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专题七函数与图象专飯・备考攻略■■?himriTi OrtKriii Gmiijluv? ，函数及其图象是初中数学的重要内容.函数与许多知识有深刻的内在联系，关联着丰富的几何知识，又是进一步学习的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，良表分析题形式多样，开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位.函数与图象常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想等，中考时常见的题型有图象信息题、代数几何综合题、函数探索开放型试题、函数创新应用题等，应用以上数学思想解决函数问题是中考压轴题的首选.热点 ■ R R IJI CIII热点一O 图象信息题 例1 ： （2013年辽宁锦州）二次函数〉』|-x 2的图象如图Z7・1, 点人0位于坐标原点，点A ］，金，人3，…，A “在y 轴的正半轴上， 点〃 I ，〃2，6，…，乞在二次函数位于第一彖限的图彖上，点 G ，c 2, G ，…，G 在二次函数位于第二象限的图彖上，四边 形人0川2|,四边形A&2A2C2，四边形A 2B.A 3C 3,…，四边形 都是菱形，Z4（Q/| = ZA|B02=N8M3 = ・・・ = Z£_0/“ = 6O° ,菱形的周长为 _______ ・•题型图Z7-1解析：•・•四边形AQAiG是菱形，Z4()B|4, =60°, ・•• △A0B1A1是等边三角形.设厶A(yBiA\的边长为加则B(讐,f .代入抛物线的解析式中，得|［ U判‘二号. 解得mi= 0(舍去)，加］=1.故厶AoBiAj的边长为1.同理可求得△的边长为2……依此类推，等边三角形i£4“的边长为n,故菱形4“ - | 的周长为4n答案：4n名师点评：本题是二次函数综合题.解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，结合菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点解题.解答此题的难点是推出第一个等边△4声/］的边长为1,以此类推，求出等边三角形A n.x B lt A n的边长为n.热原二o代数几何综合题例2： (2013年湖南湘潭)如图Z7-2,在平而直角坐标系xOy 中，厶切^ 是等腰直角三角形，ZBAC=90° , A(l,0), B(0,2),抛物线y=；卫+加一2的图彖过C点.(1) 求抛物线的解析式；(2) 平移该抛物线的对称轴所在直线/,当/移动到何处时，恰好将AABC的面积分为相等的两部分？⑶点P是抛物线上一动点，是否存在点P,使四边形朋C3 为平行四边形？若存在，求出尸点他标；若不存在，说明理由.解：(1)如图Z7-3,过点C作CD丄x轴于点D,则ZCAD+ ZACD = 90°・・•・△403也A CD4(ASA).•'•CD = AO= 1, AD = BO = 2.・•・ OD = OA +AD = 3.・•• C(3,l)・•・•点C(3,l)在抛物线y = +加- 2上,••-1 = *X9 + 3b - 2,解得= ~2・・••抛物线的解析式为y = ^x2-^x- 2.(2)在RtAAOB 中，04=1, OB = 2, 由勾股定理，得AB = \[5. S^ABC=’歹=2- 设直线的解析式为y = kx + b, 13(0,2),C(3,l),・》-|x +同理求得直线AC的解析式为y =如图Z7-3,设直线/与BC, AC分别交于点£, F,（1 ［仃1） 5 5则EF*-罗词-宙-才厂必抛物线的解析式为y = ^x2-^x- 2,当x= -2时，y=l,即点P在抛物线上.・•・存在符合条件的点F,点尸的坐标为(- 2,1)・名师点评：本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点.试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算.热点三O函数探索开放题例3： (2013年湖南岳阳)如图Z7-5,已知以E(3,0)为圆心，以5为半径的0E与兀轴交于A, 3两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c 经过A, B, C三点，顶点为F.(1) 求A, B, C三点的坐标；(2) 求抛物线的解析式及顶点F的坐标；(3) 已知M为抛物线上一动点(不与C点重合)，试探究：①使得以A, B, M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标;②若探究①中的M点位丁-第四彖限，连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与OE的位置关系，并说明理由.解：(1)丁以E(3,0)为圆心，以5为半径的OE与x轴交于4, 3 两点，・"(一2,0), 3(8,0)・如图Z7-6,连接CE.在RtAOCE 中，OE = 3, CE = 5,由勾股定理，得OC = pCE2 _ OE2 = 3 _ 3? = 4.•••C(0, -4).(2)T点A(-2,0), 3(&0)在抛物线上,・••可设抛物线的解析式为y = a{x + 2)(x -8).•・•点C(0, - 4)在抛物线上，・•・- 4 = aX2X(-8),解得a = £・・••抛物线的解析式为:y =|(x + 2)(x - 8) = - 3)2-乎.( 25)•••顶点F的坐标为3, -玄•(3)①•/ AAB C中，底边AB±的高O C-4,•••若△ABC与厶ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件1*1 = 4.1 3i )若加=4,贝忖2 -尹- 4 = 4,整理得X2-6X-32=0,解得x = 3 +(41■或x = 3 -回.・••点M的坐标为(3 + \/4l, 4)或(3-\『41, 4).ii)若％= -4,则|X2-|X-4= -4. 整理得X2-6X =0,解得x = 6或x = 0(与点C重合，故舍去).・••点M的坐标为(6, -4).综上所述，满足条件的点M的坐标为：(3 + \石，4)或(3 -萌T, 4)或(6, - 4).②直线MF 与OE 相切.理由如下：由题意可知，M(6, -4)・如图Z7-6,连接MF,过点A/作MG 丄对称轴EF 于 点 G,则 MG = 3, EG = 4.在RtA MEG 中，由勾股定理，得ME = \）MG 2 + EG 2 = ^32 + 42 = 5.・••点M 在0E 上. 由（2）知，可3, -孕，・n 学在RtA MGF 中，由勾股定理，得EM 2 + MF 2 = 52 + 閉$ ■愕卜 Ep2' :.、EFM 为直角三角形，ZEMF=90°.・・・FG = EF一 EG9-4- 在厶EFM SZ7-6MF = \JMG 2 + FG 2・・•点M在0E上，且ZEA/F=90°,・・・直线MF与OE相切.名师点评：本题是代数几何综合题，主要考查了抛物线与圆的相关知识，涉及的考点有二次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、切线的判定、解一元二次方程等.第(3)①问中, 点M在兀轴上方或下方均可能存在，注意不要漏解.。
