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高等数学2.2 随机变量的分布函数

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第二章__1_随机变量及其分布

第二章__1_随机变量及其分布

f ( x)
当x b时，由于{X x} {a X b}，于是 ba F ( x) P{ X x} P{a X b} 1 ba xa 0, xa 综上，可得X 的分布函数为 F ( x) , a xb b a xb 1,
2、分布函数的性质
为更好地揭示随机现象的规律性并利 用数学工具描述其规律, 有必要引入随机 变量来描述随机试验的不同结果. 例 抛掷一枚硬币可能出现 1, =正面 的两个结果 , 可以用一个 X () 0 , =反面
变量来描述.
例
{1, 2, 3,4,5,6}
． ． ． ．
A ．
定义: X ()
0, 9 , 19 F ( x) 15 , 19 1, x1 1 x 2 2 x3 x3
1
6 19

F ( x)


4 19
9 19
o


1
2
3
x
求随机变量X的概率分布
9 6 4 解 P{ X 1} , P{ X 2} , P{ X 3} 19 19 19
为给出X取值 于任意区间上的概率 ，实 际上只要 给出所有X取值于形如(- ∞,x] 区间上的概率P{X ≤ x}即可。记 F(x)=P{X ≤ x} 当x取遍(- ∞ ,+∞)上的一切实数时， F(x)便成为定义 在(- ∞ ,+∞)上的函数， 一旦知道了这个函数 ，我们便可得到 相应的随机变量取值于任何区间的概率。
三、分布函数的概念
为了对随机变量r.v.（random variable） 取值的统计规律性给出一种统一的描述 方法，下面引进分布函数 (distribution function)的概念.

第二章随机变量

第二章随机变量

金融保险) 例2.2.4: (金融保险 金融保险 根据生命表知道， 根据生命表知道，在某个年龄段的投保人中一年内 每个人死亡的概率是 0.005 ，现在有 10,000 人参加 保险， 人的概率。 保险，问未来一年中死亡人数不超过 60 人的概率。 解: 分析 分析, 人中死亡的人数， 以 X 记这 10,000 人中死亡的人数，则显然有 X ~b (104，0.005 ) ，需要计算 { X ≤ 60 } 。 需要计算P P { X ≤ 60 } = ∑k6=00 [C10000k 0.005k 0.99510000 – k ]
例2.1.1
抛掷均匀硬币两次， 抛掷均匀硬币两次，用X 表示正面 H 出现的次数。 出现的次数。
X
=
0 ，
1 ，
2， ，
3
试验结果 = 相应概率 =
{TTT} ， {HTT,TTH,THT}， {HHT,THH,HTH}, {HHH} , ， , 1/8 ， 3/8 ， 3/8, 1/8
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X 的概率分布也可以表格的形式表示： 的概率分布也可以表格的形式表示： X p 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8
离散随机变量概率分布的表达形式
1.
X pk
x1 x 2 x 3 ⋅ ⋅ ⋅ x k ⋅ ⋅ ⋅ p1 p2 p3 ⋅ ⋅ ⋅ pk ⋅ ⋅ ⋅
2.
x1 X ~ p1
x2 ⋅ ⋅ ⋅ p2 ⋅ ⋅ ⋅
xn pn
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
离散型随机变量X的分布律具有以下性 离散型随机变量 的分布律具有以下性 质: 1.
有下面四个约定
1). 每次试验至多出现两个可能结果之一 或 A 每次试验至多出现两个可能结果之一:A或 2). A在每次试验中出现的概率 保持不变 在每次试验中出现的概率p保持不变 在每次试验中出现的概率 3). 各次试验相互独立 4). 共进行 次试验 共进行n次试验

概率论-随机变量的分布函数

概率论-随机变量的分布函数
如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机 变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别 一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要 条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例 在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意 小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数， 它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设 随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量 ，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续 型
不 能 确 定 { X a } 是 不 可 能 事 件

rxl g21离散型随机变量的分布律

rxl g21离散型随机变量的分布律

❖超几何分布
P X xi ,Y y j
C i C j C ni j
M1 M2 N M1M2
C
n N
i 0 M1, j 0 M2
模型：袋中装有M1个红球， M2个白球， N-M1-M2个黑球共N个球，从中任取n个球， 则取出的红球数X=i,白球数Y＝j的概率。
❖三项分布
P X i,Y j Cni Cnji p1i p2j 1 p1 p2 ni j
X
｛1
X1 1
X2 0
0｝ 正面朝上 反面朝上
随机变量是什么？
随机变量：设随机试验的样本空间为Ω，如 果对于每一个样本点ω∈Ω，均有唯一的实 数X(ω)与之对应，称X= X(ω)为样本空间Ω 上的随机变量Random Variable 。一般用 X,Y,Z…表示。
随机变量的特性: 1) 它是一个实单值函数型的变量； 2) 它的取值具有随机性,统计规律性； 3）在某一范围内取值，表示一个 随机事件。
机
限个或可列个
变 量
连续型
非离散型：随机变量的取值有无穷多 个，且不可列
怎么用随机变量表示事件？
若X是随机试验E的一个随机变量,S⊂ Ω ， 那么 {X∈S}可表示E中的某一事件。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数, 则“出现偶数点”可表示为：
{X=2}{X=4}{X=6} “出现的点数小于４”可表示为：
例如：抽样调查某地区青少年的身高 X与体重
Y,以研究当前该地区青少年的身体发育情况。 此时我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质，
更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。 因此,我们将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。
n维随机变量

随机变量及其分布

随机变量及其分布

第2章 随机变量及其分布 20
例3
设随机变量 X 的概率密度函数为
2 3x , 0x1,
f x
0,
其他
求 （1） P X 0.5 （2） X 的分布函数 F x
解 （1） P( X 0.5)= 0.5 f xdx 0.5 3x2dx=0.125
-0.5
0
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
第2章 随机变量及其分布 11
综上, 随机变量的分布函数为 F x P X x
0
0.5 0.8
1
x 1 1 x 2 2 x3
x3
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
设 F X 是随机变量 X 的分布函数，则有
第2章 随机变量及其分布 12
1
0 F x 1; lim F x 0, lim F x 1
e3 30 =
e3 31
e3 32
17 e3 。
0!
1!
2! 2
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
二、泊松分布
第2章 随机变量及其分布 31
例 6 已知一购物网站每周销售的某款手表的数量X服从参数为6的泊松分布.问周初
至少预备多少货源才能保证该周不脱销的概率不小于0.9.假定上周没有库存,
对照一下离散型随机变量的概率函数所满足的两个条件,
1 pi 0
2 pi 1
i
这两个条件同样刻划了密度函数的特征性质, 即如果有实值函数具备这两条性质, 那么它必定是某个连续型随机变量的概率密度函数.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、连续型随机变量及其密度函数

随机过程2.2 随机过程的分布

随机过程2.2 随机过程的分布

2) 对任意固定的自然数m<n,均有
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4
记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;

0
其它 .
电子科技大学
随机过程的分布
04.9.4

1
ln(
1

1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
电子科技大学
X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
04.9.4
2
2
x(t,ω1)=2cost

随机变量及其分布

随机变量及其分布

f ( x) lim
x 0
xLeabharlann x xlim P{x X x x} lim x
f (x)dx .
x 0
x
x 0
x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是 X落在区间 (x,x+△x] 上的概率与区间长度 △x之比的极限. 这里，如果把概率理解为质 量， f (x)相当于线密度.
f (x)
a
ba
当x b时，
x
a
b
x
F (x) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt 1.
a
b
因此X ～ U(a, b)的分布函数为：
0
F ( x)
P( X
x)
x b
a
a 1
xa a xb
xb
例1 长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发
车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随
解: 设X表示400次独立射击中命中的次数，则
X～B(400, 0.02)，故 P{X2}＝1－ P{X＝0}－P {X＝1} ＝1－0.98400－(400)(0.02)(0.98399) ＝0.9972
例5 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障只能 由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法,其一 是由4人维护,每人负责20台;其二是由3人共同维护 30台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及 时维修的概率大小.
称A为几乎不可能事件，B为几乎必然事件.
(4) 若x是f(x)的连续点，则 dF(x) F(x) f (x)
dx
设随机变量X的分布函数
F

§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)

§2.1 随机变量的概念与离散型随机变量§2.2 随机变量的分布函数(distribution function)
求常数a.
解 由概率分布的性质得
1 . 得 15a = 1, 即 a 15
p
i 1
5
i
1
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第11页
课堂练习2 在一个袋子中有10个球，其中6个白球，4 个红球。从中任取3个，求抽到红球数的概率分布。 解 用X表示抽到的红球数，则X所有可能的取值为0，1，2，3。
Ω={ t | t ≥ 0}
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第4页
定义 设随机试验E的样本空间为Ω，如果对于每一个 ω∈Ω，都有唯一的一个实数X(ω)与之对应，则称 X(ω)为随机变量，并简记为X。
注意： 1. X是定义在Ω上的实值、单值函数。 2. 若给定了试验的样本空间的概率分布。就可以确 定随机变量 X 取某些值时的概率，设 A 为一实数集,
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第2页
例1续 掷一枚硬币10次，观察出现正面的次数。
此时，试验的样本空间是由一系列长度为10的正反面 的序列组成，总共有 210 个元素。 定义函数 X 如下：对任意一个序列
,
定义
X ( ) 出现正面的次数。
这样的定义的函数 X 是一个随机变量。它反映了出 现正面的次数。利用它可以很容易的描述随机事件。 例如， {X≤5}= 出现正面次数不多于5次的事件.
第2章
§2.1-2.2 随机变量的概念, 分布函数
第9页
定义 设离散型随机变量X所有可能的取值为 x1 , x2 , … , xn , … X取各个值的概率，即事件{X=xi}的概率为 P { X = xi } = pi （i = 1, 2, …） 则称之为离散型随机变量X的概率分布或分布列(律). 亦可用下面的概率分布表来表示

随机变量(向量)及其概率分布

随机变量(向量)及其概率分布

Pa X b F (b) F (a) 例2.7 已知随机变量 X 的所有可能取值为0,1,2，取各值的 概率分别为0.4,0.3,0.3，试求随机变量的分布函数并作其
图像。 解：由题设随机变量的概率分布为 0 1 2 X pi 0.4 0.3 0.3 由分布函数的定义有 当 x 0 时， F ( x) P() 0； 当 0 x 1 时， F ( x) PX 0 0.4； 当1 x 2 时， F ( x) PX 0 PX 1 0.7； 当 x 2 时，F ( x) P() 1。 分布函数图像如图2.1所示
X pi
pk PX xk F ( xk ) F ( xk 0)
1 1/ 3
1 1/ 2
2 1/ 6
试求 P0 X 1.5 。 解：由随机变量 X 的分布列有
1 P0 X 1.5 PX 1 2
例2.9 设有一批产品20件，其中有3件次品，从中任意抽 取2件，用 X 表示抽取出2件产品中的次品数，求随机变量X 的分布律和“至少抽得一件次品”的概率。 解： X 的可能取值为 0,1,2。 于是，由古典概率有
国徽面在上面；有字面在上面 如果 X 1 表示国徽面在上面，X 0表示有字面在上面。 则试验结果的变量表示为： “国徽面在上面” X 1 ；“有字面在上面” X 0 特点：试验结果数量化了，试验结果与数建立了对应关 系。 1. Def 设随机试验 E 的样本空间为 ，如果对于每一个样本 点 ，均有唯一的实数X ( ) 与之对应，称X ( )为样本空 间 上的随机变量。 随机变量的三个特征: 1）它是一个变量； 2）它的取值随试验结果而改变； 3）随机变量在某一范围内取值，表示一个随机事件。 设 X 为一个随机变量，对于任意实数 x ，则集合X x是 随机事件，随着 x 变化，事件X x也会变化。 这说明该事 件是实变量 x的“函数”。

2.2节分布于分布函数

2.2节分布于分布函数
9
0
所以
F
x
0.4 0.7
0.9
1
x 1; 1 x 2; 2 x 3; 3 x 4; 4 x .
Fx
1 0.9
• •
0.7
•
0.4 •
O
x
10
练习设离散型随机变量X的分布列为
X
0
PX xi
1/ 3
1
2
1/ 6
1/ 2
求X 的分布函数。
0 ;x0
1
;0 x 1
X
x1 x2
xn
P( X xi ) p1
p2
pn
（3）矩阵法
x1 x2 x3 L
p1
p2
p3
L
密度矩阵，简称密度
4
分布列的应用：
若已知一个离散型随机变量 X 的分布列如下:
X
x1
x2
L
xn
P( X xi ) p1
p2
L
pn
1、可求关于 X 的任何事件的概率
P{a X b} pi a xi b
F
(
x)
1 3
3
1 6
;1 x 2
1 3
1 6
1 2
;x 2
11
简单的离散型分布
1、单点分布
密度为
a0 1
，分布函数为
F
(
x)
0; 1;
x x
a0 a0
2、两点分布
密度为
a0 p
a1
q
, ( p 0, q 0, p q 1)
分布函数为
F ( x)
0;
13
连续型随机变量及其概率密度的定义

第2章 随机变量及其分布

第2章 随机变量及其分布

, 解 死亡人数 X ~ B(10000 0.005)
40 (1) P{ X 40} C10000 0.005400.9959960 .
k C10000 0.005k 0.99510000 k . (2) P{ X 70} k 0 70
计算相当复杂，下面介绍一个实用的近似公式。

2
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我 们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说， 把试验结果数值化. 例1 抛一枚硬币，观察正反面的出现情况. 显然，该试验有两个可能的结果： H , T
我们引入记号：
1, X X (e ) 0,
eH ， e T
于是我们就可以用 { X 1}表示出现的是正面， 而用 { X 0} 表示出现的是反面。 X就是一个随机变量。
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 0} P( A1 ) . 2
10
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 1} P ( A1 A2 ) . 4
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 2} P ( A1 A2 A3 ) . 8
11
路口1
路口2
路口3
1 P{ X 3} P ( A1 A2 A3 ) . 8
24
定义
若随机变量X的概率分布为
k! 则称X服从参数为 的泊松分布,记为 X ~ ( ) .
验证规范性：
P{ X k }

k
e , k 0,1,2, , ( 0)

k!
k 0

k
e ，

k! e
k 0

概率与数理统计第二章

概率与数理统计第二章

实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个 球,观察摸出球的颜色.
S={红色、白色}
非数量 可采用下列方法
?
将 S 数量化
X ( )
红色 白色
S
0
1
R
即有
X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, X ( ) 0,
红色, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
当 x R 时，有 F ( x) P{X x} 1 ,此分布函数为一连续函数 .因此,存在着与 x R 时， 当 0注意 事件 { X x} 表示击中点位于以靶心
离散型随机变量不同的另一种随机变量 . O 为圆心半径为 x 的圆内，由题意，有
x2 x2 F ( x) 2 2 R R
解 由分布函数的性质，有
0 F () a

2
b
1 F () a

2
b
解得
1 a ,b 2
1
柯西分布
一般的，若随机变量 X 的分布函数为
1 F ( x) arctan x 2
则称 X 服从柯西分布，F(x)成为柯西分布函数. 由于柯西分布函数是连续函数，因此若 X 服从柯西 分布，则
如果随机变量的所有可能取值是有限的或者是可 列无穷的（可以表示成一个数列），则称它为离散 型随机变量．如果随机变量的可能取值可以充满整 个区间，则称它为连续型随机变量．
例2.1.1 从一批产品中随机抽取10个进行检验， 其中含有的废品数是一个随机变量，它的所有可能 取值是0,1,…,10，因此它是一个离散型随机变量. 例2.1.2 某商店在某天的顾客数是一个随机变量， 它的所有可能取值是0,1,…，因此它是一个离散型 随机变量.

2.2 离散型随机变量的概率分布

2.2 离散型随机变量的概率分布

xk S
xk S
概率统计（ZYH）
离散型随机变量的概率分布完全由 分布律 反映：
概率统计（ZYH）
例1 袋中有2个白球和3个黑球，每次从袋中任 取1个球，直至取得白球为止，若每次取出的黑球 不再放回去，求取球次数X 的分布律．
解 因为每次取出的黑球不再放回去，所以X 的所有可能取值是1, 2, 3, 4．故由古典概型易知
例6 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为 96﹪,问至少需要发射多少枚导弹才能保证有99.9﹪ 的把握击中敌机？
解 将导弹的每次发射看成一次 试验, 设共发射n次, 击中的次数为X, 则X~B(n,0.96). 故击中敌机的概率为
P{X 1} 1 P{X 0} 1 0.960(1 0.96)n 1 0.04n 因此，要保证有99.9﹪的把握击中敌机, n就应满足
概率统计（ZYH）
2) 二项分布
伯努利资料
将试验E重复进行n次, 若各次试验的结果互不 影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它 各次试验的结果, 则称这n次试验是相互独立的.
设试验E只有两个可能结果：事件A或者发生, 或者不发生. 将试验E重复独立地进行n次,则称这 一串重复独立试验为n重伯努利（Bernoulli）试验. 简称伯努利试验.
k0
故称该分布为二项分布. 记为 X ~ B(n, p).
用矩阵表示即得分布矩阵:
0 1 k n
X ~ qn
Cn1 pqn1
C
k n
pkqnk
pn
特别地: 二项分布 n 1 0-1分布
应用与背景： n重伯努利试验的概率分布就是二项分布
概率统计（ZYH）
二项分布的图形
概率统计（ZYH）

分布函数的定义

分布函数的定义
的联合分布函数.
(2) 分布函数的性质 1o F ( x, y) 是变量 x 和 y 的不减函数,即对于任 意固定的 y, 当 x2 x1 时 F ( x2 , y) F ( x1, y), 对于任意固定的x,当y2 y1时F ( x, y2 ) F ( x, y1 ).
2o 0 F( x, y) 1, 且有
设二维离散型随机变量( ,)所有可能取的
值为 (ai , bj ), i, j 1, 2, , 记
P{ ai , bj} pij , i, j 1, 2, , 称此为二维离散型随机变量 ( ,) 的分布律, 或 随机变量 和 的联合分布律.

其中 pij 0,
n 维向量 (1,2, ,n ) 叫做 n 维随机向量或
n 维随机变量. 对于任意 n 个实数x1, x2 ,, xn , n 元函数
F(x1, x2, , xn ) P{(1 x1) (2 x2)
(n xn)}
P{1 x1,2 x2, n xn}
称为随机变量 (1,2, ,n )的联合分布函数.
实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W).
说明
二维随机变量(,)的性质不仅与 ,有关,
而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义
设 (,) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数 : F(x, y) P{( x) ( y)} P{ x, y} 称为二维随机变量 (,) 的分布函数,或称为随机变量和
对于任意固定的 y, F (, y) lim F ( x, y) 0, x

第四章 随机变量及其概率分布

第四章 随机变量及其概率分布

HaiNan University
6
第二章 随机变量及其概念分布
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
X
(e
)
1,
0,
e 红色, e 白色.
这样便将非数量的 ={红色，白色} 数量化了.
HaiNan University
7
第二章 随机变量及其概念分布
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数. 则有
P{ x1 X x2} P{ X x2}P{ X x1}
?
F ( x2 )
F ( x1 ) 分布
P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).
函数
HaiNan University
22
第二章 随机变量及其概念分布
2.分布函数的定义
定义 设 X 是一个随机变量, x是任意实数,函数 F(x) P{X x}
={1，2，3，4，5，6}
样本点本身就是数量 恒等变换
X (1) 1, X (2) 2, X (3) 3, X (4) 4, X (5) 5, X (6) 6,
且有
P{ X i} 1 , (i 1,2,3,4,5,6). 6
HaiNan University
8
第二章 随机变量及其概念分布
实例3 结果:
掷一个硬币, 观察出现的面 , 共有两个 e1 (反面朝上), e2 (正面朝上),
若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有
e1 (反面朝上)
X (e)
0 X (e1) 0
e2 (正面朝上)
1 X (e2 ) 1
即 X (e) 是一个随机变量.
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随机变量及其分布函数

随机变量及其分布函数
说明 (1) 分布函数主要研究变量在某一区间内取值的概 率情况. 率情况.
( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数 .
五、分布函数的性质
(1) 0 ≤ F( x) ≤ 1, x ∈ (−∞, ∞);
(2) F( x1 ) ≤ F( x2 ), ( x1 < x2 );
证明
由 x1 < x 2 ⇒ { X ≤ x1 }⊂ { X ≤ x2 },
x < −1, 0, P { X = −1}, − 1 ≤ x < 2, 得 F ( x) = P { X = −1} + P{ X = 2}, 2 ≤ x < 3, 1, x ≥ 3.
0, 1 , 4 即 F ( x) = 3 , 4 1, x < 1, − 1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
二、引入随机变量的意义 有了随机变量,随机试验中的各种事件， 有了随机变量 随机试验中的各种事件， 随机试验中的各种事件 就可以通过随机变量的关系式表达出来. 就可以通过随机变量的关系式表达出来 如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用X表示 它是一个随机变量. 表示， 叫次数用 表示，它是一个随机变量 事件{收到不少于 次呼叫 事件 收到不少于1次呼叫 ⇔{ X 收到不少于 次呼叫} {没有收到呼叫 没有收到呼叫} 没有收到呼叫
≥ 1}
{X= ⇔ 0}
可见， 可见，随机事件这个概念实际上是包 容在随机变量这个更广的概念内. 容在随机变量这个更广的概念内 也可以 说，随机事件是从静态的观点来研究随机 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 现象，而随机变量则是一种动态的观点， 就象数学分析中常量与变量的区别那样. 就象数学分析中常量与变量的区别那样

高等数学-概率2.2随机变量的分布

高等数学-概率2.2随机变量的分布

1 4 且 P ＝ ，求常数a，b。 2 5
复习与总结
(1) F(x)=P{X≤x} 求概率: P{a<X≤b}=F(b)-F(a)； (2) 离散型r.v.X，常用分布列描述
X
x1 p1
x2 p2
…… ……
xn pn
…… ……
pk
F(x)与分布列的关系（略） 求概率: P{a<X≤b} Pk
第二章 随机变量
第二节 随机变量的分布
一、离散型随机变量的分布
设X是一个离散型随机变量，它可能取的 值是 x1, x2 , …, xn,… 为了描述随机变量 X ，我们不仅需要 知道随机变量X取哪些值，而且还应知道 X取每个值的概率.
例1
从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量
X可能取的值是0,1,2
P X x
k
k :xk x
pk
x x1 0, p , x1 x x2 1 p1 p2 , x2 x x3 F x p1 p2 pk , xk x xk 1
（1）连续型随机变量X的所有可能取值 充满一个区间, 不可列； （2）X取某一个具体的值的概率为零， 意义不大。
例如：某公共汽车站每隔5分钟有一辆汽 车通过，一位乘客对该汽车的通车时间 一无所知，则该乘客的候车时间是一个 连续型随机变量X。
（1）X的取值充满区间[0,5]. （2）P{X=2.859}=0，无太大意义. （3）考虑P{a<X≤b} = P{X≤b}－ P{X≤a}
（5）连续型r.v.X取单点值的概率为0，即
对 a ，P{X=a}=0。 （6）P{a≤X≤b}=P{a≤X<b}=P{a<X<b} b =P{a<X≤b} a f x dx
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x
x
lim [a1 F1 ( x) + a2 F2 ( x)] = a1 F1 () + a2 F2 ( )
= a1 + a2 = 1
于是 a1F1(x) + a2F2(x) 满足分布函数的所有性质, 从而 a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 .
作 业
习 题 二
F(x) =
图形如右图: 分布函数是一个阶梯函数, 在x=i (i=1,2,3,4)处发生间断, 其跳跃度恰好是 pk =P{X =k} (k =1,2,3,4)
F(x)
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0
1
2
3
4
x
二、分布函数的性质：
1、定理2.3: 设 F(x)是任一随机变量 X 的分布函数, 则有
第二章 随机变量及其概率分布
2. 2 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念：
1、定义2.7: 设 X 是一个随机变量, 对于任一实数 x, 定义 F(x) =P{X≤x}, 的分布函数 . 注 若 F(x) 是 X 的分布函数, 则 P{a<X≤b} = F(b)－F(a) 对(－∞, ∞) 内的任意实数 a , b (a ≤ b ) 均成立 .
－∞< x <∞, 称F(x) 为随机变量 X
例2.6某人投篮, 命中率为0.7 , 规则是: 投中或投了 4次后就停止投篮, 设X表示“此人投篮次数” , 求X 的分布函数 . 解 由题意可知X的可能值为 1, 2 , 3 , 4 , 概率分别为
P X = 1 = 0.7 ,
P X = 3 = 0.3 0.3 0.7 = 0.063 ,
注 F () = lim F ( x) , F () = lim F ( x) ;
x →- ∞ x →∞
F ( x0 0) = lim+ F ( x0 ) , F ( x0 0) = lim- F ( x0 ) .
x → x0 x → x0
例2.7设随机变量X的分布函数为 0 , F(x) = Ax2 , 1 , x <1 0 ≤x ≤ 1 x >1
所以 X 的概率分布为 X P 1 0.7 2 0.21 3 0.063
P X = 2 = 0.3 0.7 = 0.21 ,
P X = 4 = (0.3)3 0.7 + (0.3)4 = 0.027 ,
4 0.027
根据分布函数定义可知 X 的分布函数为 0 , 0.7 , 0.7+0.21=0.91 , 0.91+0.063=0.973 , 0.973+0.027=1 , －∞< x <1 1 ≤x <2 2 ≤x <3 3 ≤x <4 4 ≤x <∞
求 (1) 常数 A ; (2) 随机变量 X 落在( 0.3 , 0.7 ]内的概率 解 (1)由分布函数的右连续性, 即 lim F ( x ) = F (1) , + 得 A=1
x 1
(2) P 0.3 X 0.7 = F (0.7) F (0.3)
= 0.72 0.32 = 0.4
例2.8设F1(x) , F2(x) 都是分布函数, a1 , a2都是正常数, 且 a1+a2=1 , 试证a1F1(x) + a2F2(x) 也是分布函数 . 证 由于F1(x) , F2(x) 都是分布函数, 故知 0≤F1(x) ≤1 , 0≤F2(x) ≤1 对一切 x∈R 成立 . 于是 0≤a1F1(x) ≤a1 , 0≤a2F2(x) ≤a2 . 所以有 ①0≤a1F1(x)+ a2F2(x) ≤a1+ a2 =1 对一切x∈R 均成立. ②由于 F1(x) , F2(x) 均是单调不减且右连续的, 又因 且 a1> 0 , a2> 0 , 故a1F1(x) + a2F2(x) 也是单调不减 且右连续的 . ③ lim [a1 F1 ( x ) + a2 F2 ( x )] = a1 F1 () + a2 F2 () = 0 ;
P 35 : 12 (1)
(1) 0 ≤F(x)≤ 1 (－∞ < x < ∞) ; (2) F(－∞)= 0 , F(∞)= 1; (3) F(x)是单调不减函数, 即当 x1 < x2时 F( x1) ≤F( x2); (4) F(x)是右连续函数, 即对任意 x , 有F( x+0) =F( x); (5)对每个 x0 , P{