线性代数11-12-1(B)

线性代数知识点总结线性代数知识点总结一、行列式1、N阶行列式中元素aij的第一个下标i 为行指标（横行），第二个下标j 为列指标（竖列）。

即aij位于行列式的第i 行第j 列。

2、在一个排列中，若数较大的数码排在较小的数码之前则称这两个数组成此排列的一个逆序。

一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。

记为 (每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数)逆序数为奇数的为奇排列，偶数为偶排列。

3、上/下三角行列式主对角线以下/上元素都是0，上/下三角行列式的值为主对角线上所有元素乘积。

（详见课本p4）4、（1）行列式与它的转置行列式相等既D=D T。

(把D的各行换成同序号的列的运算就是行列式的转置行列式)（2）行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。

（3）互换行列式的两行（列）,行列式变号。

推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。

（4）行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式。

因此行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。

（5）行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。

（6）若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和那么可以把改行列式表达成两个行列式之和。

（详见课本p8）（7）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数k 然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。

（8）计算行列式常用方法：(1)利用定义（详见课本p3）;(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．5、在n阶行列式中，把元素a ij 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素a ij 的余子式，记作M ij叫做元素a ij 的代数余子式=-M ij6、行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即7、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零既8、一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除a ij 外都为零，那末这行列式等于a ij 与它的代数余子式的乘积既D=a ij A ij 二、矩阵及其运算主对角线全为1其余的位置全是0的矩阵称为单位阵()ij ji ij M A +-=144434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =44424134323114121123a a a a a a a a a M =()2332231M A +-=in in i i i i A a A a A a D +++=L 2211()n i ,,2,1L =.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++L ??==100010001L L L L L L L n E E（1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵。

兰州交大化工学院 Bismarck 孟 11.5整理 第一章 行列式1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1)381141102---;解 381141102---=2⨯(-4)⨯3+0⨯(-1)⨯(-1)+1⨯1⨯8 -0⨯1⨯3-2⨯(-1)⨯8-1⨯(-4)⨯(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ;解 ba c a cbc b a=acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3.(3)222111c b a c b a ;解 222111c b a c b a=bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ).(4)yx y x x y x y yx y x +++.解 y x y x x y x y yx y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3=3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2;解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1;解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3;解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) 2 4 ⋅ ⋅ ⋅ (2n );解 逆序数为2)1(-n n :3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个)(6)1 3 ⋅ ⋅ ⋅ (2n -1) (2n ) (2n -2) ⋅ ⋅ ⋅ 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个)5 2, 5 4 (2个)⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(2n )2, (2n )4, (2n )6, ⋅ ⋅ ⋅, (2n )(2n -2) (n -1个)3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.解 含因子a 11a 23的项的一般形式为(-1)t a 11a 23a 3r a 4s ,其中rs 是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42.所以含因子a 11a 23的项分别是 (-1)t a 11a 23a 32a 44=(-1)1a 11a 23a 32a 44=-a 11a 23a 32a 44,(-1)ta 11a 23a 34a 42=(-1)2a 11a 23a 34a 42=a 11a 23a 34a 42. 4. 计算下列各行列式:(1)71100251020214214; 解71100251020214214010014231020211021473234-----======c c c c 34)1(143102211014+-⨯---= 143102211014--=01417172001099323211=-++======c c c c .(2)2605232112131412-; 解2605232112131412-260503212213041224--=====c c 041203212213041224--=====r r 0000003212213041214=--=====r r . (3)efcf bf de cd bd ae ac ab ---;解 efcf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b adf ---=abcdef adfbce 4111111111=---=. (4)dc b a 100110011001---. 解d c b a 100110011001---dc b aab ar r 1011001101021---++=====dc a ab 101101)1)(1(12--+--=+01011123-+-++=====cd c ad a ab dc ccdad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 5. 证明:(1)1112222b b a a b ab a +=(a -b )3;证明1112222b b a a b ab a +00122222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====ab a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--==(a -b )3 . (2)yx z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++; 证明bzay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++bz ay by ax x by ax bx az z bx az bz ay y b bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a +++++++++++++= bz ay y x by ax x z bx az z y b y by ax z x bx az y z bz ay x a +++++++=22z y x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b y x z x z y z y x a 33+=y x z x z y zy x b a )(33+=.(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ; 证明 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2, c 2-c 1得)5232125232125232125232122222++++++++++++=d d d d c c c c b b b b a a a a (c 4-c 3, c 3-c 2得)022122212221222122222=++++=d d c c b b a a . (4)444422221111d c b a d c b a d c b a =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ); 证明 444422221111d c b a d c b a d c b a )()()(0)()()(001111222222222a d d a c c a b b a d d a c c a b b a d a c a b ---------= )()()(111))()((222a d d a c c a b b d c b a d a c a b +++---= ())((0011))()((b d d a b c b c c b c a d a c a b -++-----=()(1))()()()((d a b c c b d b c a d a c a b ++-----= =(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d )(c -d )(a +b +c +d ). (5)12211 000 00 1000 01a x a a a a x x x n n n+⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--- =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n .证明 用数学归纳法证明.当n =2时, 2121221a x a x a x a x D ++=+-=, 命题成立. 假设对于(n -1)阶行列式命题成立, 即D n -1=x n -1+a 1 x n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -2x +a n -1,则D n 按第一列展开, 有111 00 100 01)1(11-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--+=+-x x a xD D n n n n=xD n -1+a n =x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1x +a n . 因此, 对于n 阶行列式命题成立.6. 设n 阶行列式D =det(a ij ), 把D 上下翻转、或逆时针旋转90︒、或依副对角线翻转, 依次得 n nnn a a a a D 11111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=, 11112 n nnn a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ,11113 a a a a D n nnn ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=,证明D D D n n 2)1(21)1(--==, D 3=D .证明 因为D =det(a ij ), 所以 nnn n n n nnnn a a a a a a a a a a D 2211111111111 )1( ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=- ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-- )1()1(331122111121nnn n nn n n a a a a a a a a D D n n n n 2)1()1()2( 21)1()1(--+-+⋅⋅⋅++-=-=.同理可证nnn n n n a a a a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=- )1(11112)1(2D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-=.D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(.7. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)aa D n 1 1⋅⋅⋅=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素都是0;解 aa a a a D n 0 0010000 00 0000 0010 00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(按第n 行展开))1()1(10 000 00 0000 0010 000)1(-⨯-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=n n n a a a )1()1(2 )1(-⨯-⋅⋅⋅⋅-+n n na aan n n nn a a a +⋅⋅⋅-⋅-=--+)2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1).(2)xa a a x a a a x D n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得ax x a a x x a a x x a a a a x D n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅=000 0 00 0 ,再将各列都加到第一列上, 得ax a x a x a a a a n x D n -⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-+=0000 0 000 00 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1.(3)111 1 )( )1()( )1(1111⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ; 解 根据第6题结果, 有nnn n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=---++此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏≥>≥++---=112)1()]([)1(j i n n n j i∏≥>≥++⋅⋅⋅+-++-⋅-⋅-=1121)1(2)1()()1()1(j i n n n n n j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i .(4)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112; 解nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11112(按第1行展开)nn n n n nd d c d c b a b a a 00011111111----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=0 0)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n n n ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+. 再按最后一行展开得递推公式 D 2n =a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2, 即D 2n =(a n d n -b n c n )D 2n -2. 于是 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(.而 111111112c b d a d c b a D -==, 所以 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)(.(5) D =det(a ij ), 其中a ij =|i -j |;解 a ij =|i -j |,43214 01233 10122 21011 3210)det(⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅==n n n n n n n n a D ij n 04321 1 11111 11111 11111 1111 2132⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=====n n n n r r r r15242321 0 22210 02210 00210001 1213-⋅⋅⋅----⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅----⋅⋅⋅---⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+=====n n n n n c c c c =(-1)n -1(n -1)2n -2.(6)nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121, 其中a 1a 2⋅ ⋅ ⋅ a n ≠0. 解nn a a a D +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=1 11 1 1111121nn n n a a a a a a a a a c c c c +-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=====--100001 000 100 0100 0100 0011332212132 1111312112111000011 000 00 11000 01100 001 ------+-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=nn n a a a a a a a a∑=------+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n i i n n a a a a a a a a 1111131******** 000100 00 10000 01000 001)11)((121∑=+=ni i n a a a a .8. 用克莱姆法则解下列方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 因为14211213513241211111-=----=D , 142112105132412211151-=------=D ,284112035122412111512-=-----=D , 42611135232422115113-=----=D , 14202132132212151114=-----=D , 所以 111==DD x , 222==D D x , 333==D D x ,144-==DD x .(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+150650650651655454343232121x x x x x x x x x x x x x .解 因为 665510006510006510065100065==D , 15075100165100065100650000611==D ,114551010651000650000601000152-==D , 70351100650000601000051001653==D ,3955100060100005100651010654-==D , 2121100005100065100651100655==D , 所以66515071=x , 66511452-=x , 6657033=x , 6653954-=x ,6652124=x .9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？ 解 系数行列式为μλμμμλ-==1211111D .令D =0, 得 μ=0或λ=1.于是, 当μ=0或λ=1时该齐次线性方程组有非零解.10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？ 解 系数行列式为λλλλλλλ--+--=----=101112431111132421D=(1-λ)3+(λ-3)-4(1-λ)-2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ)3+2(1-λ)2+λ-3. 令D =0, 得λ=0, λ=2或λ=3.于是, 当λ=0, λ=2或λ=3时, 该齐次线性方程组有非零解.Bismarck-孟整理编篡第一章（完） 第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换. 解 由已知: ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x ,故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换. 解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z ,所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B .解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876.(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x=(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x 22331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗? 解 AB ≠BA . 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B )2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B )2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148,但⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B )2≠A 2+2AB +B 2. (3)(A +B )(A -B )=A 2-B 2吗?解 (A +B )(A -B )≠A 2-B 2. 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A ,故(A +B )(A -B )≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的: (1)若A 2=0, 则A =0; 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E .(3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y . 解 取 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y ,则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y . 7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA ,⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k .解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A ,⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫. 用数学归纳法证明: 当k =2时, 显然成立. 假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ,由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121.9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB )T =B T (B T A )T =B T A T B =B T AB , 从而B TAB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以 (AB )T =(BA )T =A T B T =AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB )T =AB , 所以AB =(AB )T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵: (1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A |=1, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A ,故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A |=1≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A |=2≠0, 故A -1存在. 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n ≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X ;解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X .解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x ,从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x ,故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为E -A k =(E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1), 所以 (E -A )(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1)=E ,由定理2推论知(E -A )可逆, 且 (E -A )-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A )-1(E -A ). 另一方面, 由A k=O , 有E =(E -A )+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-Ak -1+(Ak -1-A k )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),故 (E -A )-1(E -A )=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A ),两端同时右乘(E -A )-1, 就有 (E -A )-1(E -A )=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+Ak -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1. 证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A (A -E )=2E ,或 E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E )(A -3E )=-4E ,或 E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E )可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A |=2,即 |A ||A -E |=2,故 |A |≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2,|A +2E |=|A 2|=|A |2≠0, 故A +2E 也可逆.由 A 2-A -2E =O ⇒A (A -E )=2E⇒A -1A (A -E )=2A -1E ⇒)(211E A A -=-, 又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E )A -3(A +2E )=-4E ⇒ (A +2E )(A -3E )=-4 E , 所以 (A +2E )-1(A +2E )(A -3E )=-4(A +2E )-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A |-1=-8⨯2=-16.17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A *也可逆, 且(A *)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A *=|A |A -1, 所以当A 可逆时, 有|A *|=|A |n |A -1|=|A |n -1≠0, 从而A *也可逆. 因为A *=|A |A -1, 所以(A *)-1=|A |-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以 (A *)-1=|A |-1A =|A |-1|A |(A -1)*=(A -1)*.18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *, 证明:(1)若|A |=0, 则|A *|=0;(2)|A *|=|A |n -1.证明(1)用反证法证明. 假设|A *|≠0, 则有A *(A *)-1=E , 由此得A =A A *(A *)-1=|A |E (A *)-1=O ,所以A *=O , 这与|A *|≠0矛盾，故当|A |=0时, 有|A *|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA *=|A |E , 取行列式得到 |A ||A *|=|A |n . 若|A |≠0, 则|A *|=|A |n -1;若|A |=0, 由(1)知|A *|=0, 此时命题也成立.因此|A *|=|A |n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E )B =A , 故⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E )B =A 2-E , 即 (A -E )B =(A -E )(A +E ).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E )可逆, 从而 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B .解 由A *BA =2BA -8E 得 (A *-2E )BA =-8E , B =-8(A *-2E )-1A -1 =-8[A (A *-2E )]-1 =-8(AA *-2A )-1=-8(|A |E -2A )-1 =-8(-2E -2A )-1 =4(E +A )-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B . 解 由|A *|=|A |3=8, 得|A |=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E )-1A =3[A (E -A -1)]-1A 11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A =P Λ11P -1.|P |=3, ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A )=A 8(5E -6A +A 2). 解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵.证明 因为A -1(A +B )B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B )B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B )B -1可逆, 即A -1+B -1可逆. (A -1+B -1)-1=[A -1(A +B )B -1]-1=B (A +B )-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A , 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B OB EA O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521, 即⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021010*********0021010010110100101==--=--=D C B A ,而 01111|||||||| ==D C B A ,故 |||||||| D C B A D C B A ≠.28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则 ⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求 (1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n EBC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C OC O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A . 解 设⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D , 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A B C O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是⎝⎛---=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000522125003800001200251111B A B A . (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A B C O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201(下一步: r 2+(-2)r 1, r 3+(-3)r 1. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********(下一步: r 2÷(-1), r 3÷(-2). ) ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--010*********(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201(下一步: r 3÷3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛--100031001201(下一步: r 2+3r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100001001201(下一步: r 1+(-2)r 2, r 1+r 3. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320(下一步: r 2⨯2+(-3)r 1, r 3+(-2)r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---310031001320(下一步: r 3+r 2, r 1+3r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000310010020(下一步: r 1÷2. )~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311(下一步: r 2-3r 1, r 3-2r 1, r 4-3r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------1010500663008840034311(下一步: r 2÷(-4), r 3÷(-3) , r 4÷(-5). )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311(下一步: r 1-3r 2, r 3-r 2, r 4-r 2. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011. (4)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132(下一步: r 1-2r 2, r 3-3r 2,r 4-2r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----1187701298804202111110(下一步: r 2+2r 1, r 3-8r 1, r 4-7r 1. )~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--41000410002020111110(下一步: r 1↔r 2, r 2⨯(-1), r 4-r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----000410*******20201(下一步: r 2+r 3. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--00000410003011020201. 2. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001010是初等矩阵E (1, 2), 其逆矩阵就是其本身.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010101是初等矩阵E (1, 2(1)), 其逆矩阵是 E (1, 2(-1)) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010101.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010101987654321100001010A⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=287221254100010101987321654.3. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010001323513123~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101011001200410123~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1012002110102/102/3023~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2/102/11002110102/922/7003 ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----2/102/11002110102/33/26/7001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----21021211233267.(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1210232112201023.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----10000100001000011210232112201023~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00100301100001001220594012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------20104301100001001200110012102321~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------106124301100001001000110012102321 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612631110`1022111000010000100021 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------106126311101042111000010000100001 故逆矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------10612631110104211. 4. (1)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=113122214A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B , 求X 使AX =B ;解 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=132231 113122214) ,(B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--412315210 100010001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-4123152101B A X .(2)设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=433312120A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=132321B , 求X 使XA =B .解 考虑A T X T =B T . 因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=134313*********) ,(TTB A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411007101042001 ~r , 所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-417142)(1T T T B A X ,从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-4741121BA X . 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A , 求X .解 原方程化为(A -2E )X =A . 因为 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-101101110110011011) ,2(A E A⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011100101010110001~,所以 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-=-011101110)2(1A E A X .6. 在秩是r 的矩阵中,有没有等于0的r -1阶子式? 有没有等于0的r 阶子式? 解 在秩是r 的矩阵中, 可能存在等于0的r -1阶子式, 也可能存在等于0的r 阶子式.例如, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********A , R (A )=3.0000是等于0的2阶子式, 010001000是等于0的3阶子式.7. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B , 问A , B 的秩的关系怎样? 解 R (A )≥R (B ).这是因为B 的非零子式必是A 的非零子式, 故A 的秩不会小于B 的秩.8. 求作一个秩是4的方阵, 它的两个行向量是(1, 0, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 0, 0).解 用已知向量容易构成一个有4个非零行的5阶下三角矩阵: ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000001000001010001100001, 此矩阵的秩为4, 其第2行和第3行是已知向量. 9. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112112013(下一步: r 1↔r 2. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443120131211(下一步: r 2-3r 1, r 3-r 1. )~⎪⎪⎭⎫⎝⎛----564056401211(下一步: r 3-r 2. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛---000056401211, 矩阵的2秩为, 41113-=-是一个最高阶非零子式.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********;解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------815073*********(下一步: r 1-r 2, r 2-2r 1,r 3-7r 1. )~⎪⎭⎫ ⎝⎛------15273321059117014431(下一步: r 3-3r 2. ) ~⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000059117014431, 矩阵的秩是2, 71223-=-是一个最高阶非零子式.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812. 解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---02301085235703273812(下一步: r 1-2r 4, r 2-2r 4, r 3-3r 4. )~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------02301024205363071210(下一步: r 2+3r 1, r 3+2r 1. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0230114000016000071210(下一步: r 2÷16r 4, r 3-16r 2. ) ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-02301000001000071210 ~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000100007121002301, 矩阵的秩为3, 070023085570≠=-是一个最高阶非零子式.10. 设A 、B 都是m ⨯n 矩阵, 证明A ~B 的充分必要条件是R (A )=R (B ). 证明 根据定理3, 必要性是成立的.充分性. 设R (A )=R (B ), 则A 与B 的标准形是相同的. 设A 与B 的标准形为D , 则有 A ~D , D ~B .由等价关系的传递性, 有A ~B . 11. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=32321321k k k A , 问k 为何值,可使 (1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-----)2)(1(0011011 ~k k k k k r . (1)当k =1时, R (A )=1; (2)当k =-2且k ≠1时, R (A )=2; (3)当k ≠1且k ≠-2时, R (A )=3.12. 求解下列齐次线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---3/410013100101, 于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-==4443424134334x x x x x x x x , 故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1343344321k x x x x (k 为任意常数).(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎭⎫⎝⎛-000001001021,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧===+-=4432242102x x x xx x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10010012214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数). (3)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000010000100001,于是 ⎪⎩⎪⎨⎧====0004321x x x x ,故方程组的解为 ⎪⎩⎪⎨⎧====00004321x x x x .(4)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+-+=-+-=+-+03270161311402332075434321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵A 进行初等行变换, 有 A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----3127161311423327543~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000000001720171910171317301,于是 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=4433432431172017191713173x x x x x x x x x x ,故方程组的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1017201713011719173214321k k x x x x (k 1, k 2为任意常数).13. 求解下列非齐次线性方程组: (1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+83111021322421321321x x x x x x x x ;解 对增广矩阵B 进行初等行变换, 有。

线性代数知识点归纳一、向量1. 向量的定义- 向量是具有大小和方向的量，用箭头表示，例如：$\vec{v}$。

2. 向量的加法- 两个向量相加，可以将它们的对应分量相加得到新向量的分量。

- 例如：$\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}$，$\vec{w} = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3\end{bmatrix}$，则$\vec{v} + \vec{w} = \begin{bmatrix} v_1 + w_1\\ v_2 + w_2 \\ v_3 + w_3 \end{bmatrix}$。

3. 向量的数量乘法- 向量乘以一个标量，可以将向量的每个分量都乘以该标量。

- 例如：$\vec{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3\end{bmatrix}$，$c$为标量，则$c \cdot \vec{v} = \begin{bmatrix} c\cdot v_1 \\ c \cdot v_2 \\ c \cdot v_3 \end{bmatrix}$。

二、矩阵1. 矩阵的定义- 矩阵是一个按照矩形排列的数的集合，用方括号表示，例如：$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix}$。

2. 矩阵的加法- 两个矩阵相加，可以将它们的对应元素相加得到新矩阵的元素。

- 例如：$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{bmatrix}$，$B = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \end{bmatrix}$，则$A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22}\end{bmatrix}$。

1第一部分 专项同步练习第一章行列式、单项选择题1 .下列排列是5阶偶排列的是（).(C) 41523(D)24351(A) 24315 (B) 14325 2.如果n 阶排列j 1j 2…j n 的逆序数是 k,则排列j n … j 2j 1的逆序数是（)n! n(n-1),(A)k (B) n _ k (C) — - k 2 (D) k23. n 阶行列式的展开式中含ana i2的项共有（ ）项.2x(A) 0(B) n -2 (C) (n-2)!(D) 5-1)!4. 0 0 0 10 1 0 0=( ).5. 0 0 0 1 (A) 00 1 0 0(A) 0=( (B) -1(C) 1 (D) 2).(B) -1(C) 1 (D) 26.在函数 f(x)-1(A) 0-x 03项的系数是（ ).(B) -1 (C) 1(D) 2-12a 11 a12a 131，则 27.若 D = a 21 a 22 a 23a 31 a32a33(A) 4 (B) -48.若 an ai 2 =a , 则 a 12 ka 22a 21 a 22an ka 21 ((A) ka (B) -kaD i2a11 a13 2a 21 a 23 2a31a33(C) 2 ). (C) k 2aa iia 21 a31- 2a 12 _ 2a 22 _ 2a 32).(D) - 2(D) - k 2a9 .已知4阶行列式中第1行元依次是- 4, 0,1, 3, 第3行元的余子式依次为 -2, 5,1, X , 则x =( ).(A) 0 (A) -1 (A) -1-8 61 3 1 0 5 7 -2 13 (B)4 3 1 -3 3 -1 1 -7 (C) 3 (D) 2 ,则D 中第一行元的代数余子式的和为（). 0 1 -1 3 4 1 0 -2 (B) -20 1 02 (C)-3(D)0,则D 中第四行元的余子式的和为（(B) -2 (C)-3).12. k 等于下列选项中哪个值时, 齐次线性方程组(D)0X 1 X 2 x-i kX 2kX 1 X 2 kx 3 X 3X 3( ) (A) -1 (B) -2 (C)-3(D)0、填空题31. 2n 阶排列24 (2n) 13 (2n -1)的逆序数是.2. 在六阶行列式中项a 32a 54a 4i a 65a i3a 26所带的符- 号是3. ________________________________________ 四阶行列式中包含a 22a 43且带正号的项是 ___________________________________ .4. 若一个n 阶行列式中至少有n 2 - n 1个元素等于0,则这个行列式的值等于1 0 1 1 1 0 0 1 5.行列式0 1 1 10 0 1 0a11a1 (nV)a1 n9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所 有元素，则所得的新行列式的值为 _______a11 a12 a 13a11 a13— 3a 123a 〔28.如果D =a 21 a 22 a 23 =M ，贝U D 1 =a 21 a 23 — 3a 223a ?2a31a32a33a 31a33— 3a 323a32an10 0 1 0 026.行列式■・- … 0 0 0 n 0 0n -1 0a2(n J)7.行列式1-11X —110.行列式1-1X +1-11X—11-1X +1-11-11 +丸一111. n阶行列式112. 已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1, 则该行列式的值为1 2 3一 5 6 713. 设行列式D =4 3 2A4j(j =1, 2,3,4)为D中第四行元的代数余子式,a c bbcaab14.已知D =b ac ca cb dD中第四列元的代数余子式的和为1 3233415.设行列式D =156112A4j为a4j(j =1,2,3, 4)的代数余子式，则则4阳3A42 2A43 A44 二44八672A41 A42A43 A4445kx 1 2x 2 x 3 仃.齐次线性方程组2x , kx 2X 1 - X 2x 12X 2x 3 = 02X 2 +5X 3=0有非零解，则-3为 一 2x 2 kx 3 = 0a b cd2 .2 2.2X y x + ya b c d3.33.32・ yx + y Xa b cdx + yXy b +c +da +c +d a +b +d a + b +c、计算题1.7X a 1a2…a n_4210 1 X 1a 1 X a 2… an~2 1 1 0 1 X =0 ； 4. a 1a 2 x … an_42 1X 1 1 01 X 1 0a 1 a 2 a 3 (X)1a 1 a 2a 3…a n J13.解方程72n -116.已知行列式D 二,D 中第一行元的代数余子式的和为=0工0仅有零解的充要条件是18.若齐次线性方程组1 -a -1a 1 -a11. D =0-10000000 a00 1-a a0 -11-a a 0-1 1 —aa o 1 11 ai 15. 1 1 a21 1 11 1 1 (1)3 1-b 1 (1)6. 1 1 2—b (1)1 1 1 …（n— 1） -b111…1X a1a2…a n bi a1a…a a1X a2…a n7.bi b2a2…a28.a1a2x …a n Jbi b2b3...a n a1a2a3 (X)210 …001 +2X1%x2---xx12 1 ・・！■009.x2% 1 +x；・・・X2X n; 10.01^2 ・00…---…… …■・・111 佝知，j =0,1,…,n）；a n6X n X X n X2■-・1+£000 (21)000 (12)78四、证明题6 fx a 1^b 1 e 1a 〔b [ C [2. a 2 +b 2x a 2x +b 2 e 2= (1-x 2) a ? b ? C 2a 3+b s xa s x+d qa3b3C3参考答案b e =0的充要条件是a+b+c = 0.a 2 a 4abe.2 2 b e .44b ed d 2d 4=(b _a)(c_a)(d _a)(c _b)(d _b)(d _ c)(a b e d).1 1 a 1 a2 4. 2 a1a ；n-2a 1 nd a2n a1n a2a n 2 a nn -2 an n ann八 a i ：佝-a) i 二 1l i ； " j 切b 1 2 *1.设 abed =1，证明:4 ab 2 1 2 e1 abe d1 1 =0. 115.设a,b,e 两两不等，证明a3a9一•单项选择题 ADACCDABCDBB 二•填空题 1. n ;2. — ;3. 814822831843 ；4. 0 ;5. 0 ;6. (-1) n!;n(n丄)7. (-1) 2 ama 2(nm a n1； 8.-3M; 9.-160;10.x 4; 11( n) n ‘；12.-2;n113.0; 14.0; 15.12,-9;16.n!(1); 17.k=-2,3; 18.k = 7k 丝k三•计算题1. -(a b c d)(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c);2. -2(x 3 y 3)；11. (1 -a)(1 a 2 a 4). 四.证明题(略)3. x - -2,0,1;5. nnII (a k -1)(1、k =0k =01 a k -1);n7. (-1)打【(b k -a k );k ± n9. 1 ' X k ;k =1n 44.丨丨(x-aQk 珀6. -(2 b)(1 _b) ((n_ 2) _b);nn8. (x ' aj 【(x-aQ ;kmkT10. n 1;27810(、27 心8(a)帀(b)盲27 (c)号(d)8 第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是()。

1．对任意n阶方阵A,B总有（）A.AB=BAB.AB=BAC.(AB)T=ATBT答案：B D. (AB)2=A2B2AB==AB2．在下列矩阵中，可逆的是（）⎛000⎫⎪A. 010⎪001⎪⎝⎭⎛110⎫⎪C. 011⎪121⎪⎝⎭答案：D ⎛110⎫⎪B. 220⎪ 001⎪⎝⎭⎛100⎫⎪D. 111⎪ 101⎪⎝⎭-13．设A是3阶方阵，且A=-2,，则A=（）A.-2C. B.-D.2 1 21 2答案：B1⎫⎛11 ⎪1⎪的秩为2，则λ=（） 4．设矩阵A= 1223λ+1⎪⎝⎭A.2B.1C.0D.-1答案:B提示：显然第三行是第一行和第二行的和⎛101⎫⎪25．设A= 020⎪，矩阵X满足方程AX+E=A+X，求矩阵X. 101⎪⎝⎭⎛201⎫⎪答案：X= 030⎪102⎪⎝⎭解： AX+E=A+X⇒(A-E)X=A-E 22⎛101⎫⎛001⎫⎪⎪A= 020⎪⇒A-E= 010⎪101⎪ 100⎪⎝⎭⎝⎭显然A-E可逆，所以：(A-E)-1(A-E)X=X=(A-E)-1(A2-E) =(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E⎛201⎫⎪∴X= 030⎪102⎪⎝⎭6．求下列矩阵的秩⎛01-1-12⎫⎪02-2-20⎪ A= 0-1111⎪⎪1101-1⎝⎭答案：3⎛-1-4⎫⎛-10⎫-157．设矩阵P= ⎪,D= ⎪，矩阵A由矩阵方程PAP=D确定，试求A. ⎝11⎭⎝02⎭答案：⎛-511/3127/3⎫⎪⎝127/3-31/3⎭P-1AP=D⇒A=PDP-1⇒A5=PD5P-1⎛-1-4⎫⎛1/3-1/3⎫5⎛-10⎫-1P= ⇒P=⎪⎪,D= ⎪⎝11⎭⎝4/3-1/3⎭⎝032⎭所以：A5=PD5P-1= ⎛-1-4⎫⎛-10⎫⎛1/3-1/3⎫⎛-511/3127/3⎫⎪. ⎪⎪= ⎪110324/3-1/3127/3-31/3⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭*-1-18．设矩阵A可逆，证明(A)=AA 证明：因为AA=AA=AE，矩阵A可逆，所以A≠0 **⇒AA*=A*A=E AA又因为A-1=1*-1-1，所以：(A)=AA A9若A是( )，则A必为方阵.A. 分块矩阵C. 转置矩阵答案：B B. 可逆矩阵 D. 线性方程组的系数矩阵10.设n阶方阵A，且A≠0，则(A*)-1= ( ). AA. A A*B. AD. A-1C. A A *A答案：A11若( )，则A B A. A=B B. 秩(A)=秩(B)C. A与B有相同的特征多项式D. n阶矩阵A与B有相同的特征值，且n个特征值各不相同答案：B⎛1⎫⎪T12.设A= 2⎪，则AA=______.3⎪⎝⎭⎛123⎫⎪答案： 246⎪369⎪⎝⎭13.设m⨯n矩阵A，且秩(A)=r，D为A的一个r+1阶子式，则D=_____. 答案：0 14已知PAP=B，且B≠0，则答案：115.已知 -1AB______. ⎛20⎫⎛31⎫⎪X= ⎪，求矩阵X。

2024年自命题科目复试考试大纲一、高等数学部分（1 - 10题）1. 题目：求极限lim_x to 0(sin x - x)/(x^3)。

- 解析：- 我们可以利用泰勒展开式来求解。

已知sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-·s。

- 则sin x - x=-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-·s。

- 所以lim_x to 0(sin x - x)/(x^3)=lim_x to 0frac{-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-·s}{x^3}=lim_x to 0(-(1)/(6)+frac{x^2}{5!}-·s)=-(1)/(6)。

2. 题目：设y = e^xsin x，求y''。

- 解析：- 首先求一阶导数，根据乘积的求导法则(uv)' = u'v+uv'，这里u = e^x，v=sin x。

- 则y'=e^xsin x+e^xcos x = e^x(sin x+cos x)。

- 再求二阶导数，y'' = e^x(sin x+cos x)+e^x(cos x-sin x)=2e^xcos x。

3. 题目：计算定积分∫_0^πxcos xdx。

- 解析：- 利用分部积分法，设u = x，dv=cos xdx。

- 则du = dx，v=sin x。

- 根据分部积分公式∫_a^bu dv=uv_a^b-∫_a^bv du。

- 所以∫_0^πxcos xdx=xsin x_0^π-∫_0^πsin xdx=πsinπ - 0×sin0+cos x_0^π=- 2。

4. 题目：求函数y = (x^3)/(3)-x^2 + 2的单调区间。

- 解析：- 先对函数求导，y'=x^2-2x=x(x - 2)。

- 令y'=0，解得x = 0或x = 2。

王晓峰著《线性代数》习题解答第一章1. 解下列方程组, 并在直角坐标系中作出图示.1)⎩⎨⎧=-=+21y x y x ;2)⎩⎨⎧=+=+5331y x y x ; 3)⎩⎨⎧=-=-2221y x y x .解: 1) 将第一个方程减去第二个方程, 得2y =-1, y =-1/2, 再代入第个方程解得x =1+1/2=3/2,⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,23方程有唯一解.2) 将第二个方程除以3得35=+y x , 与第一个方程相比较知此方程组为矛盾方程组, 无解,3) 将第2个方程除以2, 可以得到第一个方程, 令y =t 为任意实数, 则x =1+t , 方程组的解集.2. 用Gauss 消元法解下列线性方程组.1)⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=++-=-+333693132472321321321x x x x x x x x x2)⎩⎨⎧-=-+=+-223252321321x x x x x x3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-=--=+54212302433214243241x x x x x x x x x x4)⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=+033803403232132121x x x x x x x x解: 1) 对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000751010301)2(000075104721)3/1(12115302115304721)3()2(333693131124721123323121r r r r r r r r r则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=10-3t , x 2=5t -7, 方程有无穷多解, 解集为(10-3t , 5t -7, t ).2) 对增广矩阵进行变换:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---121001012121025218/1816802521)3(2123252112221r r r r r则x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意实数, 则x 1=-t , x 2=2t -1,解集为(-t , 2t -1, t ).3) 对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−+-⨯+⨯+⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−+⨯+⨯↔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11000101001001010001)3()32()35()43(34340003235100313201043001)7(461370032351003641043001)12/1()1(613700820120036410430012336410120300112043001)2(50412120300112043001142434443233242324241r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r方程有唯一解x 1=x 2=x 3=x 4=1.4) 此为齐次方程, 对系数矩阵进行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−+⨯+⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10003000211)6/1(6001301021)3(390130032)4()2(3381340321323312323121r r r r r r r r r r r r r可知方程有唯一零解x 1=x 2=x 3=0.3. 确定下列线性方程组中k 的值满足所要求的解的个数. 1) 无解: 2) 有唯一解:⎩⎨⎧=++=++;486362z y x kz y x⎩⎨⎧-=-=+123214y x y kx3) 有无穷多解:⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++12524z y x z y x kz y x解:1) 对增广矩阵作变换:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡143800621)3(486362121k k r r k因此, 要使方程组无解, 须使8-3k =0, 解得k =8/3, 即当k 取值为8/3时, 方程无解. 2) 对增广矩阵作变换:⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++--−−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡--14612301232)2(141123212321412121k k r kr k r r k因此, 如要方程组有唯一解, 必须有0123≠+k , 即32-≠k . 3) 对增广矩阵作变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-0440*******1331301110411)1()1(11215121411323121kkk r r k k k r r r r k因此, 如要方程组有无穷多解, 必须4-4k =0, 即当k =1时, 方程组才有无穷多解.4. 证明: 如果对所有的实数x 均有ax 2+bx +c =0, 那么a =b =c =0.证: 既然对所有的实数x 都有ax 2+bx +c =0成立, 那么具体地分别取x =0, x =1, x =2代入上式也成立, 则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=02400c b a c b a c , 这是关于a ,b ,c 的齐次线性方程组, 对其系数矩阵作变换:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−↔↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100320111)4(100124111124111100213221r r r r r r看出此方程只有唯一零解, 因此有a =b =c =0.5. 讨论以下述阶梯矩阵为增广矩阵的线性方程组是否有解; 如有解区分是唯一解还是无穷多解.1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---0000320003212)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--410030201231 3)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00004000320040214)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--0000010013201021 解: 1) 方程组有一个自由变元x 2, 因此方程组有无穷多解. 2) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解. 3) 第三个方程0=4说明此方程无解.4) 方程组的三个变元均为首项变元, 因此方程组有唯一解.6. 对给定方程组的增广矩阵施行行初等变换求解线性方程组..1)⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-=+-3284432253y x y x y x 2)⎩⎨⎧=--+=--+302859322207124w z y x w z y x 3)⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=--+=+-+222242*********w z y x w z y x w z y x 解: 1) 对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---781007231032811974190723103281)28/1(74190922803281)3()3(2253443328132814432253322312113r r r r r r r r r方程组无解.2) 对增广矩阵进行变换⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---−−→−⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----−−−→−⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡----5452100100960317/4545210021154731422713410021154731)3(302859321154731)4/1(302859322207124122211r r r r r r可以看出y 和w 为自由变元, 则令y =s , w =t , s 与t 为任意常数, 则x =100-3s +96t , z =54+52t . 方程的解集表示为(100-3s +96t , s , 54+52t , t ). 3) 对增广矩阵进行变换()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−−−→−+⨯⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0000100021021211)2/1(2/1)2(04002000212121211)4()2(2222411112212121211222242121212111111212232312121r r r r r r r r r r r 可知y 与z 为自由变元, 令y =s , z =t , s 与t 均为任意实数, 则,212121=+-=w t s x , 方程组的解集为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,,,212121t s t s7. 对给定齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换求解下列方程组.1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+-02020z y x yx z y x 2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+++0202202w z y w y x w z y x解: 1) 对系数矩阵作初等变换.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−→−+-⨯+⨯-⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001)3/1()3/2()5/3(350032103101)2(320321011131320230111)1()2(21101211113233321223121r r r r r r r r r r r r r r方程只有零解, x =y =z =0.2) 对系数矩阵作初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−-⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110000102001)2()2/1(11002/12/1100201)3/1()2/1(3300112002012)1(114011201121112011401121)1(11202021112113233232123221r r r r r r r r r r r r r r因此, w 为自由变元, 令w =t 为任意实数, 则x =-2t , y =0, z =t , 方程组的解集为 (2t , 0, t , t ).8. 设一线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--32223411121α求α的值使得此方程组有唯一解.解: 对增方矩阵求初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+−−→−+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--420034601121126034601121)2(32223411121323121αααr r r r r r因此, 此方程组要有唯一解, 就必须满足α+2≠0, 即α≠-2.9. 设一线性方程组的增广矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0410*******β1) 此方程有可能无解吗? 说明你的理由. 2) β取何值时方程组有无穷多解?解: 1) 此方程一定有解, 因为此方程是齐次方程, 至少有零解. 2) 对此增广矩阵做初等变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−++⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----0500011001216016001100121204103520121323121βββr r r r r r因此, 只有当β+5=0, 即β=-5时,方程才有无穷多解.10. 求λ的值使得下述方程组有非零解.⎩⎨⎧=-+-=+-0)2(0)2(y x y x λλ 解: 对系数矩阵作初等行变换:⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---−−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡---−−−→−↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1)2(021)2(1221211222121λλλλλλλr r r r因此, 要使方程有非零解, 必须有(λ-2)2+1=0, 但(λ-2)2+1≥0对λ取任何实数值总是成立, 因此必有(λ-2)2+1≠0, 因此, 无论λ取什么值此方程组都不会有非零解.11. 求出下列电路网络中电流I 1,I 2,I 3的值.解: 根据基尔霍夫定律可得如下方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+-52384202132321I I I I I I I 对增广矩阵做初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-13/1510013/2201013/7001)3()2(13/1510042104301)13/1(151300421043011)5(535042100111)2/1()3(502384200111132331232231r r r r r r r rr r r r最后得I 1=7/13, I 2=22/13, I 3=15/1312. 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)51) 建立数学模型2) 要控制x 2至多200辆/小时, 并且x 3至多50辆小时是可行的吗? 解: 1} 将上图的四个结点命名为A , B , C , D , 如下图所示:5则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方程如下:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++-=-+=+D x x C x x x Bx x x A x x 3502001503005453243121对增广矩阵进行变换:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−++-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--000000350110002001011050010101)1()1(35011000350110001500111015001101)1()1(35011000200101101500111030000011)1(350110002001011015001101300000111323431232221r r r r r r r r r r r r r可见x 3和x 5为自由变量, 因此令x 3=s , x 5=t , 其中s ,t 为任意正整数(车流量不可能为负值), 则可得x 1=500-s -t , x 2=s +t -200, x 4=350-t .2) 令x 2=200, x 3=s =50, 代入上面的x 2的表达式, 得200=50+t -200, 求出t =350, 则x 1=500-s -t =100, x 4=0, 是可行的.13. 在应用三的货物交换经济模型中, 如果交换系统由下表给出, 试确定农作物的价值x 1, 农具及工具的价值x 2, 织物的价值x 3的比值.313131313131313131CM F C M F解: 根据上表可得关于x 1, x 2,x 3的三个齐次方程如下:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-=++-032313103132310313132321321321x x x x x x x x x对系数矩阵做行初等变换:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−→−-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯+⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−↔⨯⨯⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0001101012000110121)3/1(1330330121)1(221111212133332313131323131313212232312121321r r r r r r r r r r r r r r可见方程有非零解, x 3为自由变量, 令x 3=t 为任意正实数, 则有x 1=x 2=x 3=t , 即三种价值的比值为1:1:1.第二章1. 1. 写出下列方程组的矩阵形式:1) x 1-2x 2+5x 3=-1;2) ⎩⎨⎧=+=-1223231x x x x 3) ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++002045z x z y z y x 解:1) []15,2,1321=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-x x x ; 2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡12110102321x x x ;3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000101120415z y x2. 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212121A , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=212234B求: 1) 3A -2B ;2) 若X 满足A T +X T =B T , 求X .. 解: 1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10110105)4(623)4(64366834244686363632122342212121323B A2)因X 满足A T +X T =B T , 等号两边同时转置, 有 A +X =B ,等号两边同时减去A , 得 X =B -A , 因此有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=404113221122122314212121212234A B X3. 计算下列矩阵的乘积:1)[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-213121; 2) []214321-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡; 3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-103110021212321; 4)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡011011120101130213 解:1)[]1211231213121=⨯+⨯+⨯-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2)[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡8463422124)1(423)1(322)1(221)1(12143213)⎥⎦⎤⎢⎣⎡---==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯--⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1341410)1(21102021122320112)1(312010312213302111031100212123214)⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯+-⨯+⨯-⨯+-⨯+⨯=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+-⨯+⨯-⨯--⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡83)2(1)2(310)2(2)2(11322113021300)1(11101)1(21001)1(011130213011011120101130213 4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=201210003,310120101B A求: 1) (A +B )(A -B );2) A 2-B 2.比较1)和2)的结果, 可得出什么结论? 解: 1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+567063519111110102511330104)201210003310120101)(201210003310120101())((B A B A2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-655142418405612009105055041120121000320121000331012010131012010122B A 可得出的结论: 大家知道, 在代数公式上有a 2-b 2=(a +b )(a -b ), 而将此公式中的a 和b 换成矩阵A 与B , 就不一定成立了, 这是因为矩阵乘法一般不满足交换律, 即一般AB ≠BA , 当然也就有A 2-B 2≠(A +B )(A -B ).5. 已知矩阵A ,B ,C , 求矩阵X ,Y 使其满足下列方程:⎩⎨⎧+=+=-T B A Y X CY X )(2解: 将此方程编上号, 用类似解线性方程组一样的办法来解,⎩⎨⎧+=+=-)2()()1(2T B A Y X C Y X将方程(1)的左边和(2)的左边和左边相加, 右边和右边相加, 等号还是成立, 得: 3X =C +(A +B )T 两边同乘1/3, 得TB AC X )(3131++=(3)(2)式等号两边都加上X , 得 Y =(A +B )T -X (4) 将(3)式代入到(4)式, 得CB A B AC B A Y T T T 31)(32)(3131)(-+=+--+=因此⎪⎩⎪⎨⎧-+=++=CB A YC B A X T T T T 3132323131316. 如矩阵AB =BA , 则称A 与B 可交换, 试证:1) 如果B 1, B 2都与A 可交换, 那么B 1+B 2, B 1B 2, 也与A 可交换; 2) 如果B 与A 可交换, 那么B 的k (k >0)次幂B k 也与A 可交换. 证: 1) 因B 1, B 2都与A 可交换, 即AB 1=B 1A , AB 2=B 2A , 则 (B 1+B 2)A =B 1A +B 2A =AB 1+AB 2=A (B 1+B 2) 即B 1+B 2与A 可交换. 而且(B 1B 2)A =B 1(B 2A )=B 1(AB 2)=(B 1A )B 2=(AB 1)B 2=A (B 1B 2), 因此B 1B 2与A 可交换.2)因B 与A 可交换, 即AB =BA , 则用归纳法, 当k =1时, 有B 1=B , 结论显然成立. 假设当k =m 时假设成立, 即AB m =B m A , 则当k =m +1时, 有AB m +1=AB m B =B m AB =B m BA =B m +1A , 结论也成立.7. 如矩阵A =A T , 则称A 为对称矩阵.设A ,B 都是n 阶对称矩阵, 证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证: 已知A =A T , B =B T ,充分性: 假设AB =BA , 则(AB )T =B T A T =BA =AB , 因此AB 为对称矩阵. 必要性: 如果AB 为对称矩阵, 即(AB )T =AB , 则因 (AB )T =B T A T =BA , 可得BA =AB . 8. 设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n a a a A21其中a i ≠a j , 当i ≠j (i , j = 1,2, …, n ). 试证: 与A 可交换的矩阵一定是对角矩阵. 证:假设矩阵B ={b ij }n 与A 可交换, 即有BA =AB , 而BA 相乘得到的矩阵为B 的第j 列所有元素都乘上a j 得到的矩阵, AB 相乘得到的矩阵为B 的第i 行元素都乘上a i 得到的矩阵. 即BA ={a j b ij }n , AB ={a i b ij }n , 但对于任给的i ,j ,i ≠j , 因AB =BA , 因此有a j b ij =a i b ij , 因a i ≠a j , 所以必有b ij =0, 即B 只能是对角矩阵.9. 检验以下两个矩阵是否互为可逆矩阵?⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1000210012100121,1000210032104321B A解: 计算AB 和BA 如下:410000100001000011100012)2(1110013)2(21112)2(111014)2(31213)2(21112)2(11110002100121001211000210032104321I AB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯+-⨯⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯+⨯⨯+-⨯⨯==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=41000010000100001110001)2(211100112)2(311)2(21110213)2(41112)2(311)2(21111000210032104321100021********21I AB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯-+⨯⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+⨯⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯-+⨯⨯==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=因此A 与B 确实互为逆矩阵.10. 设A ,B ,C 为n 阶方阵, 且C 非奇异, 满足C -1AC =B , 求证B m =C -1A m C (m 为正整数). 证: 用归纳法, 当m =1时条件已经成立为C -1AC =B , 假设当m =k 时, 命题成立, 即有 B k =C -1A k C , 则当m =k +1时, 有B k +1= B k B =C -1A k CC -1AC = C -1A k (CC -1)AC = C -1A k IAC = C -1A k AC = C -1A k +1C , 命题得证.11. 若n 阶矩阵A 满足A 2-2A -4I =0, 试证A +I 可逆, 并求(A +I )-1. 证: 将A 2-2A -4I =0改写为A 2-2A -3I =I ,先解一元二次方程组x 2-2x -3=0, 根据公式a acb b x 2422,1-±-=其中a =1, b =-2, c =-3, 则⎩⎨⎧-=+±=13212422,1x , 因此可将多项式x 2-2x -3因式分解为x 2-2x -3=(x -3)(x +1), 那么, 根据矩阵相乘相加的性质也就能将A 2-2A -3I 因式分解为 A 2-2A -3I =(A -3I )(A +I )=(A +I )(A -3I ), 因此我们有(A -3I )(A +I )=(A +I )(A -3I )=I , 即A +I 与A -3I 互为逆矩阵, (A +I )-1=A -3I .12. 证明: 如果A =AB , 但B 不是单位矩阵, 则A 必为奇异矩阵.证: 用反证法, 假设A 为可逆, 其逆为A -1, 则对于A =AB 两边同时左乘A -1, 得 A -1A =A -1AB , 即I =B , 这与B 不是单位矩阵相矛盾, 因此A 必为奇异矩阵.13. 判别下列矩阵是否初等矩阵?1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100020001, 2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100 3) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100201, 4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100410001 解: 1) 是初等矩阵P (2(-2)),2) 是初等矩阵P (1,3), 3) 不是初等矩阵,4) 是初等矩阵P (3(-4), 2).14. 求3阶方阵A 满足⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221331332123111333231232221131211555a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A解: 从等式看出A 左乘一矩阵相当于对此矩阵作初等行变换r 3×(-5)+r 1, 因此A 为一相应的初等矩阵, 即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=100010501)1),5(3(P A15. 设A ,B ,C 均为n 阶可逆矩阵, 且ABC =I , 证明BCA =I证: 因B ,C 为可逆矩阵, 则BC 也是可逆矩阵, 且(BC )-1=C -1B -1, 因ABC =I , 对此等式两边右乘(BC )-1, 即ABC (BC )-1=I (BC )-1, 因为BC (BC )-1=I , 因此上式化简为A =(BC )-1, 因此当然有 BCA =BC (BC )-1=I .16. 设A ,B 均为n 阶方阵, 且)(21I B A +=, 证明: A 2=A 的充分必要条件是B 2=I .证: 充分性: 假设B 2=I , 则A IB I B I B B I B A =+=+=++=+=)(21)22(41)2(41)(41222必要性: 如果A 2=A , 则有)2(41)(41)(2122I B B I B I B ++=+=+等式两边乘4得I B B I B ++=+2222,等式两边同时减去2B +I 得 B 2=I 证毕.17. 如果n 阶矩阵A 满足A 2=A , 且A ≠I , 则A 为奇异矩阵.证: 用反证法, 假设A 为可逆, 其逆为A -1, 则上式两边左乘(或者右乘)A -1, 得 AAA -1=AA -1, 即A =I , 但这与A ≠I 相矛盾, 因此A 的逆不存在, 即A 为奇异矩阵.18. 求下列矩阵的逆矩阵:1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=285421122A ; 2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1111111111111111A 3)),,2,1,0(000000000000121n i a a a a a A i n n=≠⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-解: 用对[A |I ]进行行初等变换为[I |A -1]的办法来求:1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100285001122010421100285010421001122]|[21r r I A⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−−→−+⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯11390002196003/13/111)3/1()3(15018180021960010421)5()2(12323121r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⨯⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−−→−+-⨯+9/19/13/11006/16/13/10109/19/23/20019/16/11139001120609/19/23/2001)9/1(321323r r r r r r 因此, 最后得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-9/19/13/16/16/13/19/19/23/21A 2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=10001111010011110010111100011111]|[I A⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−−→−+-⨯+-⨯+-⨯10010220010120200011220000011111)1()1()1(413121r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−↔1001022000112200010120200001111123r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−−−→−+⨯+-⨯11002200001122000101202002/102/10101)2/1()1(1242r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−−→−+⨯+-⨯11114000001122000101202002/12/1010012/1)1(1343r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−−→−+⨯+⨯+⨯111140002/12/12/12/102002/12/12/12/100204/14/14/14/100012/12/14/1342414r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−⨯-⨯-⨯4/14/14/14/110004/14/14/14/101004/14/14/14/100104/14/14/14/100014/1)2/1()2/1(432r r r 因此有A A 414/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/14/11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-3)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-10000000000010000001000]|[121n n a a aa I A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−↔↔↔----01000000100000001000100000012121211n n n n n n a a a a r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→−⨯⨯⨯--0/1010000/100100000/10010/1000001/1/1/11211121n n n n n a a a a a r a r a r因此, 最后得⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--0/10000/10000/1/10001211n n a a a a A19. 解下列矩阵方程, 求出未知矩阵X .1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡12643152X 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--132321433312120X解: 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12643152B A , 则要解的方程为AX =B将方程两边左乘上A 的逆A -1, 可得A -1AX =A -1B , 即 X =A -1B 下面求A -1:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−−→−+-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−→−↔⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21101031)2(0152103110310152]|[2121r r r r I A⎥⎦⎤⎢⎣⎡--−−−→−-⨯+⨯21105301)1(3212r r r 因此有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-21531A 因此⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-80232126421531B A X 2) 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=132321433312120B A 则矩阵方程为XA =B设A 的逆存在为A -1, 则方程两边右乘A -1, 得XAA -1=BA -1,即X =BA -1 下面求A -1:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯↔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=10043300112002/102/32/112/1100433010312001120|121r r r I A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⨯+⨯12/302/12/30002/12/11002/102/32/112/13231r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−−−→−+-⨯+⨯12/34/34/100002/12/11002/14/14/701)2/3(2/13212r r r r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−-⨯463100002/12/11002/14/14/701)4(3r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−−→−+-⨯+-⨯4631002310107115001)4/7()2/1(1323r r r r因此,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-46323171151A 最后得⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-47411246323171151323211BA X20. 求矩阵X 满足AX =A +2X , 其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=410011103A解: 将方程两边减去2X , 得AX -2X =A因2X =2IX , 因此上面的方程可以从右边提取公因子X , 得 (A -2I )X =A假设A -2I 可逆, 则方程两边同时左乘(A -2I )-1, 得(A -2I )-1(A -2I )X =(A -2I )-1A , 即X =(A -2I )-1A设B =A -2I , 则X =B -1A , 而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210011101200020002410011103B 下面用行初等变换求B 的逆B -1:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100210011110001101)1(100210010011001101|21r r I B⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−-⨯+⨯111100122010112001)1()1(111100011110001101)1(11323232r r r r r r r则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=-1111221121B最后得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----==-3222342254100111031111221121A B X 验算:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+1054459341364446844104100111032X A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10544593413322234225410011103AX21. 利用分块的方法, 求下列矩阵的乘积:1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100110201110021; 2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡d d c c b b a a00000010001010001000000解:1) 将乘积分块为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2|100110201110021I C B A其中[]10,201102,101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=C B A[][]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡30111220110210001020110210101|22BI AC I C B A2) 将乘积分块为⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡22222220000001000110001000000dI O cI I bI I O aI d d c c b b a a⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=bd c bd c ac a ac a I bd c I acI aI 010*******)(2222第三章1. 计算下列行列式:1) 4321; 2) 22b b a a ; 3) 7040-解: 1) 26432414321-=-=⨯-⨯=;2) )(2222a b ab b a ab b b a a -=-=;3) 0)4(0707040=-⨯-⨯=-.2. 计算下列三阶行列式:1)241130421--; 2) 320001753-; 3) b a c a c b cb a 解: 1) 将行列式按第一列展开81021342124131241130421=+-=⨯-⨯-=-- 2) 将行列式按第二行展开172353275320001753=⨯-⨯==- 3)3333333c b a abc c b a abc abc abc b a c a c b cb a ---=---++=3. 计算下列行列式:1)000000005544332222211111b a b a b a e d c b a e d c b a ;2)x yy x y x y x D n 0000000000=;3) f e d c b a 0000000000解: 1) 将行列式按第一列展开后, 得到的各子式再按第二列展开, 这样展开后的后三列构成的任何三阶子式都至少包括一行0, 因此后三列任何三阶子式均为0, 整个行列式的值D =0. 2) 将行列式按第一列展开得nn n n n y x y x y x y y x y x y x x D 11)1(0000000)1(0000000++-+=-+=3) 先对第一列展开, 然后对第二列展开, 得abdfbadf fe dbafe dab D -=-=-=-=000004. 利用行列式的性质计算下列行列式1) 2605232112131412-; 2)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---;3) 2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a解: 下面都将所求行列式的值设为D .1) 因为第1行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D =0; 2) 首先从第1,2,3行分别提取公因子a ,d ,f , 再从第1,2,3列提取公因子b ,c ,e , 得abcdef abcdef adfbce ef cfbfde cd bd ae ac ab 4020200111111111111=-=---=---3) 将第2,3,4列都展开, 并统统减去第1列, 得9644129644129644129644122222++++++++++++=d d d d c c c cb b b b a a a a D 再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得62126212621262122222=++++=d d c cb b a a D5. 把下列行列式化为上三角形行列式, 并计算其值1) 1502321353140422-----; 2) 2164729541732152-----解:1)121034805350024211203840553004221)2/3(2150232135314042232413121------↔=-----+⨯+⨯+⨯=-----c c r r r r r r 131002050021102042101300520001210024258535034801210024243423242---↔=--+⨯+⨯=-----↔=c c r r r r r r270)27(512270002050021102042)2(43-=-⨯⨯⨯=----+-⨯=r r2)0210311061202251)1()2(12461759243712251216472954173215241312113----+-⨯+-⨯+⨯=------↔=-----r r r r r r c c93000030031102251133000300311022511)2(021061203110225143423232-=--+⨯=--+⨯+-⨯=---↔=r r r r r r r r6. 计算下列n 阶行列式1) 12125431432321-n n n2) a bbba b a解: 1) 设此行列式的值为D , 将第2,3,…,n 列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为)1(21321+=++++n n n , 将此公因式提出, 因此有121125411431321)1(21-+=n nn n D再令第n 行减去第n -1行, 第n -1行减去第n -2行, …, 第2行减去第1行, 可得11111111111111111)1(21111011101110321)1(21-----+=--+=n n n n n n n n n n n n D 1)1(21)()1)(1(21)000000111111111)(1(21----+=---++=n n n n n n n n nn n2) 此题和第3题的2)一样, 因此有n n nb a D 1)1(+-+=7. 证明下列行列式1) ))()((111a c c b b a ab ca bc c b a ---=2) nb a n ab a ba b b a b a ba )(222-=证: 1)=----=----+-⨯+-⨯=)()()()(001)1()1(1113221c a b b a c ac a b c a b b a c bc a c a b a c c cc ab ca bc c b a))()(())()((11))((a c c b b a b c c a b a b c c a b a ---=---=----=2) 用归纳法, 设D n 为所求行列式值, 当n =1时,221b a a b ba D -==, 等式成立. 假设当n =k 时假设成立, 即有kk b a k aba b a b b a ba ba D )(222-==当n =k +1时,按第一列展开=+=+221k aba b ab b a b a ba D k=+++=1212k aba b b a ba b bk aa bab ba ba a12222222222)()()()(+-=--=-=-=k kk k k b a b a b a b a D D b D a证毕.8. 求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=210111302A 的伴随矩阵A *, 并求A -1. 解:31130,32130,12111312111=-==--==--=A A A 11132,42032,22011322212=-=-=-==--=A A A 2112,21002,11011332313-=-=-=-==-=A A A因此得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=221142331332313322212312111*A A A A A A A A A A A 的行列式为5132012||131312121111=⨯+⨯+⨯=++=A a A a A a A 因此有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==-22114233151||1*1A A A9. 设A 为三阶方阵, A *是A 的伴随矩阵, 且|A |=1/2, 求行列式|(3A )-1-2A *|的值.解: 因11**121||,||1---===A A A A A A A , 以及1131)3(--=A A , 还有2||1||1==-A A ,则27162278||32|32||31||2)3(|13111*1-=⨯-=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-=------A A A A A A10. 设A 为n 阶可逆阵, A 2=|A |I , 证明: A 的伴随矩阵A *=A . 证: 因A 可逆, 则在等式A 2=|A |I 两边乘A -1, 得A =|A |A -1, 即A A A ||11=-, 而因为*1||1A A A =-, 所以有A =A *, 证毕.11. 用克莱姆法则解下列方程组.(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142321321321x x x x x x x x x(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++24324322256511322121432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x解: (1) 方程的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113215421A , 常数向量T ]102931[=β, 则求A 的逆矩阵:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯+-⨯⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10311700151890001421)3()5(1001130102150014213121r r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−-⨯103117009/19/5210001421)9/1(2r ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−−→−+⨯+-⨯19/79/830009/19/521009/29/10017)2(3212r r r r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⨯3/127/727/810009/19/521009/29/10013/13r⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−+-⨯3/127/727/81003/227/1127/101009/29/1001)2(23r r 因此得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-3/127/727/83/227/1127/109/29/11A则方程的解X 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-5431029313/127/727/83/227/1127/109/29/11321βA x x x X即x 1=3,x 2=4,x 3=5.(2) 方程的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43114312251151132A , 常数向量[]T 2226=β先求A 的逆A -1:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−→−↔⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡10004311010043120001511320010251110004311010043120010251100015113221r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+-⨯+-⨯+-⨯10102200012007100021111000102511)1()2()2(413121r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−+⨯+-⨯101022000141160000211110003114011)1(3212r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−-⨯↔014116002/102/1011000021111000311401)2/1(343r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−−→−+⨯+-⨯+-⨯311150002/102/1011002/102/512010201150016)1()4(332313r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−−→−-⨯5/35/15/15/110002/102/1011002/102/51201020115001)5/1(4r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−−→−+⨯+-⨯+-⨯5/35/15/15/1100010/15/110/75/1010010/75/210/295/70010110000011)2()5(342414r r r r r r 因此有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=-5/35/15/15/110/15/110/75/110/75/210/295/711001A则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------==⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-002022265/35/15/15/110/15/110/75/110/75/210/295/7110014321βA x x x x X 即x 1=0, x 2=2, x 3=0, x 4=0.12. 如果齐次线性方程组有非零解, k 应取什么值?⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z k x y k x z y x k解: 此方程组的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=k kk A 402062225要使方程组有非零解, 必须有det(A )=0.而k k k k kr r rr k kk A ---+--+⨯+-⨯=---=402242242252)2(402062225)det(2321k kk k r r rr k kk --+---+⨯+-⨯=-----=4022121005)2(2)2(402212225)2(1213)8)(5)(2(80061020122402212201)5)(2(3121----=---+⨯+⨯=-----=k k k kr r rr k k k因此, 只有当k =5或者k =2或者k =8时, 此方程组才有非零解.13. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ 有非零解?解: 此方程组的系数矩阵A 为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1211111μμλA , 要使方程组有非零解, 必须det(A )=0,而012101111)1()1(1211111)det(3121----+-⨯+-⨯==μλμλλμμλr r rr Aμλμμλμλμλ)1(12111)1(121113-=---=----=列展开按第因此, 只有当λ=1或者μ=0时, 方程组才有非零解.第四章1. 设α1=(1,1,1), α2=(-1,2,1), α3=(2,3,4), 求β=3α1+2α2-α3解: β=3α1+2α2-α3=3(1,1,1)+2(-1,2,1)-(2,3,4)=(3,3,3)+(-2,4,2)-(2,3,4) =(3-2-2, 3+4-3, 3+2-4)=(-1, 4, 1)2. 设3(α1-α)+2(α2+α)=5(α3+α), 求α, 其中α1=(2,5,1,3), α2=(10,1,5,10), α3=(4,1,-1,1) 解: 将上述方程整理: 3α1-3α+2α2+2α=5α3+5α -3α+2α-5α=-3α1-2α2+5α3 (-3+2-5)α=-3α1-2α2+5α3 -6α=-3α1-2α2+5α3 最后得)4,3,2,1()6531023,653521,653125,3103101()65,65,65,310()310,35,31,310()23,21,25,1()1,1,1,4(65)10,5,1,10(31)3,1,5,2(21653121321=-+++-+-+=--+=--+=-+=αααα3. 设R 为全体实数的集合, 并且设}0,,,|),,,({11211=++∈==n n n x x R x x x x x X V 满足, }1,,,|),,,({11212=++∈==n n n x x R x x x x x X V 满足.问V 1,V 2是否向量空间? 为什么?解: (一般的技巧: 凡是对R n 作一个齐次线性方程的约束的集合都是向量子空间, 而作非齐次线性方程的约束的集合则因为它不穿过原点, 就不是向量子空间).V 1是向量空间, 且是R n 的向量子空间, 因为nR V ⊂1, 而任给R k V Y X ∈∈,,1, 设0),,,,(0),,,,(121121=+==++=n n n n y y y y y Y x x x x x X则令),,,(2211n n y x y x y x Y X Z +++=+= ,则因=++++++=+++n n n y x y x y x z z z 221121011=+++++=n n y y x x , 则1V Y X ∈+,因为),,,(21n kx kx kx kX =, 而0)(11=++=++n n x x k kx kx 则1V kX ∈,因此, V 1是R n 的向量子空间.而V 2不是向量空间, 是因为1000≠+++ , 零向量O 不属于V 2, 2V O ∉.4. 试证: 由)1,1,1(),1,1,0(),1,0,0(321===ααα所生成的向量空间就是R 3证: 因为3321),,(R Span ⊂ααα, 只须证),,(3213αααSpan R ⊂, 任给3321),,(R d d d D ∈=, 试求实数x 1,x 2,x 3使。

线性代数课后习题答案全习题详解(总92页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：（1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x yyx y x +++. 解 （1）=---381141102811)1()1(03)4(2⨯⨯+-⨯-⨯+⨯-⨯)1()4(18)1(2310-⨯-⨯-⨯-⨯-⨯⨯- =416824-++-=4-（2）=ba c a cb cb a ccc aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---=（3）=222111c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---=（4）yx y x x y x y yx y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-=2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ；（6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为2)1(-n n ：3 2 1个 5 2，54 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n3 2 1个 5 2，54 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□，即1324或1342.对应的t 分别为10100=+++或22000=+++∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求.4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢71100251020214214； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae acab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a 100110011001 解(1)7110025*******21434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)265232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=e c b e c b e c b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+ 23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -;(2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=yx z x z y zy x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 .证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--= 右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bz ay y x by ax x z bx az z y b +++zy x y x z xz y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a a d a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnnn nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-= 同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n Tn n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)aaD n 11 =,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n nn n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnn nn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 010000000000001000=按最后一行展开)1()1(1000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n n a a a (再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) n nnnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D 即 ∏=-=ni i i i i n D c b d a D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=0432********0122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121 ,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-= 112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510065100065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 5100165100065100650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507= 51165100065000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-=1145108065-=--= 51100650000601000051001653=D 展开按第三列5100650006100051650061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+= 51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ齐次线性方程组有非零解，则0=D 得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1 已知线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y2 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x3 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B 求3AB 2A 及A TB解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T4 计算下列乘积(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321((132231)(10)(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛解 )21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫⎝⎛---=6520876(5)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x(a 11x 1a 12x 2a 13x 3 a 12x 1a 22x 2a 23x 3 a 13x 1a 23x 2a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=5 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B 问(1)AB BA 吗 解 AB BA 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA 所以AB BA(2)(A B)2A 22AB B 2吗 解 (A B)2A 22AB B 2 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148但⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛=27151610所以(A B)2A 22AB B 2 (3)(A B)(A B)A 2B 2吗 解 (A B)(A B)A 2B 2因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A故(A B)(A B)A 2B 26 举反列说明下列命题是错误的 (1)若A 20 则A 0 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A 则A 20 但A 0(2)若A 2A 则A 0或A E 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A 则A 2A 但A 0且A E(3)若AX AY 且A 0 则X Y 解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y则AX AY 且A 0 但X Y7 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA 求A 2A 3Ak解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A 求A k解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A⎝⎛=kA k k kk k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫用数学归纳法证明 当k 2时 显然成立 假设k 时成立，则k 1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ 由数学归纳法原理知⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219 设A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵证明 因为A T A 所以(B T AB)T B T (B T A)T B T A T B B T AB 从而B T AB 是对称矩阵10 设A B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB BA 证明 充分性 因为A T A B T B 且AB BA 所以(AB)T (BA)T A T B T AB 即AB 是对称矩阵必要性 因为A T A B T B 且(AB)T AB 所以 AB (AB)T B T A T BA 11 求下列矩阵的逆矩阵 (1)⎪⎭⎫⎝⎛5221解⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A |A|1 故A 1存在 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A故 *||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225 (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A |A|10 故A 1存在 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos(3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=145243121A |A|20 故A 1存在因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2a n0)解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 12 解下列矩阵方程 (1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛12643152X解⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232(2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311111012112X 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122 (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=20143101213 利用逆矩阵解下列线性方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===35321x x x14 设A k O (k 为正整数) 证明(E A)1E A A 2 A k1证明 因为A k O 所以E A k E 又因为E A k (E A)(E A A 2A k 1)所以 (E A)(E A A 2 A k 1)E 由定理2推论知(E A)可逆 且(E A)1E A A 2A k1证明 一方面 有E (E A)1(E A) 另一方面 由A k O 有 E (E A)(A A 2)A 2A k1(A k1A k )(E A A 2 A k 1)(E A)故 (E A)1(E A)(E A A 2 A k 1)(E A) 两端同时右乘(E A)1就有(E A)1(E A)E A A 2A k115 设方阵A 满足A 2A 2E O 证明A 及A 2E 都可逆 并求A 1及(A 2E)1证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 即A(A E)2E 或E E A A =-⋅)(21由定理2推论知A 可逆 且)(211E A A -=-由A 2A 2E O 得 A 2A 6E 4E 即(A 2E)(A 3E)4E或 E A E E A =-⋅+)3(41)2( 由定理2推论知(A 2E)可逆 且)3(41)2(1A E E A -=+-证明 由A 2A 2E O 得A 2A 2E 两端同时取行列式得 |A 2A|2 即 |A||A E|2 故 |A|0所以A 可逆 而A 2E A 2 |A 2E||A 2||A|20 故A 2E 也可逆 由 A 2A 2E O A(A E)2E A 1A(A E)2A 1E)(211E A A -=-又由 A 2A 2E O (A 2E)A 3(A 2E)4E(A 2E)(A 3E)4 E所以 (A 2E)1(A 2E)(A 3E)4(A 2 E)1)3(41)2(1A E E A -=+- 16 设A 为3阶矩阵 21||=A 求|(2A)15A*|解 因为*||11A A A =- 所以 |||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A|2A 1|(2)3|A 1|8|A|1821617 设矩阵A 可逆 证明其伴随阵A*也可逆 且(A*)1(A 1)*证明 由*||11A A A =- 得A*|A|A 1所以当A 可逆时 有|A*||A|n |A 1||A|n 1从而A*也可逆 因为A*|A|A 1所以(A*)1|A|1A又*)(||)*(||1111---==A A A A A 所以(A*)1|A|1A |A|1|A|(A 1)*(A 1)*18 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A* 证明 (1)若|A|0 则|A*|0 (2)|A*||A|n 1证明(1)用反证法证明 假设|A*|0 则有A*(A*)1E 由此得A A A*(A*)1|A|E(A*)1O所以A*O 这与|A*|0矛盾，故当|A|0时 有|A*|0 (2)由于*||11A A A =- 则AA*|A|E 取行列式得到|A||A*||A|n 若|A|0 则|A*||A|n 1若|A|0 由(1)知|A*|0 此时命题也成立因此|A*||A|n119设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A AB A 2B 求B解 由AB A 2E 可得(A 2E)B A 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01132133020 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A 且AB E A 2B 求B解 由AB E A 2B 得 (A E)B A 2E 即 (A E)B (A E)(A E)因为01001010100||≠-==-E A 所以(A E)可逆 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B21 设A diag(1 2 1) A*BA 2BA 8E 求B解 由A*BA 2BA 8E 得(A*2E)BA 8EB 8(A*2E)1A 1 8[A(A*2E)]1 8(AA*2A)1 8(|A|E 2A)18(2E 2A)14(E A)14[diag(2 1 2)]1)21 ,1 ,21(diag 4-=2diag(1 2 1)22已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A且ABA 1BA13E 求B 解 由|A*||A|38 得|A|2 由ABA1BA13E 得AB B 3AB 3(A E)1A 3[A(E A 1)]1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-103006060060000660300101001000016123 设P 1AP 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ2001求A 11解 由P 1AP得A P P 1所以A 11 A=P 11P 1.|P|3 ⎪⎭⎫⎝⎛-=1141*P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P而 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=6846832732273124 设AP P 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511 求(A)A 8(5E 6A A 2) 解 ()8(5E 62)diag(1158)[diag(555)diag(6630)diag(1125)]diag(1158)diag(1200)12diag(100) (A)P ()P 1*)(||1P P P Λ=ϕ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111111111425 设矩阵A 、B 及A B 都可逆 证明A 1B 1也可逆 并求其逆阵证明 因为 A 1(A B)B 1B1A1A1B1而A 1(A B)B 1是三个可逆矩阵的乘积 所以A 1(A B)B 1可逆 即A1B 1可逆(A1B 1)1[A 1(A B)B 1]1B(A B)1A26 计算⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A 所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=9000340042102521 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521 27 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A 验证|||||||| D C B A D C B A ≠解41001200210100101002000021010010110100101==--=--=D C B A而01111|||||||| ==D C B A故 |||||||| D C B A D C B A ≠28 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A 求|A 8|及A 4解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21A O O A A故 8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A 1682818281810||||||||||===A A A A A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A29 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆 求 (1)1-⎪⎭⎫⎝⎛O B A O解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211C C C C O B A O 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111(2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-43211D D D D B C O A 则 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s nE BD CD O BD CD OAD E AD 423121⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A30 求下列矩阵的逆阵(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B 则⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A ⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫⎝⎛=--8532253811B于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4121031200210001解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020********* )2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000000000022********(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

大学线代知识点总结大学线代知识点总结线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

以下是“大学线代知识点总结”希望能够帮助的到您！01、余子式与代数余子式a11a12a13（1）设三阶行列式D＝a21a22a23，则a31a32a33①元素a11，a12，a13的余子式分别为：M11＝a22a23a32a33，M12＝a21a23a31a33，M13＝a22a23a32a33a21a22a31a32对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式行列式即元素a11的余子式M11。

其他元素的余子式以此类推。

②元素a11，a12，a13的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11 ，A12＝(－1)1＋2M12 ，A13＝(－1)1＋3M13 .对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j M ij .（N阶行列式以此类推）（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。

比如说，作业P1第1题：M31＝0403，A31＝(-1)3+10403（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题02、主对角线一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3?n，即从左上到右下的一条斜线。

与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式即元素aij与元素aji的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，a12与a21的位置对调、a35与a53的位置对调。

-2 -04、行列式的性质详见课本P5-8（性质1.1.1~1.1.7）其中，性质1.1.7可以归纳为这个：?A ，i＝k，ai1Ak1＋ai2Ak2＋?＋ainAkn＝?（i表示第i行，k表示第k列）?0 ，i?k熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。

例题：作业P1第2题05、计算行列式（1）计算二阶行列式a11a12a21a22a11a12a21a22：①方法（首选）：a11a12a21a22＝a11a22－a12a21（即，左上角×右下角－右上角×左下角）②方法：＝a11A11＋a12A12＝a11a22－a12a21例题：课本P14a11a12a13（2）计算三阶行列式a21a22a23：a31a32a33a11a12a13a21a22a23＝a11A11＋a12A12＋a13A13＝a11(－1)1＋1M11 ＋a12(－1)1＋2M12 ＋a13(－1)1＋3M13 a31a32a33N阶行列式的计算以此类推。

()000,nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得 或 ()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量 注：全体n 维实向量构成的集合nR 叫做n 维向量空间.注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪+=⇔+=⎨⎪⎩0有非零解=- ⎫⎪≅⎪−−−→⎬⎪⎪⎭具有向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同()√ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：①称为n 的标准基，n中的自然基，单位坐标向量152p 教材； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.1212121112121222()1212()n n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a D a a a a a a τ==-∑1√ 行列式的计算：①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.②若A B 与都是方阵（不必同阶）,则==()mn A O A A OA B O B O B B O A AA B B O B O*==**=-1 ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.④关于副对角线：(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a O a a a a a a a Oa O---*==- 1⑤范德蒙德行列式：()1222212111112ni j nn i j n n n nx x x x x x x x x x x ≥≥≥---=-∏111由m n ⨯个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵.记作：()ijm nA a ⨯=或m nA ⨯()1121112222*12n Tn ij nnnn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，ijA 为A 中各个元素的代数余子式.√ 逆矩阵的求法:① 1A A A *-= 注： 1a b d b c d c a ad bc --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1 ②1()()A E E A -−−−−→ 初等行变换③1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 方阵的幂的性质：m nm nA A A+= ()()m n mnA A =√ 设,,m n n s A B ⨯⨯A 的列向量为12,,,n ααα⋅⋅⋅,B 的列向量为12,,,s βββ⋅⋅⋅，则m sAB C ⨯=⇔()()1112121222121212,,,,,,s s n s n n ns b b b b b b c c c b b b ααα⎛⎫ ⎪⎪⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭ ⇔i i A c β= ，(,,)i s = 1,2⇔i β为i Ax c =的解⇔()()()121212,,,,,,,,,s s s A A A A c c c ββββββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= ⇔12,,,s c c c 可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示. 同理：C 的行向量能由B 的行向量线性表示，T A 为系数矩阵.√ 用对角矩阵Λ左乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵Λ右乘一个矩阵,相当于用Λ的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘.√ 分块矩阵的转置矩阵：TTT T T A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭分块矩阵的逆矩阵：111A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111A C A A CB O B OB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1111A O A O C B B CAB ----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 分块对角阵相乘：11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块对角阵的伴随矩阵：***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭√ 矩阵方程的解法(0A ≠)：设法化成AX B XA B ==(I) 或 (II) A B E X −−−−→ 初等行变换(I)的解法：构造()()T T T TA XB X X=(II)的解法：将等式两边转置化为，用(I)的方法求出，再转置得√ 0Ax =与0Bx =同解（,A B 列向量个数相同）,则：① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等； ② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.√ 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的行向量组等价⇔齐次方程组0Ax =与0Bx =同解⇔PA B =（左乘可逆矩阵P ）；101p 教材 矩阵m n A ⨯与l n B ⨯的列向量组等价⇔PQ B =（右乘可逆矩阵Q ）. √ 判断12,,,s ηηη 是0Ax =的基础解系的条件： ① 12,,,s ηηη 线性无关； ② 12,,,s ηηη 都是0Ax =的解；③ ()s n r A =-=每个解向量中自由未知量的个数.√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. ② 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. ③ 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤ 两个向量线性相关⇔对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关114p 教材. ⑥ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅中任一向量i α(1≤i ≤)n 都是此向量组的线性组合.⑦ 向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关⇔向量组中至少有一个向量可由其余n -1个向量线性表示.向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关⇔向量组中每一个向量i α都不能由其余n -1个向量线性表示. ⑧ m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性相关()r A n ⇔<； m 维列向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关()r A n ⇔=. ⑨ ()r A A O =⇔=0.⑩ 若12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关，而12,,,,n αααβ⋅⋅⋅线性相关,则β可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且表示法唯一. ⑪ 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0⑫ 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系：对A 施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A ； 对A 施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A .如果矩阵A 存在不为零的r 阶子式，且任意r +1阶子式均为零，则称矩阵A 的秩为r .记作()r A r =向量组12,,,n ααα 的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作12(,,,)n r αααA 经过有限次初等变换化为B . 记作：A B =12,,,n ααα⋅⋅⋅和12,,,n βββ⋅⋅⋅可以相互线性表示. 记作：()()1212,,,,,,n n αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⑬ 矩阵A 与B 等价⇔PAQ B =，,P Q 可逆⇔()(),r A r B A B =≠>作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A 与B 作为向量组等价⇔1212(,,,)(,,,)n n r r αααβββ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=1212(,,,,,,)n n r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒ 矩阵A 与B 等价.⑭ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示⇔AX B =有解⇔12(,,,)=n r ααα⋅⋅⋅1212(,,,,,,)n s r αααβββ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⇒12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅≤12(,,,)n r ααα⋅⋅⋅.⑮ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且s n >，则12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关.向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性无关,且可由12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,则s ≤n .⑯ 向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅可由向量组12,,,n ααα⋅⋅⋅线性表示,且12(,,,)s r βββ⋅⋅⋅12(,,,)n r ααα=⋅⋅⋅,则两向量组等价；p 教材94,例10⑰ 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价.⑱ 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. ⑲ 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.⑳ 若A 是m n ⨯矩阵,则{}()min ,r A m n ≤,若()r A m =，A 的行向量线性无关；若()r A n =，A 的列向量线性无关,即：12,,,n ααα⋅⋅⋅线性无关. √ 矩阵的秩的性质：①()A O r A ≠⇔若≥1 0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n ②()()()T T r A r A r A A == p 教材101,例15 ③()()r kA r A k =≠ 若0④()r A B ±≤()()r A r B + {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B + p 教材70 ⑤ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭⑥()r AB ≤{}min (),()r A r B⑦ ,,()()()m n n s A B r AB r A r B ⨯⨯=⇒+若且0≤n ⑧()()A r AB r B ⇒=若可逆()()B r AB r A ⇒=若可逆⑨若0()()()m n Ax r A n r AB r B ⨯⇔=⎧=⇒⎨=⎩ 只有零解且A 在矩阵乘法中有左消去律0AB B AB AC B C =O ⇒=⎧⎨=⇒=⎩；若()()()n s r B n r AB r B ⨯=⇒= 且B 在矩阵乘法中有右消去律.√61212,,,0,,,()()A n n Ax n Ax A Ax r A r A Ax n βαααβαααβββ⇔=<⇔⇒⇔=−−−−−→=⇔=⇔=⇔== 当为方阵时有无穷多解 表示法不唯一线性相关有非零解0 可由线性表示有解有唯一组解 1212,,,0()(),,,()(A n n Ax A r A r A Ax r A r αααββαααβ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⇔⎪⇒⇔=−−−−−→≠⇒⎪⎩⇔≠⇔=⇔< 当为方阵时表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解)()1()A r A r A ββ⎧⎪⎨⎪⇔+=⎩注：Ax Ax ββ⇒=<≠⇒=<≠有无穷多解有唯一解其导出组只有零解 1122n n x x αααβ+++=Ax β= 12,,2,,j j j mj j n αααα⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭1 1212(,,,)n n x x x αααβ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1112111212222212,,n n m m mn n m a a a x b a a a x b A x a a a x b β⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性方程组解的性质：1212121211221212(1),0,(2)0,,(3),,,0,,,,,(4),0,(5),,0(6k k k k Ax Ax k k Ax k Ax Ax Ax Ax Ax ηηηηηηηηηλλλληληληγβηγηβηηβηη=+⎫⎪=⎪⎬=⎪⎪++⎭==+==-= 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解211212112212112212),0(7),,,,100k k k kk k k Ax Ax Ax Ax Ax ηβηηηηηηβληληληβλλλληληληλλλ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⇔-=⎪=⎪⎪++=⇔++=⎪⎪++=⇔++=⎩ 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则也是的解 是的解√ 设A 为m n ⨯矩阵,若()r A m =,⇒()()r A r A β= ⇒Ax β=一定有解， 当m n <时,一定不是唯一解⇒<方程个数未知数的个数向量维数向量个数,则该向量组线性相关. m 是()()r A r A β 和的上限.n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.(,)0αβ=.1α==.√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,(,)0αααααο≥=⇔=且 ② 对称性：(,)(,)αββα=③ 双线性：1212(,)(,)(,)αββαβαβ+=+ 1212(,)(,)(,)ααβαβαβ+=+ (,)(,)(,)c c c αβαβαβ==E A λ-.()E A f λλ-=.√ ()f λ是矩阵A 的特征多项式⇒()f A O =E A λ-=0. Ax x Ax x λ=→ 与线性相关√12n A λλλ= 1ni A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A √ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n 各元素.√ 若0A =,则λ=0为A 的特征值,且0Ax =的基础解系即为属于λ=0的线性无关的特征向量. √ ()1r A =⇔A 一定可分解为A=()1212,,,n n a a b b b a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、21122()n n A a b a b a b A =+++ ,从而A 的特征值为：11122n n A a b a b a b λ==+++ tr , 23n λλλ==== 0 p 指南358.√ 若A 的全部特征值12,,,n λλλ ，()f A 是多项式,则:① ()f A 的全部特征值为12(),(),,()n f f f λλλ ；12()()()()n f A f f f λλλ= ② 若A 满足()0f A =,则A 的任何一个特征值必满足()i f λ=0.√ 设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，对n 阶矩阵A 规定：1110()m m m m f A a A a A a A a E --=++++ 为A 的一个多项式.√ 1231122,T A mm k kAa b aA bE A A A A A Aλλλλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎨= 是的特征值则:分别有特征值 .⎪⎪⎪⎪⎪⎩ √ 1231122,A mm k kAa b aA bEA x A x A A A λλλλλλλλλ-*⎧⎪++⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎩是关于的特征向量则也是关于的特征向量. √ 2,mA A 的特征向量不一定是A 的特征向量. √ A 与TA 有相同的特征值，但特征向量不一定相同.1B P AP -= （P 为可逆矩阵） 记为：A B1B P AP -= （P 为正交矩阵）A 与对角阵Λ相似. 记为：A Λ （称Λ是A√ A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--= i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值.设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：121212112212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n P PA A A A λλααααααλαλαλααααλΛ⎛⎫⎪⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭.注：当i λ=0为A 的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-= 0Ax =基础解系的个数. √ 若A 可相似对角化,则其非零特征值的个数（重数重复计算）()r A =. √ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值,则A 可相似对角化.√ 若A Λ ⇒k A =1k P P-Λ=，1211()()()()()n A P P P P ϕλϕλϕϕϕλ--⎛⎫ ⎪⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭√ 相似矩阵的性质：① A B =tr tr② A B = 从而,A B 同时可逆或不可逆 ③ ()()r A r B =④TTA B ；11A B -- （若,A B 均可逆）；**A B ⑤kkA B （k 为整数）；()()f A f B ，()()f A f B =⑥,A B A B C D C D ⎛⎫⎛⎫⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑦E A E B λλ-=-,从而,A B 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.注:x 是A 关于0λ的特征向量,1P x -是B 关于0λ的特征向量.√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质： ① 特征值全是实数,特征向量是实向量；② 不同特征值对应的特征向量必定正交；注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；③ 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； ④ 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；⑤ 一定有n 个线性无关的特征向量,A 可能有重的特征值,该特征值i λ的重数=()i n r E A λ--）.TAA E =√ A 为正交矩阵⇔A 的n 个行（列）向量构成n的一组标准正交基.√ 正交矩阵的性质：① 1T A A -=；② TTAA A A E ==；③ 正交阵的行列式等于1或-1；④ A 是正交阵,则TA ，1A -也是正交阵；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.1211(,,,)n nTn ij iji j f x x x x Ax a x x====∑∑ ij jia a =，即A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =T B C AC =. 记作：A B （,,A BC 为对称阵为可逆阵）二次型的规范形中正项项数p r p -； 2p r -. (r 为二次型的秩)√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数. √两个矩阵合同的充分条件是：A B √ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =√ 12(,,,)Tn f x x x x Ax = 经过正交变换合同变换可逆线性变换xCy =化为21ni i f d y =∑√ 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由()r A +正惯性指数负惯性指数唯一确定的.√ 当标准形中的系数i d 为-1或0或1时,√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.√ 惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵111100⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭合同. √ 用正交变换法化二次型为标准形:① 求出A 的特征值、特征向量； ② 对n 个特征向量正交化、单位化；③ 构造C（正交矩阵）,作变换x C =,则1112221()()TT T T Tn n n y d y y d y Cy A Cy y C ACY y C ACY y d y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭新的二次型为21ni if d y=∑,Λ的主对角上的元素i d 即为A 的特征值.123,,ααα线性无关,11 112122111313233121122()()()()()()T T T T T T βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎪⎩正交化 单位化：111βηβ= 222βηβ= 333βηβ= 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。