探究球面上两点间的最短距离和走法 2

球面最短距离一、概述球面最短距离是指在一个球体上两点之间的最短路径，也称为大圆弧距离或者地球表面的测地线。

在地理学、天文学、航空航天等领域中，球面最短距离是一个十分重要的概念。

二、公式推导假设有两个球面上的点A和B，它们的经纬度分别为(φ1, λ1)和(φ2,λ2)，其中φ表示纬度，λ表示经度。

则它们之间的大圆弧距离d可以通过以下公式计算：d = R * arccos(sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2))其中R为球体半径。

这个公式可以通过余弦定理推导得到。

将球体看作一个半径为R的圆，以A点和B点为圆心画出两条半径，并连接这两个点。

则这两个半径与圆周所夹成的角就是AB之间的大圆弧角度θ。

根据余弦定理，我们可以得到：cosθ = cosR / (cosA * cosB) - tanA * tanB / (cosA * cosB)其中A和B分别为AB连线与北极点连线所成角度，R为球体半径。

将A和B带入上式可以得到：cosθ = sinφ1 * sinφ2 + cosφ1 * cosφ2 * cos(λ1 - λ2)因为θ就是AB之间的大圆弧角度，所以d可以表示为：d = R * θ将θ带入上式即可得到球面最短距离公式。

三、应用场景1. 地理学：在地球表面上，球面最短距离可以用来计算两个城市之间的距离。

这个概念在航空、航海、旅游等领域中都有广泛的应用。

2. 天文学：在天文学中，球面最短距离可以用来计算星际之间的距离。

例如，在太阳系内，我们可以使用这个概念来计算地球和其他行星之间的距离。

3. 机器人领域：在机器人领域中，球面最短距离可以用来规划机器人移动路径。

例如，在一个球形空间中，机器人需要从一个点移动到另一个点，我们就可以使用这个概念来计算机器人需要走多长的路程。

四、误差分析虽然球面最短距离公式非常有用，但是它并不是完全准确的。

这是因为地球并不是一个完美的球体，而是一个略微扁平的椭球体。

地球表面上两点间最短距离（航线）方向的确定作者：***来源：《中学政史地·高中文综》2016年第03期在复习经纬网的内容时，地球表面上两点间最短航线方向的确定，是我们的拦路虎。

由于有的同学对这类问题缺乏足够的空间想象能力，只是机械地背一些结论，造成在解这类试题时经常出错。

针对有些同学空间想象能力和数学水平不太高等情况，本文旨在帮助他们全面正确认识地球表面上两点间最短航线方向的确定问题。

地球表面上两点之间的最短航线，指的是两点所在大圆的劣弧。

一、认识大圆过球面上两点的大圆就是经过这两点以地心为圆心的圆。

在地球上有三种情况大圆是确定的，如图1中的赤道、经线圈、晨昏圈。

在图2中，很显然，甲、乙、丙所在圆的圆心是地心，其所在的圆就是大圆，其他的圆都不是大圆。

二、确定劣弧大圆上两点间的最短航线或距离就是两点所在大圆的劣弧。

所谓劣弧，即两点间的弧度小于180°。

如图3中的⌒AB和⌒CD都是过大圆的劣弧，而⌒EF虽然是劣弧，但不是大圆上的劣弧。

图4中甲和乙之间的弧线，只有最上面的弧是过大圆的劣弧。

三、确定地球上两点间最短航线的方向沿着劣弧的行进方向就是最短航线的方向。

1.两点在同一经线圈上或者在赤道上（1）两点在同一经线上，向正北或向正南走，不转向。

如图5， A到B是向正北走；反之，B到A是向正南走。

（2）两点在两条经线上（经度相对，两点的经度差等于180°），过极点要转向。

如在通过北极点之前，先向正北走，过北极点后转向正南；反之，在通过南极点之前，先向正南走，过南极点后转向正北。

如图6，从A到B先向正北走，过北极点后向正南走；从B 到A是先向正北走，过北极点后向正南走。

（3）两点在赤道上，向正东走或向正西走，不转向。

如图7， A到B是向正东走；反之，B到A是向正西走。

2.两点既不在同一经线上，也不在赤道上地球上任意两点和地心必然确定一个大圆，一定存在一个纬线圈和这个大圆相切，切点即为这个大圆的纬度最高点，若大圆劣弧航线经过切点，则发生转向，转向点为切点；若大圆劣弧航线不经过切点，则不发生转向。

根据经纬度确定地球上两点之间的最短路程王伟民(安徽省太和县宫集镇中心学校ꎬ安徽阜阳２３６６５２)摘㊀要:以例举的方式ꎬ分三种情况分别介绍如何根据地球表面两点的经纬度ꎬ确定两点之间的最短路程ꎬ以及最短路径长度的计算方法.关键词:地球表面ꎻ经线ꎻ纬线ꎻ最短路径ꎻ圆弧长度中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１３－０１３１－０３收稿日期:２０２３－０２－０５作者简介:王伟民(１９６４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀由于球体的表面是曲面不是平面ꎬ所以ꎬ沿地球表面运行质点的运动轨迹一定是曲线ꎬ而非直线.运用数学知识可以证明ꎬ在球面上连接任意两点的所有曲线中ꎬ过这两点及球面球心的平面与球面的交线(是一个半径等于球面半径的圆)上ꎬ这两点之间的圆弧(劣弧)的长度最短.运用这一结论ꎬ对于地球表面上给定的两点ꎬ在已知它们经度和纬度的情况下ꎬ依地球半径作为已知条件ꎬ利用数学知识可以确定两地间最短路径的长度.１同一经线上两点之间的最短路程例１㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ５０ʎＮ)㊁Ｆ(２０ʎＷꎬ４０ʎＳ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度.分析㊀依题意可知ꎬＥ㊁Ｆ两点在同一条经线上ꎬ由于经线所在圆的圆心就是地球的球心ꎬ所以ꎬ地球表面上同一经线上两点间的最短路程ꎬ等于这两点之间的经线圆弧的长度.解析㊀设地球的半径为Ｒꎬ球心为点ＯꎬＥ㊁Ｆ两点间的经线圆弧的长度为ｌꎬ则有ｌ＝ＲøＥＯＦ(øＥＯＦ单位为弧度)＝６.４ˑ１０３ｋｍˑ５０ʎ＋４０ʎ１８０ʎπʈ１００５３ｋｍ答:地球表面上这两点间最短路径的长度为１００５３ｋｍ.㊀２同一纬线上两点之间的最短路程需要说明的是ꎬ如果两点在同一条纬线上(即一个点在另一个点的正东或正西方向)ꎬ且这条纬线不是赤道的话ꎬ它们之间的最短路径不是经过这两点纬线圆弧的长度(相当一部分人有这种错误观点ꎬ认为地球表面上东西方向上两点之间最短路径的长度ꎬ等于这两点之间纬线圆弧的长度).例题２㊀已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ６０ʎＮ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ６０ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点间最短路径的长度分析㊀如图１所示ꎬ设Ｏ是地球球心ꎬ直线ＯＤ是地球的地轴(Ｄ为北极极点)ꎬ圆弧ＡＢ所在的圆是地球的赤道ꎬ圆弧ＥＦ所在的圆是纬度为β＝π３的１３１一条纬线(即øＢＯＦ＝β＝π３)ꎬ圆弧ＡＤ㊁ＢＤ是分别经过Ｅ㊁Ｆ两点且经度相差α＝π３的两条经线(即øＡＯＢ＝α＝π３)ꎬ为确定球面上Ｅ㊁Ｆ两点之间的最短路程ꎬ只需求出线段ＥＦ(是球面的一条弦ꎬ图中未画出)对球心Ｏ点所张的角øＥＯＦ的角度大小即可.图１解析㊀由图１可知øＥＣＦ＝øＡＯＢ＝α＝π３ＣＦ＝ＣＥ＝ＲｃｏｓβＥＦ＝２ＣＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎＲｃｏｓβｓｉｎα２Ｒ＝２ａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)＝２ａｒｃｓｉｎ１４所以ꎬ球面上Ｅ到Ｆ的最短路径的长度是以地球半径Ｒ为半径ꎬ弧度大小为２ａｒｃｓｉｎ１４的圆心角所对的弧长ꎬ大小为２Ｒａｒｃｓｉｎ１４.２Ｒａｒｃｓｉｎ１４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍˑａｒｃｓｉｎ１４ʈ３２３６ｋｍꎬ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是３２３６ｋｍ.我们将这一数据与过ＥＦ两点纬线上ꎬ圆弧ＥＦ的长度相比较ꎬ设该圆弧长度为ｌꎬ则ｌ＝ＣＦ øＥＣＦ＝(Ｒｃｏｓβ)π３＝π６ˑ６.４ˑ１０３ｋｍʈ３４５０ｋｍ可以看出ꎬ纬线上ＥＦ两点间的圆弧长度比球面上经过ＥＦ的最大圆的圆弧长度多出了１１４ｋｍ.３地球表面任意两点间的最短路程例题３㊀如图２所示ꎬ已知地球的半径为６４００ｋｍꎬＥ㊁Ｆ是地球表面上的两点ꎬ其经纬度坐标分别为Ｅ(２０ʎＷꎬ１５ʎＳ)㊁Ｆ(８０ʎＷꎬ７５ʎＮ)ꎬ求地球表面上这两点之间最短路径的长度.分析㊀由题目条件可知ꎬＥ㊁Ｆ两点既不在同一条经线上ꎬ也不在同一条纬线上.参照上面两例题的解法ꎬ我们只需确定Ｅ㊁Ｆ两点所对地球球心圆心角的大小即可.解析㊀如图２所示ꎬ分别作出过Ｅ㊁Ｆ两点的地球的经线和纬线ꎬ并作出赤道平面.设øＥＡＣ＝α(两条经线的经度之差)ꎬ半径ＯＣ㊁ＯＦ与赤道平面的夹角分别是β和θꎬ由题目条件可知øＥＡＣ＝α＝６０ʎꎬβ＝１５ʎꎬθ＝７５ʎꎬ则:ＡＥ＝ＡＣ＝ＲｃｏｓβＢＤ＝ＢＦ＝ＲｃｏｓθʑＥＣ＝２ＡＣｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓβｓｉｎα２ＤＦ＝２ＢＦｓｉｎα２＝２Ｒｃｏｓθｓｉｎα２ＥＤ＝ＣＦ＝２Ｒｓｉｎβ＋θ２图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３将图２中的等腰梯形ＥＣＦＤ隔离出来单独分析ꎬ如图３所示ꎬ过其顶点Ｄ㊁Ｆ作该梯形的两条高线ＤＰ和ＦＱꎬ垂足分别为Ｐ㊁Ｑꎬ由勾股定理可知２３１ＥＦ２－ＣＦ２＝ＥＱ２－ＱＣ２ʑＥＦ＝ＣＦ２＋(ＥＱ＋ＱＣ)(ＥＱ－ＱＣ)＝ＣＦ２＋ＥＣ ＤＦ＝４Ｒ２ｓｉｎ２β＋θ２＋４Ｒ２ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ图２中ꎬøＥＯＦ的大小(单位为弧度)为øＥＯＦ＝２ａｒｃｓｉｎ１２ＥＦＲ＝２ａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２所以ꎬ地球表面ꎬＥ㊁Ｆ两点之间的最短路径的的长度ｌ为ｌ＝Ｒ øＥＯＦ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ１２＋２＋３２＋６１２＋６１４＝２Ｒａｒｃｓｉｎ３４＝２ˑ６.４ˑ１０３ｋｍ ａｒｃｓｉｎ３４ʈ１０８５５ｋｍ答:地球表面上这两点间的最短路径的长度是１０８５５ｋｍ.例３解答中ꎬ所导出的根据地球表面两点的经纬度确定两点之间最短路径长度的计算公式ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２ꎬ是一个普遍适用的公式ꎬ它涵盖了已知两点在同一条经线㊁同一条纬线ꎬ以及已知两点既不在同一条经线也不在同一条纬线等多种情形.该公式中ꎬ当β＝－θ时ꎬ公式演变为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｃｏｓβｓｉｎα２)ꎬ这就是例２中ＥＦ两点在同一条纬线上的情形.当α＝０时ꎬｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝２Ｒａｒｃｓｉｎ(ｓｉｎβ＋θ２)＝Ｒ(β＋θ)ꎬ这正是例１中两点在同一条经线的状况.看该公式的一个实际应用.例４㊀已知北京和悉尼两座城市的经纬度坐标分别如下:北京(１１６.４６ʎＥꎬ３９.２ʎＮ)㊁悉尼(１５０.８８ʎＥꎬ３３.９２ʎＳ)ꎬ试求北京和悉尼间最短航线的长度(地球半径取６４００ｋｍ).解析㊀依题意知ꎬα＝１５０.８８ʎ－１１６.４６ʎ＝３４.４２ʎꎬβ＝３３.９２ʎꎬθ＝３９.２ʎ所以ꎬ两城市间的最短航线长度ｌ为ｌ＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２β＋θ２＋ｃｏｓβｃｏｓθｓｉｎ２α２＝２Ｒａｒｃｓｉｎｓｉｎ２３６.５６ʎ＋ｃｏｓ３３.９２ʎｃｏｓ３９.２ʎｓｉｎ２１７.２１ʎʈ８２００ｋｍ答:北京和悉尼间最短航线的长度约为８２００ｋｍ.当然ꎬ这里计算出的数据只是理论数据ꎬ两地间的实际航线还要受地理环境等多种因素的影响ꎬ飞机的实际飞行路线很可能会偏离 标准 的圆弧线ꎬ中途出现 拐弯 的情形ꎬ所以实际航线的长度会比理论值大一些.参考文献:[１]陈龙.追溯 源头 拨开云雾见 真身 :例析 与圆相关的最值问题 [Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(６):８４－８６.[２]许婷婷.例谈立体图形表面最短距离[Ｊ].高中数理化ꎬ２０１９(１０):１６－１７.[３]牛可新.巧解 求曲线上的点到直线的最短距离 题[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(９):９９.[责任编辑:李㊀璟]３３１。

球⾯两点间的最短距离为何地图上的航线是曲线如果我们观察地图上的航线，就会发现航线是弯曲的。

基本上可以认为地球是个球体，如果飞机在两个城市之间飞⾏，最好的飞⾏线路是取这两个城市之间的最短距离。

这其实课看成球⾯上任意两点之间的最短距离。

过球⾯上的任意两点以及球⼼可以做⼀个截平⾯，与球⾯的截痕为⼀个圆，这个圆的⼤⼩不随两点不同⽽变化，半径都是球半径。

这个圆是任意平⾯与球⾯相截得到的所有不同的圆中，半径最⼤的，因此叫做⼤圆。

⽽只要你沿着球表⾯做线连接任意两个点，曲线长度最短的⼀定是这个⼤圆的劣弧长度。

航线按两个城市之间的⼤圆弧航⾏才最经济。

地图是球⾯向平⾯做投影做出来的，所以我们看到的航线就是曲线了。

定理：球⾯上任意两点间的距离以⼤圆最短初等⼏何的观察如图AB是连接A,B两点的⼤圆弧，C是AB弧上的任意⼀点，过C做以A,B为极点的圆,设AF,GF，GB为⼀条球⾯曲线，且BG是⼤圆弧，AF也是⼤圆弧则CB=BG,AC=AF,但AF+FG+GB>AF+GB=AC+CB=AB.如果B,E,D,A是另外⼀条球⾯上的曲线，过B,D,A的球⾯三⾓形中AD+BD>AB,过E,B,A的球⾯三⾓形中亦有BE+AE>AB。

微积分证明下⾯我们利⽤球⾯坐标系与微积分给出⼀个精确的证明。

令A,B是半径为R的球⾯上的任意两点，C为球⼼，⼤圆弧长可以表达为以C为中⼼建⽴直⾓坐标系，让A在z轴上，则球⾯上任意⼀点P的坐标可以写成：空间中任意曲线的长度可以定义为：其中s是参数，对球⾯曲线就有所以上式严格成⽴，也就是要求不论s取值如何都不能离开⼤圆弧AB时等式严格成⽴，这就证明了球⾯上两点的最短距离为⼤圆弧。

这个距离被⾼斯称为球⾯测地线。

球面上两点之间的距离计算
一、概述
球面上两点之间的距离是指在球形表面上连接两个点所经过的最短路径，它等于圆周上两点之间的弧长。

由于球面是一种曲面，因此确定球面
上任意两点之间的距离，有许多算法可以实现，但最常使用的方法是根据
空间几何的球面余弦定理进行计算。

在球体地理学、航空航天等领域，准
确计算地球表面上两点之间的距离非常重要。

因此，计算球形表面上两点
之间的距离受到越来越多的关注和重视。

二、球面余弦定理
球面余弦定理是计算球形表面上任意两点距离的基础，它描述了球面
上任意三个点的关系：如果A、B、C是球面上任意三个点，则A点到B点
的距离与A点到C点的距离、B点到C点的距离的余弦值之间存在如下等式：
cos (a) = cos (b) * cos (c) + sin (b) * sin (c) * cos (A)
其中a、b、c是A点到B点、A点到C点、B点到C点的线段的弧度，A是ABC三点所在的夹角的弧度值。

由于在球形表面上，BA和BC线段的
长度以及ABC夹角的大小都是已知的，可以将它们代入上面表达式，得到cos (a) = cos (BA) 和cos (C)，从而求出A点到B点的弧长，即所求
距离。

三、详细算法
1.设定三点A、B、C，其中B和C为待求距离AB的端点，A为中间点（如果A和B点重合，则求BC间的距离）。

2.计算B点和C点经纬。

计算球面上两点间最短距离的方法在球面上确定两点之间的最短距离，实际上是寻找这两点沿球面大圆（即过球心的平面与球面相交得到的圆）上的弧长。

这是因为球面大圆上的弧是球面上任意两点之间的最短路径。

以下是如何计算这一最短距离的步骤：1. 坐标表示首先，需要知道这两点在三维空间中的坐标，记为点A(x1,y1,z1)和点B(x2,y2,z2)。

2. 转换为球坐标（可选）虽然这一步不是必需的，但将直角坐标转换为球坐标（即纬度、经度和半径）有时可以使问题更直观。

然而，在直接计算最短距离时，我们通常会保持使用直角坐标。

3. 计算球心角两点之间的最短距离对应于以球心为顶点、两点为端点的球面三角形的内角（或称为球心角）。

这个角θ可以通过计算两点与球心构成的向量之间的夹角来得到。

具体地，使用向量的点积公式：cosθ=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=x1x2+y1y2+z1z2R2其中，R是球的半径，OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 是从球心O到点A和点B的向量。

注意，由于OA⃗⃗⃗⃗⃗ 和OB⃗⃗⃗⃗⃗ 都是半径为R的向量，所以它们的模都是R，可以直接在公式中消去。

4. 计算最短距离一旦我们有了球心角θ（以弧度为单位），就可以使用弧长公式来计算两点之间的最短距离d：d =R ∙θ但是，由于我们已经有cosθ，并且需要得到θ本身，我们可以使用反余弦函数（即arccos 或cos −1）来找到它：θ=arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)然后，将θ代入弧长公式得到最短距离：d =R ∙arccos (x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2R 2)注意事项● 确保在计算arccos 时使用的是弧度制，而不是角度制。

● 如果两点几乎重合或非常接近，则cosθ将非常接近于1，这可能导致数值不稳定性。

在实际应用中，可能需要添加一些检查来处理这种情况。