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第四章一次函数4. 一次函数的应用（第2课时）一、教学目标：①能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题；②在解决问题过程中，初步体会方程与函数的关系，建立各种知识的联系；③通过对函数图象的观察与分析，培养学生数形结合的意识，发展形象思维；④通过具体问题的解决，培养学生的数学应用能力；⑤引导学生从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，使学生初步形成多样的学习方式．二、教学过程：第一环节复习引入1、正比例函数和一次函数的解析式？2、图象特征？3、增减性？4、象限？指出下列函数经过的象限？（1）y = 2x (2) y = -3x(3) y = x - 3 (4) y = - 2x + 3第二环节初步探究例1、由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题：（1）水库干旱前的蓄水量是多少？(2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？(3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？例2：摩托车油箱加满油后，油箱中剩余油量y(L)与行驶路程x(km)的关系如图，问题：（1）油箱最多可储油多少升？（2）一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？第三环节深入探究内容：1．看图填空(1)当0x=y=时，______(2)直线对应的函数表达式是____________2．议一议一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？小结：（1）.从“数”的方面看，当一次函数y=0.5x+1的函数值y=0时，相应的自变量的值即为方程0.5x+1=0解（2.）从“形”的方面看，函数y=0.5x+1与x轴交点的横坐标，即为方程 0.5x+1=0的解。
3、根据下列图象，你能说出哪些一元一次方程的解？并直接写出相应方程的解？三、反馈练习1．某同学将父母给的零用钱按每月相等的数额存放在储蓄盒内，准备捐给希望工程．盒内钱数(元)与存钱月数之间的函数关系如图所示．观察图象回答下列问题：（1）盒内原来有多少元？2个月后盒内有多少元？（2）该同学经过几个月能存够200元？（3）该同学至少存几个月存款才能超过140元？四、课堂小结本节课主要应掌握以下内容：1．能通过函数图象获取信息．2．能利用函数图象解决简单的实际问题．3．初步体会方程与函数的关系．目的：引导学生自己小结本节课的知识要点及数学方法，使这节课知识系统化，感性认识上升为理性认识.效果：学生畅所欲言，相互进行补充,从小结中感知了一次函数的图象在生活中的应用．五、布置作业1．课外探究在生活中，你还遇到过哪些可以用一次函数关系来表示的实际问题？选择你感兴趣的问题，编制一道数学题与同学交流．2．课外作业习题4.6。
1对3辅导教讲义（9)学员姓名：冯亦龙学科教师：张小臣年级：八年级辅导科目：数学授课日期时间主题一次函数的应用教学内容1．经历把实际问题中的有关变量以及关系用数学式子表示出来的过程，领会一次函数的意义，掌握列函数解析式的方法和步骤，能根据题意正确熟练地列出函数解析式；2．能获取一次函数图像中信息，领会数形结合思想；3．会画实际问题的函数图像，注意实际问题中的定义域．案例1：为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家1、2月份的用水量及收费情况如下表：月份用水量（吨）水费（元）1225122045问题1：该市每吨水的基本价为：元/吨，市场价为：元/吨．问题2：设每月用水量为x吨，应缴水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式．（1）当用水量不超出15吨时，我们知道：=5⨯↓↓↓=⨯水费不超过1吨的用水量单价y 与x 之间的关系为： ，定义域为： ； （2）当用气量超出15吨时，我们知道：=15+5=+⨯↓↓↓↓⨯水费吨水费用超过1吨的水量单价y 与x 之间的关系为： ，定义域为： ；问题3：在同一坐标系中，画出问题2中函数关系式的图像；（注意函数所对应的定义域）问题4：小兰家3月份应缴水费为63元，则她家3月份用水量为 吨案例2：在购买某场演唱会门票时，设购买门票为x （张），总费用为y （元）。
现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张120元（总费用=广告赞助费+门票费） 方案二：购买门票方式如图所示，x yO问题1：（1）方案一中，y 与x 的函数关系式为_______________（2）方案二中，当0≤x ≤100时，y 与x 的函数关系式为_______________，当x ＞100时，y 与x 的函数关系式为问题2：如果购买这场演唱会门票超过100张，选择哪一种方案，能使总费用最省？请说明理由.问题3：甲单位采用方案一、乙单位采用方案二共购买这场演唱会门票1000张，花去总费用合计142000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张。
第 1 页 共 1 页专题一（第二讲）：一次函数《应用部分》金牌数学专题系列 导入[前言]一次函数的重点是概念、图象和性质．一次函数是最基本函数．学习一次函数时，难点是要注意与一元一次方程，一元一次不等式，二元一次方程组的联系，在学习图象时，要与几何知识相联系．精例部分1.如何掌握一次函数的概念、图象和性质． [例题1] 已知：28(3)1m y m xm -=-++是一次函数，求m 的值.解：由题意得：3m -≠0即3m≠，且281m -= 29m =，3m =-或3m =（舍去）。
因此，3m =-. 题后反思：①一次函数y kx b =+中：k ≠0，自变量x 的最高次项的次数为1.②易错点：忽视3m -≠0这一限制条件而出错.【当堂过手训练】：28(2)1m y m xm -=-++是一次函数，且y 随着x 的增大而减小，请你求m 的值。
儿子考完试回家一进门，连招呼都不打，低着头要回屋。
爸爸：“成绩下来了，多少分？” 儿子：“爸，您今天心情好吗？” 爸爸：“非常好。
”儿子：“为了不影响您的好心情，您还是别问了。
” 爸爸：“我心态很平和，不会受影响的。
”儿子：“心态再平和，知道了这个分数也会变得不平和。
” 爸爸：“我没时间跟你磨嘴皮子，快说考多少分。
” 儿子：“您都生气了，我哪还敢说啊。
” 爸爸赶紧摆出一副笑脸问：“多少分啊？” 儿子：“您这么喜怒无常，我更不敢说了。
第 2 页 共 2 页[例题2] 已知直线(1)y k x b =-+与32y x =-平行，且过点（1，-2），问直线y bx k =-不经过哪个象限？解： 由题意得： 13k -=， 4k ∴=；又： -2=3×1＋b ， 5b ∴=-；即直线54y x =--不经过第一象限.解后反思：①直线y=1k x +1b 与直线y=22k x b +平行，即12k k =，反之亦然；②直线y kx b =+经过点（,m n ）或点（,m n ）在直线上，则,x m y n ==满足关系式y kx b =+； ③易错点：本题提到的直线有三条，要搞清是对哪条直线提出问题；另外，有的审题粗心易回答成经过的象限.[例题3] 如图，已知直线l 交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，求：（1）y 与x 的函数关系式；（2）AOB 的周长和面积；解：（1）直线l 中，设：y kx b =+，点A （0，2）在直线上，20,2k b b ∴=⨯+=； 又B （3，0）在直线上，2032,3k k =+=-； 因此y 与x 的函数关系式为223y x =-+. （2）从图象观察得，OA=2，OB=3，∴由勾股定理得，222313AB =+=，∴ AOB 的周长为：OA+OB+AB=5+13（单位长度）；∴ AOB 的面积为：S 1123322OA OB ==⨯⨯= （单位平方）[例题4] 衣的问题：妈妈在用洗衣机洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如折线图所示： 根据图象解答下列问题：1.洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中的水量是多少升？2.已知洗衣机的排水速度为每分钟19升；①求排水时y 与x 之间的关系式。
一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx (k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b (k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。
3.k，b与函数图像所在象限：当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大;当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b>0时，直线必通过一、二象限;当b=0时，直线通过原点当b<0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数的图像。
这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的表达式。
(1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。
(2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。
所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②(3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。
s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。
教案分析：这是一个电话收费问题，涉及到两种收费方式.想要选择节省电话费的公司，也就是要比较通话时间相同时两个公司的电话费的大小，然后选择费用少的.我们首先要知道在通话时间相同的情况下两个公司的收费分别是多少.显然，电话费是通话时间的函数.为此可以设通话时间是t分钟，分别列出两家公司的电话费，再进行比较.解：设按照甲、乙两个通信公司的收费标准通话t分钟的话费分别为y1元和y2元，则这两个函数的表达式分别为：y1=0.4t +50（t ≥0，t 为整数）y2=0.6t （t ≥0，t 为整数）法一：当y1=y2时，即0.4t +50=0.6t.解得，t =250，当月通话时间为250分钟时，两公司收费相同.当y1>y2时，即0.4t +50>0.6t.解得，t <250，当月通话时间少于250分钟时，应选择乙公司.当y1<y2时，即0.4t +50<0.6t.解得，t >250，当月通话时间多于250分钟时，应选择甲公司.法二：在同一坐标系中画出两个函数的示意图.结合图象示意图可以得到如下结论：当月通话时间为250分钟时，两公司收费相同；当月通话时间少于250分钟时，应选择乙公司；当月通话时间多于250分钟时，应选择甲公司；小结：1.利用函数图象的直观性可以帮助分析、解决问题.2.要挖掘函数图象所蕴含的信息，如交点、高低等的实际意义。
例2.练习1.北京居民用水价按家庭年用水量计算，标准如下：第一阶梯上限180立方米，水费为5元/立方米；第二阶梯为180以上至260立方米，水费价格为7元/立方米；第三阶段为260立方米以上，水费价格为9元/立方米. 设家庭年用水量x立方米，年水费y元.请用图象表示年水费y关于年用水量x的函数关系解：当0≤x≤180时，y=5x；（0,0）、（180,900）当180<x≤260时，y=7x-360；（180，900）、（260,1460）当x>260时，y=9x-880.（260，1460）、（300,1820）练习2.小宋计划用30分钟到离家15公里的学校，先乘公交车,发现公交车的速度比预想的快，所以他在乘车18分钟时下车，改骑共享自行车完成余下行程，并准点到校.设小宋出发后的时间为x分钟，离家的距离为y 公里，下面图象中能表示y与x之间的函数关系的图象可能是（ C ）例2.甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图所示，线段OA表示货车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，根据图象，解答下列问题：（1）线段CD表示轿车在途中停留了________h；（2）求线段DE所在直线的函数表达式；（3）求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.分析：线段OA，这是货车离开甲地的距离关于时间的函数关系，线段OA上有已知点O（0,0）、A（5,300），可求表达式为y=60x. (0≤x≤5)其实际意义是货车从甲地出发，匀速行驶5小时到相距300km的乙地.下面看折线BCDE。
1初二春季·第2讲·尖子班·教师版函数5级一次函数解析式与图象变换函数6级 一次函数的应用函数7级一次函数与全等三角形综合春季班 第三讲春季班 第一讲密码作弊满分晋级阶梯漫画释义2一次函数的应用2初二春季·第2讲·尖子班·教师版题型切片（两个）对应题目题型目标与方程（组）、不等式的综合 例1，例2，练习1，练习2，练习3；例6； 一次函数的实际应用例3；例4，练习4；例5，练习5．本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是在上讲的基础上引导学生通过动手操作，从形与数两个角度体会一次函数与方程及不等式之间的联系，并可以根据一次函数的图象求二元一次方程组中的近似值，通过例题使学生逐步明确两条直线交点与二元一次方程组的关系．题型二的一次函数应用题版块通过综合一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的事件联系起来以体现数学的应用价值．一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：⑴学生对数形结合的认识和理解；⑵将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；⑶分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查；⑷对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力．题型切片编写思路知识互联网3初二春季·第2讲·尖子班·教师版本讲的最后一道例题是一道经典数形结合题目，将一次函数与方程及不等式的关系通过画图的形式进行展现，能够让学生更好地理解及使用函数的图象．←−−−→转为可化←−−−→从图象上看←−−−→转为可化←−−−→从图象上看←−−−→转为可化←−−−→从图象上看←−−−→转为可化←−−−→从图象上看以交点为界限，直线1l 位于直线2l 上方的那部分图象一次函数111y a x b =+ 与222y a x b =+，求当12y y >时x 取值范围 解一元一次不等式1122a x b a x b +>+()12a a ≠ 两条直线111y a x b =+与222y a x b =+的交点求一次函数111y a x b =+与222y a x b =+图象的交点坐标解二元一次方程组()111222y a x b a a y a x b =+⎧⎨=+⎩≠ 当0y >时，直线上的点在x 轴上方 0y <时，直线上的点在x 轴下方一次函数y ax b =+求当0y >或0y <时x 的取值范围解一元一次不等式0ax b +>或()00ax b a +<≠确定直线y ax b =+ 与x 轴交点的横坐标一次函数y ax b =+ 当0y =时，求x 的值解一元一次方程 ()00ax b a +=≠思路导航题型一：一次函数与方程（组）和不等式4初二春季·第2讲·尖子班·教师版【引例】 ⑴ 方程2200x +=的解为________，自变量____x =时，函数220y x =+的值为0.⑵ 直线1y x =-和3y x =+的位置关系是 ，由此可知方程组13y x y x =+⎧⎨=-⎩解的情况为_____.⑶ 方程组12y x y x =--⎧⎨=+⎩的解为_____，由此可知直线11y x =--与22y x =+的交点坐标为_____.在同一直角坐标系中画出⑶中1y 与2y 的图象，通过观察图象，填空： ① 当x 时，10y ≥，当x 时，20y < ② 当x 时，12y y >，当x 时，121y y -<<【解析】 ⑴ 10x =-，10-； ⑵平行，无解； ⑶ 3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，；图象如下：y 2=x+2y 1=-x-1Oyx①当1x -≤时，10y ≥ ；当2x <-时，20y <；②当32x <-，12y y >；当302x -<<时，121y y -<<【例1】 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度()cm y 与燃烧时间()h x 之间的关系如图（实线为甲，虚线为乙），请根据图上信息，回答下列问题：⑴ 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃尽所用的时间分别是多少？典题精练例题精讲Ox (h)y (cm)3025201032.5215初二春季·第2讲·尖子班·教师版O BA xy⑵ 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 的函数关系式；⑶ 燃烧多久后，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛高？什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛低？【解析】 ⑴ 甲乙的高度分别为25cm 30cm ，；时间分别为2.5h 2h ，.⑵ 甲：1025(0 2.5)y x x =-+≤≤ 乙：1530(02)y x x =-+≤≤⑶ 联立甲乙的解析式，求得方程组的解为115x y =⎧⎨=⎩∴燃烧1小时的时候，甲乙高度相等；1小时之后，甲比乙高；1小时之前，甲比乙低.【例2】 ⑴ 如图，直线y kx b =+与坐标轴交于A （3-，0），B （0，5）两点，则不等式0kx b --<的解集为_________. （海淀期末试题）⑵如图，已知直线y ax b =+与直线y x c =+的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论： ①0a <； ②0c >；③对于直线y x c =+上任意两点()A A A x y ，、()B B B x y ，，若 A B x x <，则A B y y >； ④1x >是不等式ax b x c +<+的解集． 其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④（实验中学期末）⑶如图，直线y kx b =+经过()()2112A B --，，，两点，则不等式 122x kx b >+>-的解集为_________________．【解析】 ⑴ 3x >- ⑵ C⑶ 12x -<<，此题要求学生补上12y x =的图象，然后利用图象法来解不等式，这样才能体现一种函数思想. 当然，也可以用待定系数法求解析式，然后解不等式组，但是较为麻烦.1y=ax+by=x+cOyx 题型二：一次函数的实际应用y=kx+byxBA O6初二春季·第2讲·尖子班·教师版一次函数实际应用题的命题形式多样，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶解读图象（单个函数图象、多个函数图象）。
O BAyx【作业1】⑴ 用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩⑵ 直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如右图，则关于x 的不等式12k x b k x c +<+的解集为（ ）．A . 1x >B . 1x <C . 2x >-D . 2x <-⑶ 如图，直线y kx b =+经过()21A --，和()30B -，两点，则不等式组 102x kx b <+<的解集为 ．【作业2】如图所示，直线y kx b =+经过A （1-，2）和B （3-，0）两点，则不等式组13x kx b -+<+<的解集是什么?【作业3】已知甲乙两人的一次赛跑中，路程S 与时间的关系如图所示，那么可以知道：一次函数的应用-1P (1,1)22O yx-21O y=k 2x+cy=k 1x+by xA BOxyxy ABOCxy 备用图ABOC（1）这是一次_______米赛跑；（2）甲、乙两人中先到达终点的是________； （3）乙在这次赛跑中平均速度为_________米/秒．【作业4】为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的便民卡和如意卡在我市范围内每月(30天)的通话时间x (分钟)与通话费y (元)的关系如图所示，分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 之间的函数关系式，如果小方3月份通话时间为170分钟，他选择哪种卡比较合适．【作业5】如图，已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，另已知直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分． （1）若△AOB 被分成的两部分面积相等，求k 和b 的值； （2）若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值．30201030201035302010102030A （0,29） B （30,35）xyxy(30,15)10012.5120甲乙t （秒）y （米）。
13初二春季·第2讲·尖子班·学生版函数5级一次函数解析式与图象变换函数6级 一次函数的应用函数7级一次函数与全等三角形综合春季班 第三讲春季班 第一讲密码作弊满分晋级阶梯漫画释义2一次函数的应用14初二春季·第2讲·尖子班·学生版题型切片（两个）对应题目题型目标与方程（组）、不等式的综合 例1，例2，练习1，练习2，练习3；例6； 一次函数的实际应用例3；例4，练习4；例5，练习5．←−−−→转为可化←−−−→从图象上看题型切片知识互联网确定直线y ax b =+ 与x 轴交点的横坐标一次函数y ax b =+ 当0y =时，求x 的值解一元一次方程 ()00ax b a +=≠思路导航题型一：一次函数与方程（组）和不等式15初二春季·第2讲·尖子班·学生版←−−−→转为可化←−−−→从图象上看←−−−→转为可化←−−−→从图象上看←−−−→转为可化←−−−→从图象上看【引例】 ⑴ 方程2200x +=的解为________，自变量____x =时，函数220y x =+的值为0.⑵ 直线1y x =-和3y x =+的位置关系是 ，由此可知方程组13y x y x =+⎧⎨=-⎩解的情况为_____.⑶ 方程组12y x y x =--⎧⎨=+⎩的解为_____，由此可知直线11y x =--与22y x =+的交点坐标为_____.在同一直角坐标系中画出⑶中1y 与2y 的图象，通过观察图象，填空： ① 当x 时，10y ≥，当x 时，20y < ② 当x 时，12y y >，当x 时，121y y -<<【解析】 ⑴ 10x =-，10-； ⑵平行，无解； ⑶ 3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 3122⎛⎫- ⎪⎝⎭，；以交点为界限，直线1l 位于直线2l 上方的那部分图象一次函数111y a x b =+ 与222y a x b =+，求当12y y >时x 取值范围 解一元一次不等式1122a x b a x b +>+()12a a ≠ 两条直线111y a x b =+与222y a x b =+的交点求一次函数111y a x b =+与222y a x b =+图象的交点坐标解二元一次方程组()111222y a x b a a y a x b =+⎧⎨=+⎩≠ 当0y >时，直线上的点在x 轴上方 0y <时，直线上的点在x 轴下方一次函数y ax b =+求当0y >或0y <时x 的取值范围解一元一次不等式0ax b +> 或()00ax b a +<≠例题精讲16初二春季·第2讲·尖子班·学生版图象如下：y 2=x+2y 1=-x-1Oyx①当1x -≤时，10y ≥ ；当2x <-时，20y <；②当32x <-，12y y >；当302x -<<时，121y y -<<【例1】 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度()cm y 与燃烧时间()h x 之间的关系如图（实线为甲，虚线为乙），请根据图上信息，回答下列问题：⑴ 甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是多少？从点燃到燃尽所用的时间分别是多少？ ⑵ 分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时y 与x 的函数关系式；⑶ 燃烧多久后，甲、乙两根蜡烛的高度相等？在什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛高？什么时间范围内，甲蜡烛比乙蜡烛低？典题精练Ox (h)y (cm)3025201032.52117初二春季·第2讲·尖子班·学生版O BA xy【例2】 ⑴ 如图，直线y kx b =+与坐标轴交于A （3-，0），B （0，5）两点，则不等式0kx b --<的解集为_________.⑵如图，已知直线y ax b =+与直线y x c =+的交点的横坐标为1， 根据图象有下列四个结论： ①0a <； ②0c >；③对于直线y x c =+上任意两点()A A A x y ，、()B B B x y ，，若 A B x x <，则A B y y >； ④1x >是不等式ax b x c +<+的解集． 其中正确的结论是（ ）A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④（实验中学期末）⑶如图，直线y kx b =+经过()()2112A B --，，，两点，则不等式 122x kx b >+>-的解集为_________________．一次函数实际应用题的命题形式多样，可以大致归为以下几类：⑴方案设计问题（物资调运、方案比较）；⑵分段函数问题（分段价格、几何动点）；⑶解读图象（单个函数图象、多个函数图象）。
⑷一次函数多种变量及其最值问题。
这些问题都渗透着函数的方法和思想，其中一次函数多种变量及其最值是一个重难点，解决此问题的窍门是——列表，详见例题．思路导航1y=ax+by=x+cOyx 题型二：一次函数的实际应用y=kx+byxBA O18初二春季·第2讲·尖子班·学生版【引例】 密码学与数学是有关系的．某校初二一班数学兴趣小组经过研究实验，用所学的一次函数知识制作了一种密钥的编制程序．他们首先设计了一个“字母——明码对照表”： 字母 A B C D E F G H I J K L M 明码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 明码 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26例如，以311y x =+为密钥，将“努力”二字进行加密转换后得到下表：汉字 努 力 拼音 N U L I 明码：x 14 21 12 9密钥： 311y x =+密码：y5374因此，“努”字加密转换后的结果是“5374”． 问题：⑴请你求出当密钥为311y x =+时，“力”字经加密转换后的结果；⑵为了提高密码的保密程度，需要频繁地更换密钥．若“努力”二字用新的密钥加密转换后得到下表：汉字 努 力 拼音 N U L I 明码：x 14 21 12 9密钥： y kx b =+ 密码：y9173请求出这个新的密钥，并直接写出“努”字用新的密钥加密转换后的结果．【解析】 ⑴ 当12x =，3121147y =⨯+=；当9x =，391138y =⨯+=∴“力”字转换后为“4738”⑵ 由“力”字的转换可知，当12x =，91y =；当9x =，73y =，代入y kx b =+中，得9112739k b k b =+⎧⎨=+⎩解得619k b =⎧⎨=⎩， ∴619y x =+当14x =时，103y =；当21x =，145y =， ∴“努”转换后为“103145”例题精讲19初二春季·第2讲·尖子班·学生版【例3】 王鹏和李明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏从原路回到学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线O A B C ---和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：⑴王鹏在图书馆查阅资料的时间为 分钟，王鹏返回学校的速度为 千米/分钟； ⑵请求出李明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系式； ⑶当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？李明王鹏45301542（千米）（分钟）DC BAO s t【例4】 如图，某公司专销A 产品，第一批A 产品上市40天内全部售完．该公司对第一批A 产典题精练20初二春季·第2讲·尖子班·学生版品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A 产品的销售利润与上市时间的关系．⑴试写出第一批A 产品的市场日销售量y 与上市时间t 的关系式；⑵第一批A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）【例5】 在某次抗震救灾中得知，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖掘机，甲地需要25台，乙地需要23台．A 、B 两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖掘机26台和22台并将其乙灾区需23台B 省捐赠22台甲灾区需25台A 省捐赠26台60乙甲20y 销售利润(元)y 市场日销售量(万)OO全部调往灾区．如果从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元．设从A省调往甲地x台挖掘机，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元．⑴请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围．⑵若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？⑶怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资多少万元？真题赏析初二春季·第2讲·尖子班·学生版2122初二春季·第2讲·尖子班·学生版【例6】 阅读：我们知道，在数轴上，1x =表示一个点，而在平面直角坐标系中，1x =表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程210x y -+=的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数21y x =+的图象，它也是一条直线（如图1）．观察图1可以得出：直线1x =与直线21y x =+的交点P 的坐标()13，就是方程组1210x x y =⎧⎨-+=⎩的解，所以方程组的解为13x y =⎧⎨=⎩．在直角坐标系中，1x ≤表示一个平面区域，即直线1x =以及它左侧的部分（如图2）；21y x +≤也表示一个平面区域，即直线21y x =+以及它下方的部分（如图3）． y =2x +1yxO 1x =1yx O 1图3图2图11O xy P (1,3)y =2x +1x =13回答下列问题：⑴ 在直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组222x y x =-⎧⎨=-+⎩的解；⑵ 用阴影表示2220x y x y -⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≤≥所围成的区域；⑶ 求在直角坐标平面中不等式3x y +≤围成的面积．复习巩固23初二春季·第2讲·尖子班·学生版题型一 一次函数与方程（组）和不等式 巩固练习【练习1】已知：直线122y x =--.⑴求直线122y x =--与x 轴的交点B 的坐标，并画图；⑵若过y 轴上一点A （0，3）作与x 轴平行的直线l ，求它与直线122y x =--的交点M的坐标；⑶若过x 轴上一点C （3，0）作与x 轴垂直的直线m ，求它与直线122y x =--的交点N的坐标．【练习2】⑴ 用图象法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象，如图所示，则所解的二元一次方程组是（ ）A ．203210x y x y +-=⎧⎨--=⎩B ．2103210x y x y --=⎧⎨--=⎩ C ．2103250x y x y --=⎧⎨+-=⎩ D ．20210x y x y +-=⎧⎨--=⎩⑵ 直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如右图，则关于x 的不等式12k x b k x c +<+的解集为（ ）．A. 1x >B. 1x <C. 2x >-D. 2x <-⑶ 如图，直线y kx b =+经过()21A --，和()30B -，两点，则不等式组102x kx b <+<的解集为 ．【练习3】用画图象的方法解不等式54210x x +<+．24初二春季·第2讲·尖子班·学生版题型二 一次函数的实际应用 巩固练习【练习4】我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a 元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a 元收费，超过10吨的部分，按每吨b 元()b a >收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．⑴ 求a 的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ ⑵ 求b 的值，并写出当10x >时，y 与x 之间的函数关系式； ⑶ 已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元， 求他们上月分别用水多少吨？【练习5】某服装厂现有A 种布料70m ，B 种布料52m ．现计划用这两种布料生产M ，N 两种型号的时装80套，已知做一套M 型号的时装需要A 种布料0.6m ，B 种布料0.9m ，可获利45元；做一套N 型号的时装需要A 种布料1.1m ，B 种布料0.4m ，可获利50元．若设生产N 型号的时装套数为x ，用这批布料生产这两种型号的时装所获的总利润为y元．y (元)x (吨)35152010O⑴求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；⑵该服装厂在生产这批时装中，当生产N型号的时装多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？初二春季·第2讲·尖子班·学生版25第十六种品格：感恩父母是我们人生的第一任老师，从一个孩子呱呱坠地的那一刻起，他的生命就倾注了父母无尽的爱与祝福。
