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新人教版高中数学知识点全总结高中数学是学生在中学阶段学习的最后一个数学科目，它在知识体系上是对初中数学的拓展和深化，同时也是大学数学的基础。
新人教版高中数学教材按照必修和选修的不同模块进行编排，涵盖了从函数、导数、积分等基本概念到立体几何、概率统计等应用领域的广泛内容。
以下是新人教版高中数学知识点的全总结：一、集合与函数概念集合是高中数学的基础概念，包括集合的含义、表示方法、基本关系和运算。
函数部分则介绍了函数的定义、性质、函数的图像以及常见函数类型，如一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数等。
二、数列与数学归纳法数列是一系列按照特定顺序排列的数，本部分内容包括数列的概念、等差数列、等比数列以及数列求和。
数学归纳法是一种证明方法，用于证明与自然数相关的命题，本部分将介绍其基本步骤和应用。
三、函数的极限与导数极限是微积分的基础概念，涉及到函数值的趋近性。
导数则描述了函数在某一点的切线斜率，是研究函数局部性质的重要工具。
本部分内容包括极限的定义、性质、导数的定义、求导法则以及高阶导数。
四、函数的积分积分是微积分的另一核心概念，用于求解曲线下面积或物体的体积。
本部分内容包括不定积分、定积分的概念、性质和计算方法，以及积分在几何和物理中的应用。
五、三角函数三角函数是解决与三角形相关问题的重要工具。
本部分内容包括三角函数的定义、基本关系式、三角恒等变换、三角函数的图像和性质，以及解三角形的方法。
六、平面向量与解析几何向量是描述几何形状和物理现象的重要工具。
本部分内容包括向量的基本概念、线性运算、数量积和向量积，以及向量在解析几何中的应用，如直线、圆和圆锥曲线的方程。
七、立体几何立体几何研究三维空间中的几何形状。
本部分内容包括空间几何体的基本概念、性质，以及直线与平面、平面与平面之间的相互关系和判定方法。
八、概率与统计概率与统计是研究随机现象的数学分支。
本部分内容包括随机事件的概率、条件概率、独立事件、随机变量及其分布、数学期望和方差，以及统计中的样本、总体、抽样分布和假设检验等。
高中数学人教A版必修第一册知识点总结本册教材是高中数学人教版A版(2024)的必修第一册，总共包括了四个单元：集合与常用逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、几何与向量。
接下来将对这四个单元的知识点进行总结。
一.集合与常用逻辑1.集合与元素-集合的表示方法：列举法、描述法、条件法-集合之间的关系：相等、含于、相交、并集、交集、互补集2.集合的运算-并集、交集、差集、补集-嵌套集合的化简-运算律：交换律、结合律、分配律3.常用逻辑关系-全称量词、存在量词-逻辑运算：与、或、非-条件命题、充分条件、必要条件4.命题及命题的逻辑运算-命题的分类：命题主体、命题联结词、命题陈述、命题基础-命题的逻辑运算：否定、合取、析取、蕴含、等价二.函数与方程1.函数的概念-自变量、因变量、函数值-射影函数、指示函数2.函数的表示方法-函数的解析式-函数的图像3.函数的性质-定义域、值域、对应法则、单调性、奇偶性、周期性-奇函数、偶函数-反函数4.一次函数-一次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换5.二次函数-二次函数的解析式及图像-平移变换、伸缩变换-最值、对称轴、零点及判别式三.数列与数学归纳法1.数列的概念-有限数列、无限数列、数列的一般表示2.等差数列-等差数列的概念及公式-等差数列前n项和公式-通项公式的推导3.等比数列-等比数列的概念及公比-等比数列前n项和公式-通项公式及其推导4.递推数列-递推数列的概念及表示-递推公式5.数学归纳法-数学归纳法三个步骤：证明基础、证明步骤、加强归纳前提四.几何与向量1.向量的概念-向量的定义、表示方法、相等与运算-向量的数量表示-零向量、单位向量2.向量的线性运算-加法、减法、数乘-加减法运算律、数乘运算律3.向量的坐标表示-坐标运算、线性变换4.向量的数量积-向量的点乘、模长及其性质-向量的夹角及性质5.平面向量的应用-共线向量、垂直向量、平行向量-向量在直角坐标系中的投影-多边形面积与向量运算-向量与几何问题的应用以上是《高中数学人教A版(2024)必修第一册》的知识点总结。
庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立;(2)(归纳推理)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.深化升华①数学归纳法是推理逻辑,它的第一步称为奠基步骤,是论证的基础保证,即通过验证落实传递的起点,这个基础必须是真实可靠的;它的第二步称为递推步骤,是命题具有后继传递性的保证,即命题只要对某个正整数成立,就能保证该命题对后继正整数都成立,两步合在一起为完全归纳步骤,称为数学归纳法.这两步各司其职,缺一不可.特别指出的是,第二步不是判断命题的真伪,而是证明命题是否具有传递性.如果没有第一步而仅有第二步,命题也有可能是假命题.②数学归纳法的优点是克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学的方法,使我们认识到由繁到简,由特殊到一般,由有限到无穷的数学思想.知识拓展归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,通常叫做归纳法,根据考察的对象是全部还是部分,归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法.二、数学归纳法的主要应用1.用数学归纳法证明不等式问题对与正整数有关的不等式的证明,如果用其他的方法比较困难,此时可考虑利用数学归纳法证明.使用数学归纳法的难点在第二个步骤上,这时除了一定要运用归纳假设外,还要较多地运用不等式的证明等其他方法,对所要证明的不等式加以变形,寻求其与归纳假设的联系是问题的突破口.要点提示在数学归纳法中,由n=k时成立推证n=k+1时也成立是关键和难点,在推证时一般要用到比较法、放缩法、配凑法、分析法等.2.用数学归纳法证明整除问题对于整数a,b,如果a=b·c,c为整数,则称a能被b整除;对于多项式A,B,如果A=B·C,C为整式,则称A能被B整除.由多项式的定义容易得出:对多项式A,B,C,P,如果A能被C整除,那么PA也能被C整除;如果A,B能被C整除,那么A+B或A-B也能被C整除.疑点突破用数学归纳法证明整除问题,P(k) P(k+1)的整式变形是难点,找出它们之间的差异,从而决定n=k时,P(k)做何种变形是关键的一步.一般地,将n=k+1时P(k+1)的整式分拆配凑成P(k)的形式,再利用归纳假设和基本事实,这个变形是难点.3.用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题时,难点就是在P(k) P(k+1)递推时,找出从n=k到n=k+1时的递推公式,这是关键所在.方法点拨分析增加一条曲线或直线后,点、线段、曲线段、平面块在P(k)的基础上增加了多少,就能找出相应的递推关系.问题·探究问题有两堆棋子数目相等,均为n颗,两人做游戏,轮流取子,规定每人可在其中任一堆里每次取走若干颗,但不能不取,也不能同时从两堆里取,直至取尽,取到最后一颗棋子者为胜者.你能用数学知识证明后者取胜吗?思路:这是一个与正整数有关的问题,所以可以考虑利用数学归纳法来处理.探究:(1)当n=1时,即两堆中,每堆各一颗,先取者只能在其中一堆里取一颗,则另一堆的一颗是最后一颗,由后者取得,问题得证.(2)假设当n≤k 时,命题正确,即后者取胜;那么当n=k+1时,若先取者取走l 颗棋子(1≤l≤k+1),这样一堆还剩下(k+1-l)≤k 颗,另一堆仍有k+1颗,这时候取者可在较多的一堆里也取走l 颗,使两堆棋子数保持相等,且都不大于k.由归纳假设推得后者取胜.由(1)(2)可知对于任意自然数n,后取者都能得胜.典题·热题例1用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3·…·(2n -1),其中n ∈N *.思路分析:用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,关键是第二步,要注意当n=k+1时,等式两边的式子与n=k 时等式两边的式子的联系,增加了哪些项或减少了哪些项,问题就容易解决了.证明:(1)当n=1时,左边1+1=2,右边=21·1=2,等式成立.(2)假设当n=k 时,等式成立,即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k ·1·3·…·(2k -1).则当n=k+1时,(k+2)…(k+1+k)(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1)=2k ·1·3…(2k -1)·2(2k+1)=2k+1·1·3…(2k -1)(2k+1).即当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知对一切n ∈N *,等式成立.误区警示 当n=k+1时,等式的左边容易错写成(k+1)(k+2)…(k+k )(k+k+1).这时我们要注意式子(n+1)(n+2)…(n+n)的结构特征以及该式与n 之间的关系.例2求证:65312111>+++++n n n ,(n≥2,n ∈N *). 思路分析:本题在由n=k 到n=k+1的推证过程中应用了“放缩”的技巧,使问题简单化,这是利用数学归纳法证明不等式常用的方法之一.证明:(1)当n=2时,右边=6561514131>+++,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2,k ∈N *)时命题成立,即65312111>+++++k k k . 则当n=k+1时,)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k )11331231131(312111+-+++++++++++=k k k k k k k 65)113313(65)11331231131(65=+-+⨯+>+-++++++>k k k k k k 所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立.深化升华 数学归纳法的应用通常与其他方法联系在一起,如比较法,放缩法,配凑法,分析法和综合法等.例3利用数学归纳法证明:(3n+1)·7n -1（n ∈N *)能被9整除.思路分析:第一步当n=1时,可计算(3n+1)·7n -1的值,从而验证它是9的倍数;第二步要设法变形成为“假设”+“9的倍数”的形式,进而论证能被9整除.证明:(1)当n=1时,(3×1+1)×71-1=27,能被9整除,所以命题成立.(2)假设当n=k(k ∈N *)时命题成立,即(3k+1)·7k -1能被9整除.那么当n=k+1时,［3(k+1)+1］·7k+1-1=(3k+4)·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=［(3k+1)·7k -1］+3·7k+1+6·(3k+1)·7k=［(3k+1)·7k -1］+7k (21+6×3k+6)=［(3k+1)·7k -1］+9·7k (2k+3).由归纳假设知(3k+1)·7k -1能被9整除,而9·7k (2k+3)也能被9整除,故［3(k+1)+1］·7k+1-1能被9整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知对一切n ∈N *,(3n+1)·7n -1能被9整除.深化升华 涉及整除的问题,常利用提取公因式凑成假设、凑出整除式等方法,其中等价变换的技巧性往往较强.例4平面内有n(n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一个点,证明交点的个数f(n)等于2)1( n n . 思路分析:本例的关键是弄清增加一条直线能够增加多少个不同的交点,解此类问题时常运用几何图形的性质.证明:(1)当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=21×2×(2-1)=1, 因此,当n=2时,命题成立.(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k 条直线的交点的个数f(k)= 21k(k-1).现在来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记为l(如图2-3-1).图2-3-1由上面的假设,除l 以外的其他k 条直线的交点的个数为f(k)=21k(k-1).另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l 必与平面内其他k 条直线都相交(有k 个交点);又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k 个交点两两不同,且与平面内其他的21k(k-1)个交点也两两不相同,从而平面内交点的个数为21k(k-1)+k=21k ［(k-1)+2］ =21(k+1)［(k+1)-1］.这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数f(k+1)=21(k+1)［(k+1)-1］. 根据(1)(2),可知命题对任何大于1的正整数都成立.拓展延伸 有n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不相交于同一点.求证:这n 个圆把平面分成f(n)=n 2-n+2个部分.思路分析:由k 到k+1时,研究第k+1个圆与其他k 个圆的交点的个数问题.证明:(1)当n=1时,即一个圆把平面分成2个部分,f(1)=2;又n=1时,n 2-n+2=2,所以命题成立.(2)假设n=k 时,命题成立,即k 个圆把平面分成f(k)=k 2-k+2个部分;那么设第k+1个圆记为⊙O,由题意,它与k 个圆中每个圆交于两点,又无三圆交于同一点,于是它与其他k 个圆相交于2k 个点.把⊙O 分成2k 条弧而每条弧把原区域分成2块,因此该平面的总区域增加2k 块,即f(k+1)=k 2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1时命题成立.由(1)(2)知对任何n ∈N *命题均成立.深化升华 用数学归纳法证明这类几何问题,关键是弄清从k 到k+1的变化规律,也就是找出新增加的相应的元素的个数.例5(2006辽宁高考)已知函数f(x)=13++x x (x≠-1).设数列{a n }满足a 1=1,a n+1=f(a n ),数列{b n }满足b n =|a n 3-|,S n =b 1+b 2+…+b n (n ∈N *).(1)用数学归纳法证明b n ≤12)13(--n n; (2)证明S n <332. 思路分析:本题考查数列、等比数列、不等式等基础知识及运用数学归纳法解决有关问题的能力.证明:(1)当x≥0时,f(x)=1+12+x >1. ∵a 1=1,∴a n ≥1(n ∈N *). 下面用数学归纳法证明不等式b n ≤12)13(--n n. ①当n=1时,b 1=3-1,不等式成立.②假设当n=k 时,不等式成立,即b k ≤12)13(--k k, 那么b k+1=|a k+1-3|=k k k k k b a a 2)13(2131|3|)13(1+-≤-≤+-- 所以当n=k+1时,不等式也成立.根据①②可知不等式对任意n ∈N *都成立.(2)由(1)知b n ≤12)13(--n n.∴S n =b 1+b 2+…+b n ≤(3-1)+2131)213(1)13(2)13(2)13(12----∙-=-++--n n n 33221311)13(=--∙-<. 故对任意n ∈N *,S n <332.。
2024年人教版高二数学复习知识点总结高二数学是高中数学学习中的重要阶段，是扎实掌握基础知识，提高数学思维能力的关键时期。
下面是2024年人教版高二数学复习的知识点总结。
一、函数与方程1.函数概念：自变量、函数的值、函数定义域、函数值域。
2.二次函数：顶点、轴、对称轴、判别式、特殊值，函数图像的平移、伸缩、翻折。
3.指数与对数函数：指数函数的性质、对数函数的性质，指数和对数的换底公式。
4.三角函数：正弦函数、余弦函数、三角函数的图像与性质，反三角函数。
5.方程与不等式：一元一次方程与不等式，一元二次方程与不等式，绝对值方程与不等式，分式方程与不等式。
二、数列与数学归纳法1.数列概念：数列的表示、通项公式、求前n项和、对数函数。
2.等差数列：通项公式、求和公式、等差数列与一元二次方程。
3.等比数列：通项公式、求和公式、等比数列与指数函数。
4.数学归纳法：递推关系式、证明数学命题。
三、平面向量1.向量的定义：共线向量、平行向量、向量的加减。
2.向量的模与方向：向量的模、单位向量、方向角、方向余弦。
3.向量的数量积：数量积的定义、数量积的性质、正交、共线与垂直。
4.向量的叉积：叉积的定义、叉积的性质、平行四边形面积、叉积的应用。
四、平面几何1.二维坐标系：直线的斜率和截距、直线的倾斜角、直线方程的互相转化。
2.三角形：勾股定理、正弦定理、余弦定理、海伦公式。
3.四边形：平行四边形的性质、矩形、正方形、菱形、长方形的性质，平行四边形的面积。
4.圆：圆的定义、圆的性质、弧长、扇形面积、圆的切线与切线定理。
5.向量与平面几何：平面点的表示、向量方程与参数方程、平面方程的转化。
五、空间几何1.空间直线：空间直线的方程、两直线位置关系、两直线的交点、平面与直线的交线。
2.空间平面：平面的方程、平面的位置关系、两平面的交线、平面的倾斜角、两平面的夹角。
3.空间几何中的重要结论：点到平面距离公式、直线到直线的距离、平行四边形体积。
人教版高中数学知识点总结一、集合与函数概念1. 集合的基本概念- 集合的定义- 集合的表示方法- 集合之间的关系（子集、并集、交集、补集）2. 函数的概念- 函数的定义- 函数的表示方法（解析式、图象、表格）- 函数的简单性质（定义域、值域、单调性、奇偶性）3. 函数的运算- 函数的四则运算- 复合函数- 反函数二、数列1. 数列的概念- 数列的定义- 有界数列- 单调数列2. 等差数列与等比数列- 等差数列的通项公式与求和公式- 等比数列的通项公式与求和公式- 无穷等比数列3. 数列的极限- 数列极限的概念- 极限的四则运算- 极限存在的条件三、函数的极限与导数1. 函数的极限- 极限的定义- 极限的性质- 无穷小与无穷大2. 导数的概念- 导数的定义- 导数的几何意义- 可导与连续的关系3. 常见函数的导数- 基本初等函数的导数- 高阶导数- 隐函数的求导四、一元函数积分学1. 不定积分- 不定积分的概念- 基本积分表- 积分技巧（换元法、分部积分法）2. 定积分- 定积分的概念- 微积分基本定理- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量）五、空间解析几何1. 向量- 向量的基本概念- 向量的运算（加法、数乘、数量积、向量积） - 向量的坐标表示2. 平面与直线- 平面的方程- 直线的方程- 直线与平面的关系3. 曲线与曲面- 空间曲线的方程- 常见曲面的方程- 曲面的性质六、概率与统计1. 概率的基本概念- 随机事件- 概率的定义- 条件概率与独立事件2. 随机变量及其分布- 随机变量的定义- 离散型分布与连续型分布- 期望与方差3. 统计初步- 总体与样本- 统计量（均值、中位数、众数、方差、标准差）- 线性回归与相关性七、数学归纳法1. 数学归纳法的概念- 归纳法的步骤- 归纳法的应用2. 证明方法- 直接证明- 反证法- 构造性证明以上是人教版高中数学的主要知识点总结。
每个部分都包含了相应的定义、性质、公式和应用，为学生提供了一个全面的知识框架。
高考数学知识点归纳人教版高考数学是高中阶段数学学习的总结和升华，其知识点广泛而深入，涵盖了代数、几何、概率统计等多个领域。
以下是根据人教版高中数学教材的知识点归纳：一、代数部分1. 集合与函数：包括集合的概念、运算，函数的定义、性质、单调性、奇偶性、周期性等。
2. 不等式：包括不等式的性质、解法，特别是一元二次不等式和绝对值不等式的解法。
3. 数列：数列的概念、等差数列、等比数列、数列的通项公式和求和公式。
4. 复数：复数的概念、运算、共轭复数、复数的模和辐角等。
5. 导数与微分：导数的定义、几何意义、基本导数公式、复合函数的求导法则、高阶导数。
6. 积分：定积分的概念、性质、基本定理、计算方法，包括牛顿-莱布尼茨公式。
二、几何部分1. 平面解析几何：包括直线与圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及其性质。
2. 空间解析几何：空间直线与平面的方程、空间几何体的体积和表面积计算。
3. 立体几何：立体图形的性质、体积和表面积的计算，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
三、概率与统计1. 概率论基础：随机事件的概率、条件概率、独立事件、贝努利试验、二项分布等。
2. 统计基础：数据的收集、整理、描述，包括均值、中位数、众数、方差、标准差等。
四、其他知识点1. 三角函数：包括正弦、余弦、正切等三角函数的定义、图像、性质、和差化积、积化和差公式。
2. 反三角函数：反正弦、反余弦、反正切等函数的定义和性质。
3. 线性代数：矩阵的概念、运算、行列式、线性方程组的解法。
4. 逻辑推理：命题逻辑、演绎推理、归纳推理等。
结束语高考数学的知识点繁多，但只要系统地学习和复习，掌握每个知识点的内在联系和应用，就能够在高考中取得优异的成绩。
希望以上的归纳能够帮助同学们更好地准备高考，实现自己的目标。
人教版高中数学知识点总结高中数学是学生进入高中阶段后所学习的一门主要学科，人教版高中数学是其中一种教材版本。
以下是针对人教版高中数学的知识点的总结：一、函数与方程1. 函数与映射- 函数的定义、性质和表示方法- 映射的定义和性质- 函数的四则运算和复合运算2. 一次函数与二次函数- 一次函数的定义、图像和性质- 一次函数的解析式及其在实际问题中的应用- 二次函数的定义、图像和性质- 二次函数的标准型、顶点型和一般型的相互转化- 二次函数的解析式及其在实际问题中的应用3. 指数与对数函数- 指数函数的定义、图像和性质- 对数函数的定义、图像和性质- 指数方程与对数方程的解法4. 三角函数- 弧度制和角度制- 三角函数的定义、图像和性质- 三角函数的周期性、奇偶性和单调性- 三角函数的和差化积公式和倍角公式- 三角方程和三角不等式的解法5. 不等式与方程组- 一元一次不等式与一元一次方程组的解法- 一元二次不等式的解法- 一元二次方程的解法- 二元一次方程组的解法6. 高次方程- 因式分解与求根公式- 高次方程的解的判别法和综合问题二、数列与数列的极限1. 数列的概念和表示- 数列的定义、性质和表示方法- 等差数列和等比数列的概念和表示2. 数列的通项公式及其性质- 等差数列和等比数列的通项公式- 数列的前n项和公式3. 数列的极限- 数列极限的定义和性质- 数列收敛和发散的判断- 等比数列和等差数列的极限性质三、平面几何1. 直线与线段- 直线、线段和射线的概念- 直线的方程和性质2. 角与三角形- 角的概念和性质- 三角形的概念和性质- 三角形的面积和周长公式- 三角形的分类和判定方法3. 圆与圆的切线- 圆的概念和性质- 圆的方程和性质- 圆的弦、弧和切线的概念和性质4. 二次曲线- 抛物线、椭圆和双曲线的概念和性质- 二次曲线的标准方程和性质四、立体几何和空间解析几何1. 空间中的直线和平面- 空间直线的概念和性质- 空间平面的概念和性质- 空间中的直线与平面的位置关系2. 空间中的立体图形- 空间中的球、柱、锥、棱柱和棱锥的概念和性质- 空间图形的表面积和体积公式3. 空间解析几何- 点、直线和平面的坐标表示和性质- 空间中的距离和夹角的计算五、概率论- 概率的概念和性质- 试验、基本事件和样本空间的概念- 随机事件的概念和性质- 事件的概率计算方法- 条件概率和独立事件的概念和计算方法总结：以上是人教版高中数学的主要知识点总结，其中包含了函数与方程、数列与数列的极限、平面几何、立体几何和空间解析几何以及概率论等内容。
新课标人教版高中数学全册考点及题型归纳总结新课标人教版高中数学全册的考点及题型如下：一、函数与方程1.函数的基本概念和性质：定义域、值域、图像、增减性、奇偶性等。
2.一次函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、函数的图像性质与参数关系。
3.二次函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、函数的图像性质与参数关系。
4.指数函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、指数函数的性质与指数关系。
5.对数函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、对数函数的性质与底数关系。
6.三角函数：函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、三角函数的性质与周期关系。
二、数列与数学归纳法1.数列的基本概念与表示：公式、通项、前n项和、数列的性质等。
2.等差数列：公差、前n项和、等差数列的性质及应用。
3.等比数列：公比、前n项和、等比数列的性质及应用。
4.通项公式及求和公式的推导与应用。
5.数学归纳法的基本概念和使用。
三、三角函数基本关系式与证明1.正弦函数与余弦函数的关系。
2.正切函数与余切函数的关系。
3.正割函数与余割函数的关系。
4.辅助角公式及证明。
5.万能角公式及证明。
6.统一化问题的求解及应用。
四、解析几何基本定理与推理1.重矢量的定义与性质。
2.数量积的基本性质与运算规则。
3.向量的线性相关性与线性独立性。
4.解析几何定理的证明与推理。
五、概率与统计1.基本概念与方法：样本空间、随机事件、概率、频率、统计量等。
2.概率的基本性质：加法原理、乘法原理、条件概率等。
3.随机变量和概率分布的基本概念与性质。
4.离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
5.正态分布的基本性质和应用。
以上是新课标人教版高中数学全册的考点及题型的总结，希望对你有帮助。
第二章 推理与证明2.1.1 合情推理与演绎推理(1)归纳推理【要点梳理】1、从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为 任何推理包括 和 两个部分。
是推理所依据的命题，它告诉我们 是什么， 是根据前提推得的命题，它告诉我们 是什么。
2、从个别事实中推演车一般性的结论的推理通常称为 ，它的思维过程是3、归纳推理有如下特点（1）归纳推理的前提是几个已知的 现象，归纳所得的结论是尚属未知的 现象，该结论超越了前提所包含的范围。
（2）由归纳推理得到的结论具有 的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它 作为数学证明的工具。
（填“能”或“不能”）（3）归纳推理是一种具有 的推理，通过归纳法得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
【指点迷津】1、运用归纳推理的一般步骤是什么？首先，通过观察特例发现某些相似性（特例的共性或一般规律）；然后，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题（猜想）；然后，对所得的一般性命题进行检验。
2、在数学上，检验的标准是什么？标准是是否能进行严格的证明。
3、归纳推理的一般模式是什么？S 1具有P ；S 2具有P ；……；S n 具有P （S 1、S 2、…、S n 是A 类事件的对象） 所以A 类事件具有P【典型例题】例1、设N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈'='='==-),()(,),()(),()(,sin )(112010 ，则)()(2005=x fA 、x sinB 、x sin -C 、x cosD 、x cos - 【解析】：,cos )(sin )(1x x x f ='=)()()(sin )(cos )()(cos )(sin )(sin )cos ()(cos )sin ()(sin )(cos )(42615432x f x f x f x x x f x f x x x f xx x f xx x f x x x f n n ====-='==='=='-=-='-=-='=+故可猜测)(x f n 是以4为周期的函数，有x x f x f x f n n sin )(,cos )1()(2414-===++xf x f x x f n n sin )4()(cos )(4434==-=++故选C【点评】归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，是人们在日常活动和科学学习研究中经常使用的一种推理方法，必须认真学习领会，在归纳推理的过程中，应注意所探求的事物或现象的本质属性和因果关系。
高三数学人教版知识点归纳高三是学生们备战高考的重要时期，而数学作为其中一门核心科目，对于高考成绩的决定性作用不可忽视。
为了帮助大家更好地备考高三数学，本文将对人教版高三数学各个知识点进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
1. 函数与方程1.1 一次函数及其图像特征1.2 二次函数及其图像特征1.3 反函数与复合函数1.4 一元一次方程与一元二次方程1.5 数列与递推关系式2. 三角函数与立体几何2.1 三角函数的概念与性质2.2 三角函数的图像与变换2.3 三角函数的应用2.4 空间几何体的表面积与体积3. 概率与统计3.1 随机事件与概率3.2 离散型随机变量与概率分布3.3 连续型随机变量与概率密度函数 3.4 样本调查与统计推断4. 导数与微积分4.1 导数的概念与性质4.2 导数的计算与应用4.3 函数的极限与连续性4.4 定积分的概念与性质4.5 定积分的计算与应用5. 向量与坐标系5.1 向量的概念与性质5.2 向量的运算与坐标表示5.3 坐标系与空间几何关系5.4 空间直线与平面方程6. 解析几何与数学证明6.1 点、直线、圆的位置关系与性质6.2 三角形的外心、内心与垂心6.3 数学证明及其方法与技巧7. 竞赛数学与综合运用7.1 高中数学竞赛的基本知识7.2 高中数学竞赛的题型与解题技巧7.3 数学知识在实际问题中的应用本文列举了高三数学人教版教材中的主要知识点，并将其按照大的分类进行了归纳。
希望同学们通过阅读本文，能够对高三数学知识有一个整体性的认识和把握。
同时，建议同学们在备考期间，要注重理解与应用，多做练习与习题，通过反复巩固和总结，提高数学解题能力和应试水平。
相信只要同学们付出努力，便能够在高考中取得优异的成绩！。
人教版高三备考复习重点归纳第一章：函数与导数1. 函数的概念及性质1.1 函数的定义1.2 函数的图像和性质2. 导数与函数的关系2.1 导数的定义2.2 导数的计算法则2.3 导数的几何意义3. 导数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的凹凸性与拐点3.3 曲线的切线与法线第二章：数列与数学归纳法1. 数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的通项公式1.3 数列的递推公式2. 数列的数学归纳法2.1 数学归纳法的基本思想2.2 数学归纳法的应用3. 等差数列与等比数列3.1 等差数列的概念与性质3.2 等差数列的通项公式3.3 等差数列的求和公式3.4 等比数列的概念与性质3.5 等比数列的通项公式3.6 等比数列的求和公式第三章：三角函数与解三角形1. 弧度与角度的转换1.1 弧度制与角度制的定义1.2 弧度制与角度制的转换公式2. 三角函数的基本概念与性质2.1 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义2.2 三角函数的图像和性质3. 三角函数的诱导公式与解三角形3.1 三角函数诱导公式的推导和应用3.2 三角函数在解三角形中的应用4. 平面向量与解平面几何问题4.1 平面向量的定义与性质4.2 平面向量的加减法与数量积4.3 平面几何问题的向量解法第四章：一元二次函数与二次方程1. 一元二次函数的概念与性质1.1 一元二次函数的定义1.2 一元二次函数的图像和性质2. 一元二次方程的解法与应用2.1 一元二次方程的定义2.2 一元二次方程的解法2.3 一元二次方程的应用3. 配方法与求根公式3.1 一元二次方程的配方法3.2 一元二次方程的求根公式4. 二次函数与二次方程的应用4.1 二次函数的最值与图像4.2 二次函数与二次方程在几何问题中的应用第五章：立体几何1. 空间中的基本概念与性质1.1 空间的基本概念1.2 空间几何中的重要性质2. 空间直线与平面2.1 空间直线的方程与性质2.2 平面的方程与性质3. 空间几何图形的计算3.1 空间几何图形的体积计算3.2 空间几何图形的表面积计算4. 空间几何问题的解法与应用4.1 空间几何问题的解法4.2 空间几何问题在实际中的应用第六章：统计与概率1. 随机事件与概率1.1 随机事件的概念与性质1.2 概率的定义与计算2. 组合与排列2.1 组合的定义与计算2.2 排列的定义与计算3. 概率与统计3.1 事件的概率与统计3.2 概率与统计在实际问题中的应用以上为人教版高三备考复习重点的归纳内容，希望对你的备考有所帮助。
第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：∙通过观察个别情况发现某些相同的性质；∙从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；∙证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：∙找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；∙用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；∙检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括（1）大前提-----已知的一般原理；（2）小前提-----所研究的特殊情况；（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明（1）综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.（2）分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.（3）反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.。
人教版高三数学复习知识点总结篇1：高三数学复习知识点总结1、有关平行与垂直（线线、线面及面面）的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题（包括论证、计算角、与距离等）中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律——充分利用线线平行（垂直）、线面平行（垂直）、面面平行（垂直）相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力。
2、判定两个平面平行的方法：（1）根据定义——证明两平面没有公共点；（2）判定定理——证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；（3）证明两平面同垂直于一条直线。
3、两个平面平行的主要性质：（1）由定义知：“两平行平面没有公共点”；（2）由定义推得：“两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面”；（3）两个平面平行的性质定理：“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”；（4）一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面；（5）夹在两个平行平面间的平行线段相等；（6）经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。
篇2：高三数学复习知识点总结不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号“>”“通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F（x，y，……，z）≤G（x，y，……，z）（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
篇3：高三数学复习知识点总结一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法1、定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2、转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
高中数学推理与证明知识点总结高中数学推理与证明知识点总结高中数学比较高深，因此是有很多的推理和证明的。
下面就是店铺给大家整理的高中数学推理与证明内容，希望大家喜欢。
高中数学推理一、考点(限考)概要：1、推理：(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，称为合情推理。
①归纳推理:ⅰ定义：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
ⅱ特点：*归纳是依据特殊现象推断一般现象，因而，由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围;*归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象，因而结论具有猜测性;*归纳的前提是特殊的情况，因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上;*归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论。
ⅲ步骤：*对有限的资料进行观察、分析、归纳整理;*提出带有规律性的结论，即猜想;*检验猜想。
②类比推理：ⅰ定义：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
ⅱ特点：*类比是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，是以旧有的认识为基础，类比出新的结果;*类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性;*类比的结果是猜测性的不一定可靠，单它却有发现的功能。
ⅲ步骤：*找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;*用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想;*检验猜想。
(2)演绎推理：①定义：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。
②演绎推理是由一般到特殊的推理;③“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般结论;小前提——所研究的特殊情况;结论——根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
人教版高三数学复习知识点总结1、三类角的求法：①找出或作出有关的角。
②证明其符合定义，并指出所求作的角。
③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。
2、正棱柱——底面为正多边形的直棱柱正棱锥——底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心。
正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：3、怎样判断直线l与圆C的位置关系圆心到直线的距离与圆的半径比较。
直线与圆相交时，注意利用圆的“垂径定理”。
4、对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
不看后悔!清华名师揭秘学好高中数学的方法培养兴趣是关键。
学生对数学产生了兴趣，自然有动力去钻研。
如何培养兴趣呢（1）欣赏数学的美感比如几何图形中的对称、变换前后的不变量、概念的严谨、逻辑的严密……通过对旋转变换及其不变量的讨论，我们可以证明反比例函数、“对勾函数”的图象都是双曲线——平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值（小于两个定点之间的距离）的点的集合。
（2）注意到数学在实际生活中的应用。
例如和日常生活息息相关的等额本金、等额本息两种不同的还款方式，用数列的知识就可以理解.（3）采用灵活的教学手段，与时俱进。
利用多种技术手段，声、光、电多管齐下，老师可以借此把一些知识讲得更具体形象，学生也更容易接受，理解更深。
比如：学圆锥曲线的时候，可以看看一些建筑物的外形，它们被平面所截出的曲线往往就是各种圆锥曲线，很多文章对此都有介绍;还有圆锥曲线光学性质的应用，这方面的文章也不少。
人教版高三数学复习知识点总结（二）高中数学是一门关于数与形的科学，是培养学生逻辑思维和分析问题能力的重要学科。
在高三阶段，数学的学习内容相对较多，需要对前几年的数学知识进行深入的复习和巩固。
接下来，我将对人教版高三数学的复习知识点进行总结，帮助学生们进行整理和复习。
一、函数与方程1. 二次函数- 二次函数的概念与性质- 图像的性质（开口方向、对称轴等）- 平移、伸缩与翻折- 二次函数的一般式、顶点式、交点式- 判别式与根的性质- 解二次不等式- 二次函数与其他函数的关系（函数的复合、反函数等）2. 指数和对数函数- 指数函数和对数函数的概念与性质- 指数函数和对数函数的图像特点- 指数幂的性质和运算法则- 对数运算的性质和运算法则- 指数方程和指数不等式的解法- 对数方程和对数不等式的解法3. 三角函数- 弧度制与角度制的换算- 三角函数的图像与周期性- 三角函数的基本关系式与恒等式- 三角函数的运算性质与运算法则- 三角函数方程与三角函数不等式的解法- 解三角形的实际问题4. 高次方程和不等式- 一元高次方程的解法- 二元高次方程的解法- 一元高次不等式的解法- 二元高次不等式的解法- 高次方程和不等式的应用（实际问题的建立和解决）二、数列与数学归纳法1. 等差数列- 等差数列的概念与性质- 等差数列的通项公式和前n项和公式- 等差数列特殊求和公式的推导和应用- 等差数列简单应用（等差中项、等差平均项等）2. 等比数列- 等比数列的概念与性质- 等比数列的通项公式和前n项和公式- 等比数列特殊求和公式的推导和应用- 等比数列简单应用（等比中项、等比平均项等）3. 等差数列与等比数列的综合应用- 等差数列与等比数列的综合应用（数列的运算、数列的混合应用）4. 数学归纳法- 数学归纳法的基本思想与步骤- 数学归纳法与数列的联系- 数学归纳法的简单应用（证明不等式、性质等）三、三角恒等变换1. 三角函数的基本关系式与恒等式- 三角函数的基本关系式（同角三角函数值之间的关系）- 三角函数的恒等变换（三角函数的和差化积、积化和差等）2. 三角恒等式的证明- 三角恒等式的证明方法和技巧- 三角恒等式的应用（证明不等式、求解方程等）四、数学推理与解题方法1. 数学证明- 数学证明的基本思路和方法- 数学证明的常用技巧（对称性、反证法、递推关系等）2. 数学建模与解题方法- 数学建模的基本流程和方法- 数学建模中的常用工具（函数图像、数列和方程）3. 解决问题的思维方法与策略- 解决数学问题的思维方法（逻辑推理、归纳演绎等）- 解决数学问题的策略（抽象化、归纳思考、逆向思维等）以上是人教版高三数学复习知识点的总结，希望能够对同学们的复习提供帮助。
高三数学考试必备知识点人教版高三学年对于即将面临数学考试的学生来说，是一个关键的时期。
为了能够在考试中取得好成绩，我们需要掌握一些必备的数学知识点。
本文将针对高三数学考试，并根据人教版的教材，向大家介绍一些重要的知识点。
一、函数与方程在高三数学考试中，函数与方程是非常重要的部分。
例如，函数的定义、性质与图像、函数的四则运算、复合函数、反函数、方程与不等式等等。
掌握了函数与方程的基本知识，才能够更好地解决各类数学问题。
二、数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是高考数学中的重点内容。
学生需要了解数列的概念与性质、等差数列与等比数列、数列的推导与求和公式等等。
同时，数学归纳法在解决一些数学问题中也起到了至关重要的作用。
因此，学生要仔细研究并掌握这些知识点。
三、解析几何解析几何是数学中的一个分支，也是高考数学中的重要内容。
它主要包括直线与圆的性质、距离公式、中点公式、直线与圆的位置关系、直线与平面的位置关系等等。
通过学习解析几何，我们可以更好地理解几何学的基本原理，并且能够运用解析几何解决实际问题。
四、概率与统计在高三数学考试中，概率与统计也是必不可少的知识点。
学生需要了解概率的基本概念、事件的概率、条件概率、频率与概率的关系等。
另外，统计学的基本知识也是非常重要的，例如频数与频率、统计图表的绘制与分析、统计指标与统计推断等。
通过学习概率与统计，我们能够更好地理解事件发生的可能性，并能够分析和解读统计数据。
五、导数与积分导数与积分是高三数学中比较难的部分，但也是非常重要的知识点。
学生需要了解导数的定义与性质、常用的导数公式、函数的相关性质等等。
同时，积分也是不可忽视的部分，学生需要了解积分的定义与性质、常用的积分公式、定积分的应用等。
通过学习导数与积分，我们能够更好地理解函数的变化规律，并能够运用导数与积分解决实际问题。
综上所述，高三数学考试必备知识点人教版包括了函数与方程、数列与数学归纳法、解析几何、概率与统计以及导数与积分等内容。
![人教版高中数学【选修2-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《《推理与证明》全章复习与巩固(提高)(理)](https://img.taocdn.com/s1/m/13fa8df3a1c7aa00b52acbc7.png)
人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《推理与证明》全章复习与巩固【学习目标】1. 了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；2. 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；3. 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；4. 了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点；5. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【知识网络】【要点梳理】要点一：有关推理概念归纳推理：又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理．根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理．由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验．类比推理：又称类比法，是由特殊到特殊的推理．这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的“开拓型”“发散型”思维方式．和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论就越可靠．演绎推理：又称演绎法．是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式．演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中．它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展．故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成．合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真．要点诠释：演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理．三段论推理：其一般形式为：大前提：所有M 都是P ；小前提：S 是M ；结论：S 是P ．要点二：有关证明方法综合法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法，是数学推理证明中的主要方法．即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题．如果要证明的命题是p q ⇒，那么证明步骤用符号表示为p (已知)123p p p ⇒⇒⇒⇒…q ⇒．分析法分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．用分析法证明的逻辑关系：q (结论)n p ⇐⇐…321p p p p ⇐⇐⇐⇐(已知)． 间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的．反证法就是间接证法的一种．反证法证题步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立．(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾．(3)由矛盾判断假设不成立．从而肯定命题的结论成立．反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：①导出非p 为真，即与原命题的条件矛盾．②导出q 为真，即与假设“非q 为真”矛盾．③导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题．数学归纳法数学归纳法是证明一个与正整数n 有关的命题时，常采用的一种方法，它是一种完全归纳法，其步骤为：第一步：证明n 取第一个值0n 时命题成立．第二步：假设n ＝k(k ≥0n ，k ∈N +)时命题成立，证明n ＝k+1时命题成立．第三步：下结论，命题对从0n 开始的所有自然数n 都成立．要点诠释：（1）用数学归纳法证明与自然数n 有关的命题时，如果证明恒等式或不等式应特别注意项及项数的变化规律；证明几何命题时，要特别注意从n ＝k 到n ＝k+1的几何图形中几何元素的变化规律；证明整除性命题时，要特别注意凑配项的变形技巧；证明与奇、偶数有关的命题要注意过渡时的特点，如一个命题对所有奇数n 成立，应假设n ＝2k -1时命题成立，推证n ＝2k+1时命题成立或假设n ＝k (k 为奇数)时命题成立，推证n ＝k+2时命题成立．（2）“归纳一猜想—证明”的论题，要特别关注项的构成规律，作出合理的猜想后再证明．【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理例1. 若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则有数列n b =n ∈N +)也为等比数列，类比上述性质，相应地：若数列{}n c 是等差数列，则有n d =________也是等差数列． 【思路点拨】类比猜想可得12n n c c c d n+++=…也成等差数列. 【解析】若设等差数列{}n c 的公差为x ， 则12n n c c c d n +++=…1(1)2n n nc x n -+=1(1)2x c n =+-． 可见{}n d 是一个以1c 为首项，2x 为公差的等差数列，故猜想是正确的． 【总结升华】类比猜想是以两个对象之间某已知的相同或相似之处为根据，从而推出对象之间未知的相似之点的推理方法，这个根据是不充分的，因而类比推理的结论有时正确，有时不正确，其结论都需要证明．举一反三：【变式1】在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE AC EB CB=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A —BCD 中(如图所示)，面DEC 平分二面角A —CD —B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是________．【答案】ACD BCDS AE EB S ∆∆= 【变式2】观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记g (x )为()f x 的导函数，则g (-x )＝( )A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -【答案】 D【解析】 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当()f x 是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (-x )＝-g (x )．例2. 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈N +．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ；(3)证明不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【解析】 (1)由题设1431n n a a n +=-+得1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈N +．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)由(1)可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+．所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． (3)对任意的n ∈N +，1141(1)(2)41(1)443232n n n n n n n n S S ++⎡⎤-++-+-=+-+⎢⎥⎣⎦21(34)2n n =-+-≤0． 所以不等式1n S +≤4n S ，对任意n ∈N +皆成立．【总结升华】本题属于递推数列问题，是高考考查的热点．解题的关键是转化为等差、等比数列． 举一反三：【变式1】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是 ( )A ．南B ．北C ．西D ．下【答案】 B【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．【变式2】（2016 广州一模）以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角性”．该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.201520172⨯B. 201420172⨯C.201520162⨯D. 201420162⨯【答案】由题意，数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，···，第2015行公差为20142 ， 故第1行的第一个数为：122-⨯ ，第2行的第一个数为：032⨯ ，第3行的第一个数为：142⨯，…第n 行的第一个数为：2(1)2n n -+⨯， 第2016行只有M ，则20142014(12016)220172M =+⋅=⨯类型二：直接证明与间接证明例3. 设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10．求证：log log 4lg a b c c c +≥．【解析】证法一(综合法)：因为ab ＝10， 所以lg lg log log 4lg 4lg lg lg a b c c c c c c a b+-=+- 11lg lg 4lg lg lg 4lg lg lg lg lg a b a b c c a b a b ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭14lg lg lg lg lg a b c a b-= 2(lg lg )4lg lg lg lg lg a b a b c a b+-= 2(lg lg )lg lg lg a b c a b-=． 又因为a ，b ，c 均为大于1的正数，所以lg a ，lg b ，lg c 均大于0，故2(lg lg )lg 0lg lg a b c a b-≥．即log log 4lg a b c c c +≥．证法二(分析法)：由于1a >，b ＞1．故要证明log log 4lg a b c c c +≥ 只要证明lg lg 0lg lg c c a b+≥，即log log 4lg a b c c c +≥． 又1c >，所以只要证明114lg lg a b +≥，即lg lg 4lg lg c b a b +≥． 因为10ab =，所以lg lg 1a b +=， 故只要证明14lg lg a b ≥． ①由于a ＞1，b ＞1，所以lg 0a >，lg b ＞0． 所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<≤= ⎪⎝⎭，即14lg lg a b ≥． 当且仅当lg lg a b =时等号成立，即①式成立，所以原不等式成立．举一反三：【变式】设a ，b ∈R 且a ≠b ，a+b ＝2，则必有（ ) A ．1≤ab ≤222a b + B ．2212a b ab +<< C ．2212a b ab +<< D ．2212a b +< 【答案】B【解析】∵ a+b ＝2．∴ b ＝2-a ，2224a b ab ++=，∴ 22(2)2(21)1ab a a a a a a =-=-=--++ 2(1)11a =--+≤． ∵ a ≠b ≠1．∴ ab ＜1．∵ 222222()0222a b a a b b a b ab +-+--==>， ∴ 2212a b +>．∵ 22222122a b a b ++--=422102ab ab --==->， ∴ 2212a b +>， 综上可得2212a b ab +>>． 例4. 设函数()f x 对定义域内任意实数都有()0f x ≠，且()()()f x y f x f y +=成立． 求证：对定义域内任意x ，都有()0f x >．【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.【解析】假设满足题设条件的任意x ，()0f x >不成立，即存在某个0x ，有0()f x ≤0． ∵ ()0f x ≠，∴ 0()0f x <． 又知2000000()022222x x x x x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 这与假设0()0f x <矛盾，假设不成立．故对任意的x 都有()0f x >．【总结升华】此题证明过程中，“对任意x ，都有()0f x >”的否命题是：“存在x 0，使0()f x ≤0”，而不是“对所有的x ，都有()f x ≤0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的． 举一反三：【变式】函数41()2x x f x +=的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】 D【解析】 对于选项A ，点512⎛⎫⎪⎝⎭，在()f x 上， 但点512⎛⎫-- ⎪⎝⎭，不在()f x 上；对于选项B ，点(0，2)在()f x 上，但点(2，0)不在，(z )上；对于选项C ，函数的图象不能关于x 轴对称；对于选项D ，∵ 4114()()22x x x x f x f x --++-===． ∴ 函数的图象关于y 轴对称．类型三：数学归纳法例5. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N *)，证明：对任意的n ∈N *，不等式1212111n nb b b b b b +++⋅⋅⋅> 【解析】(1)由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r . 所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，21a b a =，即(1)b b b b r-=+，解得r ＝－1. (2)当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N *)，所证不等式为214121242n n+++⋅⋅⋅>①当n ＝1时，左式＝32. 左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即214121242k k +++⋅⋅⋅>， 则当n ＝k ＋1时，21412123232422(1)2(1)k k k k k k +++++⋅⋅⋅⋅>=++， 要证当n ＝k ＋1时结论成立，>，即证232k+>由均值不等式23(1)(2)22k k k++++=>>所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，不等式1212111nnbb bb b b+++⋅⋅⋅>【总结升华】本题属中等难度题，求解关键是要掌握数学归纳法．举一反三：【变式1】已知*111()()1231f n n Nn n n=+++∈++-，则f(k＋1)＝f(k)＋______________________. 【答案】1111331321k k k k++-+++【变式2】试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．【答案】当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，由n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 又因：2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n ∈N *都成立．【变式3】（2016 南通一模）已知函数f 0（x ）=x （sin x+cos x ），设f n （x ）是f n+1（x ）的导数，n ∈N*。
高三数学会考知识点总结人教版高三数学会考知识点总结（人教版）在高三阶段，数学是各个文理科学生普遍需要面对的科目之一。
数学作为一门基础学科，对于学生的逻辑思维、分析问题以及解决问题的能力有着重要的培养作用。
为了帮助同学们更好地复习数学，下面将对高三数学会考的知识点进行总结和归纳。
一、函数与方程1. 函数的基本概念与性质：函数的定义、自变量和因变量、函数值、函数图像、函数的增减性、奇偶性等。
2. 一次函数：一次函数的概念、解析式、图像、性质及应用。
3. 二次函数：二次函数的概念、解析式、图像、性质及应用。
4. 指数与对数函数：指数函数和对数函数的定义、性质及应用。
5. 幂函数、反比例函数和其他函数的性质。
二、数与数列1. 实数的性质：实数的有理数部分、无理数部分、实数的比较及运算。
2. 数列的基本概念：数列的定义、公式及前n项和的概念。
3. 等差数列：等差数列的概念、求通项公式、前n项和公式及应用。
4. 等比数列：等比数列的概念、求通项公式、前n项和公式及应用。
5. 递推数列：递推数列的定义、特征、通项公式、前n项和公式及应用。
三、平面几何1. 二次函数与平面几何图形的交点问题：解二次方程和一次方程组。
2. 平面向量：平面向量的定义、基本运算、坐标表示、数量积和向量积。
3. 平面向量与几何关系：表示平面向量的共线性、垂直性、平行性的条件。
4. 三角形：三角形的基本概念、性质、定理及应用。
5. 三角函数与解三角形：正弦定理、余弦定理及解题方法。
四、立体几何1. 几何体的表面积和体积：长方体、正方体、圆柱体、圆锥体、棱柱、棱锥等的表面积和体积公式。
2. 球的表面积和体积：球的半径、直径、弦长、球冠的性质及求解方法。
3. 空间向量：空间向量的定义、基本运算、坐标表示及数量积。
4. 空间几何体的位置关系：点、直线、平面的相对位置关系及判定方法。
五、概率与统计1. 概率：事件与概率的概念、基本事件的概率计算、条件概率、互斥事件和独立事件。
推理与证明、数学归纳法编稿：辛文升 审稿：孙永钊【考纲要求】1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【知识网络】【考点梳理】【推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】考点一：合情推理与演绎推理1．推理的概念根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论．2．合情推理根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理．合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类：(1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这推 理 与 证 明归纳推 理证 明合情推理演绎推理数学归纳法综合法 分析法 直接证明类比间接证明反证法些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳．(2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比．3．演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释：合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看：①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看：①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。
②演绎推理所得的结论一定正确。
（3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路.考点二：直接证明与间接证明 1．综合法(1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法．(2)综合法的思维框图：用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n ）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：1P Q ⇒（）→12Q Q ⇒（）→23Q Q ⇒（）→.........n Q Q ⇒（）2．分析法(1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法．(2)分析法的思维框图：1Q P ⇐（）→12P P ⇐（）→23P P ⇐（）→.........得到一个明显成立的条件. 3．反证法(1)定义：假设原命题的结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．这样的证明方法叫反证法．反证法是一种间接证明的方法．(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤： ①分清命题的条件和结论．②做出与命题结论相矛盾的假设．③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命题为真．考点三：数学归纳法数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n 取第一个值0n 时结论正确；（2）假设当n k =0(*,)k N k n ∈≥时结论正确，证明1n k =+时结论也正确， 由（1）（2）确定对0*,n N n n ∈≥时结论都正确。
要点诠释： 1.在证明过程中 证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论；2.用数学归纳法证明问题时 初始值的选取：初始值0n 就是我们要证明的命题对象的最小自然数。
根据题目不同，初始值不一定从01n =开始。
如，证明不等式22n n >，初始值应从05n =开始.必须把要把归纳假设用上一次或者多次：在由假设n k =时命题成立，证明1n k =+时命题也成立，必须把要把归纳假设用上一次或者多次。
必须把归纳假设“*0(,)n k k n k =≥∈N 时命题成立”作为条件来推导出“1n k =+时命题也成立”是第二步的关键，只有通过归纳假设的使用，才达到由n=k 的情况递推到n=k+1的情况，保证了命题的传递性。
此处变形的方法较多，要在不同题型中逐步去体会，如证明整除问题、几何问题等。
【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理 例1．在数列{}n a 中，a 1=1，且12(*)2nn na a n N a +=∈+，计算a 2，a 3，a 4，并猜想n a 的表达式.【思路点拨】根据递推关系依次把n 的值代入就可以.【解析】223a =，324a =，425a =， 猜想：21n a n =+.【总结升华】本题是由部分到整体的推理，先把部分的情况都写出来，然后寻找规律，概括出整体的情况，是典型的归纳推理.举一反三：【变式1】图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）为四个平面图形（1）数一数，每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们将平面各分成了多少个区域？（2）推断一个平面图形的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系. 【解析】（2）观察：3+2－3=2；8+6－12=2；6+5－9=2；10+7－15=2.通过观察发现，它们的顶点数V 、边数E 、区域数F 之间的关系为：2V F E +-=. 【变式2】平面中有n 个圆，每两个圆都相交于两点，每三个圆都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，……，则()f n 的表达式是 .【答案】2()2f n n n =-+例2．在三角形中有下面的性质： (1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半，且平行于第三边；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心； (4)三角形的面积1()2S a b c r =++，（a b c 、、为三角形的三边长，r 为三角形的内切圆半径)．请类比写出四面体的有关性质．【思路点拨】利用三角形的性质，通过观察四面体的结构，比较二者的内在联系，从而类比出四面体的相似命题，提出猜想．【解析】(1) 四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2) 四面体的中位面的面积等于第四个面面积的四分之一，且平行于第四个面； (3) 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心； (4) 四面体的体积12341()3V S S S S r =+++，(1234S S S S 、、、为四面体的四个面的面积，r 为四面体的内切球半径).【总结升华】1. 把平面几何的问题类比立体几何的问题，常常有如下规律： (1)平面中的点类比为空间中的线； (2)平面中的线类比为空间中的面；(3)平面中的区域类比为空间中的空间区域； (4)平面中的面积类比成空间中的体积．2. 培养学生面对陌生情景的问题时，能从运用知识点，方法体系的角度去思考分析问题的解题策略.举一反三：【变式1】在Rt △ABC 中，若∠C=90°，则cos 2A+cos 2B=1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.【解析】考虑到平面中的图形是直角三角形，所以我们在空间选取有3个面两两垂直的四面体'''P A B C -，且三个面与面'''A B C 所以成的二面角分别是α，β，γ.于是，把“在Rt △ABC 中，若∠C=90°，则cos 2A+cos 2B=1”类比到四面体'''P A B C -，我们猜想：三棱锥'''P A B C -中，若三个侧面''PA B 、''PB C 、''PA C 两两互相垂直且分别与底面所成的角为α，β，γ，则222cos cos cos 1αβγ++=.【变式2】由图1有面积关系：''''PA B PAB S PA PB S PA PB∆∆⋅=⋅，则由图2有体积关系：'''P A B C P ABCV V --=________.【答案】''' PA PB PC PA PB PC⋅⋅⋅⋅类型二：直接证明与间接证明例3．已知a,b≥【证明一】分析法≥≥即证(a b+≥，即证a b+≥显然a b+≥≥【证明二】综合法bb+≥=（当且仅当a=b时取等号），≥举一反三：【变式1】求证：5321232log19log19log19++<.【证明】待证不等式的左端是3个数和的形式，右端是一常数的形式，而左端3个分母的真数相同，由此可联想到公式1loglogabba=，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.∵1loglogabba=，∴左边191919log52log33log2=++23191919log5log3log2=++2319log(532)=⨯⨯19log360=∵1919log360log3612<=，∴5321232log19log19log19++<.【变式2】若tan()2tan ,αβα+=求证：3sin sin(2)βαβ=+. 【证明】由tan()2tan ,αβα+=，得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin .αβααβα+=+ （*） 另一方面，要证3sin sin(2)βαβ=+， 即证3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++，即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++， 化简，得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ∵上式与(*)式相同. 所以，命题成立.例4．已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0 【证明】假设a ≤0若a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，则b+c>-a>0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 ，与题设矛盾 若a=0，则与abc>0矛盾， ∴必有a>0同理可证：b>0，c>0 举一反三：【变式1】在锐角三角形ABC 中，求证：sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++ 【证明】∵在锐角三角形ABC 中，2A B π+>，∴022A B ππ>>->，∵在(0,)2π内正弦函数单调递增，∴sin sin()cos 2A B B π>-=,即sin cos A B >同理，sin cos B C >，sin cos C A >∴sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++例5.设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠中的a 、b 、c 均为奇数， 求证：方程()0f x =无整数根.【思路点拨】由于要证明的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，所以可考虑用反证法.对于本题可通过奇偶数分析得出结论.【证明】假设方程 ()0f x =有整数根n ，则20an bn c ++=成立，所以()0n an b c ++=.因为c 为奇数，所以()n an b +也为奇数，且n 与an b +都必须为奇数.因为已知a 、b 为奇数，又n 为奇数，所以an b +为偶数，这与an b +为奇数矛盾， 所以假设不成立，原命题成立.【总结升华】反证法适宜证明“存在性”、“唯一性”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.举一反三：【推理与证明、数学归纳法407426 例5】【变式1】若,,a b c 都为实数，且222a x z π=-+，223b y x π=-+，226c z y π=-+，求证：,,a b c 中至少有一个大于0.【证明】假设,,a b c 都不大于0，则0a ≤，0b ≤，0c ≤， 所以0a b c ++≤ 又222(2)(2)(2)236a b c x z y x z y πππ++=-++-++-+222(21)(21)(21)3x x y y z z π=-++-++-++- 222(1)(1)(1)30x y z π=-+-+-+->.因为2(1)0x -≥，2(1)0y -≥，2(1)0z -≥，30π->， 所以222(1)(1)(1)30a b c x y z π++=-+-+-+->， 所以0a b c ++>，这与0a b c ++≤矛盾，所以假设不成立，原命题成立. 类型三：数学归纳法（2015 江苏高考）已知集合X={1，2，3}，Y n ={1，2，3，…，n ）（n ∈N *），设S n ={（a ，b ）|a 整除b 或b 整除a ，a ∈X ，B ∈Y n }，令f （n ）表示集合S n 所含元素的个数． （1）写出f （6）的值；（2）当n≥6时，写出f （n ）的表达式，并用数学归纳法证明． 【思路点拨】（1）f （6）=6+2++=13；（2）根据数学归纳法的证明步骤，分类讨论，即可证明结论． 【解析】：（1）f （6）=6+2++=13；（2）当n≥6时，f（n）=．下面用数学归纳法证明：①n=6时，f（6）=6+2++=13，结论成立；②假设n=k（k≥6）时，结论成立，那么n=k+1时，S k+1在S k的基础上新增加的元素在（1，k+1），（2，k+1），（3，k+1）中产生，分以下情形讨论：1）若k+1=6t，则k=6（t﹣1）+5，此时有f（k+1）=f（k）+3=（k+1）+2++，结论成立；2）若k+1=6t+1，则k=6t，此时有f（k+1）=f（k）+1=k+2+++1=（k+1）+2++，结论成立；3）若k+1=6t+2，则k=6t+1，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；4）若k+1=6t+3，则k=6t+2，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；5）若k+1=6t+4，则k=6t+3，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立；6）若k+1=6t+5，则k=6t+4，此时有f（k+1）=f（k）+2=k+2+++2=（k+1）+2++，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．【总结升华】本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳是关键举一反三：【变式1】(2015 赫章县校级模拟)设数列{}n a 满足211,1,2,3,n n n a a na n +=-+=⋅⋅⋅(1)当12a =时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； (2)当31≥a 时，证明对所有的1≥n ,有 ①2+≥n a n ②2111111111321<+⋅⋅⋅++++++n a a a a . 【解析】(1)由21=a 得311212=+-=a a a ，由32=a 得4132223=+-=a a a 由43=a 得5133234=+-=a a a ，由此猜想()11≥+=n n a n(2)①数学归纳法证明：①当n=1时，2131+=≥a ，不等式成立. ②假设当n=k 时不等式成立，即2+≥k a k 那么()()()35212211+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k也就是说，当1+=k n 时，211++≥+k a k 由①②可知，对于任意正整数n,均有2+≥n a n . ②由()11+-=+n a a a n n n 及①可得：对2≥k ，有()()121121111111+=++-+-≥++-=----k k k k k a k k a k a a a()112122211111-+=+-+≥∴---a a a k k k k11211111-⋅+≤+∴k k a a 2121121131121212111111111111121321<-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++++≤+⋅⋅⋅++++++∴-kk na a a a a精品文档 用心整理资料来源于网络 仅供免费交流使用 【变式2】已知()2f x x =+，又数列{}n a 的前n 项和n S 满足1()n n S f S -=, 12a =.(1) 求数列{}n a 的前n 项和n S 及通项n a ；(2) 若12111lg(),lg 4n n n n a b c S S S n=+++=，试比较1b 与1c ；2b 与2c ；3b 与3c的大小，猜测n b 与n c (*n N ∈)的大小关系并加以证明；【解析】（1）由()2f x x =+, 1()n n S f S -=可求得：21)2(+=-n n S S , ∴21=--n n S S , ∴}{n S为等差数列，且首项211==a S，公差d =(1)n d =-=，即22n S n =,∴当1n =时，1122(211)a S ===⨯-,当2n ≥时，12(21)n n n a S S n -=-=-,∴42n a n =-.(2)111lg2b c ==；2115lg()lg 288b =+=, ,86lg 2=c 22b c <； 7260lg 1210lg ,7249lg 33===c b , ∴33b c <. 猜测：n n b c ≤. 下面用数学归纳法证明：①验证1n =,2n =时n n b c ≤成立.②假设n=k 时，n n b c ≤成立.即k a S S S k k 4lg )111lg(21≤+++ 成立，等价于kk a S S S k k 211411121-=≤+++ . 则当1n k =+时，2121)1(212111111++-≤+++++k k S S S S k k 22)1(21)1(2121])1(211[)1(21211++++-=+--++-k k k k k k 0)1(21)1(212<+++-=k k k ∴)1(211)1(212112+-<++-k k k ∴)1(4lg )1(42)1(4lg ))1(211lg())1(21211lg(12+=+-+=+-<++-+k a k k k k k k 即1n k =+时，11k k b c ++≤成立. 由①，②可得n n b c ≤对任意*n N ∈成立.。
