九年级数学上册第2章一元二次方程2.4一元二次方程根与系数的关系习题课件 湘教版

(2)①若 7 为腰长，则方程 x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0 的一根为 7，即 72－2×7×(m＋1)＋m2＋5＝0，解得 m1 ＝10，m2＝4，当 m＝10 时，方程 x2－22x＋105＝0，根 为 x1＝15，x2＝7，不符合题意，舍去．当 m＝4 时，方 程 x2－10x＋21＝0，根为 x1＝3，x2＝7，此时周长为 7 ＋7＋3＝17；
7. (2018·贵港)已知 α，β 是一元二次方程 x2＋x－2
＝0 的两个实数根，则 α＋β－αβ 的值是( B )
A．3
B．1
C．－1
D．－3
8. 已知 m，n 是关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋a＝
0 的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则 a 的值为( C )
A．－10
B．4
数，因而得出两根为－9 或－1，那么正确的方程为( A )
A．x2－10x＋9＝0
B．x2＋10x＋9＝0
C．x2－10x－9＝0
D．x2＋10x－9＝0
【解析】由题意得一次项系数为－(8＋2)＝－10，常
数项为－9×(－1)＝9，所以原方程为 x2－10x＋9＝0.
11. 若关于 x 的方程 x2＋(a－1)x＋a2＝0 的两根互为 倒数，则 a＝ -1 ．
17. (2018·达州)已知：m2－2m－1＝0，n2＋2n－1＝0
且 mn≠1，则mn＋nn＋1的值为 3 ．
【解析】由 n2＋2n－1＝0 可知 n≠0.∴1＋2n －1n2 ＝
0.∴ 1n2－n2－1＝0，又 m2－2m－1＝0，且 mn≠1，即 m≠1n .
∴
m
，
1 n
是方程
x2 － 2x － 1 ＝ 0

反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18

的关系进行简单计算。
情感态度与价值观：
1）培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识。
2）激发学生对学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意
识。
教学重难点
掌握一元二次方程根与系数的关系。
利用一元二次方程根与系数的关系进行简单
计算。
复习引入：
1.一元二次方程的一般式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
b2-6b+4=0，且
A.


B.




a≠b，则 + 的值是( A )

−

C.


D.

−

解：∵ a2-6a+4=0 和 b2-6b+4=0 两个等式的
形式相同，且 a≠b，∴ a，b 可以看成是方
程 x2-6x+4=0 的两个根，∴ a+b=6，ab=4，

∴



+ =


+


=
+
巩固练习：
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1) x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0，
x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
(2)方程化为 3x2＋4x＋1＝0，
2.判断一元二次方程根的情况.
b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.

x1 b b2 4ac 2a
b b2 4ac x2
2a
b b2 4ac
X1+x2=
2a
2b
=
=
-b
2a
a
b b2 4ac
+
2a
X1x2= b
b2 4ac 2a
● b b2 4ac 2a
=
(b)2 ( b2 4ac)2 4a 2
=
4ac 4a 2
=
c a
2
,
x1 ·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1 x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
一元二次方程根与系数的关系： (1)当二次项系数为1的时候关于x的方程
x2 +px+q=0两根为x1,x2(p,q为常数). 则：x1+x2=-p, x1x2=q
(2)关于x的方程 ax2 bx c 0a 0
x2 2
4x1x2
4 9
12
12
Hale Waihona Puke 4 9例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。
解法一：设方程的另一个根为x1. 由根与系数的关系，得 x1 ＋2= k+1 x1 ●2= 3k 解这方程组，得 x1 =－3 k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2。
两根为
x1, x2
,则,
x1
x2
b a , x1x2
c a
设方程ax2 bx c 0(a 0)的两根

➢ 四、听方法。
➢ 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的研究方向； 分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行叙述。这些 都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法；因式分解 法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
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2.3 一元二次方程的判别式
目标二 会根据一元二次方程根的情况求未知字母的值或取值范围
例2 高频考题 当m为何值时，一元二次方程(2m＋1)x2＋4mx＋ 2m－3＝0的根满足下列情况：
(1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根．
[解析] 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根的条件是b2－ 4ac≥0且a≠0.
(1)根据判别式b2－4ac建立不等式或方程；
(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.
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2.3 一元二次方程的判别式
2．若条件中是“方程有实数根”，要考虑方程有两种可 能：(1)方程为一元二次方程，(2)方程是一元一次方 程．若条件中指出方程是一元二次方程，则求得的未知字 母必须满足二次项系数不等于0；若条件中没有肯定是一 元二次方程，则要考虑方程是一元一次方程的情况．
➢ 优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
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x1 x2 p
x1 x2 q
方 程
2
x
1
x x x x1. x2
2
1
2
2 1 1 9 x 6x 1 0 3 3 3 4 2 2 7 2 7 3 x 4x 1 0 3 3 3 2 1 7 3 x 7x 2 0 -2 3 3
1 9 1 3 2 3
2 1
x 4
2 2
小结
一元二次方程根与系数的关系？
如果ax bx C 0(a 0)的两根分别是 b c x1 , x2 则有 x1 x2 a ; x1. x2 a
2
注：能用根与系数的关系的前提条件为 b2-4ac≥0
*已知两个数的和与积，求两数
已知两个数的和是1，积是-2，则两个数 是
(1) x 6 x 15 0
2
( 2)3 x 7 x 9 0
2
(3)5 x 1 4 x
2
知识源于悟
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写.
二、求关于两根的对称式或代数式的值
例2、设 x1 , x2是方程 2x 4x 3 0 的两个
2
根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.
(1) x x
2 1
2 2
(3)(x1 1)(x2 1) (4) x x x x x2 x1 2 (5) (6)(x1 x2 ) x1 x2
2 1 2 2 1 2
1 1 ( 2) x1 x2
关于两根几种常见的求值 2 2 2 1.x1 x2 ( x1 x2 ) 2 x1 x 2

化记忆一元二次方程根与系数的关系.
感悟新知
知2－练
例3 [中考·来宾]已知实数x1，x2 满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，
则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0
B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0
D. x2－7x－12＝0来自悟新知知2－练解题秘方：直接用以x1，x2 为根的一元二次方程是x2－ (x1＋x2)x＋x1x2＝0 求解.
第二章 一元二次方程
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
学习目标
1 课时讲解 一元二次方程根与系数的关系
二次项系数为 1 的一元二次方程 的性质
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 一元二次方程根与系数的关系
知1－讲
1. 一元二次方程根与系数的关系： 一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0时，设方程的两个实数根
感悟新知
知1－练
例2 [期末·长沙开福区]已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋m ＝ 0(m ＜ 0)． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程的一个根为 －1，求 m 的值和方程的另一个根．
感悟新知
知1－练
解题秘方：根据两根的和与积分别与系数的等量 关系，列关于未知根的方程求解 .
课堂小结
一元二次方程根与系 数的关系
判定两根的符号
使用条件 两根之和 两根之积
一元二次
意义 方程根与 应用 系数的
关系
已知一根求另一根 及字母的值
求涉根代数式的值
构建以两已知数为 根的一元二次方程
知1－练

3、 2x2 - 6x =0
x1+x2=3
4、 3x2 = 4
x1+x2=0
x1x2=-1
1
x1x2= 4
x1x2=0
x1x2=
-
4 3
根与系数关系小结
对于一元二次方程
的两根
1、已知方程的一个根求另一个根及未知数 （也可以用根的定义求解）
2、求关于两根的代数式的值 如:两根的平方和、两根的倒数和等
-
2
,
x1
·x2=
3 2
∴
(x1+1)(x2+1)
=
x1
x2
+
(x1+x2)+1
=-2+(
3 2
)+1=
5 2
练习1
已知关于x的方程 x2 (m 1)x 2m 1 0
当m= －1 时,此方程的两根互为相反数. 当m= 1 时,此方程的两根互为倒数.
分析:1. x1 x2 m 1 0
3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，
例1、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 。
求：(1)
1 1 x1 x2
(2) x12+x22
解：由题意可知x1+x2=
-
2 3
, x1 ·x2=-3
(1) 1 1 = x1 x2
x1 x2
x1 x2
=
2 3
1
2
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则: a2 a 2 0
求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
练习4 已知方程 x2 kx k 2 0 的两个实数根

4．若关于 x 的一元二次方程的两个根 x1，x2 满足 x1＋x2＝3，x1x2＝2，则这个方程是
_x_2_－__3_x_＋__2_＝__0_(_答__案__不__唯__一__)_．(写出一个符合要求的方值(代数式的恒等变形)
【典例 1】(P47 例 1 强化) 已知 x1，x2 是方程 x2－2x＝1 的两实数根．求：(1)x12 ＋x22 .(2)xx12 ＋xx12 .(3)3x21 －4x1 ＋2x2.
【自主解答】(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0 有实数根， ∴Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)＝8m＋8≥0， 解得：m≥－1，∴当方程有实数根时，实数 m 的取值范围为 m≥－1； (2)∵方程两实数根分别为 x1，x2，∴x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1. ∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16－2x1x2，∴[－2(m＋1)]2－4(m2－1)＝16－2(m2－1)， 整理得：m2＋4m－5＝0，解得 m1＝－5，m2＝1. 又∵m≥－1，∴实数 m 的值为 1.
【加固训练】
已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－k＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根是 a，b，求 a － 1 的值．
a＋1 b＋1 【解析】(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4ac＝4＋4k>0，解得 k>－1.
∴k 的取值范围为 k>－1.
【解析】∵关于 x 的方程 x2－2mx＋m2－m＝0 有两个实数根 α，β，
∴Δ＝(－2m)2－4(m2－m)≥0，
解得 m≥0，α＋β＝2m，αβ＝m2－m，
∵α1

新湘教版九年级上册初中数学 2.4 一元二次方程的根与系数的关系 重点习 题课件
科 目：数学
适用版本：新湘教版
适用范围：【教师教学】
第2章 一元二次方程
2.4 一元二Leabharlann 方程的根与系 数的关系第一页，共十二页。
课后作业
第二页，共十二页。
课后作业
第三页，共十二页。
课后作业
第四页，共十二页。
课后作业
第五页，共十二页。
课后作业
第六页，共十二页。
课后作业
第七页，共十二页。
课后作业
第八页，共十二页。
课后作业
第九页，共十二页。
课后作业
第十页，共十二页。
课后作业
第十一页，共十二页。
课后作业
第十二页，共十二页。