20120第二章平面力系的简化和平衡§2－1 平面汇交力系合成与平衡§2－2 平面力偶系的合成与平衡§2－3 平面任意力系的简化与平衡网上作业系统1、告知作业网站的网址：222.18.54.19\homework。
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平面力系包括平面基本力系和平面任意力系，平面基本力系包括平面汇交力系和平面力偶系,它是研究复杂力系的基础。
o平面汇交力系的定义：各力的作用线在同一平面且相交于一点的力系。
如图所示。
本章研究的两个问题：平面汇交力系的合成与平衡问题。
几何法和解析法。
研究方法：1F 2F nF应用由力三角形法则推广得到的力多边形法则，合力即为力多边形的封闭边。
P34§2-1 平面汇交力系合成与平衡如下图所示。
一、合成c2F RF d3F ab1F O1F 3F 2F 用解析式表达为321F F F F R ++=n R F F F F +++=...21∑==ni i F 1∑=F平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭，即P35二、平衡=R F 04321=+++F F F F 或ab 1F c2Fd3F 4F O1F 2F 3F 4F试指出图示平面汇交力系所作的力多边形各力矢量关系如何？合成结果是什么？思考题(a)(d)(c)(b)水平梁AB 中点C 作用着力F ，其大小等于20kN ，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的约束力。
梁的自重不计。
例2-1AB30ºaaC图aF解：1. 取梁AB 作为研究对象。
F A = F cos30︒=17.3 kN 2. 画出受力图。
3. 作出相应的力三角形。
4. 由力多边形解出：F B = F sin30︒=10 kN30º60ºFAF BF 60º30ºFBF AF三、力在坐标轴上的投影由图a 知，若已知力F R 的大小F R 和其与x 轴、y 轴的夹角为a 、b ，则ab sin cos R R y F F F ==acos R x F F =即力在某个轴上的投影等于力的大小乘以力与该轴的正向间夹角的余弦。
当a 、b 为锐角时，F x 、F y 均为正值；当a 、b 为钝角时，F x 、F y 为负值。
注意力在坐标轴上的投影是代数量。
xF 图a 力在坐标轴上的投影y xOBAa bb 1a 1RF abyF力在坐标轴上的投影与分力大小之间关系而如将力F R 沿垂直的x 、y 坐标轴方向分解（图a ），则所得分力的大小与力F 在相应轴上的投影F x 、F y 的绝对值相等。
Ry Rx F F 、应注意（1）力的投影是代数量，而力的分量是矢量；（2）力投影无所谓作用点，而分力必须作用在原力的作用点。
yxOBAa bb 1a 1yF RF Rx F xF RyF 若已知F R 在直角坐标轴上的投影为F x 和F y ，则由几何关系可求出力F R 的大小和方向，即22yx R F F F +=22cos yx x F F F +=a 22cos yx yF F F +=b 式中和称为力F R 的方向余弦。
a cos b cos 当Ox 、Oy 两轴不垂直时，则没有这个关系。
思考题试分析在图示的非直角坐标系中，力沿x 、y轴方向的分力的大小与力在x 、y 轴上的投影的大小是否相等？FFxyOF合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
即P36四、合力投影定理∑=+++=x nx x x x F F F F F 21∑=+++=ynyy y y FF F F F 21这个定理也可很直观地理解，如下图表示adF cd F bc F ab F x x x x ====,,,321因,故cd bc ab ad ++=xx x x F F F F 321++=同理可得y y y y F F F F 321++=yCABDF1F 2F 3F o1F 2F 3F五、合成当应用合力投影定理求出力系的合力在直角坐标系下的投影F x 、F y 后，可用下式求出合力的大小和方向2222)()(∑∑+=+=y x y x R F F F F F 22)()(cos ∑∑∑+==y x xRxF F FF F a 式中a 表示合力F 与x 轴间所夹的锐角。
合力指向由F x 、F y 的正负号用图判定。
这种运用投影求合力的方法，称为解析法或投影法。
即平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中各力在两个坐标轴上的投影之代数和均等于零。
由于提供的独立的方程有两个，故可以求解两个未知量。
六、平衡由几何法知：平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零，即)()(2222=+=+=∑∑y x yxR F F F F F 因而=∑xF=∑yF思考：若某刚体在5个力作用下平衡，其中4个力的作用线交于一点，另外一个力的作用线应该满足什么条件。
例2-2用解析法求下图所示汇交力系的合力的大小和方向已知kN F kN F kN F kN F 1,25.0,5.0,5.14321====kNF F ix Rx 332.045cos 160cos 25.05.000=⋅+⋅+-==∑kNF F iy Ry 99.145sin 160sin 25.005.10-=⋅-⋅++-==∑axyF 2F 3F 4F 060045先计算合力F R 在x 、y 轴上的投影，有【解】即故合力的大小为R F kNF F F RyRx R 02.222=+=其方向余弦则为986.0cos ,164.0cos -====R Ry R Rx F F F F b a 034.80=a水平梁AB 中点C 作用着力F ，其大小等于20kN ，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的约束力。
梁的自重不计。
20120917例2-1AB30ºa aC图aF解：1. 取梁AB 作为研究对象。
F A = F cos30︒=17.3 kN 2. 画出受力图。
60ºFF F F B = F sin30︒=10 kNxyy 1x 1030sin 60cos 30cos ,0000=--=∑B A x F F F F 030cos 60sin 30sin ,000=+-=∑B A F F F Fy 思考：可否向其它轴，如（x 1、y 1）投影？可否向（x 、x 1）投影？结论？P36、61ABCD904530601F 2F 例2-4如图所示结构ABCD ，杆重及摩擦均可不计；在铰链B 上作用着力，在铰链C 上作用着力，方向如图。
试求当机构在图示位置平衡时和两力大小之间的关系。
P691F 1F 2F 2F 首先可判断出BC 是二力杆，作B 铰、C 铰的受力图【解】分析铰B 有：045cos ,0021=⋅-=∑BC x F F F 22F F BC =（1）分析铰C 有：030cos ,001=⋅-=∑F F F CB x 123F F CB=（2）612.0462112==⇒F F ））、（（力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。
力的移动效应取决于力的大小和方向；为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。
一、力对点之矩（1）用扳手拧螺母；由下图及生活常识知，力F 使物体绕O 点（某轴）转动的效应，不仅与力的大小，而且与转轴(平面上O 点)到力的作用线的垂直距离d 有关，故用乘积F·d 来度量力的转动效应。
§2-2 力面力偶系的合成与平衡图2-1OAldBF该乘积根据力使物体的转动效应的不同，取适当的正负号称为力F 对点O 之矩，简称力矩，以符号表示。
即O 点称为力矩的中心，简称矩心；力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。
dF F M O ⋅±=)(力矩的大小还可视为三角形OAB 的面积的两倍。
P39)(F M O O 点到力F 作用线的垂直距离d ，称为力臂。
图2-1OAld B F应注意：在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个代数量。
力矩的单位：国际制N·m ，kN·m工程制公斤力·米（kgf ·m ）二、力矩的性质：P391、力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；Od图2-2 （a)FAB C Da Fl2、力的作用线如通过矩心，则力矩为零；3、互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。
反之，如果一个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点。
o图2-2 (b)FO图2-2 (c)2F 1F三、合力矩定理P39表达式：证明：)()(RF M F M O O ∑=)sin()(θa -⋅⋅=⋅=r F d F F M O x y F y F x ⋅-⋅=OxydxyAaθa-θr FyF xF )()(x O y O F M F M +=)(F M O ∑=若作用在A 点上的是一组汇交力系)()(R F M F M O O ∑=平面汇交力系合力对某一点之矩等于分力对同一点之矩的和。
()nF F F 、、、 (2)1)cos sin cos (sin a θθa ⋅-⋅⋅⋅=r F θa θa sin cos cos sin ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=r F r F ABCDaFlFl l ]sin )cot 3[(a a --四、力偶和力偶矩1、力偶的概念P41例如：丝锥、改锥（刀）、水龙头、方向盘等把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。
并记作。
可用图2-4表示：),(F F 'd力偶臂力偶作用面图2-3FF 'ABC D 图2-41F '1F FF '2、力偶矩P42其转动效应——力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。
例如：dF x d F x F F M F M OO⋅-=-⋅'-⋅-='+)()()(d F M d F F F M ⋅±=⋅±='或),(d OxFF '力偶对作用面内任意一点之矩与矩心位置无关P42思考题2-1一力偶作用在Oxy 平面内,另一力偶作用在Oyz 平面内,它们的力偶矩大小相等(如图)。
试问此两力偶是否等效，为什么？()11,F F '()22,F F 'xy z图2-5O1F 1F '2F 2F '3、力偶的三要素（a ）力偶矩的大小；（b ）力偶的转向；（c ）力偶作用面在空间的方位。
