第2讲矢性函数

工程电磁场基础第2 章矢量分析主讲人：陈德智dzhchen@华中科技大学电气与电子工程学院2011年2月第2章矢量分析1 关于矢量的一些约定2 矢量代数3 坐标系4 标量场的梯度5 矢量面积分，通量与散度6 矢量线积分，环量与旋度7 亥姆霍兹定理⑤矢量的坐标分量表示：⑥法向单位矢量与切向单位矢量：e n ，e t法向分量：A n 切向分量：A t关于矢量的基本约定④坐标单位矢量：直角坐标系(x , y , z ) ：e x ,e y ,e z ；x x y y z zA A A =++A e e e2．矢量代数（1）点乘（标积）：θcos :AB u =⋅=B A •A ∥B 时取最大值。

0=⋅B A •A ⊥B ⇔，矢量A 与B 正交。

B B A =⋅A e n n A =⋅A e •矢量的投影（分量）：。

法向分量。

zz y y x x B A B A B A ++=⋅B A •直角坐标系中的计算公式：，×如果单位矢量为一平面的法向，则矢量与该法向•圆柱坐标系d d d d d d d z S z z ρφρφρρρφ=++e e e z ,,φρ坐标变量,,zρφe e e 坐标单位矢量z zρρ=+r e e 位置矢量d d d d z zρφρρφ=++l e e e 线元矢量zV d d d d φρρ=体积元面元矢量圆柱坐标系圆柱坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元坐标系•在各种坐标系中，直角坐标系是唯一一种方向不变的坐标系。

•原则上，所有问题都可以使用直角坐标系描述。

但是根据问题的不同类型，选取不同的坐标系可能更方便，例如用圆柱坐标系描述轴对称问题，用球坐标系描述球对称问题等。

•直角坐标系中的运算公式要求熟练掌握；其它坐标系要求会用，不同坐标系中的转换关系可以查表解决。

4．标量场的梯度（1）标量场的图形表示——等值面（线）地形图与等高线()const f=r标量场的图示——绘制场图（草图）是工程电磁场中最重要和最常用的分析方法之一，也是最基本的技能。

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第1章 矢量分析在矢量代数中，曾经讨论过模和方向都保持不变的矢量，这种矢量称为常矢。

然而，在科学和技术的许多问题中，也常遇到模和方向改变或其中之一会改变的矢量，这种矢量称为变矢。

如非等速及非直线运动物体的速度就是变矢量的典型例子。

变矢量是矢量分析研究的重要对象。

本章主要讨论变矢与数性变量之间的对应关系——矢函数及微分、积分和它们的一些主要性质。

§1.1 矢函数与普通数量函数的定义类似，我们引进矢性函数（简称矢函数）的概念，进而结出矢函数的极限与连续性等概念。

1、矢函数的概念定义1.1.1 设有数性变量t 和变矢A ，如果对于t 在某个范围D 内的每一个数值，A 都以一个确定的矢量和它对应，则称A 为数性变量t 的矢量函数，记作A =A )(t （1.1.1）并称D 为矢函数A 的定义域。

在Oxyz 直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成A {})(),(),()(t A t A t A t z y x = （1.1.2） 其中)(),(),(t A t A t A z y x 都是变量t 的数性函数，可见一个矢函数和三个有序的数性函数构成一一对应关系。

即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。

本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A )(t 的起点取在坐标原点。

这样当t 变化时，A )(t 的终点M 就描绘出一条曲线l （图1.1），这样的曲线称为矢函数A )(t 的矢端曲线，也称为矢函数A )(t 的图形。

同时称（1.1.1）式或（1.1.2）式为此曲线的矢量方程。

第一章 矢量分析与场论实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量称之为矢量。

无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即所谓的物理量。

物理量数值的无穷集合称为场。

如果这个物理量是标量，就称其为标量场；如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。

场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。

如果场中各处物理量不随时间变化，则称该场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。

本章从定义标量和矢量出发，讨论矢量在直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系三种坐标系中的表示法及其代数运算和相互关系；然后介绍了矢量及标量的微分和积分几及其性质；最后引入亥姆霍兹定理，它是矢量场共同性质的总结。

1.1 矢量及其代数运算一、标量和矢量电磁场中遇到的绝大多数物理量，能够容易地区分为标量（scalar ）和矢量(vector)。

一个仅用大小就能够完整地描述的物理量称为标量，例如，电压、温度、时间、质量、电荷等。

实际上，所有实数都是标量。

一个有大小和方向的物理量称为矢量，电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。

例如，矢量A 可以写成A a A = A Aa =（1-1-1）其中A 是矢量A 的大小，a 的大小等于1，代表矢量A 的方向。

一个大小为零的矢量称为空矢（null vector ）或零矢（zero vector ），一个大小为1的矢量称为单位矢量（unit vector ）。

在直角坐标系中，用单位矢量x a 、y a 和z a 表征矢量分别沿x 、y 和z 轴分量的方向。

空间的一点()Z Y X P ,,能够用它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定如图1-1所示。

从原点指向点P 的矢量r 称为位置矢量(position vector)，它在直角坐标系中表示为Z Y X z y x a a a r ++= （1-1-2）式中，Y X ,和Z 是r 在x 、y 和z 轴上的标投影。

矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。

而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。

通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。

第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。

与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。

2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。

3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。

如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。

这一点在几何和力学上都很重要。

4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。

因此单位矢量与其导矢互相垂直。

比如圆函数()j ie t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。

（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。

第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。

本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。

相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。

2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。

矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。

矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。

参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。

2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。

在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。