合肥市名校2020年高一第一学期数学期末经典模拟试题

2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考高一年级期末教学质量检测数学学科试卷 合肥市第十一中学教科室命题中心命制温馨提示：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．请将答案写在答题卡上，考试结束后，只交“答题卡”．第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．每小题只有1个选项符合要求．）1．已知集合{}2|230A x x x =--<，{|1}B x x =>，则A B ⋂=（ ） A ．{|13}x x << B ．{|3}x x < C ．{|1}x x > D ．{|11}x x -<< 2．已知命3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是（ ）A ．32,80x x ∃≥-≥ B ．32,80x x ∀≤-> C ．32,80x x ∀>-> D ．32,80x x ∃<-≥ 3．已知函数2,0()1,02xx xf x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则((2))f f =（ ） A ．4- B ．12-C ．12D ．8- 4．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4) 5．已知0.1122110.9,log ,log 33a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a << 6．若tan 0α>，则（ ）A ．sin 0α>B ．cos 0α>C ．sin20α>D ．cos20α>7．已知()f x 是R 上的奇函数且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，(2023)f =（ ） A ．2- B ．2 C ．98- D ．988．已知3sin 35x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．35 B ．45 C ．35- D ．45- 9．已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +等于（ ） A ．3- B ．3 C ．2 D ．8 10．函数()sin x xy e ex -=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设奇函数()f x 对任意的1x ，()212(,0)x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且(2020)0f =，则()()0f x f x x-->的解集为（ ）A ．(,0)(2020,)-∞⋃+∞B ．(,2020)(0,2020)-∞⋃C ．(,2020)(2020,)-∞-⋃+∞D ．(2020,0)(0,2020)-⋃ 12．已知幂函数2242()(1)m m f x m x-+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x t =-，任意1[1,6)x ∈时，总存在2[1,6)x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是（ ）A ．128t <<B ．128t ≤≤C ．28t >或1t <D ．28t ≥或1t ≤第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13．不等式2230x x -++<的解集是___________． 14．已知等腰三角形底角正弦值为45，则顶角的余弦值是__________． 15．若326mn ==，则11m n+=_____________． 16．将函数4cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为_______________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题应写出文字说明及演算步骤．）17．（本题满分10分）已知集合{|13}A x x =<<，集合{|1}B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ⋃；（2）若A B A ⋂=，求实数m 的取值范围． 18．（本题满分12分）已知cos sin αα+=,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求tan2α；（2）若tan()5πβ-=-，求tan(2)αβ+． 19．（本题满分12分）已知函数2()sin 2cos f x x a x =+（a R ∈，a 为常数），且4π是函数()y f x =的零点． （1）求a 的值，并求函数()f x 的最小正周期；（2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域． 20．（本题满分12分）已知函数()11xaf x e =++为奇函数． （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数； （2）求不等式()2(23)0f tf t +-≤的解集．21．（本题满分12分）函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求图中a ，b 的值及函数()f x 的递增区间；（2）若[0,]απ∈，且()f α=α的值．22．（本题满分12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+（万元）当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学学科参考答案第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13．{|13}x x x <->或 14．725 15．1 16．6π。

2020-2021学年安徽省合肥十中高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，则A ∩B =( )A. {1,3，5}B. {2,4，6}C. {2,3，4，5，6}D. {1,2，3，4，5，6，8}2. 已知命题p ：∀x ∈R ，x 2−x +1>0，则￢p( )A. ∃x ∈R ，x 2−x +1≤0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1≤0C. ∃x ∈R ，x 2−x +1>0D. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥03. 设α的终边上一点(−3,4)，则sinα=( ) A. 4 B. −3 C. 45 D. −354. 若幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，则实数m 的值为( )A. 1B. −1C. −2D. −2或1 5. 函数y =√log 12(5x −2)的定义域为( )A. (−∞,35]B. (25,35)C. (25,35]D. [35,+∞) 6. 智能主动降噪耳机工作的原理是：通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音，然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向的波抵消噪音.已知某噪音的声波曲线y =Asin(x +φ)(A >0,0≤φ<π2)的振幅为2，经过点(π6,√3)，则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为( )A. y =2sin(x +π6)B. y =−2sin(x +π6) C. y =2sinxD. y =−2sinx 7. 函数f(x)=x−x −12|x|+x 2的大致图象为( )A. B.C. D.8.已知函数f(x)=3−4||x−1|−1|，则函数y=f(x)−lg|x|的零点个数为()A. 2B. 3C. 4D. 以上都不对二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.“xx−2≤0”的充分条件有()A. 0<x<2B. −1<x<2C. 0≤x<2D. 0≤x≤210.已知函数f(x)=cos(2x+π3)，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)的最小正周期为πB. 当x=kπ−π6(k∈Z)时，f(x)取得最大值1C. 函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)D. 将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y=cos4x11.下列说法不正确的是()A. 函数f(x)=1x在定义域上是减函数B. 函数f(x)=2x−x2有且只有两个零点C. 已知x>0，y>0，且1x +1y=1，若x+y>m2+3m恒成立，则−4<m<1D. 若f(x)={−x 2+(3a−1)x−8,x≤1ax,x>1，在R上是增函数，则实数a的取值范围是[1,+∞)12.若函数f(x)的定义域为R，且存在非零常数T，对任意x∈R，都有f(x+T)=f(x)+T，则称f(x)为类周期函数，T为f(x)的类周期.则()A. 函数f(x)=x是类周期函数B. 函数f(x)=2x是类周期函数C. 若函数f(x)是类周期为T 的类周期函数，则函数y =f(x)−x 为周期函数D. 若f(x)=sinx +kx 为类周期函数，则k =1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知扇形的圆心角为23π，半径为2，则该扇形的面积为______ ．14. 已知函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1，其中a >0，a ≠1.若f(f(−12))=2，则实数a 的值是______ ． 15. 已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f(x)+g(x)=2x −x ，则f(0)的值为______ ：若函数ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2有唯一零点，则实数λ的值为______ ．16. 已知函数f(x)=x 2+2ax +8(a >0)，集合A ={x|f(x)≤0}，B ={x|f(f(x))≤8}，若A =B ≠⌀，则a 的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知集合A ={x|(x +2)(x −3)<0}，B ={x|k +2<x <3−k}．(1)当k =−3时，求A ∪B ；(2)若A ∪B =B ，求实数k 的取值范围．18. 在①tan(π+α)=2，②sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，③2sin(π2+α)=cos(3π2+α)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．问题：已知_______，(1)求3sinα+2cosαsinα−cosα的值；(2)当α为第三象限角时，求sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)的值．19.已知函数f(x)=log a(1+x)+log a(1−x)(a>0,a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)证明：f(x)为偶函数；(3)求关于x的不等式f(x)≥log a(x2+x)的解集．20.已知函数f(x)=2sin(12x+π6)，x∈R．(1)用“五点法”画出函数f(x)一个周期内的图象；(2)求函数f(x)在[−π,π]内的值域；(3)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在[−π,π]内的单调增区间．21.在数学探究活动中，某兴趣小组合作制作一个工艺品，设计了如图所示的一个窗户，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为8厘米的材料弯折而成，BC边的长为2t厘米(0<t<4)；曲线AOD是一段抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=−x23，记窗户的高(点O到BC边的距离)为f(t)．(1)求函数f(t)的解析式；(2)要使得窗户的高最小，BC 边应设计成多少厘米？(3)要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，BC 边应设计成多少厘米？22. 已知函数f(x)=(12)x ，g(x)=f(x)+af(x)是定义在R 上的奇函数．(1)求实数a 的值(2)用单调性的定义证明：g(x)是减函数；(3)若函数ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)在(0,+∞)上有两个不同的零点x 1，x 2．(ⅰ)求实数m 的取值范围；(ⅰ)求证：x 1+x 2>log 2(2+√3)．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A ={1,2，3，4，5，6}，B ={2,4，6，8}，∴A ∩B ={2,4，6}．故选：B ．进行交集的运算即可．本题考查了列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号>变为≤即可．故选：A ．命题“∀x ∈R ，x 2−x +1>0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．3.【答案】C【解析】解：∵x =−3，y =4，∴|OP|=√(−3)2+42=5，∴sinα=y |OP|=45，故选：C ．直接利用三角函数的定义即可得出．本题考查了三角函数的定义，属于基础题． 4.【答案】A【解析】解：因为幂函数f(x)=(m 2+m −1)x m+1在(0,+∞)上是增函数，所以有{m 2+m −1=0m +1>0， 解得m =1．故选：A ．直接利用幂函数的定义以及幂函数的单调性列出关于m的关系，求解即可．本题考查了幂函数的应用，涉及了幂函数的定义以及幂函数的单调性，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质．5.【答案】C【解析】解：由题意得：0<5x−2≤1，解得：25<x≤35，故选：C．根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了二次根式的性质，考查对数函数的性质，是一道基础题．6.【答案】B【解析】解：因为振幅为2，所以A=2，又经过点(π6,√3)，则有2sin(π6+φ)=√3，所以sin(π6+φ)=√32，因为0≤φ<π2，所以φ=π6，故噪音的声波曲线为y=2sin(x+π6)，又反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，所以反向波曲线为y=−2sin(x+π6)．故选：B．利用振幅求出A，然后利用特殊点求出φ，从而得到噪音的声波曲线，再利用反向波曲线与噪音的声波曲线关于x轴对称，即可得到答案．本题考查了函数解析式的求解，此类问题的一般解法是：利用最值可以求A的值，周期可以求ω的值，特殊点可以求φ的值．7.【答案】D【解析】解：函数的定义域为{x|x≠0}，f(−x)=− x+x−12|−x|+(−x)2=−x−x−12|x|+x2=−f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，当x>1时，f(x)>0，排除C，故选：D．判断函数的奇偶性和对称性，结合当x>1时，函数值的符号进行排除即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性以及特殊值的对应性，结合排除法是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为函数y=f(x)−lg|x|的零点个数即为y=f(x)与y=lg|x|的交点个数，在同一直角坐标系中画图可得：即有4个不同的交点，故有4个零点，故选：C．可化为函数y=f(x)与y=lg|x|有几个不同的交点，作函数的图象求解．本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．9.【答案】AC【解析】解：由xx−2≤0，得{x−2<0x≥0，解得：0≤x<2，故xx−2≤0”的充分条件有(0,2)，[0,2)，故选：AC．根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．10.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos(2x +π3)，对于A ：函数f(x)的最小正周期为π，故A 正确；对于B ：当x =kπ−π6(k ∈Z)时，f(x)取得最大值1，故B 正确；对于C ：函数f(x)图象的一个对称中心是(5π6,0)，故C 错误；对于D ：将f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象向右平移π12个单位长度，则所得到的图象的函数解析式为y =cos4x ，故D 错误；故选：AB ．直接利用余弦型函数的性质的应用判定A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 11.【答案】ABD【解析】解：对于A ：函数f(x)=1x 在(−∞,0)和(0,+∞)为单调减函数，故A 错误；对于B ：当x =2和4时，函数f(x)=2x −x 2满足f(2)=f(4)=f(x 1)=0，如图所示：故函数有且只有三个零点，故B 不正确；对于C ：已知x >0，y >0，且1x +1y =1，若x +y >m 2+3m 恒成立，只需满足(x +y)min =4>m 2+3m ，整理得m 2+3m −4<0，解得−4<m <1，故C 正确；对于D ：若f(x)={−x 2+(3a −1)x −8,x ≤1ax,x >1，在R 上是增函数，故{3a−12≥1a >0a ≥−1+3a −1−8，解得a ∈[1,5]，故D 错误． 故选：ABD ．直接利用函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：函数的单调性，函数的零点，基本不等式，参数的取值范围，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：对于A ，因为对于非零常数T ，f(x +T)=x +T =f(x)+T 对任何x ∈R 成立，函数f(x)=x 是类周期函数，则A 对；对于B ，假设函数f(x)=2x 是类周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， 2x+T =2x +T ⇒2x ⋅2T =2x +T ⇒2x(2T−1)=2x +T ⇒2T −1=1+T 2x 令x →+∞得：2T −1=0⇒T =0，与假设矛盾，则B 错；对于C ，令f(x)=x ，由A 知f(x)是类周期函数，F(x)=f(x)−x =0，假设非零常数T ，为F(x)的类周期，所以，F(x +T)=F(x)+T ⇒0=0+T ⇒T =0，与假设矛盾，则C 错；对于D ，因为f(x)=sinx +kx 为类周期函数，存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有f(x +T)=f(x)+T ， ⇒sin(x +T)+k(x +T)=sin(x)+kx +T ⇒sin(x +T)−sin(x)=(1−k)T ⇒2cos(x +T 2)sin(T 2)=(1−k)T ，由x ∈R ，所以sin(T 2)=0⇒(1−k)T =0⇒1−k =0⇒k −1，则D 对；故选：AD ．由类周期函数定义判断AB ，用举反例法判断C ，用三角函数公式判断D ．本题以命题的真假判断为载体，考查了正弦函数和差化积公式，理解新定义解题关键，属难题． 13.【答案】4π3【解析】解：由扇形的圆心角为23π，半径为2，所以该扇形的面积为S =12αr 2=12×2π3×22=4π3． 故答案为：4π3．由扇形的面积公式计算即可．本题考查了扇形的面积计算问题，是基础题．14.【答案】3【解析】解：因为函数f(x)={(14)x +6,x ≤1log a (x +1),x >1， 所以f(−12)=(14)−12+6=2+6=8， 所以f(f(−12))=f(8)=log a (8+1)=log a 9=2，所以a 2=9，又中a >0，a ≠1，所以a =3．故答案为：3．先利用分段函数的解析式求出f(−12)，再利用f(f(−12))=2，求出a 的值即可．本题考查了函数求值问题，涉及了分段函数的应用，对于分段函数问题，一般会运用分类讨论或是数形结合法求解． 15.【答案】1 −1或12【解析】解：因为g(x)是定义在R 上的奇函数，所以有g(0)=0，因为f(x)+g(x)=2x −x ，所以f(0)+g(0)=1，所以f(0)=1，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以F(−x)=2|−x|−λf(−x)−2λ2=2|x|−λf(x)−2λ2=f(x)，所以F(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称，所以ℎ(x)=2|x−2021|−λf(x −2021)−2λ2=F(x −2021)，所以ℎ(x)的图象关于x =2021对称，因为ℎ(x)有唯一零点，所以ℎ(2021)=0，即1−λf(0)−2λ2=0，即1−λ−2λ2=0，解得λ=−1或12．故答案为：1，−1或12．由奇函数的性质可得g(0)=0，从而可求得f(0)，令F(x)=2|x|−λf(x)−2λ2，可得F(x)为偶函数，可得ℎ(x)的图象关于x=2021对称，由题意可知ℎ(2021)=0，从而可解得λ的值．本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的对称性，属于中档题．16.【答案】[2√2,4]【解析】解：因为函数f(x)=x2+2ax+8(a>0)，集合A={x|f(x)≤0}，A≠⌀，所以函数f(x)=x2+2ax+8与x轴有交点，△=(2a)2−4×8≥0，解得a≤−2√2或a≥2√2，B={x|f(f(x))≤8}，令t=f(x)，f(f(x))=f(t)≤8，而f(0)=f(−2a)=8，根据二次函数的对称性有−2a≤t≤0，即−2a≤f(x)≤0，所以B={x|−2a≤f(x)≤0}，而A=B，所以−2a≤(x2+2ax+8)min=f(−a)=8−a2，解得：−2≤a≤4，而a≤−2√2或a≥2√2，所以a的取值范围为[2√2,4]．故答案为：[2√2,4]．根据集合A非空可求出a的一个范围，然后令t=f(x)，可求出f(x)的值域，最后根据A=B建立关系式，即可求出所求．本题主要考查了二次函数的值域，以及复合函数的性质，解题的关键是化简集合B，同时考查了学生的推理能力和换元的思想．17.【答案】解：(1)A={x|−2<x<3}，k=−3时，B={x|−1<x<6}，∴A∪B={x|−2<x<6}；(2)∵A∪B=B，∴A⊆B，∴{k+2≤−23−k≥3，解得k≤−4，∴实数k的取值范围为：(−∞,−4]．【解析】(1)可求出A={x|−2<x<3}，k=−3时求出集合B，然后进行并集的运算即可；(2)根据A∪B=B可得出A⊆B，然后即可得出{k+2≤−23−k≥3，从而解出k的范围即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集及其运算，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)若选①，tan(π+α)=tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；若选②，sin(π−α)−sin(π2−α)=cos(−α)，可得：sinα−cosα=cosα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8； 若选③，2sin(π2+α)=cos(3π2+α)，可得2cosα=sinα，即tanα=2，可得3sinα+2cosαsinα−cosα=3tanα+2tanα−1=8；(2)当α为第三象限角时，tanα=2，sin 2α+cos 2α=1，解得sinα=−2√55，cosα=−√55， 所以sin(−α)−cos(π+α)−cos(π2+α)sin(α−3π2)=−sinα+cosα+sinαcosα=2√55−√55+(−2√55)×(−√55) =2+√55．【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)若选①或②或③，利用诱导公式化简后，根据同角三角函数基本关系式即可求解；(2)利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cosα的值，利用诱导公式化简即可求解． 19.【答案】(1)解：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)中，令{1+x >01−x >0，解得−1<x <1； 所以函数f(x)的定义域为(−1,1)．(2)证明：函数f(x)=log a (1+x)+log a (1−x)，定义域为(−1,1)；任取x ∈(−1,1)，都有f(−x)=log a (1−x)+log a (1+x)=f(x)，所以函数f(x)是定义域(−1,1)上的偶函数．(3)解：不等式f(x)≥log a (x 2+x)等价于log a (1−x 2)≥log a (x 2+x)，当a >1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≥x 2+x， 解得−1<x ≤12，所以不等式的解集为(−1,12].当0<a <1时，不等式转化为{−1<x <11−x 2≤x 2+x ，解得12≤x<1，所以不等式的解集为[12,1)．综上知，a>1时，不等式的解集为(−1,12]；0<a<1时，不等式的解集为[12,1)．【解析】(1)利用对数的定义列不等式组求出解集即可．(2)根据偶函数的定义证明f(−x)=f(x)即可．(3)不等式等价于log a(1−x2)≥log a(x2+x)，讨论a>1和0<a<1时，求出不等式的解集即可．本题考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想，是中档题．20.【答案】解：(1)列表如下：1 2x+π6π2π3π22πx−π32π35π38π311π3y=2sin(12x+π6)020−20描点连线，可得函数图象如下：(2)∵x∈[−π,π]，∴12x+π6∈[−π3,2π3]，∴f(x)=2sin(12x+π6)∈[−√3,2]，即函数f(x)在[−π,π]内的值域为[−√3,2]．(3)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)=2sin[12(x−π6)+π6]=2sin(12x+π12)的图象，令2kπ−π2≤12x+π12≤2kπ+π2，可解得4kπ−7π6≤x≤4kπ+5π6，k∈Z，又x∈[−π,π]，可得函数f(x)的单调增区间是[−π,5π6].【解析】本题主要考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．(1)根据已知中函数的解析式，描出函数图象上几个关键点的坐标，进而可得函数f(x)一个周期内的图象；(2)根据已知先求得12x+π6∈[−π3,2π3]，利用正弦函数的性质即可求解；(3)利用三角函数的平移变换可求函数g(x)，进而根据正弦函数的单调性即可求解．21.【答案】解：(1)由题意知，2|CD|+|BC|=8，∴|CD|=8−2t2=4−t，∵BC边的长为2t厘米，且点D在抛物线y=−x23上，∴D(t,−t23)，∴f(t)=t23+(4−t)=t23−t+4(0<t<4)．(2)由(1)知，f(t)=t23−t+4=13(t−32)2+134，∵0<t<4，∴当t=32，即2t=3时，f(t)取得最大值，为134，故要使得窗户的高最小，BC边应设计成3厘米．(3)f(t)|BC|=t23−t+42t=t6+2t−12≥2√t6⋅2t−12=2√33−12，当且仅当t6=2t，即t=2√3，也即2t=4√3时，f(t)|BC|最小，故要使得窗户的高与BC长的比值达到最小，BC边应设计成4√3厘米．【解析】(1)推导出|CD|=4−t，D(t,−t23)，再写出函数f(t)的解析式，即可；(2)利用配方法对(1)中的函数f(t)进行整理，即可得解；(3)f(t)|BC|=t6+2t−12，再结合基本不等式，即可得解．本题考查函数的实际应用，涉及二次函数的最值以及利用基本不等式解决最值问题，选择合适的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：g(x)是R上的奇函数，则有g(0)=0，所以有f(0)+a f(0)=1+a=0，解得a=−1；(2)证明：g(x)=f(x)+af(x)=12x−2x，设x 1<x 2，则g(x 2)−g(x 1)=(12x 2−2x 2)−(12x 1−2x 1)=(2x 1−2x 2)⋅(122+1)，因为x 1<x 2，所以2x 1−2x 2<0，12x 1+x 2+1>0，则g(x 2)−g(x 1)<0，即g(x 2)<g(x 1)，所以函数g(x)是减函数．(3)(i)解：ℎ(x)=f(2x)+1f(2x)−2mg(x)=122x +22x −2m(12x −2x )=(2x −12x )2+2m(2x −12x )+2，令t =2x −12x ，x >0，则t >0，令μ(t)=t 2+2mt +2，由(2)知g(x)为减函数，令t =−g(x)，则−g(x)为增函数，t 与x 一一对应，故ℎ(x)在(0,+∞)上有2个不同的零点x 1，x 2，即μ(t)在(0,+∞)上有2个不同的零点t 1，t 2，则t 1=−m −√m 2−2，t 2=−m +√m 2−2，故△=4m 2−8>0，−m −√m 2−2>0，解得m <−√2；(ii)证明：由(i)可知t 1+t 2=2m ，t 1t 2=2，又t 1=2x 1−121，t 2=2x 2−122，则t 1t 2=(2x 1−12x 1)(2x 2−12x 2)=2x 1+x 2+12x 1+x 2−(2x 22x 1+2x 12x 2)， 因为2x 22x 1>0，由x 1≠x 2， 所以2x 22x 1+2x 12x 2>2，则t 1t 2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，所以2<2x 1+x 2+12x 1+x 2−2，故(2x 1+x 2)2−4⋅2x 1+x 2+1>0，解得2x 1+x 2>2+√3或2x 1+x 2<2−√3，由x 1+x 2>0，则2x 1+x 2>1>2−√3，故2x 1+x 2>2+√3，所以x 1+x 2>log 2(2+√3)．【解析】(1)直接利用奇函数的性质g(0)=0，求解即可；(2)利用函数单调性的定义的步骤进行证明即可；(3)(i)利用换元，令t=2x−1，x>0，则t>0，令μ(t)=t2+2mt+2，转化为μ(t)在(0,+∞)上有2个2x不同的零点t1，t2，求解即可；(ii)利用(i)中的结论，结合基本不等式进行分析证明即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了函数奇偶性、单调性的应用，同时考查了函数的零点问题以及不等式的证明，综合性强，属于中档题．。

2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学学科参考答案第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A D DB AC A C B CD B第Ⅱ卷　非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．）13. 14. 15. 1 16.{}|13x x x <->或2576三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17. 解：（1）时，，且， .......2分 1m =-{|22}B x x =-<<{|13}A x x =<<； ...................................5分{|23}A B x x \È=-<<（2），.................................7分 A B A = A B \Í，解得， \2113m m ìí-î……2m -…实数的取值范围为................................10分 \m {|2}m m -…18. （1）， cos sin a a +=，即. ................2分 225cos sin 2sin 1sin 24a a a a ++=+=1sin24a =，， .................4分 ,42æöÎç÷èøp p a2,2p a p æöÎç÷èøcos2a =-故. ...........................6分 sin 2tan 2cos2a a a ==-（2），所以，....................8分 tan()p b -=-tan b = ...............12分 tan 2tan tan(2)1tan 2tan a b a b a b ++===-19.（1）由于是函数y ＝f （x ）的零点，即x 是方程f （x ）＝0的解 4p 4p =从而f （）＝sin a cos 204p 2p +4p =则1a ＝0，解得a ＝﹣2． ...........................................2分 12+ f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1则f （x ）sin （2x ）﹣1=4p-函数f （x ）的最小正周期为π．......................................6分 （2）由x ∈[0，]，得2x ∈[，] 2p 4p -4p -34p 则sin （2x ）∈[1] .....................................9分 4p --则﹣1sin （2x ）£4p -£﹣2（2x ）﹣1 1 £4p -£∴值域为[]．..................................12分 12,220.（1）由已知 ∴ ()()f x f x -=-1111x x a a e e -æö+=-+ç÷++èø∴ 22011x x x ae a a e e ++=+=++解得........................................2分 2a =-∴. 2()11x f x e -=++证明：，且 12,x x R "Î12x x <则 ()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++∵12x x <∴，∴，又，12x x e e <210x x e e ->110x e +>210x e +>∴ ()()()()()2112122011x x x x e e f x f x e e ---=<++∴()()12f x f x <故函数在上是增函数......................6分 ()f x R （2）∵ ∴ ()2(23)0f t f t +-£()2(23)f t f t £--而为奇函数， ∴ ()f x ()2(32)f t f t £-∵为上单调递增函数∴ .......................10分()f x R 223t t £-+∴2230t t +-£∴ 31t -££∴原不等式的解集为............................12分 []3,1-21. （1）由图象知A =2 =-（-）=， 34T 512p 3p 912p 得T =π，得ω=2， 又f （-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，3p3p得sin （-+φ）=-1，即-+φ=-+2kπ 23p 23p 2p即ω=+2kπ，k ∈Z 6p ∵|φ|＜， ∴当k =0时，φ=， 2p 6p 即A =2，ω=2，φ=； 6p a =--=--=- 3p 4T 3p 4p 712p b =f （0）=2sin =2×=1 6p 12∵f (x )=2sin （2x +） ∴由2kπ-≤2x +≤2kπ+，k ∈Z ， 6p 2p 6p 2p 得kπ-≤x ≤kπ+，k ∈Z 3p 6p 即函数f (x )的递增区间为[kπ-，kπ+]，k ∈Z ............................6分 3p 6p （2）∵f （α）=2sin （2α+），即sin （2α+） 6p 6p ∵α∈[0，π]∴2α+∈[，] 6p 6p 136p ∴2α+=或 ∴α=或α=. ..........................12分6p 4p 34p 24p 724p22.解：（1）因为每件商品售价为万元，则千件商品销售额为万元， 0.05x 0.051000x ´依题意得：当时080x << 2211()(0.051000)(20)2003020022L x x x x x x =´-+-=-+-当时80x ³ 1000010000()(0.051000)(51600)200400()L x x x x x x=´-+--=-+所以 ........................6分 2130200,0802()10000400(80x x x L x x x x ì-+-<<ïï=íï-+³ïî（2）当时， 080x <<21()(30)2502L x x =--+此时，当时，即万元.....................8分 30x =()(30)250L x L £=当时，， 80x ³10000()400(400400200200L x x x =-+£-=-=此时，即万元， 10000,100x x x==()(100)200L x L £=由于，250200>所以当年产量为千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为万元. 30250.........................12分。

2020-2021学年合肥市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=2n,n∈N∗}，B={x|x=2n,n∈N∗}，则下列不正确的是()A. A⊆BB. A∩B=AC. B∩(∁z A)=ΦD. A∪B=B2.已知f(x)是以5为周期的奇函数，f(−3)=4且sinα=√32，则f(4cos2α)=()A. 4B. −4C. 2D. −23.设tan1234°=a，那么sin(−206°)+cos(−206°)的值为()A. 1+a√1+a2B. −1+a√1+a2C. a−1√1+a2D. 1−a√1+a24.设|a⃗|=1，|b⃗ |=2，且a⃗、b⃗ 夹角为23π，则|2a⃗+b⃗ |等于()A. 2B. 4C. 12D. 2√35.如图，有一个“鼓形”烧水壶正在接水.水壶底部较宽，口部较窄，中间部分鼓起.已知单位时间内注水量不变，壶中水面始终为圆形，当注水t=t0时，壶中水面高度ℎ达到最高ℎ0.在以下图中，最能近似的表示壶中水面高度ℎ与注水时间t的关系是()A. B.C. D.6.下面有命题：①y=|sinx−12|的周期是π；②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2]；③方程cosx=lgx有三解；④ω为正实数，y=2sinωx在[−π3,2π3]上递增，那么ω的取值范围是(0,34]；⑤在y=3sin(2x+π4)中，若f(x1)=f(x2)=0，则x1−x2必为π的整数倍；⑥若A 、B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P(cosB −sinA,sinB −cosA 在第二象限； ⑦在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，则△ABC 钝角三角形．其中真命题个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 57.已知sin(α+π3)+sinα=√33，则sin(2α−π6)的值是( )A. 79B. −79C. 29D. −298.已知函数f(x)=|log 3x|，若函数y =f(x)−m 有两个不同的零点a ，b ，则( )A. a +b =1B. a +b =3mC. ab =1D. b =a m9.函数f(x)=ax 2+(2+a)x +1是偶函数，则函数的单调递增区间为( )A. [0,+∞)B. (−∞,0]C. (−∞,+∞)D. [1,+∞)10. 化简cos50°+cos70°−cos10°的结果为( )A. 0B. 2cosl0°C. −2cosl0°D. 2sinl0°11. 已知函数f(x)={log 3(x +2)+a,x ≥1e x −1,x <1，若f[f(ln2)]=2a ，则f(a)等于( )A. 12B. 43C. 2D. 412. 已知向量=()，=(１,)且，其中，则等于( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量|a ⃗ |=√5，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(3,4)，若a ⃗ ⋅b ⃗ =1，(a ⃗ +λb ⃗ )//c ⃗ ，则实数λ= ______ ． 14. 计算2sin50°−√3sin20°cos20°=______．15. 在长方形区域{(x,y)|0≤x ≤2，0≤y ≤1}中任取一点P ，则点P 恰好取自曲线y =cosx(0≤x ≤π2)与坐标轴围成的区域内的概率为______ ．16. 14、已知是定义在上的函数，并满足，当时，，则。

2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考高一年级 期末教学质量检测数学学科试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡上，并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。

2.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.每小题只有1个选项符合要求.） 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=U ，2{0,}A x x x x U =->∈，则A C U 等于：A.{}0,1,2B.{2,1,2}--C.{0,1}D.{2,1,1}--2．已知命题3:2,80p x x ∀<-<，那么p ⌝是：A.32,80x x ∃≥-≥ B.32,80x x ∀≤-> C.32,80x x ∀>->D.32,80x x ∃<-≥3．已知函数()2,01,02xx x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()()2f f ＝： A.﹣4 B.12- C.12 D.﹣84．函数()()2ln 1f x x x=+-的零点所在的区间是：A.(0,1)B.(1,2)C.(2,)eD.(3,4)5．已知0.10.9a =，121log 3b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是：A ．c<b<aB ．a<b<cC ．c<a<bD ．b<c<a6．已知()x f 是R 上的奇函数且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，(2023)f =：A.-2B.2C.-98D.987．设奇函数()f x 对任意的1x ，()212(,0)x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，且(2020)0f =，则()()0f x f x x-->的解集为：A.(,0)(2020,)-∞+∞B.(,2020)(0,2020)-∞C.(,2020)(2020,)-∞-+∞D.(2020,0)(0,2020)-8.函数()sin x xy e ex -=+的部分图象大致为：A ．B ．C ．D ．9.关于()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭有以下命题：①若()()120f x f x ==，则12()x x k k Z π-=∈；②()f x 图象与()3cos 24g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭图象相同；③()f x 在区间73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦是减函数；④()f x 图象关于点,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.其中正确的命题序号是：A.②③④B.①④C.①②③D.②③10.已知函数94(1)1y x x x =-+>-+，当x a =时，y 取得最小值b ，则a b +等于： A.－3B.2C.3D.811.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+其中(0,2)ϕπ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切x ∈R 恒成立，则()f x 的单调递增区间是：A.,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦B.,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C.2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZD.,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦12.已知幂函数()()22421mm f x m x -+=-在()0,∞+上单调递增，函数()2xg x t =-，任意[)11,6x ∈时，总存在[)21,6x ∈使得()()12f x g x =，则t 的取值范围是：A.281<<tB.128≤≥t t 或C.128<>t t 或D.281≤≤t二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上.） 13.等式2230x x -++<的解集是____________________． 14.知等腰三角形底角正弦值为45，则顶角的余弦值是_________． 15.326m n ==，则11m n +=______． 16.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=π342cos x y 的图象向左平移()0>ϕϕ个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为___________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分,解答题应写出文字说明及演算步骤.） 17．（本题满分10分）已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-． （1）当1m =-时，求A B ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．18．（本题满分12分） 已知5cos sin 2αα+=，(,)42αππ∈．（1）求tan2α；（2）若15tan()πβ-=-，求tan(2)αβ+．19．（本题满分12分）已知函数()()为常数a R a x a x x f ,cos 2sin 2∈+=,且4π是函数()x f y = 的零点． （1）求a 的值，并求函数()x f 的最小正周期；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求函数()x f 的值域．20．（本题满分12分）已知函数()11x af x e =++为奇函数． （1）求a 的值，并用函数单调性的定义证明函数()f x 在R 上是增函数；（2）求不等式()()2230f t f t +-≤的解集．21．（本题满分12分）函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0sin πϕωϕωA x A x f 的部分图象如图所示：（1）求A ，ω，φ的值；（2）求图中a ，b 的值及函数()x f 的递增区间； （3）若[]πα,0∈，且()2=αf ，求α的值．22．（本题满分12分）2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，为降低疫情影响，某厂家拟尽快加大力度促进生产．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()202C x x x =+(万元).当年产量不小于80千件时，10000()51600C x x x=+-(万元)．每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？2020-2021学年度第一学期合肥市六校联考 高一年级期末教学质量检测数学学科参考答案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中的横线上．） 13. {}|13x x x <->或 14.257 15. 1 16. 6π三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答题应写出文字说明及演算步骤.）17. 解：（1）1m =-时，{|22}B x x ，且{|13}A x x =<<， .......2分 {|23}A B x x ∴⋃=-<<； ...................................5分 （2）A B A =，A B ∴⊆ .................................7分∴2113m m ⎧⎨-⎩，解得2m -，∴实数m 的取值范围为{|2}m m. ...............................10分18. （1） cos sin 2αα+=，∴225cos sin 2sin 1sin 24αααα++=+=，即1sin 24α=. ................2分 ,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，∴2,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos24α=-， .................4分 故sin 2tan 2cos2ααα==分（2） tan()5πβ-=-，所以tan 5β=， ....................8分∴tan 2tan tan(2)1tan 2tan 155αβαβαβ++===-分19.（1）由于4π是函数y ＝f （x ）的零点，即x 4π=是方程f （x ）＝0的解 从而f （4π）＝sin 2π+acos 24π=0则112+a ＝0，解得a ＝﹣2． ...........................................2分∴ f （x ）＝sin2x ﹣2cos 2x ＝sin2x ﹣cos2x ﹣1则f （x）=（2x 4π-）﹣1∴函数f （x ）的最小正周期为π． ......................................6分（2）由x ∈[0，2π]，得2x 4π-∈[4π-，34π] 则sin （2x 4π-）∈[2-，1] .....................................9分 则﹣1≤（2x 4π-）≤﹣2≤（2x 4π-）﹣1≤ 1 ∴值域为[12,2--]． ..................................12分20.（1）由已知()()f x f x -=- ∴1111x x a a e e -⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭∴22011x x x ae aa e e ++=+=++ 解得2a =- ........................................2分∴2()11x f x e -=++. 证明：12,x x R ∀∈，且12x x <则()()()()()211212122221111x x x x x x e e f x f x e e e e -----=-=++++ ∵12x x <∴12x x e e <，∴210x x e e ->，又110x e +>，210x e +> ∴()()()()()2112122011x x x x e e f x f x ee ---=<++∴()()12f x f x <故函数()f x 在R 上是增函数. .....................6分（2）∵()2(23)0f tf t +-≤ ∴()2(23)f t f t ≤--而()f x 为奇函数， ∴()2(32)f t f t ≤-∵()f x 为R 上单调递增函数 ∴223t t ≤-+ .......................10分 ∴2230t t +-≤ ∴31t -≤≤∴原不等式的解集为[]3,1-. ...........................12分21. （1）由图象知A=2 ....................................1分 34T =512π-（-3π）=912π，得T=π，得ω=2， ....................................2分又f （-3π）=2sin[2×（-3π）+φ]=-2，得sin （-23π+φ）=-1，即-23π+φ=-2π+2kπ即ω=6π+2kπ，k ∈Z∵|φ|＜2π， ∴当k=0时，φ=6π，即A=2，ω=2，φ=6π； ....................................4分（2）a=-3π-4T =-3π-4π=-712π....................................5分b=f （0）=2sin 6π=2×12=1 ....................................6分∵f(x)=2sin （2x+6π） ∴由2kπ-2π≤2x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得kπ-3π≤x≤kπ+6π，k ∈Z即函数f(x)的递增区间为[kπ-3π，kπ+6π]，k ∈Z (8)分（3）∵f （α）=2sin （2α+6π），即sin （2α+6π）=2 ∵α∈[0，π] ∴2α+6π∈[6π，136π]∴2α+6π=4π或34π∴α=24π或α=724π. ..........................12分22.解：（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ⨯万元， 依题意得： 当080x <<时2211()(0.051000)(20)2003020022L x x x x x x =⨯-+-=-+-当80x ≥时1000010000()(0.051000)(51600)200400()L x x x x x x=⨯-+--=-+所以2130200,0802()10000400(),80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩........................6分（2）当080x <<时，21()(30)2502L x x =--+此时，当30x =时，即()(30)250L x L ≤=万元. ....................8分当80x ≥时，10000()400()400400200200L x x x =-+≤-=-=， 此时10000,100x x x==，即()(100)200L x L ≤=万元， 由于250200>，所以当年产量为30千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为250万元. .........................12分。

2019-2020学年安徽省合肥市高一上学期期末数学试题及答案解析一、单选题1．已知集合{}3M x x =<，{N x y ==，则RMN =（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}23x x <<D ．{}23x x ≤<【答案】C【解析】先求得集合N,再由集合补集与交集的运算即可求解. 【详解】集合{N xy ==,求解得{}2N x x =≤则由补集运算可得{}2RN x x =>由交集运算可知{}{}{}3223RM N x x x x x x ⋂=<⋂>=<<故选:C 【点睛】本题考查了集合的补集与交集的简单运算,属于基础题. 2．sin1290︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】B【解析】将1290先化为0~360的角,再结合诱导公式即可求得三角函数值.【详解】 因为12903360210=⨯+则()sin1290sin 3360210sin 210=⨯+=由诱导公式可知()sin 210sin 18030=+1sin 302=-=-故选:B 【点睛】本题考查了任意角三角函数值的求法和诱导公式的简单应用,属于基础题.3．已知12,e e 是两个不共线向量，且1263a e e =-，12b ke e =+.若向量a 与b 共线，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．13 D ．43【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,设λa b ,即可解方程组求得k 的值. 【详解】根据平面向量共线基本定理,若向量a 与b 共线 则满足λa b即()211263k ee e e λ-=+所以满足63k λλ=⎧⎨-=⎩,解得32k λ=-⎧⎨=-⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线基本定理的简单应用,属于基础题.4．计算：61log 022log lg 25lg 469.8+++=（ ）A ．1B ．4C ．5D ．7【答案】C【解析】由对数的运算性质,结合零次幂的值,即可求得算式的值. 【详解】根据对数运算及指数幂运算,化简可得61log 022log lg 25lg 469.8+++322211log 2lg 5lg 2122=++++ ()312lg5lg 2122=++++ 312122=+++ 5=故选:C 【点睛】本题考查了对数的运算性质及化简求值,属于基础题.5．设21log a e =，11e b e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln 2c =，则（ ）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】C【解析】根据对指数函数与对数函数的图像与性质,判断出,,a b c 的范围,即可比较大小. 【详解】由指数函数与对数函数的图像与性质可知21log 0a e=< 1111eeb e e -⎛⎫= ⎪=⎭>⎝0ln21c <=<所以b c a >> 故选:C 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质,利用中间值法比较大小,属于基础题.6．下列函数既是偶函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ） A ．()|1|f x x =+ B ．()1f x x x =+ C ．()f x =D ．()4f x x -=【答案】D【解析】根据函数解析式,结合偶函数性质及函数的单调性,即可判断选项. 【详解】对于A,函数()|1|f x x =+不是偶函数,所以A 错误;对于B,函数()1f x x x =+为奇函数,不是偶函数,所以B 错误; 对于C,()f x =,但在区间(0,)+∞上是增函数,所以C 错误; 对于D,()441f x x x -==为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,所以D 正确. 综上可知,正确的为D故选:D 【点睛】本题考查由函数解析式判断函数奇偶性及单调性,属于基础题.7．下列区间，包含函数()12ln 3x f x x =--零点的是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【解析】由函数单调性,结合零点存在定理,即可判断函数零点所在区间. 【详解】根据函数解析式可知()12ln 3x f x x =--在()0,∞+上为单调递增函数且()152ln101331f =--=-< ()127ln 2ln 202362f =--=-<()12ln 3ln 310333f =--=->由零点存在定理可知,零点位于(2,3)内 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用.在判断函数零点所在区间时,需先判断函数的单调性,才能说明函数零点的唯一性,属于基础题.8．已知向量(2,1)a =-，(3,2)b =-，(1,1)c =，则向量c 可用向量,a b 表示为（） A ．26a b +B ．53a b +C ．42a b -D ．5a b -【答案】B【解析】根据平面向量基本定理,设c a b λμ=+.代入坐标,由坐标运算即可求得参数. 【详解】根据平面向量基本定理,可设c a b λμ=+ 代入可得()()()1,12,13,2λμ=-+-即12312λμλμ=-⎧⎨=-+⎩,解得53λμ=⎧⎨=⎩所以53c a b =+ 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,向量坐标运算及数乘运算的应用,属于基础题.9．在ABC ∆中，2AD DB =，若P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+，则m =（ ）A ．14 B ．13C ．12D ．23【答案】A【解析】根据平面向量共线基本定理,可设DP DC λ=,结合向量的加法与减法运算,化简后由12AP mAC AB =+,即可求得参数,m λ的值. 【详解】因为P 为CD 上一点,设DP DC λ=因为2AD DB = 所以23AD AB =则由向量的加法与减法运算可得AP AD DP =+AD DC λ=+()AD AC ADλ=+-()1AD AC λλ=-+ ()213AB AC λλ=-+ 因为12AP mAC AB =+所以()12123m λλ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,解得1414m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选:A 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用,平面向量基本定理的应用,向量的加法与减法的线性运算,属于基础题. 10．已知偶函数()log ||a f x b x =-（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减，则()f b a -与()21f a +的大小关系是（）A ．()()21f b a f a >+- B ．()()21f b a f a <+-C ．()()21f b a f a =+-D ．无法确定【答案】B【解析】根据偶函数性质,可求得b ,结合函数的单调性即可求得a 的取值范围.通过比较21a +与a -的大小关系,即可比较大小.因为()log ||a f x b x =-为偶函数 所以()()f x f x =-,即log ||log ||a a x b x b -=-- 所以||||x b x b -=--对()(),00,x ∈-∞+∞恒成立 解得0b = 即()log ||a f x x =因为偶函数()log ||a f x x =（0a >且1a ≠）在(,0)-∞上单调递减,则()log ||a f x x =在()0,∞+上单调递增 所以由对数函数的图像与性质可知1a > 而211a a +>-> 所以()()()21f a f a f a +>-=-故选:B 【点睛】本题考查了由偶函数的性质求参数,根据函数单调性比较抽象函数的大小关系,综合性较强,属于中档题.11．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||ϕπ<）的部分图象如图所示，若将函数sin()y A x ωϕ=+的图象向右平移(0)αα>个单位后，得到一个偶函数的图象，则α的取值可能为（ ）A ．6πB ．3πC ．116πD ．1712π【解析】根据部分函数图像,先求得函数解析式.结合函数平移变化,求得平移后的解析式,由平移后为偶函数并对比选项即可求解. 【详解】由函数图像可知,A =而741234T πππ=-=,所以T π=由周期公式可得22Tπω==所以)y x ϕ=+将最低点坐标7,12π⎛ ⎝代入解析式可知7212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭ 则7322,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈ 所以2,3k k Z πϕπ=+∈因为||ϕπ<所以当0k =时,3πϕ=则解析式为23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 将解析式向右平移α单位后,可得()22233y x x ππαα⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭因为平移后的函数为偶函数,则202,32k k Z ππαπ⨯-+=+∈解得6,12212k k k Z ππππα+=--=-∈ 对比四个选项,当3k =-时, 1712πα=故选:D 【点睛】本题考查了根据部分图像求函数解析式,由函数的性质求得参数,属于中档题.12．已知函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称，其中0ϕπ<<，02θπ-<<，且tan 2θ=-，则sin 2ϕ的值为（ ）A ．34B ．14C ．35D ．45-【答案】D【解析】根据函数对称轴,求得θ的表达式.由tan 2θ=-结合诱导公式即可得cos 2sin ϕϕ=-.根据同角三角函数关系式及正弦二倍角公式,即可求解. 【详解】因为函数()sin()f x x ϕθ=++的图象关于直线x π=对称 所以由正弦函数的图像与性质可知,2k k Z ππϕθπ++=+∈ 则,2k k Z πθϕπ=--+∈所以tan tan tan 222k ππθϕπϕ⎛⎫⎛⎫=--+=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由诱导公式化简可得tan 22πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭根据同角三角函数关系中的商数关系式可得sin 22cos 2πϕπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭由诱导公式化简可得cos 2sin ϕϕ=-,即cos 2sin ϕϕ=-由同角三角函数关系式中的平方关系式22sin cos 1ϕϕ+=,代入可得()22sin 2sin 1ϕϕ+-=,解得21sin 5ϕ=因为0ϕπ<<,所以sin 0ϕ>,则sin ϕ=而由cos 2sin ϕϕ=-,可得cos ϕ=由正弦二倍角公式可知sin 22sin cos ϕϕϕ=425⎛==- ⎝⎭故选:D 【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质的应用,同角三角函数关系式的化简求值,正弦二倍角公式的应用,属于中档题.二、填空题13．已知1sin 3α=，则sin cos 22αα+=__________．【答案】3±【解析】24sin cos 1223sin ααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以sin cos 22αα+=±14．设函数()()142,1,log 21,1,x xx f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩若()12f x =，则x =________. 【答案】0或2log 3【解析】根据分段函数解析式,分段即可求得自变量的值. 【详解】当1x <时,()12x f x -=.若()12f x =,即1212x -=,解得0x =,符合题意当1x ≥时,()()4log 21x f x =-. 若()12f x =,即()41log 221x =-,所以212x -=则23x =,解得2log 3x =,符合题意 综上可知,若()12f x =时,0x =或2log 3x = 故答案为: 0或2log 3 【点睛】本题考查了分段函数的求值,属于基础题. 15．已知,a b 是单位向量，且夹角为60°，3c=，则1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是________. 【答案】111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据平面向量数量积,先求得a b ⋅及a b +.由平面向量数量积的运算律,计算1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,设c 与a b +的夹角为θ,即可由平面向量数量积的运算求得取值范围. 【详解】因为,a b 是单位向量,且夹角为60° 则()2222a b a ba ab b+=+=+⋅+=设c 与a b +的夹角为θ（0180θ≤≤）,由平面向量数量积的运算律化简可得1122a c b c ⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2111224a b a c b c c =⋅-⋅-⋅+()21111cos6024c a b =⨯⨯-⋅++⨯113cos 224c a b θ=-⋅++ 5142θ=- 53cos 42θ=- 当0θ=,即cos 1θ=时取得最小值为531424-=-当180θ=,即cos 1θ=-时取得最大值为5311424+=所以取值范围为111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为:111,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,向量的夹角及模的求法,属于中档题. 16．已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________. 【答案】(4,1)(1,0)--⋃-【解析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围. 【详解】 函数()211x x xf -=-定义域为{}1x x ≠当1x ≤-时,()2111x x x f x -==---当11x -<<时,()2111x x xf x -==+-当1x <时,()2111x x xf x -==---画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点. 综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点 故答案为:()()4,11,0--⋃- 【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.三、解答题 17．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=-【解析】（Ⅰ）根据任意角的转化,即可把角α写成2k πβ+的形式.进而根据β的值确定α所在的象限;（Ⅱ）根据γ与α的终边相同且(4,3)γππ∈--,即可确定γ的值. 【详解】 （Ⅰ）9203360160-︒=-⨯︒+︒,81609π︒=,920α∴=-︒=8(3)29ππ-⨯+.角α与89π终边相同,∴角α是第二象限角.（Ⅱ）角γ与α的终边相同,∴设82()9k k Z πγπ=+∈. (4,3)γππ∈--,由84239k ππππ-<+<-,可得2235918k -<<-. 又k Z ∈,2k ∴=-. 828499ππγπ∴=-+=-.【点睛】本题考查了角度与弧度的转化,任意角转为()0,2π的角,根据角判断所在象限,属于基础题. 18．已知集合A 为函数()2log (1)f x x =-+的定义域，集合B 为函数()2233x x g x -=-的值域.（Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若{|112}C x a x a =-<<-，且()C A B ⊆，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）{}|10B x x A -<=≤；（Ⅱ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（Ⅰ）根据对数性质及二次根式有意义条件,先求得集合A,由指数的图像与性质,求得集合B,即可由集合交集的运算求得AB .（Ⅱ）讨论C =∅与C ≠∅两种情况.根据集合的包含关系,即可求得a 的取值范围. 【详解】 （Ⅰ）由函数()f x 的定义域需满足10,10,x x ->⎧⎨+>⎩解得11x -<<,所以{}|11A x x =-<<. 设22t x x =-,则22(,1]t x x =-∈-∞, 所以3(0,3]t ∈, 所以{}|30}B y y =-<≤. 所以{}|10B x x A-<=≤.（Ⅱ）由于()C AB ⊆,若C =∅,则需112a a -≥-,解得23a ≥； 若C ≠∅,则需2,311,120,a a a ⎧<⎪⎪-≥-⎨⎪-≤⎪⎩解得1223a ≤<.综上,实数a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数定义域的求法,指数函数值域的求法,由集合的包含关系求参数,属于基础题. 19．已知函数()21log 1x x xf -=+. （Ⅰ）设()11x x x h -=+，用定义证明：函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数；（Ⅱ）若函数()()2xg x f x m =++，且()g x 在区间(3,5)上有零点，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2log 3337m -<<- 【解析】（Ⅰ）任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,代入解析式可求得()()21h x h x -,变形后即可判断函数的单调性.（Ⅱ）先判断出函数()f x 与()g x 的单调性,即可根据零点存在定理求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）证明:由题意得()11211x x x x h x -+-==++211x=-+. 任取12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,则()()212211h x h x x ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭1211x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭122211x x =-++()()()2112211x x x x -=++.因为12,(1,)x x ∈-+∞,且12xx <,所以210x x ->,110x +>,210x +>, 所以()()210h x h x ->,所以函数()h x 在(1,)-+∞上是增函数. （Ⅱ）由题意()f x 的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞.由（Ⅰ）知,()f x 在(1,)+∞上单调递增,所以()()2xg x f x m =++在(3,5)上单调递增.因为()g x 在区间(3,5)上有零点,所以3252231(3)log 270,3151(5)log 2log 3330,51g m m g m m -⎧=++=+<⎪⎪+⎨-⎪=++=-++>⎪+⎩所以2log 3337m -<<-. 【点睛】本题考查了利用定义判断函数的单调性,由函数单调性及零点取值范围判断参数的取值情况,属于基础题.20．已知角θ满足1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求下列各式的值：（Ⅰ）sin sin 21cos cos 2θθθθ+++；（Ⅱ）cos2sin 2θθ+. 【答案】（Ⅰ）-3；（Ⅱ）75-【解析】（Ⅰ）根据正切和角公式,展开化简可求得tan θ的值.将原式根据正弦与余弦的二倍角公式展开即可变形为sin (12cos )cos (12cos )θθθθ++,即可求解. （Ⅱ）将原式变形为齐次式,222222cos sin 2sin cos cos sin cos sin θθθθθθθθ-+++,即可变形求解. 【详解】由题意知1tan tan 41tan πθθθ+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭12=-,得tan 3θ=-. （Ⅰ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得sin sin 21cos cos 2θθθθ+++ 2sin 2sin cos cos 2cos θθθθθ+=+sin (12cos )cos (12cos )θθθθ+=+ tan θ=3=-.（Ⅱ）由正弦与余弦的二倍角公式变形可得cos2sin 2θθ+2222cos sin cos sin θθθθ-=++222sin cos cos sin θθθθ+2221tan 2tan 1tan 1tan θθθθ-=+++192(3)1919-⨯-=+++75=- 【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,正弦与余弦二倍角公式的用法,属于基础题.21．某公司的电子新产品未上市时，原定每件售价100元，经过市场调研发现，该电子新产品市场潜力很大，该公司决定从第一周开始销售时，该电子产品每件售价比原定售价每周涨价4元，5周后开始保持120元的价格平稳销售，10周后由于市场竞争日益激烈，每周降价2元，直到15周结束，该产品不再销售.（Ⅰ）求售价()f t （单位：元）与周次t （*t N ∈）之间的函数关系式；（Ⅱ）若此电子产品的单件成本()h t （单位：元）与周次()21(7)1008h t t --+=之间的关系式为[1,15]t ∈，()f x ，*t N ∈，试问：此电子产品第几周的单件销售利润（销售利润=售价-成本）最大？ 【答案】（Ⅰ）()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈；（Ⅱ）第10周【解析】（Ⅰ）根据题意,结合分段情况即可求得解析式. （Ⅱ）根据售价解析式及成本解析式,先表示出利润的函数解析式.结合二次函数性质即可求得最大值及对应的时间. 【详解】（Ⅰ）当[1,5]t ∈时,()1004f t t =+； 当[6,10]t ∈时,()120f t =；当[11,15]t ∈时,()1202(10)f t t =--1402t =-. 所以()1004,[1,5],120,[6,10],1402,[11,15],t t f t t t t +∈⎧⎪=∈⎨⎪-∈⎩()*t N ∈.（Ⅱ）由于单件电子产品的销售利润=售价-成本,即单件销售利润()()()g t f t h t =-, 所以,当[1,5]t ∈时,()211004(7)1008t t g t =++--21949848t t =++21(9)48t =+-. 此时()g t 单调递增,所以当5t =时,()g t 取得最大值1648.当[6,10]t ∈时,()21120(7)1008g t t =+--21(7)208t =-+.当10t =时,()g t 取得最大值1698. 当[11,15]t ∈时,()211402(7)1008t t g t =-+--2115369848t t =-+21(15)188t =-+. 当11t =时,()g t 取得最大值20.综上,该电子产品第10周时单件销售利润最大.【点睛】本题考查了分段函数在实际问题中的应用,利润问题的最值求法,二次函数的性质应用,属于基础题.22．已知函数()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期以及()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（Ⅱ）若()085f x =，0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.【答案】（Ⅰ）π，最大值为2，最小值为12；（Ⅱ【解析】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简三角函数式,即可求得最小正周期.结合正弦函数的图像与性质即可求得在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）将0x 代入即可求得03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦及同角三角函数关系式求得0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.即可由配凑法及余弦的差角公式求得0cos2x . 【详解】（Ⅰ）由余弦的降幂公式,结合正弦的差角公式及辅助角公式化简可得()22cos sin 26x x f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭1cos 222x x =++1cos 22x -112cos 222x x =++ 1sin 26x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦, 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2,最小值为12. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()001sin 26f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 因为()085f x =,所以03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由0,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得0272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.从而0cos 26x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭45=-. 所以00cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 0cos 2cos 66x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0sin 2sin 66x ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了三角函数式的化简,余弦降幂公式及正余弦的差角公式应用,正弦函数的图像与性质的用法,属于中档题.。