千辆/小时(6分) (2)据题意有920v v 2＋3v ＋1 600≥10，(8分) 化简得v 2－89v ＋1 600≤0，即(v －25)(v －64)≤0，所以25≤v ≤64.所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．(12分)3．解 (1)每次购买原材料后，当天用掉的400千克原材料不需要保管费，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，…，第x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x －1)天．∴每次购买的原材料在x 天内总的保管费用y 1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x －1)]＝6x 2－6x .(6分)(2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为6x 2－6x ＋600＋1.5×400x ，∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为y ＝1x (6x 2－6x ＋600)＋1.5×400＝600x＋6x ＋594.(9分) ∴y ≥2600x·6x ＋594＝714，(12分) 当且仅当600x＝6x ，即x ＝10时，取等号． ∴该厂10天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用y 最小，且最小为714元２．略解：设厂方每天每天生产甲、乙两种饮料分别为xL,yL,则约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+010005.025.020005.075.0y x y x y x ，利润目标函数为y x z 43+=，画出可行域（略），当直线043=+y x 平移后过20005.075.0=+y x 与10005.025.0=+y x 的交点（2000，1000）时，z 取得最大值10000。

基本不等式及其应用知识点
1. 嘿，你知道吗，基本不等式a+b≥2√ab 就像是一把神奇的钥匙！比如说，咱要建一个矩形的花园，周长固定，那怎么让面积最大呢？这时候基本不等式就派上用场啦！这不是超厉害的嘛！
2. 哇塞，基本不等式在解决最值问题上那可是一绝啊！就好比你要去买东西，手里的钱有限，怎么买才能最划算呢？你想想看，这其中的道理是不是和基本不等式一样神奇呢！
3. 嘿呀，你看基本不等式和实际生活联系得多紧密呀！像是安排工作任务，怎么分配才能让效率最高，这不就和基本不等式有很大关系嘛，是不是很有意思呢！
4. 哎呀，基本不等式对于比较大小也很有用呢！比如有两个数，你怎么一眼就看出哪个大哪个小呢？用基本不等式一试便知呀，这多酷呀！
5. 哇，基本不等式应用可广泛啦！就像搭积木一样，能搭出各种不同的形状和结果。

比如计算成本和收益的时候，它就能帮我们做出最佳决策呢！
6. 哈哈，基本不等式还能帮我们优化资源分配哟！好比分蛋糕，怎么分才能大家都相对满意呢，基本不等式就能给我们答案呀，是不是超棒的！
我的观点结论就是：基本不等式及其应用太重要啦，在生活和学习中都有着广泛而神奇的作用，大家一定要好好掌握呀！。

第2课时 基本不等式的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？ (2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？ 提示：(1)不一定，例如a 2＋2与1a 2＋2，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2)不一定，例如1＋a 2与1－a 2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．2aa －1D ．3 D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 （a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时，等号成立．] 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0， ∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．]3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意得y 1＝20x ，y 2＝45x 为仓库与车站的距离，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32，∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.]基本不等式求函数最值【例1】 (1)设0<x <2，求函数y ＝3x ()8－3x 的最大值； (2)若x >4，求y ＝3x －4＋x 的最小值． [思路点拨] (1)3x ＋()8－3x ＝8；(2)3x －4＋x ＝3x －4＋()x －4＋4 .可利用基本不等式求解．[解] (1)∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞2＞0， ∴y ＝3x （8－3x ）≤3x ＋（8－3x ）2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x （8－3x ）的最大值是4.(2)当x ＞4时，x －4＞0， ∴3x －4＋x ＝3x －4＋(x －4)＋4≥23x －4×（x －4）＋4＝23＋4， 当且仅当3x －4＝x －4， 即x ＝4＋3时，取等号； ∴当x ＝4＋3时，y ＝3x －4＋x 的最小值是23＋4.1．应用基本不等式求最值必须满足三个条件，“一正、二定、三相等”．2．应用基本不等式求最值时，“凑定值”是一个难点，常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．[跟进训练]1．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值.[解] 令x ＋1＝t >0，∴x ＝t －1，∴y ＝（t －1）2＋7（t －1）＋10t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，x ＝1时等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)取得最小值9.利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值.[思路点拨] 注意x ＋y ＝1的使用，构造出8y x和2xy利用基本不等式．[解] ∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x＝2xy，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b取最小值时所对应a 、b 的值也要一并解出来．2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”、“常值代换”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．[跟进训练]2．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]利用基本不等式解决实际问题【例3】 从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．12[设两个正方形边长分别为a ，b ， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．]利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．[跟进训练]3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100 A [设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．]运用基本不等式a ＋b2≥ ab 求最值时．要注意：(1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件； (2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等号成立的条件都要满足．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是2a a －1. ( )(2)若a <0，则a ＋1a的最小值是－2.( )(3)x 2＋3x 2＋2的最小值是2.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．若x 2＋y 2＝1(x 、y ∈R )，则x 1＋y 2的最大值为( ) A ．1 B ．54C ． 2D ．以上都不对 A [ x 1＋y 2≤x 2＋()1＋y 222＝()x 2＋y 2＋12＝1，当且仅当x ＝1，y ＝0时取等号．]3．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2B [∵a 2x ＋b 21－x ＝(1－x ＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x ＝（1－x ）a 2x ＋xb 21－x ＋a 2＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当x ＝aa ＋b时，取等号，∴选B.]4．若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 5．已知0<x <12，求函数y ＝x 1－4x 2的最大值．[解] 因为0<x <12，所以1－4x 2＞0，所以y ＝x 1－4x 2＝12×4x 21－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x＝24时等号成立． 所以函数y ＝x 1－4x 2的最大值为14.。

基本不等式及其应用1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R ).(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R ). 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大)概念方法微思考1.若两个正数的和为定值，则这两个正数的积一定有最大值吗？提示 不一定.若这两个正数能相等，则这两个数的积一定有最大值；若这两个正数不相等，则这两个正数的积无最大值. 2.函数y ＝x ＋1x的最小值是2吗？提示 不是.因为函数y ＝x ＋1x 的定义域是{x |x ≠0}，当x <0时，y <0，所以函数y ＝x ＋1x 无最小值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件.( × )(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R ).( √ )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件.( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( √ ) 题组二 教材改编2.设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.80 B.77 C.81 D.82 答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y2≥xy ，即xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.3.若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2. 答案 25解析 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 易错自纠4.“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案 C解析 当x >0时，x ＋1x≥2x ·1x＝2. 因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1x ≥2成立”的充要条件，故选C.5.若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A.1＋ 2B.1＋ 3C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C. 6.若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 D解析 由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15⎝⎛⎭⎫3y ＋1x ＝15⎝⎛⎭⎫4＋9＋3y x ＋12x y ≥15(4＋9＋236)＝5， 当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5.故选D.题型一 利用基本不等式求最值命题点1 配凑法例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. 答案 23解析 x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎡⎦⎤3x ＋(4－3x )22＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ， 即x ＝23时，取等号.(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立. 命题点2 常数代换法例2 (2019·郑州模拟)已知首项与公比相等的等比数列{a n }中，满足a m a 2n ＝a 24(m ，n ∈N ＋)，则2m ＋1n 的最小值为( ) A.1 B.32 C.2 D.92答案 A解析 由题意可得，a 1＝q ，∵a m a 2n ＝a 24，∴a 1·q m －1·(a 1·q n －1)2＝(a 1·q 3)2，即q m ·q 2n ＝q 8， 即m ＋2n ＝8.∴2m ＋1n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫2m ＋1n ×18 ＝⎝⎛⎭⎫2＋m n ＋4n m ＋2×18 ≥()4＋24×18＝1.当且仅当m ＝2n 时，即m ＝4，n ＝2时，等号成立. 命题点3 消元法例3 已知正实数a ，b 满足a 2－b ＋4≤0，则u ＝2a ＋3ba ＋b ( )A.有最大值145B.有最小值145C.有最小值3D.有最大值3答案 B解析 ∵a 2－b ＋4≤0，∴b ≥a 2＋4， ∴a ＋b ≥a 2＋a ＋4.又∵a ，b >0，∴a a ＋b ≤aa 2＋a ＋4，∴－a a ＋b ≥－a a 2＋a ＋4，∴u ＝2a ＋3b a ＋b ＝3－a a ＋b≥3－a a 2＋a ＋4＝3－1a ＋4a ＋1≥3－12a ·4a ＋1＝145， 当且仅当a ＝2，b ＝8时取等号.故选B.思维升华 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式. (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.跟踪训练1 (1)设x >0，y >0，若x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列，则1x ＋9y 的最小值为( )A.8B.9C.12D.16 答案 D解析 ∵x lg 2，lg 2，y lg 2成等差数列， ∴2lg 2＝(x ＋y )lg 2， ∴x ＋y ＝1.∴1x ＋9y＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y≥10＋2y x ·9xy＝10＋6＝16， 当且仅当x ＝14，y ＝34时取等号，故1x ＋9y的最小值为16.故选D. (2)若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c 的最小值是( )A.2B.3C.4D.6 答案 B解析 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2， ∴a ＋b ＋c ＋1＝3， 且a ＋1>0，b ＋c >0. ∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3.当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立.故选B.题型二 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (2018·洛阳统考)在△ABC 中，点P 满足BP →＝2PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM →＝mAB →，AN →＝nAC →(m >0，n >0)，则m ＋2n 的最小值为( ) A.3 B.4 C.83 D.103答案 A解析 ∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23()AC →－AB → ＝13AB →＋23AC →＝13m AM →＋23n AN →， ∵M ，P ，N 三点共线，∴13m ＋23n＝1，∴m ＋2n ＝(m ＋2n )⎝⎛⎭⎫13m ＋23n ＝13＋43＋2n 3m ＋2m 3n ≥53＋22n 3m ×2m 3n ＝53＋43＝3， 当且仅当m ＝n ＝1时等号成立. 命题点2 求参数值或取值范围例5 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 B解析 已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋ay 的最小值大于或等于9，∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.思维升华 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围.跟踪训练2 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53答案 C解析 由△ABC 的面积为2，所以S ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8，在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin Bsin C＝2c c ＋2b ＋bc＝2cb b (c ＋2b )＋b 2bc＝168＋2b 2＋b 28＝84＋b 2＋b 2＋48－12≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32，当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图像在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋bab的最小值是( )A.10B.9C.8D.3 2 答案 B解析 由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ， 由函数f (x )的图像在点(1，f (1))处的切线斜率为2， 所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b )＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16ab，即a ＝13，b ＝43时等号成立，所以8a ＋b ab的最小值为9，故选B.利用基本不等式求解实际问题数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达问题，用数学的方法构建模型解决问题.过程主要包括：在实际情景中从数学的视角发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、检验结果、改进模型，最终解决实际问题.例 某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2019年生产该产品的固定投入为8万元.每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).(1)将2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2019年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2， ∴x ＝3－2m ＋1，每万件产品的销售价格为1.5×8＋16xx (万元)，∴2019年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元).故该厂家2019年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元.素养提升 利用基本不等式求解实际问题时根据实际问题抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.1.函数f (x )＝x 2＋4|x |的最小值为( )A.3B.4C.6D.8 答案 B解析 f (x )＝x 2＋4|x |＝|x |＋4|x |≥24＝4，当且仅当x ＝±2时，等号成立，故选B.2.若x >0，y >0，则“x ＋2y ＝22xy ”的一个充分不必要条件是( ) A.x ＝y B.x ＝2y C.x ＝2且y ＝1 D.x ＝y 或y ＝1答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy ，当且仅当x ＝2y 时取等号.故“x ＝2且y ＝1 ”是“x ＋2y ＝22xy ”的充分不必要条件.故选C.3.(2018·南昌模拟)已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则4a ＋1b 的最小值为( )A.53 B.3 C.5 D.9 答案 D解析 由题意知，正数a ，b 满足a ＋b ＝1， 则4a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫4a ＋1b (a ＋b ) ＝4＋1＋4b a ＋ab≥5＋24b a ·ab＝9， 当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝23，b ＝13时等号成立，所以4a ＋1b的最小值为9，故选D.4.若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2 答案 C解析 由lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，得lg(ab )＝lg(a ＋b )，即ab ＝a ＋b ，则有1a ＋1b ＝1，所以a ＋b＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值为4，故选C.5.已知函数f (x )＝e x 在点(0，f (0))处的切线为l ，动点(a ，b )在直线l 上，则2a ＋2－b 的最小值是( )A.4B.2C.2 2D. 2答案 D 解析 由题意得f ′(x )＝e x ，f (0)＝e 0＝1，k ＝f ′(0)＝e 0＝1.所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，∴a －b ＋1＝0，∴a －b ＝－1，∴2a ＋2－b ≥22a ·2－b ＝22a －b ＝22－1＝ 2 ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝－12，b ＝12时取等号，故选D. 6.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案 D解析 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b 2， 又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b 2， 则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22， 再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号.故选D. 7.设x ，y 均为正数，且xy ＋x －y －10＝0，则x ＋y 的最小值是________.答案 6解析 由xy ＋x －y －10＝0，得x ＝y ＋10y ＋1＝9y ＋1＋1， ∴x ＋y ＝9y ＋1＋1＋y ≥29y ＋1·(1＋y )＝6，当且仅当9y ＋1＝1＋y ，即y ＝2时，等号成立. 8.(2019·重庆模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5＝3(a 4＋a 5)，则4a 3＋9a 7的最小值为________.答案 4解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q >0)，∵S 7－S 5＝a 7＋a 6＝3(a 4＋a 5)，∴a 7＋a 6a 5＋a 4＝q 2＝3. ∴4a 3＋9a 7＝4a 3＋9a 3q 4＝4a 3＋1a 3≥24a 3·1a 3＝4， 当且仅当4a 3＝1a 3，即a 3＝12时等号成立. ∴4a 3＋9a 7的最小值为4. 9.已知△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，且△ABC 的面积为334，则a 的最小值为________.答案 3解析 由题意得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴2bc cos A ＝bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3. ∵△ABC 的面积为334，∴12bc sin A ＝343，∴bc ＝3. ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴a 2≥2bc －bc ＝bc ＝3(当且仅当b ＝c 时，等号成立)，∴a ≥ 3.10.已知a ，b 为正实数，且(a －b )2＝4(ab )3，则1a ＋1b的最小值为________. 答案 2 2解析 由题意得(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ，代入已知得(a ＋b )2＝4(ab )3＋4ab ，两边同除以(ab )2得⎝⎛⎭⎫a ＋b ab 2＝4(ab )3a 2b 2＋4ab a 2b 2 ＝4⎝⎛⎭⎫ab ＋1ab ≥4·2ab ·1ab＝8， 当且仅当ab ＝1时取等号.所以1a ＋1b ≥22，即1a ＋1b的最小值为2 2. 11.已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值. 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立.因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 12.某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S 平方米，其中a ∶b ＝1∶2.(1)试用x ，y 表示S ；(2)若要使S 的值最大，则x ，y 的值各为多少？解 (1)由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y (x >3，y >3). (2)方法一 S ＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568， 当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40时等号成立，S 取得最大值，此时y ＝1 800x＝45， 所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值.方法二 设S ＝f (x )＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x (x >3)， 则f ′(x )＝4 800x 2－3＝3(40－x )(40＋x )x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝40，当0<x <40时，f ′(x )>0；当x >40时，f ′(x )<0.所以当x ＝40时，S 取得最大值，此时y ＝45.13.(2018·郑州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2a －c b ＝cos C cos B，b ＝4，则△ABC 面积的最大值为( ) A.4 3 B.2 3 C.3 3 D. 3答案 A解析 ∵2a －c b ＝cos C cos B， ∴(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C＝sin(B ＋C )＝sin A .又sin A ≠0，∴cos B ＝12. ∵0<B <π，∴B ＝π3.由余弦定理得b 2＝16＝a 2＋c 2－2ac cos π3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，∴ac ≤16，当且仅当a ＝c 时等号成立.∴S △ABC ＝12ac sin π3≤12×16×32＝4 3. 故△ABC 面积的最大值为4 3.故选A.14.已知P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一个动点，过点P 作圆(x ＋1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别是A ，B ，则P A →·PB →的取值范围为( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞B.⎣⎡⎦⎤32，569C.⎣⎡⎦⎤22－3，569 D.[)22－3，＋∞答案 C解析 如图，由题意设∠APB ＝2θ，则|P A |＝|PB |＝1tan θ， ∴P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 2θ＝1tan 2θ·cos 2θ ＝1＋cos 2θ1－cos 2θ·cos 2θ， 设cos 2θ＝t ，则P A →·PB →＝t (1＋t )1－t ＝(1－t )＋21－t－3 ≥2(1－t )·21－t－3＝22－3， 当且仅当1－t ＝21－t， 即t ＝1－2时等号成立，此时cos 2θ＝1－ 2.又当点P 在椭圆的右顶点时，sin θ＝13，∴cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79， 此时P A →·PB →最大，且最大值为1＋791－79×79＝569. ∴P A →·PB →的取值范围是⎣⎡⎦⎤22－3，569.故选C.15.已知曲线C ：y 2＝2x ＋a 在点P n (n ，2n ＋a )(a >0，n ∈N )处的切线l n 的斜率为k n ，直线l n 交x 轴、y 轴分别于点A n (x n ,0)，B n (0，y n )，且|x 0|＝|y 0|. 给出以下结论：①a ＝1；②当n ∈N ＋时，y n 的最小值为233； ③当n ∈N ＋时，k n >2sin 12n ＋1； ④当n ∈N ＋时，记数列{}k n 的前n 项和为S n ，则S n <2(n ＋1－1). 其中，正确的结论有______.(写出所有正确结论的序号) 答案 ①②④解析 令y ＝12(2),x a ＋所以y ′＝11221(2)2(2),2x a x a --⨯=＋＋ k n ＝12(2),n a -＋所以l n ：y －2n ＋a ＝12(2)(),n a x n －＋－ 所以x 0＝－a ，y 0＝a ，所以a ＝a ，所以a ＝1，①对；令t ＝2n ＋1≥3，所以y n ＝2n ＋1－n 2n ＋1＝t －t 2－12t ＝12t ＋12t ， 所以y n ≥123＋123＝233，②对； 令f (x )＝x －2sin x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， 所以f ′(x )＝1－2cos x <0，所以f (x )<f (0)＝0， 即12n ＋1<2sin 12n ＋1，③错； 因为k n ＝12n ＋1<2n ＋1＋n ＝2(n ＋1－n )， 所以S n ＝k 1＋k 2＋…＋k n <2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)，④对.16.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面BCC 1B 1的面积为46，求该正三棱柱外接球表面积的最小值.解 设BC ＝a ，CC 1＝b ，则ab ＝46，底面三角形外接圆的半径为r ，则a sin 60°＝2r ，∴r ＝33a . 所以R 2＝⎝⎛⎭⎫b 22＋⎝⎛⎭⎫33a 2＝b 24＋a 23≥2b 24·a 23＝29612＝42， 当且仅当a ＝32b 时，等号成立. 所以该正三棱柱外接球表面积的最小值为4π×42＝162π.。

应用基本不等式解决实际问题的方法（原创版4篇）目录（篇1）一、基本不等式的概念和性质二、应用基本不等式解决实际问题的方法1.求解最值问题2.证明不等式3.解决实际生活中的问题三、基本不等式在实际问题中的应用案例1.求解最大利润问题2.证明不等式关系3.解决实际生活中的财务问题正文（篇1）一、基本不等式的概念和性质基本不等式是数学中的一个重要概念，主要用于研究不等式之间的联系和关系。

基本不等式有两个基本性质，分别是对称性和传递性。

对称性指的是对于任意的实数 a 和 b，都有 a*b<=b*a，即乘法满足交换律。

传递性指的是对于任意的实数 a、b 和 c，如果 a<=b 且 b<=c，那么 a<=c。

二、应用基本不等式解决实际问题的方法基本不等式在实际问题中有广泛的应用，主要包括以下三种方法：1.求解最值问题：利用基本不等式可以方便地求解最值问题。

例如，对于函数 f(x)=x^2+ax+b，当 a^2-4b<=0 时，函数的最小值等于 b；当a^2-4b>0 时，函数的最小值等于 f(-a/2)。

2.证明不等式：基本不等式也可以用于证明不等式。

例如，要证明x+y<=2，可以利用基本不等式，得到 (x+y)^2<=4，从而证明 x+y<=2。

3.解决实际生活中的问题：基本不等式也可以用于解决实际生活中的问题。

例如，对于一个商人，他希望利润最大化，可以利用基本不等式，得到售价 - 成本<=售价*成本，从而得到最大利润的售价。

三、基本不等式在实际问题中的应用案例基本不等式在实际问题中有广泛的应用，以下是两个应用案例：1.求解最大利润问题：一个商人要销售一批商品，商品的成本为 c，售价为 x，销售量为 y，利润为 P=xy-c。

利用基本不等式，可以得到最大利润的售价 x<=sqrt(2*c/y)。

2.证明不等式关系：在实际问题中，基本不等式也可以用于证明不等式关系。