初三数学垂径定理讲义

第11讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。

本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。

希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；①如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；①如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦。

总结：在圆中，对于某一条直线“经过圆心”、“垂直于弦”、“平分弦”、“平分弦所对的弧”这四组关系中，如果有两组关系成立，那么其余两组关系也成立。

课堂精讲精练【例题1】下列判断中，正确的是（）。

A．平分一条弦所对的弧的直线必垂直于这条弦B．不与直径垂直的弦不能被该直径平分C．互相平分的两条弦必定是圆的两条直径D．同圆中，相等的弦所对的弧也相等【答案】C【解析】本题考查了垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理同时平分一条弦所对优弧、劣弧的直线必垂直于这条弦，故A错误；任意两条直径互相平分，故B错误；同圆中，相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等，故D错误。

讲解用时：3分钟解题思路：根据垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系的定理逐项排除。

垂径定理。

垂径定理（也称勾股定理）是数学中非常重要的一条定理。

它被广泛地应用于三角学和其他分支领域。

本文将介绍垂径定理的定义、证明和应用。

一、定义垂径定理是指在一个直角三角形中，斜边平方等于直角邻边上的两条线段长度的平方和。

即：斜边²=直角边²+直角边²。

二、证明垂径定理的证明不止一种方法，以下将介绍其中的一种方法。

在图形中，我们将设直角边a和b，斜边c为假设成立。

因此，我们需要证明平方等式a²+b²=c²成立。

1. 我们可以通过相似三角形证明这一定理。

首先，我们在直角三角形ABC中，构造一条高线AD和一条BD垂直于CD。

这样就可以得到两个小三角形ACD和BCD。

2. 由于角D是直角，因此小三角形ACD和BCD是相似的。

3. 角A和角B是共同的直角的对边角，因此它们相等。

4. 角ACD和角BCD是垂直的，因此它们是互补的。

5. 根据相似三角形定理，我们可以将长度AC和BD表示为CD的比例。

具体来说，我们有：AC/CD = CD/BD6. 上述等式可以整理为：AC² = CD² × （BCD/BCD+ACD）BD² = CD² × （ACD/BCD+ACD）7. 将上述两式相加，得到：AC² + BD² = CD²8. 根据勾股定理，这是一个正确的等式。

因此，我们得到了垂径定理的证明。

三、应用垂径定理被广泛地应用于三角学和其他分支领域。

以下是一些应用：1. 在数学中，垂径定理是解决三角形中任意一个角度和边长的重要工具。

例如，你可以使用该定理来确定三角形中的角度或确定其他边长等。

2. 如果你经常涉及到图形设计或从事建筑或工程设计，那么垂径定理也将是重要的工具。

例如，您可能需要使用该定理来更好地计算墙体或其他结构的角度、长度或高度。

3. 垂径定理还可以帮助您计算跨越河流或其他障碍物的桥梁或电线杆的高度。

第十讲 第二十四章 圆24.1.1圆的性质1.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O 为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”.2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小.3.连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC ，AB ；4.经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB ；5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．6. 在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧.24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论.推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD证明过程已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M求证：AM=BM ，AC BC =，AD BD =.分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中OA OBOM OM =⎧⎨=⎩∴Rt △OAM ≌Rt △OBM∴AM=BM∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合． ∴AC BC =，AD BD =24.1.3 弧、弦、圆心角1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等.2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等. 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD推导过程如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB•和∠A•′OB•′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？DAB =''A B ，AB=A ′B ′理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合∴AB =''A B ，AB=A ′B ′例1、如图，在⊙O 中，AB 、CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为EF ． （1）如果∠AOB=∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ （2）如果OE=OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB 与CD 的大小有什么关系？•为什么？∠AOB 与∠COD 呢？练一练一、填选1、如图1，M 是⊙O 内一点，已知过点M 的⊙O 最长的弦为10 cm ，最短的弦长为8 cm ，则OM =_____ cm.2、如图2，⊙O 的直径AC =2，∠BAD =75°，∠ACD =45°，则四边形ABCD 的周长为_____(结果取准确值).3、如图3，⊙O 的直径为10，弦AB =8，P 是弦AB 上一动点，那么OP 长的取值范围是_____.课后作业1、在半径为5cm 圆中，有一条长为6cm 的弦，则圆心到此弦的距离为（ ）。

垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧例1、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，则下面结论错误的是（）A、CE=DEB、弧BC=弧BDC、∠BAC=∠BADD、OE=BE例2、如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于F，连接BC、DB，则下列结论错误的是（）A、OF=CFB、AF=BFC、AD=BDD、∠DBC=90°例3、如图，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB于C，若AO=5，OC=3，那么弦AB的长为（）A、10B、8C、6D、4例4、如图，公园的一座石拱桥是圆弧形的，拱的半径为13m ，拱高CD 为8m ，则拱桥的跨度AB 的长为（ ）A 、20B 、28C 、24D 、324例5、如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且22=CD ，3=BD ，则AB 的长为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、5垂径定理推论：一条直线，只要具备下列5条中的2条，就可以推出其他3条（简称：知二推三）①平分弦所对的优弧②平分弦所对的劣弧③平分弦（不是直径）④垂直于弦⑤过圆心例4、下列说法正确的有_____________①平分弦的直径垂直于弦 ②垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 ④相等的圆心角所对的弧相等4、如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，∠C=25°，则∠ABO的度数是（）A、25°B、30°C、40°D、50°5、如图，半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，则AB的弦心距为（）A、6B、8C、10D、126、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若AB=20，CD=16，则线段BE的长为（）A、4B、6C、8D、107、在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图。

若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）A、40cmB、60cmC、80cmD、100cm8、如图所示，将半径为6cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（）A、6cm3cmB、36cmC、36cmD、59、如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（）A、2B、3C、4D、510、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC。

第9讲垂径定理知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础偏上B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习垂径定理及其相关推论，着重理解垂径定理及其相关推论在实际问题以及几何图形中的应用，掌握关于垂径定理部分题型的常见辅助线的做法，能够结合勾股定理进行熟练计算。

本节课的难点是垂径定理及其推论在几何图形中的应用，涉及的知识点较多，考查的内容较广，具有一定的综合性。

希望同学们认真学习，为后面圆的其他内容理解奠定良好基础。

知识梳理讲解用时：15分钟垂径定理及其推论（1）垂径定理如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

（2）相关推论①如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧；①如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦；①如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧；课堂精讲精练【例题1】下列说法正确的个数是（）。

①垂直于弦的直线平分弦；①平分弦的直线垂直于弦；①圆的对称轴是直径；①圆的对称轴有无数条；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等。

A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】本题主要考查了垂径定理以及圆的基本性质，①垂直于弦的直径平分弦；故错误；①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；①圆的对称轴是直径所在的直线；故错误；①圆的对称轴有无数条；故正确；①在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的优弧和劣弧分别相等，故正确，故选：B．讲解用时：5分钟解题思路：根据垂径定理，轴对称图形的性质以及圆的性质分别判断得出答案即可。

教学建议：逐项排除。

难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：香坊区校级月考年份：2016秋【练习1】如图，①O的半径OC与弦AB交于点D，连结OA，AC，CB，BO，则下列条件中，无法判断四边形OACB为菱形的是（）。

垂径定理九年级知识点垂径定理，也称为垂径长定理，是几何中一个重要的定理，用来描述圆内任意两条互相垂直的直径和其所对应的弦的关系。

下面将详细介绍有关垂径定理的九年级知识点。

1. 垂径定理的表述垂径定理指出，一个圆的直径与其所对应的弦垂直相交，具体表述为："在一个圆内，如果一条弦垂直于直径，那么这条弦将被切成两段，而且这两段的乘积等于每个一段的长度与直径的乘积，即 d1×d2=2×r×a"。

其中，d1和d2分别代表切割弦的两段，r代表圆的半径，a代表这两段与直径的距离。

2. 垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过数学推理和几何推导来完成。

首先，假设圆的直径AB与弦CD互相垂直相交于点O，以及切割弦CD的两段为CE和ED。

根据垂径定理的表述，我们可以得出以下几个等式：AE×EB = CE×ED （1）AO×OB = CO×OD （2）由于AO = CO, OB = OD，将式（2）代入式（1），我们可以得到：AE×EB = AO×OB = r×r = r²因此，垂径定理得证。

3. 垂径定理的应用垂径定理在几何证明和问题求解中经常被应用。

下面介绍几个常见的应用场景：a. 证明两条直线垂直相交当需要证明两条直线垂直相交时，可以利用垂径定理。

首先，通过画圆和连接弦的方式将直线和圆相交，然后利用垂径定理得出圆内两条互相垂直的直径和它们对应的弦的关系，进而推断出直线的垂直关系。

b. 求解弦长已知圆的半径和一个垂直切线与弦的交点坐标，可以利用垂径定理求解弦的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的半径和切线坐标计算出弦的长度，从而得到所需的结果。

c. 求解直径长已知圆的半径和两条互相垂直的弦的长度，可以利用垂径定理求解直径的长度。

根据垂径定理的表述，我们可以通过已知的弦长和半径计算出直径的长度，进而得到所需的结果。

垂径定理九年级数学知识点垂径定理是九年级数学中的一个重要知识点，它涉及到平面几何的基本概念和性质。

在学习垂径定理之前，我们先来了解一下什么是垂径。

一、垂径的定义和性质垂径是在平面上与一条直线垂直相交的线段。

根据垂径的定义，我们可以得到以下性质：1. 一个点到直线的垂径只有一个。

2. 直径的两个垂径互相垂直。

3. 如果两条直径互相垂直，那么它们一定相交于圆的圆心上。

了解了垂径的定义和性质，我们就可以进一步探讨垂径定理了。

二、垂径定理的表述垂径定理是指：如果一条直径和一条垂径相交于圆上的一个点，那么这条垂径所对的弧就是直径所对的弧的一半。

换句话说，直径和垂径所对的弧互为一半。

三、垂径定理的证明垂径定理的证明可以通过利用圆的基本性质和几何知识来完成。

下面我们通过具体的例子来进行证明。

假设在圆O中，AB是直径，CD是与AB垂直相交于点E的垂径。

我们要证明的是：弧CD是弧AB的一半。

首先，连接OA和OB。

根据垂径的性质，我们知道OA和CD互相垂直，所以OA和CD构成一对垂直线段。

同样地，OB和CD也构成一对垂直线段。

由于OA和OB是圆的直径，所以它们穿过圆心O，并且与圆相交于圆上的两个点A和B。

根据圆的性质，直径的两条垂径与圆相交的弧互为一半。

因此，我们可以得出结论：弧CA等于弧CB的一半。

根据弧度的性质，我们知道弧度等于圆心角的度数。

所以弧度CA等于角CBA的度数。

同理，弧度CB等于角CAB的度数。

既然我们已经知道角CBA和角CAB是互补角，而且它们的两条弧互为一半。

所以我们可以得出结论：弧CD等于弧AB的一半。

四、垂径定理的应用垂径定理的应用非常广泛，不仅在九年级的几何学中常常被使用，而且在实际生活中也可以见到它的应用。

例如，在建筑设计中，我们经常会使用垂径定理来确定建筑物的位置和相对位置。

通过利用垂径定理，我们可以确定建筑物的中心位置，从而达到平衡和美观的效果。

此外，在航空和导航领域，垂径定理也被广泛运用。

初中数学什么是垂径定理
垂径定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的直径和垂直关系。

下面我将详细介绍垂径定理的定义、性质和相关的概念。

1. 垂径定理的定义：
-垂径定理：如果一条线段垂直于一条直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

2. 垂径定理的性质：
-垂直关系：垂径定理表明，如果一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。

-直径与垂直弦的关系：垂径定理还表明，直径与垂直于它的弦是垂直的。

3. 垂径定理的应用：
-判断垂直关系：根据垂径定理，可以通过判断一条线段是否垂直于圆的直径来判断这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦是否垂直于这条直径。

-求解问题：根据垂径定理，可以在已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交的情况下，得到与这条线段所得的弦垂直的弦。

垂径定理是圆的直径和垂直关系之间的重要定理，它可以帮助我们判断垂直关系和求解相关问题。

在应用垂径定理时，需要注意理解垂径定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。

希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。

初三数学垂径定理知识精讲知识考点：1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。

这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

精典例题：【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长； （2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。

分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。

解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300，∴OF ＝1 cm∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝3cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm∴253315315-=+-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则22CD AB +＝（ ）A 、28B 、26C 、18D 、35分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。

∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND∴222OE ON OM =+从而22222OE CN OC AM OA =-+-即222221)2(2)2(2=-+-CD AB ∴2822=+CD AB 故选A 。

∙例1图H E F G O DCBA ∙例2图MN E O DCBA∙例2图MN E O DCBA【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝31。