一次函数 二次函数

一次函数与二次函数的性质及其像一次函数和二次函数在数学中扮演着重要的角色。

本文将探讨一次函数和二次函数的性质以及它们的像。

我们将首先介绍一次函数，然后转向二次函数，并详细讨论两者的相似之处和不同之处。

一、一次函数（线性函数）一次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a不等于零。

一次函数的图像是一条直线，直线的斜率为a，截距为b。

斜率表示了直线的倾斜程度，截距则表示了直线与y轴的交点。

一次函数的性质：1. 直线的斜率决定了函数的增减性。

当斜率大于零时，函数单调递增；当斜率小于零时，函数单调递减。

2. 零点是一次函数的特殊点，即f(x) = 0的解。

零点表示函数与x轴的交点，也就是函数的根。

3. 一次函数的图像是一条直线，因此没有曲线部分。

4. 一次函数的像是一条直线。

二、二次函数（抛物线函数）二次函数是指具有以下形式的函数：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数，且a不等于零。

二次函数的图像是一条抛物线，抛物线可能开口向上（a>0）或向下（a<0），具体取决于二次函数的开口方向。

二次函数的性质：1. 抛物线的顶点是二次函数的特殊点，即顶点的横坐标为 -b/2a。

顶点表示抛物线的最高或最低点。

2. 当二次函数的a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

3. 抛物线的轴对称线是与抛物线关于该线对称的直线，其方程为x = -b/2a。

4. 二次函数的像是一条抛物线。

一次函数与二次函数的相似之处：1. 一次函数和二次函数都是多项式函数的特殊形式。

2. 一次函数和二次函数都是连续函数，其图像没有间断。

3. 一次函数和二次函数的像都可以用解析式表示。

一次函数与二次函数的不同之处：1. 一次函数是一条直线，而二次函数是一条抛物线。

2. 一次函数的最高次幂是1，而二次函数的最高次幂是2。

3. 一次函数的图像没有曲线部分，而二次函数的图像有曲线部分。

一次函数一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。

特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

即：y=kx （k为常数，k≠0）二、一次函数的性质：1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质：1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b=0时，直线通过原点当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

四、确定一次函数的表达式：已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。

所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最后得到一次函数的表达式。

五、一次函数在生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。

s=vt。

2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

一次函数和二次函数一次函数一次函数是一种函数，它的自变量和因变量之间的关系是一个线性关系。

这种函数的特点是，它的图像是一条直线，且斜率不变，斜率也可以理解为函数的变化率。

一次函数的公式为y=ax+b，a是斜率，b是函数的截距，给定a和b的值可以求出x和y的值，也可以反过来求出a和b的值。

一次函数有许多特殊的应用，包括水平线、电力线、经济学中的折线图等。

水平线是一次函数应用最为广泛的情况，它可以帮助我们在计算机中实现垂直线的绘制，以满足特定的功能需求。

在电力线中，一次函数可以用来表示电力线的电压和电流之间的关系，它可以帮助我们更好地控制电力线的运行状态。

在经济学中，一次函数可以用来表示投入产出曲线的变化规律，从而分析经济的发展趋势。

二次函数二次函数是一种函数，它的自变量和因变量之间的关系是一个二次方的关系。

它的图像是一条弧线，且斜率会变化，斜率的变化率可以理解为二次函数的变化率。

二次函数的公式为y=ax2+bx+c，a是斜率变化率，b是斜率，c是函数的截距，给定a、b和c的值可以求出x和y的值，也可以反过来求出a、b和c的值。

二次函数在实际应用中也有许多，包括空气阻力、压力曲线、经济学中的均衡分析等等。

空气阻力是一种二次函数应用最为广泛的情况，它可以帮助我们分析飞行物体在空气阻力作用下的行为，以满足特定的功能需求。

在压力曲线中，二次函数可以用来表示液体在受力作用下的压力变化，它可以帮助我们更好地控制液体的压力。

在经济学中，二次函数可以用来表示均衡分析的变化规律，从而分析经济的发展趋势。

总之，一次函数和二次函数是数学中的重要概念，它们的应用也极其广泛，从水平线到压力曲线，从经济学中的折线图到均衡分析，它们都起着重要的作用。

二次函数和一次函数的概念和性质二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在数学领域具有重要的概念和性质。

本文将介绍二次函数和一次函数的定义、图像特征、性质以及它们在实际问题中的应用。

一、二次函数的概念和性质二次函数是指函数的公式中含有二次方项的函数形式。

一般来说，二次函数的标准形式为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b和c是常数，且a不等于0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的抛物线。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

二次函数的图像特征还包括顶点坐标和轴对称性。

对于标准形式的二次函数f(x)，顶点的x坐标为 -b/2a，y坐标为 f(-b/2a)。

此外，二次函数具有轴对称性，即以顶点为对称轴。

二、一次函数的概念和性质一次函数是指函数的公式中只含有一次方项的函数形式。

一般来说，一次函数的标准形式为：f(x) = mx + b其中，m和b是常数，且m不等于0。

一次函数的图像通常是一条直线，具有斜率和截距。

一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率越大，函数图像的倾斜程度越大；斜率为正表示函数上升，斜率为负表示函数下降。

一次函数的截距表示函数图像与y轴的交点坐标。

三、二次函数和一次函数的比较1. 图像特征：二次函数的图像为抛物线，具有开口方向、顶点和轴对称性；一次函数的图像为直线，具有斜率和截距。

2. 变化趋势：二次函数的变化趋势在抛物线上是非线性的，根据a的正负值可以分为开口向上或开口向下的情况；一次函数的变化趋势线性，变化速率恒定。

3. 特殊性质：二次函数的顶点坐标可以通过公式 -b/2a 计算得出，具有对称性；一次函数没有特殊的对称性质。

四、二次函数和一次函数的应用1. 二次函数的应用：二次函数在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。

例如，自由落体运动的物体高度和时间的关系、抛物线轨迹的碰撞问题等都可以使用二次函数进行建模和解决。

2. 一次函数的应用：一次函数在线性方程组、经济学和工程学中也有重要的应用。

一次函数、二次函数1. 一次函数、二次函数的定义⑴一般地，如果)0,,(≠+=k b k b kx y 为常数，那么y 就叫做x 的一次函数。

其中k 是一次项的系数，b 是图象与y 轴交点的纵坐标，叫做直线在y 轴上的截距。

特别地，当0=b 时，一次函数就变成了正比例函数)0,(≠=k k kx y 为常数。

⑵函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫二次函数，它的定义域是R 。

c bx ax y 2++=（a ≠0）是二次函数的一般形式，另外还有顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，其中),(k h 是抛物线顶点的坐标。

两根式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，其中21x ,x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。

2. 一次函数与二次函数的图象和性质⑴一次函数）为常数0,,(≠+=k b k b kx y 的图象与性质⑵ 二次函数的图象是一条抛物线，经过配方，可得到c bx ax y ++=2a b ac a b x a 44)2(22-++=，顶点为)44,2(2ab ac a b --，对称轴为直线bx -=，其图象及主要性质如下表：知识点一：用待定系数法求函数的解析式：待定系数法是一种求未知数的方法。

一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。

k≠），当x＝4时，y的值为9；当x＝2例1. 已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，0时，y的值为－3；求这个函数的关系式。

2已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。

3抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。

知识点二：二次函数的性质及应用例4 求函数322++-=x x y 的顶点坐标，对称轴及函数的单调区间。

二次函数与一次函数二次函数（quadraticfunction）是指未知数的最高次数为二次的多项式函数。

一次函数（linearfunction）,也作线性函数,在x,y坐标轴中可以用一条直线表示。

设一次函数为：y=kx+b,k≠0二次函数为：y=ax2+bx+c,a≠01.首先，我们从一次函数的自变量进行对比：一次函数：存在自变量x,并且最高次数是1，x可以为x轴上任意值；二次函数：存在自变量x,并且最高次数是2，x可以为x轴上任意值；2.在直角坐标系中他们的表现形式进行对比：一次函数：在直角坐标系中，y=kx+b，（k≠0）为一条直线，与x轴，y轴分别交于点（-b/k,0），（0，b）.并且当b=0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）过原点，直线关于原点对称。

当K＞0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）随x值变大而变大；当k＜0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）随x值变大而减小；当k＝0时，一次函数y=kx+b，（k≠0）为常量，即y=b,与x轴平行。

二次函数：在直角坐标系中，y=ax2+bx+c,a≠0为一条曲线，同时也是一条抛物线，关于x=-b/2a对称，存在一个顶点（-b/2a,4ac-b2/4a）.并且当△=b2-4ac＞0时，与x轴有两个交点，当△=b2-4ac＜0时，与x轴无交点。

当△=b2-4ac=0时，与x轴有一个交点。

并且当a＞0时，开口向上，当a＜0是，开口向下。

3.一次函数与二次函数的解析式的求解方法：一次函数解析式：一般常用的有两种方法a.两点式，如一次函数y=kx+b，（k≠0），过点（x1,y1）（x2,y2）,那么k=(x1-x2)/(y1-y2)求出k值，将点（x1,y1）代入函数y=kx+b，（k≠0）中，求出b值，即得出一次函数的解析式。

b交点是，根据一次函数与x轴、y轴的交点，求出k,b值，即得出一次函数解析式。

二次函数解析式：一般常用的有三种方法a.y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b2/4a）.把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。

二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）顶点式：y=a(x-h)^2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

教学知识点二次函数与一次函数的比较二次函数与一次函数是高中数学中的重要知识点之一。

它们在数学以及实际问题中的应用广泛而又深远。

本文将就二次函数与一次函数的定义、性质、图像以及应用等方面进行比较和分析。

一、定义与性质1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。

2. 一次函数的定义：一次函数是指具有形如f(x) = ax + b的函数，其中a、b为实数且a≠0。

3. 关系式：可以看出，二次函数和一次函数的定义中都有类似的构造。

而不同之处在于二次函数多了一个x²的项。

4. 推广性质：二次函数是一次函数的推广，即一次函数是二次函数当a=0时的特殊情况。

这也就意味着，一次函数是二次函数的一种特例。

二、图像比较1. 二次函数的图像：二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向取决于系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点是二次函数的最值点。

2. 一次函数的图像：一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率k。

当k>0时，直线向上倾斜；当k<0时，直线向下倾斜。

直线和x轴的交点为一次函数的零点。

三、性质比较1. 增减性：一次函数的增减性一直保持一致，即要么递增，要么递减。

而二次函数由于开口方向的不同，其增减性在顶点处有转折，即开口向上时，顶点为最小值点，增减性转折为递增；开口向下时，顶点为最大值点，增减性转折为递减。

2. 最值点：一次函数没有最值点，因为它没有曲线。

而二次函数有顶点，顶点即为其最值点。

当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；开口向下时，顶点为最大值点。

3. 零点：一次函数和二次函数都有零点，即函数与x轴相交的点。

不同的是，一次函数只有一个零点，而二次函数可以有两个或零个零点。

二次函数的零点个数取决于其判别式，即b²-4ac的正负。

四、应用比较1. 一次函数的应用：一次函数在现实生活中有许多应用，如速度和时间的关系、直线运动问题等。

基本初等函数一次函数、二次函数指数函数、对数函数对勾函数、幂函数一次函数f (x )＝kx ＋b定义域：值域：单调性：奇偶性：二次函数2()(0)＝＋＋f x ax bx c a ≠定义域：值域：单调性：奇偶性：二次函数重要思路(“三看”)所有二次函数问题，均按照开口、对称轴、判别式的顺序进行解决，如遇到任何一项不确定时，分类讨论【例1】[]2()22,5,5＝＋＋f x x ax x ∈-⑴当a ＝-1时，求f (x )的最大值与最小值⑵求实数a 的取值范围，使得f (x )在区间[-5,5]上是单调函数【例2】已知函数2()35,[,1]＝＋－f x x x x t t ∈+，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式。

【例3】若2f x x ax a x∈-的最小值为g(a)。

()2221,[1,1]＝－－－⑴求g(a)的表达式⑵求能使g(a)＝1\2的a的值，并求出当a取此值时，f(x)的最大值。

【例4】已知函数2g x x-f(x)是二次函数，当[1,2]＝－()3,x∈-时，f(x)的最小值为1，且f(x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的解析式。

二次函数根的分布设函数2f x ax x a≠若f(x)=0的两根分别为＝＋－()32(0),x x，根据下列条件，分别求出实数a的范围。

12⑴两根都大于0⑵两根都为负⑶一正根、一负根⑷一根大于5，另一根小于5⑸一根大于3，一根小于-2本节课回顾：1．二次函数问题：“三看”，按顺序进行，不确定就讨论2．将韦达定理进行转化，解决简单的二次函数根的分布问题3，函数与方程课中，会继续涉及较为复杂的二次函数根分布问题，请关注课后作业2=--t y x x t1.2已知为常数，函数在区间（0,3]上的最大值为2，则t=______.答案t=1。

一次函数与二次函数一次函数与二次函数是高中数学中常见的重要概念。

它们在实际生活和各个领域中有广泛的应用。

本文将介绍一次函数和二次函数的定义、特点以及它们的应用。

一、一次函数一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a≠0。

一次函数的图像是一条直线，其斜率为a，截距为b。

一次函数的特点如下：1. 斜率：斜率代表了函数图像上的每一单位自变量变化所对应的因变量的变化。

斜率为正时，函数图像上升，斜率为负时，函数图像下降。

斜率为0时，函数图像水平。

2. 截距：截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标。

当x=0时，f(x)=b，即截距为b。

3. 变化趋势：一次函数的图像是一条直线，其变化趋势是线性的，即斜率不变。

当斜率为正时，函数图像上升；当斜率为负时，函数图像下降。

一次函数有许多实际应用，如直线运动问题、成本问题等。

例如，在直线运动问题中，一次函数可以描述物体的位置随时间的变化。

在成本问题中，一次函数可以描述成本与生产量的关系。

二、二次函数二次函数的定义为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。

二次函数的图像通常是一个开口向上或开口向下的抛物线。

二次函数的特点如下：1. 零点：二次函数的图像与x轴的交点称为零点。

根据一元二次方程的求解方法，可以求得二次函数的零点。

2. 极值点：二次函数的图像的最高点或最低点称为极值点。

当抛物线开口向上时，最低点为极小值点；当抛物线开口向下时，最高点为极大值点。

3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。

对称轴的方程为x = -b/2a。

4. 变化趋势：二次函数的图像是一个平滑的曲线，变化趋势会向上或向下。

二次函数有许多实际应用，如弓箭的抛物线轨迹、天文学中的天体运动等。

例如，在弓箭的抛物线轨迹问题中，二次函数可以描述弓箭的轨迹；在天文学中的天体运动问题中，二次函数可以描述行星或彗星的轨迹。

二次函数与一次函数的比较与分析二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。

它们在图像上表现出不同的特征和数学性质。

本文将对二次函数和一次函数进行比较与分析，探讨它们的共同点和差异。

一、定义和表达式1. 二次函数：二次函数是一个以自变量的平方作为最高次项的函数。

它的标准形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

2. 一次函数：一次函数又称为线性函数，是一个以一次方程形式表示的函数。

它的标准形式为f(x) = mx + n，其中m和n为常数，且m ≠ 0。

二、图像特征比较1. 二次函数图像：二次函数的图像通常是一个拱形曲线，称为抛物线。

根据二次函数的a的正负，可以判断抛物线的开口方向。

当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

2. 一次函数图像：一次函数的图像通常是一条直线。

直线的斜率m决定了图像的倾斜方向和变化率。

当m > 0时，直线向上倾斜；当m < 0时，直线向下倾斜。

三、解析式特征比较1. 二次函数解析式：二次函数的解析式中含有二次项、一次项和常数项。

其中，二次项ax²决定了函数的曲率；一次项bx决定了函数的斜率；常数项c决定了函数的纵向平移。

2. 一次函数解析式：一次函数的解析式中只包含一次项和常数项。

其中，一次项mx决定了函数的斜率；常数项n决定了函数的纵向平移。

四、性质比较1. 二次函数性质：a) 零点：二次函数可以有零、一个或两个零点，也就是函数与x轴的交点。

通过求解函数f(x) = 0，可以得到二次函数的零点。

b) 极值点：对于抛物线开口向上的二次函数，最低点称为最小值点；对于抛物线开口向下的二次函数，最高点称为最大值点。

c) 函数的对称轴：二次函数的对称轴是通过最低点或最高点并垂直于x轴的一条直线。

2. 一次函数性质：a) 零点：一次函数只能有一个零点，也就是函数与x轴的交点。

一、函数奇偶性的定义是什么？二、奇偶函数有什么图象特征？三、如何利用定义判断函数奇偶性？一、一次函数1. 一次函数的概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．（一次函数又叫做线性函数）它的定义域为R ，值域为R ．①斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率． ②截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0．2. 一次函数的性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ，即2121y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度． （2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数． （3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数．（4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)bk-，与y 轴的交点为(0,)b ． （5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+，①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．二、二次函数一次函数和二次函数知识讲解知识回顾1. 二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．它的定义域为R ．当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭；当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭2. 二次函数的4种解析式：（1）一般式2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点24(,)24b ac b a a--（2）顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k（3）交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x （4）对称点式12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点12(,),(,)x b x b注：①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式． 已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．3. 二次函数的性质：（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴2b x a-=，与y 轴交于(0,)c ;（2）当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2min 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （3）当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2max 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b = 4. 函数图象的平移：左加右减，上加下减（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+； （2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-； （3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =； （4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；注：左右平移只是针对单个x 而言． 5. 配方法：（1）提，提系数将平方项的系数化为1；（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方； （3）整理．注：“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键．6. 韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a-+== 7. 中点坐标公式：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+8. 交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则12AB x x a∆=-=（其中24b ac ∆=-） 三、待定系数法1. 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2. 待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决． 题型一、一次函数的平移【例1】 在平面直角坐标系中，把直线21y x =-向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =+D ．23y x =-【例2】 直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ．题型二 用待定系数法求函数解析式【例3】 若直线y kx b =+与直线22y x =+关于x 轴对称，则k b ，的值分别是（ ） A ．﹣2，﹣2 B ．﹣2，2 C ．2，﹣2 D ．2，2【例4】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【例5】 已知一条抛物线的形状和2y x =相同且对称轴为12x =-，抛物线与y 轴交于一点()01-，，求函数解析式．题型三、一次函数与方程及不等式综合【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【练一练】已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值．【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．BAO yx【例9】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．题型四、二次函数的图像与性质【例10】（1）已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限Ｂ．第一、二、四象限 Ｃ．第二、三、四象限Ｄ．第一、三、四象限（2）若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2C. 1D.2（3）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限．yxOyxOyxO【练一练】（1）函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是（ ）1xyO 1xyO1Cxy O1xy O（2）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是 DC B A xyO xyO xyO O yx题型五、二次函数在某区间上的值域与最值【例11】求函数()221f x x ax =+-在区间[]0,3上的最小值．【例12】设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 题型六、二次函数与一元二次方程【例13】已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围．【练一练】设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．【例14】已知方程20x ax b ++=的两根均大于2，求a b ，的关系式．【练一练】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．题型七、二次函数与不等式恒成立问题 【例15】设23y x ax a =++-（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．【练一练】函数()23f x x ax =++．（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 得取值范围； （2）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．【练1】 一次函数经过沿y 轴向下平移3个单位，在向右平移2个单位，所得的直线的解析式为()23y x =-，则原来的一次函数解析式为 ．【练2】 直线1l 是正比例函数的图象，将1l 沿y 轴向上平移2个单位得到的直线2l 经过点()11P ，，那么（ ）A ．1l 过第一．三象限B ．2l 过第二．三．四象限C ．对于1l ，y 随x 的增大而减小D ．对于2l ，y 随x 的增大而增大【练3】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【练4】 已知二次函数()()222143y x m x m m =-++-+-，m 为非负整数，它的图像与x 轴交于A B ，两点，其中点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求函数的解析式；（2）若一次函数y kx b =+的图像经过A 与二次函数图像交于C 又10ABC =V S ，求一次函数的解析式．【练5】 若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围．【练6】 设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程()f x x =的两根12,,x x 满足1210x x a<<<． （Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，求证：1()x f x x <<（Ⅱ）设函数()f x 的图象关于0x x =对称，求证：102x x <随堂练习xOy 32【题1】 已知二次函数过点()01-，，且顶点为()12-，，求函数解析式．【题2】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．（1）抛物线的顶点在x 轴上；（2）抛物线的顶点在y 轴上； （3）抛物线经过点(1,2)--； （4）抛物线经过原点；（5）当1x =-时，y 有最小值； （6）y 的最小值为1-．【题3】 已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；② 方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个1Oyx课后作业【题4】 若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围．【题5】 已知()[]2221f x x x x t t =-+∈+，，，若()f x 的最小值为()g t ，写出()g t 的表达式．。

二次函数与一次函数的比较一次函数和二次函数是高中数学中常见的两种函数形式。

它们在数学模型的建立和分析中扮演着重要的角色。

本文将对二次函数和一次函数进行比较，从函数的定义、图像、性质和应用等方面进行综合分析。

一、函数的定义1. 一次函数：一次函数又称为线性函数，其定义可以表示为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，a称为斜率，b称为截距。

一次函数是二次函数的特例，其二次项系数为零。

一次函数的定义域和值域都是整个实数集，没有任何限制。

一次函数的图像是一条直线，斜率决定了直线的斜率和方向，截距决定了直线与y轴的交点位置。

2. 二次函数：二次函数的定义可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。

二次函数的图像是一个抛物线。

二次函数的定义域是整个实数集，因为平方项的平方根没有定义问题。

二次函数的值域取决于二次项系数a的正负情况，若a大于零，则值域是大于等于顶点纵坐标的所有实数；若a小于零，则值域是小于等于顶点纵坐标的所有实数。

二、图像的比较1. 一次函数：一次函数的图像是一条直线。

直线具有明显的斜率和方向，斜率决定了直线的陡峭程度，斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜。

截距决定了直线与y轴的交点位置，通过截距可以确定直线与y轴的交点坐标。

2. 二次函数：二次函数的图像是一个抛物线。

抛物线的开口方向由二次项系数a的正负决定，若a大于零，则抛物线开口向上，若a小于零，则抛物线开口向下。

抛物线的顶点是函数的最值点，对于开口向上的情况，顶点是函数的最小值点；对于开口向下的情况，顶点是函数的最大值点。

三、性质的比较1. 一次函数：一次函数是一阶多项式函数，其函数图像是直线。

一次函数的增减性与斜率的正负有关，若斜率为正，则函数递增；若斜率为负，则函数递减。

一次函数的解析式中只有一项是x的幂次项，因此其次数为一。

2. 二次函数：二次函数是二阶多项式函数，其函数图像是抛物线。

二次函数与一次函数二次函数和一次函数都是高中数学课程中的重要内容，它们在代数学中有着广泛的应用。

本文将详细介绍二次函数和一次函数的定义、特征以及它们之间的关系。

一、二次函数的定义和特征二次函数是一个非常常见的函数形式，其一般表达式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。

1. 零点和解析式二次函数的零点是指使函数等于零的 x 值。

对于二次函数 f(x) = ax²+ bx + c，其零点可以通过求解二次方程 ax² + bx + c = 0 来获得。

一般情况下，二次函数有两个零点，除非该函数没有实数解。

2. 对称轴和顶点二次函数的对称轴是垂直于函数图像的一条直线，它通过抛物线的最高点或最低点，也称为顶点。

对称轴的方程可以通过将二次函数的 x 换成 -b/2a 来得到。

3. 开口和凹凸性二次函数的开口方向由 a 的正负决定。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上；当 a < 0 时，抛物线开口朝下。

凹凸性是指在对应开口的一侧，抛物线的曲率是向上还是向下，与开口的方向相反。

4. 函数图像二次函数的图像形状是一个抛物线。

根据 a 的正负和顶点的位置，抛物线的形态可以有所不同。

当 a > 0 时，抛物线开口朝上，顶点位于图像的最低点；当 a < 0 时，抛物线开口朝下，顶点位于图像的最高点。

二、一次函数的定义和特征一次函数也被称为线性函数，其一般表达式为 f(x) = kx + b，其中 k 和 b 是常数，且k ≠ 0。

一次函数的图像通常是一条直线。

1. 斜率和截距一次函数的斜率 k 表示函数图像的倾斜程度。

斜率可以表示为两个不同点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

截距 b 表示函数图像与 y轴的交点的纵坐标。

2. 与二次函数的关系一次函数与二次函数在数学中有着密切的联系。

二次函数与一次函数的比较二次函数和一次函数是高中数学中常见的两类函数，二次函数是一元二次方程的图像，而一次函数则是一元一次方程的图像。

本文将通过比较二次函数和一次函数在形式、性质和应用等方面的差异，帮助读者更好地理解这两类函数并应用于实际问题中。

一、形式比较1. 二次函数的一般形式为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

a称为二次项的系数，b称为一次项的系数，c称为常数项。

2. 一次函数的一般形式为：f(x) = kx + m，其中k和m都是常数，且k ≠ 0。

k称为斜率，表示函数直线的倾斜程度；m称为截距，表示函数直线与y轴交点的纵坐标。

二、性质比较1. 增减性：二次函数的增减性由二次项的系数a决定。

若a > 0，则函数图像开口向上，呈现开口向上的抛物线形状，函数值随x的增大而增大；若a < 0，则函数图像开口向下，呈现开口向下的抛物线形状，函数值随x的增大而减小。

一次函数的斜率k决定了其增减性。

若k > 0，则函数图像从左到右递增，函数值随x的增大而增大；若k < 0，则函数图像从左到右递减，函数值随x的增大而减小。

2. 平移性：二次函数和一次函数均可通过平移改变其位置。

二次函数的平移可通过调整顶点坐标来实现，平移后保持抛物线的形状不变；一次函数的平移可通过调整截距来实现，同时保持直线斜率不变。

3. 零点：二次函数和一次函数的零点分别对应方程 f(x) = 0的解。

二次函数可以有0、1或2个不同的零点，而一次函数只有一个零点。

4. 最值：二次函数具有极值，最值的位置由顶点坐标决定。

若a > 0，则抛物线的顶点是最小值点；若a < 0，则抛物线的顶点是最大值点。

而一次函数没有最值，因为其图像为一条直线。

三、应用比较1. 二次函数的应用：二次函数广泛应用于抛物线的研究、物理和工程问题中。

例如，抛物线的运动轨迹、物体的抛射高度、天桥的设计等均可以建模为二次函数来计算和分析。

一次函数与二次函数一、引言在数学中，一次函数和二次函数是代数学中常见的函数类型。

它们在数学和实际应用中有着广泛的应用和重要性。

本文将分别介绍一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及实际应用，并着重探讨它们的区别和联系。

二、一次函数1. 定义一次函数又被称为线性函数，它的定义可以表示为：f(x) = ax + b其中，a和b为常数。

2. 性质（1）斜率和截距：一次函数的斜率用a表示，表示直线与x轴正向所成角的正切值。

截距用b表示，表示直线与y轴交点的纵坐标。

（2）图像：一次函数的图像是一条直线，斜率为正表示向上斜，斜率为负表示向下斜。

（3）特殊情况：当a为0时，一次函数化为常数函数f(x) = b，图像为水平直线。

3. 实际应用（1）经济学：一次函数可以用来描述市场需求曲线、供应曲线以及成本函数等经济学中的关系模型。

（2）物理学：一次函数可以用来描述匀速直线运动的位移、速度、加速度等物理量之间的关系。

三、二次函数1. 定义二次函数是指形如下式的函数：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数且a ≠ 0。

2. 性质（1）顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，其中，b为一次项系数，a为二次项系数，f表示函数。

（2）开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定，当a > 0时，开口向上；当a < 0时，开口向下。

（3）图像：二次函数的图像通常是一个抛物线。

3. 实际应用（1）物理学：二次函数可以用来描述自由落体运动的位置、速度等物理量之间的关系。

（2）金融学：二次函数可以用来模拟金融衍生品的价格变动曲线、风险管理模型等。

四、一次函数与二次函数的区别和联系1. 区别（1）定义：一次函数是一次多项式，二次函数是二次多项式。

（2）图像形状：一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线。

（3）解的个数：一次函数的解只有一个，即一次方程的根；而二次函数可以有零个、一个或两个解，即二次方程的根。

二次函数与一次函数的关系二次函数和一次函数是数学中常见的两种函数类型。

二次函数可以写成$y=ax^2+bx+c$的形式，其中 $a$，$b$，$c$ 是常数，$x$ 和$y$ 是自变量和因变量。

而一次函数可以写成 $y=kx+b$ 的形式，其中 $k$ 和 $b$ 是常数，$x$ 和 $y$ 是自变量和因变量。

二次函数和一次函数之间有一些关系。

下面就来探讨一下它们之间的关系。

1. 二次函数和一次函数之间有直接的联系。

二次函数中的 $x^2$ 部分可以看作是一次函数 $y=x$ 的平方。

具体来说，当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口向上，对应的一次函数的图像是一个上升的直线；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口向下，对应的一次函数的图像是一个下降的直线。

2. 二次函数的一些性质可以反映在一次函数中。

例如，二次函数的顶点坐标是$(-frac{b}{2a},frac{4ac-b^2}{4a})$，它对应的一次函数的顶点坐标是 $(-frac{b}{2a},kcdot-frac{b}{2a}+b)$，其中 $k$ 是一次函数的斜率。

这说明，二次函数的顶点坐标和一次函数的顶点坐标在$x$ 轴上是相同的，但在 $y$ 轴上是不同的。

3. 一次函数可以被看作是二次函数的一个特殊情况。

当 $a=0$ 时，二次函数就变成了一次函数 $y=bx+c$。

这意味着，一次函数可以被看作是二次函数的一个特殊情况。

在这种情况下，二次函数的图像是一个平行于 $x$ 轴的直线，而一次函数的图像就是这条直线。

总之，二次函数和一次函数之间有着密切的联系。

了解它们之间的关系，可以帮助我们更好地理解和应用它们。