2导数和微分

二阶导数微分表达式
二阶导数的微分表达式的意义：对于一元函数来说，如果在该方程中出现因变量的二阶导数，我们就称为二阶（常）微分方程，其一般形式为F(x，y，y'，y'')=0。

在有些情况下，可以通过适当的变量代换，把二阶微分方程化成一阶微分方程来求解。

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。

它是数学的一个基础学科。

内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。

微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f‘（x）的导数叫做函数y=f （x）的二阶导数。

在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。

微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。

本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。

§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。

一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。

如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。

这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。

斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。

如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。

显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。

当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。

《高等数学》上册教案第二章导数与微分第二章导数与微分§3、高阶导数教学目的：熟练初等函数的求导方法，了解高阶导数的概念，会求简单的n阶导数教学重点：高阶导数的求法教学难点：高阶导数的归纳方法变速直线运动的质点的路程函数为s=s(t)，则速度为v(t)=s′(t)=lim加速度a(t)=lims(t+Δt)−s(t) Δt→0ΔtΔvv(t+Δt)−v(t)，即a(t)=v′(t)=[s′(t)]′。

=limΔt→0ΔtΔt→0Δt定义、设函数y=f(x)在点x的邻域内一阶导数f′(x)存在，如果极限Δx→0limf′(x+Δx)−f′(x) Δx存在，称函数y=f(x)在点x二阶可导，并称极限值为y=f(x)在点x的二阶导数，记d2yd⎛dy⎞d2f作：2=⎜⎟，2，f′′(x)或y′′ 。

dxdx⎝dx⎠dx同理，如果将二阶导数f′′(x)作为函数，可以定义出三阶导数：d3yf′′(x+Δx)−f′′(x)=lim 3Δx→0dxΔxd3yd⎛d2y⎞d3fdn−1y⎟，3，y′′′或f′′′(x)；一般利用函数y=f(x)的n−1阶导数n−1，记作：3=⎜2⎟⎜dxdxdx⎝dx⎠dxdnydnyf(n−1)(x+Δx)−f(n−1)(x)(n)可以定义出n阶导数：n=lim；并记为：y，n 等；称函数的Δx→0dxΔxdx二阶及其以上阶的导数为高阶导数。

通常记作：y′，y′′，y′′′，y(4)，y(5)，L,y(n),L。

d2s由此定义，质点的加速度可以写作：a(t)=s′′(t)=2。

dt例1．设函数y=sinx2，求y′′。

解：y′=2xcosx2，y′′=2xcosx2()′=2(cosx2+x−2xsinx2=2cosx2−4x2sinx2 ())《高等数学》上册教案第二章导数与微分例2．求函数y=ln(x++x2)的二阶导数。

解：y′=1x++x2⋅(1+12x2+x2=1+x32 −x122 y′′=(y′)′=( ′=−(1+x)⋅2x=−222+x(1+x)注：求二阶导数之前，应该将一阶导数作适当的化简、整理。

大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。

对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。

通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。

与物理学中定义米/秒是一个性质的。

把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。

（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。

）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。

2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。

只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。

举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。

如图所示。

绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。

3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。

比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。

求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。

下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。

4.函数的可导性与连续性的关系。

我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。

但反过来就不一定了。

归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。

y=|x|就是一个例子。

该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。

第二章导数与微分一、教学目的1.理解导数和微分的概念、导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的的关系.2.掌握导数、微分计算的各种方法，会求简单函数的高阶导数的计算. 二、教学重点1.导数的概念及几何意义.2.导数计算的各种方法 三、教学难点复合函数和隐函数的导数 四、课时安排 约16学时2.1 导数的概念◆2.1.1引例◆2.1.2导数的定义 ◆2.1.3求导数举例◆2.1.4 导数与左右导数的关系 ◆2.1.5导数的几何意义◆2.1.6函数的可导性与连续性的关系 ◆2.1.7内容小结2.1.1引例1．瞬时速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑到 0000()()s s f t f t v t t t t --==--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选得越短, 这个比值和动点在时刻t 0的速度越接近.令t -t 0→0, 取比值0)()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即0)()(limt t t f t f v t t --=→我们把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的瞬时速度. 2． 产品总成本的变化率设某产品的总成本C 是产量q 的函数，即C ＝f （q ）.当产量0q 变为0q q +∆时，总成本相应的改变量为 00()()C f q q f q ∆=+∆-而产量由0q 变为0q q +∆时，总成本的平均变化率为00()()f q q f q C q q+∆-∆=∆∆ 当0q ∆→时，如果极限000()()limq f q q f q C q q∆→+∆-∆=∆∆存在，称此极限为产量为0q 的总成本的变化率，又称边际成本.2.1.2导数的定义定义2.1.1 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0); 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为)(0x f ',即 xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(limlim)(00000, 也可记为0|x x y =', 0 x x dx dy =或0)(x x dx x df =. 导数的定义式也可取不同的形式, 常见的有 h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→, 或 000)()(l i m )(0x x x f x f x f x x --='→. .如果极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000不存在, 就说函数y =f (x )在点x 0处不可导.如果函数y =f (x )在开区间I 内的每点处都可导, 就称函数f (x )在开区间I 内可导.定义2.1.2如果对任一x ∈I ,函数 f (x )都对应着的一个确定的导数值. 这样就构成了一个新的函数, 这个函数叫做原来函数y =f (x )的导函数, 记作 y ',)(x f ',dx dy , 或dxx df )(. f '(x 0)与f '(x )之间的关系:函数f (x )在点x 0处的导数f '(x )就是导函数f '(x )在点x =x 0处的函数值, 即 0)()(0x x x f x f ='='.导函数f '(x )简称导数, 而f '(x 0)是f (x )在x 0处的导数或导数f '(x )在x 0处的值.2.1.3求导数举例例1．求函数f (x )=C （C 为常数）的导数. 解: hx f h x f x f h )()(lim)(0-+='→0lim 0=-=→h C C h . 即 (C ) '=0.例2. 求xx f 1)(=的导数.解:h x h x h x f h x f x f h h 11lim )()(lim )(00-+=-+='→→2001)(1lim )(lim x x h x x h x h h h h -=+-=+-=→→. 例3. 求x x f =)(的导数.解: hx h x h x f h x f x f h h -+=-+='→→00l i m )()(l i m )(xx h x x h x h h h h 211lim )(lim00=++=++=→→. 例4．求函数f (x )=x n (n 为正整数)在x =a 处的导数. 解: f '(a )a x a f x f ax --=→)()(lima x a x n n a x --=→lim ax →=lim (x n -1+ax n -2+ ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1)=na n -1. 把以上结果中的a 换成x 得 f '(x )=nx n -1,即 (x n )'=nx n -1.一般地, 有(x μ)'=μx μ-1 , 其中μ为常数. 例5．求函数f (x )=sin x 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h x h x h sin )sin(lim 0-+=→ 2sin )2cos(21lim 0hh x h h +⋅=→x h hhx h cos 22sin )2cos(lim 0=⋅+=→.即 (sin x )'=cos x .用类似的方法, 可求得 (cos x )'=-sin x . 例6．求函数f (x )= a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: f '(x )hx f h x f h )()(lim-+=→h a a x h x h -=+→0lim h a a h h x 1lim 0-=→t a h =-1令)1(log lim 0t t a a t x +→a a ea x a xln log 1==. 即 '()ln x xa a a =特别地有 (e x )=e x .例7．求函数f (x )=log a x (a >0, a ≠1) 的导数. 解: hx h x h x f h x f x f a ah h log )(log lim )()(lim)(00-+=-+='→→ h xa h a h a h xh x x h h x x x h x h )1(log lim 1)1(log lim 1)(log 1lim 000+=+=+=→→→ax e x a ln 1log 1==. 即 ax x a ln 1)(log =' . :特殊地 xx 1)(l n='. 2.1.4 导数与左右导数的关系:定义2.1.3如果极限hx f h x f h )()(lim 000-+-→存在, 则称此极限值为函数在x 0的左导数.即 f (x )在0x 的左导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='-→-;如果极限hx f h x f h )()(lim 000-++→存在, 则称此极限值为函数在x 0的右导数.即f (x )在0x 的右导数:hx f h x f x f h )()(lim )(0000-+='+→+.定理2.1 函数f (x )在点x 0处可导的充分必要条件是左导数左导数f '-(x 0) 和右导数f '+(x 0)都存在且相等.即: A x f =')(0⇔A x f x f ='='+-)()(00. 如果函数f (x )在开区间(a , b )内可导, 且右导数f '+(a ) 和左导数f '-(b )都存在, 就说f (x )有闭区间[a , b ]上可导.例8．求函数f (x )=|x |在x =0处的导数.解: 1||lim )0()0(lim )0(00-==-+='--→→-h h h f h f f h h , 1||lim )0()0(lim )0(00==-+='++→→+h h hf h f f h h , 因为f '-(0)≠ f '+(0), 所以函数f (x )=|x |在x =0处不可导.2.1.5导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)在几何上表示曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处的切线的斜率, 即 f '(x 0)=tan α , 其中α是切线的倾角.如果y =f (x )在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y =f (x )的割线以垂直于x 轴的直线x =x 0为极限位置, 即曲线y =f (x )在点M (x 0, f (x 0))处具有垂直于x 轴的切线x =x 0.由直线的点斜式方程, 可知曲线y =f (x )在点M (x 0, y 0)处的切线方程为 y -y 0=f '(x 0)(x -x 0).过切点M (x 0, y 0)且与切线垂直的直线叫做曲线y =f (x )在点M 处的法线.如果 f '(x 0)≠0, 法线的斜率为)(10x f '-, 从而法线方程为 )()(1000x x x f y y -'-=-.例9. 求等边双曲线x y 1=在点)2 ,21(处的切线的斜率, 并写出在该点处的切线方程和法线方程.解: 21x y -=', 所求切线及法线的斜率分别为4)1(2121-=-==x x k , 41112=-=k k .所求切线方程为)21(42--=-x y , 即4x +y -4=0.所求法线方程为)1(12-=-x y , 即2x -8y +15=0.例10. 求曲线x x y =的通过点(0, -4)的切线方程.解 设切点的横坐标为x 0, 则切线的斜率为 0212302323)()(0x x x x f x x =='='=. 于是所求切线的方程可设为)(230000x x x x x y -=-.根据题意, 点(0, -4)在切线上, 因此 )0(2340000x x x x -=--,解方程得x 0=4.于是所求切线的方程为 )4(42344-=-x y , 即3x -y -4=0.2.1.6函数的可导性与连续性的关系如果函数y =f (x )在点x 处可导, 则函数在该点必连续.另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导.例11． 函数3)(x x f =在区间(-∞, +∞)内连续, 但在点x =0处不可导. 这是因为函数在点x =0处导数为无穷大h f h f h )0()0(lim-+→+∞=-=→hh h 0lim 30. 2.1.7内容小结1.引例2.导数的定义3.求导数举例4.导数与左右导数的关系5.导数的几何意义6.函数的可导性与连续性的关系2.2 函数的求导法则◆2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则 ◆2.2.2反函数的求导法则 ◆2.2.3复合函数的求导法则 ◆2.2.4求导法则与导数公式 ◆2.2.5 隐函数的导数 ◆2.2.6 对数求导法◆2.2.7参数方程所确定的函数的导数 ◆2.2.8内容小结2.2.1函数的和、差、积、商的求导法则定理2.2 如果函数u =u (x )及v =v (x )在点x 可导, 则它们的和、差、积、商(分母不为零)都在点x 具可导, 并且[u (x ) ±v (x )]'=u '(x ) ±v '(x ) ;[u (x )⋅v (x )]'=u '(x )v (x )+u (x )v '(x );)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡.定理2.2中的函数的和、差、积的求导法则可推广到有限多个可导函数的情形. 在函数的积的求导法则中, 如果v =C (C 为常数), 则有 (Cu )'=Cu '. 例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x )'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x )' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x )及)2 (πf '.解: x x x x x f sin 43)2 (sin )cos 4()()(23-='-'+'='π,443)2 (2-='ππf .例3．y =e x (sin x +cos x ), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x )+ e x (sin x +cos x )' = e x (sin x +cos x )+ e x (cos x -sin x ) =2e x cos x . 例4．y =tan x , 求y '.解:xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=.即 (tan x )'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='x x2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x )'=sec x tan x .类似的,可求得余切函数及余割函数的导数公式: (cot x )'=-csc 2x ,(csc x )'=-csc x cot x .2.2.2反函数的求导法则定理2.3如果函数x =f (y )在某区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 那么它的反函数y =f -1(x )在对应区间I x ={x |x =f (y ), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydx dx dy 1=.即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例6．设x =sin y , ]2 ,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且 (sin y )'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有 2211sin 11cos 1)(sin 1)(arcsin x y y y x -=-=='='. 即(a r c s i nx '=类似地有: 211)(arccos x x --='.例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y在区间)2 ,2 (ππ-内单调、可导, 且 (tan y )'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有 22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a n xy y y x +=+=='='. 类似地有: 211)cot arc (xx +-='.例8.设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且 (a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有 ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 2.2.3复合函数的求导法则定理2.4如果u =g (x )在点x 可导, 函数y =f (u )在点u =g (x )可导, 则复合函数y =f [g (x )]在点x 可导, 且其导数为 )()(x g u f dx dy '⋅'=或dx du du dydx dy ⋅=. 例9. 3x e y =, 求dxdy . 解： 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10. 212sinx x y +=, 求dx dy .解： 函数212sinx x y +=是由y =sin u , 212x x u +=复合而成的, 因此2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos x x x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,而直接写出结果.例11．lnsin x , 求dxdy . 解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x xx dx dy x x x cot cos sin 1=⋅=. 例12．3221x y -=, 求dxdy . 解:)21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f (u ), u =ϕ(v ), v =ψ(x ),则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dxdy . 解:])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy)tan()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=.例14．xe y 1sin =, 求dxdy . 解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=x x e x e e dx dy x x x x e x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15.设x >0, 证明幂函数的导数公式(x μ)'=μ x μ-1.解： 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x )'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.2.2.4求导法则与导数公式 1．基本初等函数的导数:(1) (C )'=0, (2) (x μ)'=μ x μ-1, (3) (sin x )'=cos x , (4) (cos x )'=-sin x , (5) (tan x )'=sec 2x , (6) (cot x )'=-csc 2x , (7) (sec x )'=sec x ⋅tan x , (8) (csc x )'=-csc x ⋅cot x , (9) (a x )'=a x ln a , (10) (e x )'=e x ,(11) a x x a ln 1)(log =',(12) xx 1)(ln =',(13) 211)(arcsin x x -=', . (14) 211)(arccos x x --=' (15) 211)(arctan x x +=',(16) 211)cot arc (xx +-='.2．函数的和、差、积、商的求导法则 设u =u (x ), v =v (x )都可导, 则(1)(u ±v )'=u '±v ', (2)(C u )'=C u ', (3)(u v )'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(v v u v u v u '-'='.3．反函数的求导法则设x =f (y )在区间I y 内单调、可导且f '(y )≠0, 则它的反函数y =f -1(x )在I x =f (I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f ='-. 或dydx dx dy 1=.4．复合函数的求导法则设y =f (x ), 而u =g (x )且f (u )及g (x )都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为dxdudu dy dx dy ⋅=或y '(x )=f '(u )⋅g '(x ). 例16. y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '. 解: y '=(sin nx )' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x )'= n cos nx ⋅sin n x +sin nx ⋅ n ⋅ sin n -1 x ⋅(sin x )'= n cos nx ⋅sin n x +n sin n -1 x ⋅ cos x =n sin n -1 x ⋅ sin(n +1)x .2.2.5 隐函数的导数定义2.2.1形如y =f (x )的函数称为显函数. 例如y =sin x , y =ln x +e x 是显函数的例子. 定义2.2.2 由方程F (x , y )=0所确定的函数称为隐函数. 例17求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数. 解: 把方程两边的每一项对x 求导数得 (e y )'+(xy )'-(e )'=(0)', 即 e y ⋅ y '+y +xy '=0, 从而 y ex yy +-='(x +e y ≠0). 在上式两边对x 求导过程中，在遇到含有y 项时，应视y 是x 的函数，利用复合函数的求导法则.例18求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x )在x =0处的导数y '|x =0. 解: 把方程两边分别对x 求导数得5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,由此得 2521146++='y x y .因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以 21|25211|0460=++='==x x y x y . 例19 求椭圆122=+y x 在)323 ,2(处的切线方程.解: 把椭圆方程的两边分别对x 求导, 得0928='⋅+y y x . 将x =2, 323=y , 代入上式得 03141='⋅+y ,于是 k =y '|x =243-=. 所求的切线方程为)2(43323--=-x y , 即03843=-+y x .2.2.6 对数求导法:这种方法是先在y =f (x )的两边取对数, 然后再求出y 的导数. 设y =f (x ), 两边取对数, 得 ln y = ln f (x ),两边对x 求导, 得 ])([ln 1'='x f y y,y '= f (x )⋅[ln f (x )]'.对数求导法适用于求幂指函数y =[u (x )]v (x )的导数及多因子之积和商的导数. 例20求y =x sin x (x >0)的导数.解法一: 两边取对数, 得 ln y =sin x ⋅ ln x ,上式两边对x 求导, 得 x x x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=',于是 )1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅=')sin ln (cos sin xx x x x x +⋅=.解法二: 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求:y =x sin x =e sin x ·ln x, )sin ln (cos )ln (sin sin ln sin x x x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅.例21求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y 的导数.解: 先在两边取对数(假定x >4), 得ln y 21=[ln(x -1)+ln(x -2)-ln(x -3)-ln(x -4)],上式两边对x 求导, 得 )41312111(211-----+-='x x x x y y ,于是 )41312111(2-----+-='x x x x yy .当x <1时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 当2<x <3时, )4)(3()2)(1(x x x x y ----=; 用同样方法可得与上面相同的结果.注: 严格来说, 本题应分x >4, x <1, 2<x <3三种情况讨论, 但结果都是一样的.2.2.7参数方程所确定的函数的导数定理2.5 设x =ϕ(t )具有单调连续反函数t =ϕ-1(x ), 且此反函数能与函数y =ψ(t )构成复合函数y =ψ[ϕ-1(x ) ], 若x =ϕ(t )和y =ψ(t )都可导, 则 )()(1t t dtdx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψ''=⋅=⋅=, 即 )()(t t dx dy ϕψ''=或dt dx dt dydx dy =. 例1 设⎩⎨⎧+=-=)1ln(arctan 2t y tt x ，求1=t dx dy . 解：t t t t dt dx dt dydx dy 21111222=+-+== ∴21==t dx dy 例2求椭圆⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos 在相应于4 π=t 点处的切线方程. 解:t ab t a t b t a t b dx dy cot sin cos )cos ()sin (-=-='=. 所求切线的斜率为ab dx dyt -==4π. 切点的坐标为224 cos 0a a x ==π, 224sin 0b b y ==π. 切线方程为)22(22a x a b b y --=-, 即 bx +ay 2-ab =0.2.2.8内容小结1.函数的和、差、积、商的求导法则2.反函数的求导法则3.复合函数的求导法则4.求导法则与导数公式5.隐函数的导数6.对数求导法7.参数方程所确定的函数的导数2.3 高阶导数◆2.3.1 高阶导数◆2.3.2 内容小结定义2.3.1如果函数y =f (x )的导数y '=f '(x )仍然是x 的函数. 则称y '=f '(x )的导数叫做函数y =f (x )的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x )或22dx y d , 即 y ''=(y ')', f ''(x )=[f '(x )]' , )(22dxdy dx d dx y d =. 相应地, 把y =f (x )的导数f '(x )叫做函数y =f (x )的一阶导数.类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1)阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或33dx y d , 44dx y d , ⋅ ⋅ ⋅ , nn dx y d . 函数f (x )具有n 阶导数, 也称函数f (x )为 n 阶可导. 如果函数f (x )在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x )在点x 的某一邻域内一定具有所有低于n 阶的导数. 二阶及二阶以上的导数统称高阶导数.例1．y =ax +b , 求y ''.解: y '=a , y ''=0.例2．s =sin ω t , 求s ''.解: s '=ω cos ω t , s ''= cos ω t -ω 2sin ω t .例3．验证: 函数22x x y -=是方程y 3y ''+1=0的解.证明: 因为22212222x x x x x x y --=--=', 22222222)1(2x x x x xx x x y -------='')2()2()1(22222x x x x x x x ----+-=32321)2(1yx x -=--=, 所以y 3y ''+1=0.例4．求函数y =e x 的n 阶导数.解：y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x ,一般地, 可得 y ( n )=e x , 即 (e x )(n )=e x .例5．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.解: y =sin x ,)2s i n (c o s π+=='x x y , )22s i n ()2 2 s i n ()2 c o s (ππππ⋅+=++=+=''x x x y , )23s i n ()2 2 2s i n ()2 2c o s (ππππ⋅+=+⋅+=⋅+='''x x x y , )24sin()2 3cos()4(ππ⋅+=⋅+=x x y , 一般地, 我们有)2sin()(π⋅+=n x y n , 即)2 sin()(sin )(π⋅+=n x x n .同理, 可得 )2c o s ()(c o s )(π⋅+=n x x n .例6．求幂函数y =x μ (μ是任意常数)的n 阶导数公式.解: y '=μx μ-1,y ''=μ(μ-1)x μ-2,y '''=μ(μ-1)(μ-2)x μ-3,y ( 4)=μ(μ-1)(μ-2)(μ-3)x μ-4,依次类推, 可得y (n )=μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n ,即 (x μ )(n ) =μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ (μ-n +1)x μ-n .当μ=n 时, 得到(x n )(n ) = μ(μ-1)(μ-2) ⋅ ⋅ ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1=n ! .而 (x n )( n +1)=0 .2.3.2 内容小结高阶导数2.4 函数的微分◆2.4.1微分的定义◆2.4.2微分的几何意义◆2.4.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则◆2.4.4微分在近似计算中的应用◆2.4.5内容小结2.4.1微分的定义定义2.4.1 设函数y =f (x )在某区间内有定义, x 0及x 0+∆x 在这区间内, 如果函数的增量 ∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)可表示为∆y =A ∆x +o (∆x ), 其中A 是不依赖于∆x 的常数, 那么称函数y =f (x )在点x 0是可微, 而A ∆x 叫做函数y =f (x )在点x 0相应于自变量增量∆x 的微分, 记作 dy , 即 dy =A ∆x .定理2.6 （函数可微的条件）: 函数f (x )在点x 0可微的充分必要条件是函数f (x )在点x 0可导, 且当函数f (x )在点x 0可微时, 其微分一定是dy =f '(x 0)∆x . .函数y =f (x )在任意点x 的微分, 称为函数的微分, 记作dy 或 d f (x ), 即dy =f '(x )∆x ,例1 求函数y =x 2在x =1和x =3处的微分.解 函数y =x 2在x =1处的微分为 1=x dy =(x 2)'|x =1∆x =2∆x ;函数y =x 2在x =3处的微分为 3=x dy =(x 2)'|x =3∆x =6∆x .例2．求函数 y =x 3当x =2, ∆x =0. 02时的微分.解: 先求函数在任意点x 的微分 dy =(x 3)'∆x =3x 2∆x .再求函数当x =2, ∆x =0. 02时的微分dy |x =2, ∆x =0.02 =3x 2| x =2, ∆x =0.02 =3⨯22⨯0.02=0.24.自变量的微分:因为当y =x 时, dy =dx =(x )'∆x =∆x , 所以通常把自变量x 的增量∆x 称为自变量的微分, 记作dx , 即dx =∆x . 于是函数y =f (x )的微分又可记作dy =f '(x )dx . 从而有 )(x f dxdy '=. 亦即, 函数的微分dy 与自变量的微分dx 之商等于该函数的导数. 因此, 导数也叫做“微商”. 2.4.2微分的几何意义当∆y 是曲线y =f (x )上的点的纵坐标的增量时, dy 就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量. 当|∆x |很小时, |∆y -dy |比|∆x |小得多. 因此在点M 的邻近, 我们可以用切线段来近似代替曲线段.2.4.3基本初等函数的微分公式与微分运算法则1. 基本初等函数的微分公式导数公式: 微分公式:(x μ)'=μ x μ-1 d (x μ)=μ x μ-1d x(sin x )'=cos x d (sin x )=cos x d x(cos x )'=-sin x d (cos x )=-sin x d x(tan x )'=sec 2 x d (tan x )=sec 2x d x(cot x )'=-csc 2x d (cot x )=-csc 2x d x(sec x )'=sec x tan x d (sec x )=sec x tan x d x(csc x )'=-csc x cot x d (csc x )=-csc x cot x d x(a x )'=a x ln a d (a x )=a x ln a d x(e x )=e x d (e x )=e x d xax x a ln 1)(log =' dx a x x d a ln 1)(log = x x 1)(ln =' dx xx d 1)(ln = 211)(arcsin x x -=' dx x x d 211)(arcsin -= 211)(arccos x x --=' dx x x d 211)(arccos --=211)(arctan xx +=' dx x x d 211)(arctan += 211)cot arc (xx +-=' dx x x d 211)cot arc (+-= 2. 函数和、差、积、商的微分法则求导法则: 微分法则:(u ±v )'=u '± v ' d (u ±v )=du ±dv(Cu )'=Cu ' d (Cu )=Cdu(u ⋅v )'= u 'v +uv ' d (u ⋅v )=vdu +udv)0()(2≠'-'='v v v u v u v u )0()(2≠-=v dx v udv vdu v u d 乘积的微分法则证明:根据函数微分的表达式, 有d (uv )=(uv )'dx .再根据乘积的求导法则, 有(uv )'=u 'v +uv '.于是 d (uv )=(u 'v +uv ')dx =u 'vdx +uv 'dx .由于u 'dx =du , v 'dx =dv , 所以d (uv )=vdu +udv .3. 复合函数的微分法则设y =f (u )及u =ϕ(x )都可导, 则复合函数y =f [ϕ(x )]的微分为dy =y 'x dx =f '(u )ϕ'(x )dx .于由ϕ'(x )dx =du , 所以, 复合函数y =f [ϕ(x )]的微分公式也可以写成dy =f '(u )du 或 dy =y 'u du .由上式可见, 无论u 是自变量还是中间变量函数的微分形式dy =f '(u )du 保持不变. 这一性质称为微分形式不变性.例3．y =sin(2x +1), 求dy .解: 把2x +1看成中间变量u , 则dy =d (sin u )=cos udu =cos(2x +1)d (2x +1)=cos(2x +1)⋅2dx =2cos(2x +1)dx .运算熟练后，在求复合函数的导数时, 可以不写出中间变量.例4.)1ln(2x e y +=, 求dy .解: )1(11)1ln(222x x x e d e e d dy ++=+= xdx e x d e x x x x 21)(122222⋅⋅=⋅=dx e xe x x 2212+=. 例5．y =e 1-3x cos x , 求dy .解: 应用积的微分法则, 得dy =d (e 1-3x cos x )=cos xd (e 1-3x )+e 1-3x d (cos x )=(cos x )e 1-3x (-3dx )+e 1-3x (-sin xdx )=-e 1-3x (3cos x +sin x )dx .例6．在括号中填入适当的函数, 使等式成立.(1) d ( )=xdx ;(2) d ( )=cos ω t dt .解: (1)因为d (x 2)=2xdx , 所以)21()(2122x d x d xdx ==, 即xdx x d =)21(2. 一般地, 有xdx C x d =+)21(2(C 为任意常数). (2)因为d (sin ω t )=ω cos ω tdt , 所以 ) sin 1() (sin 1 cos t d t d tdt ωωωωω==. 所以 tdt C t d cos ) sin 1(ωωω=+(C 为任意常数). 2.4.4微分在近似计算中的应用如果函数y =f (x )在点x 0处的导数f '(x )≠0, 且|∆x |很小时, 我们有∆y ≈dy =f '(x 0)∆x ,∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0)≈dy =f '(x 0)∆x ,f (x 0+∆x )≈f (x 0)+f '(x 0)∆x .若令x =x 0+∆x , 即∆x =x -x 0, 那么又有 f (x )≈ f (x 0)+f '(x 0)(x -x 0).特别当x 0=0时, 有 f (x )≈ f (0)+f '(0)x .这些都是近似计算公式.例7．有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0. 01cm . 估计一了每只球需用铜多少g (铜的密度是8. 9g/cm 3)?解: 已知球体体积为334R V π=, R 0=1cm , ∆R =0. 01cm . 镀层的体积为∆V =V (R 0+∆R )-V (R 0)≈V '(R 0)∆R =4πR 02∆R =4⨯3. 14⨯12 ⨯0. 01=0. 13(cm 3). 于是镀每只球需用的铜约为 0. 13 ⨯8. 9 =1. 16(g ).例8．利用微分计算sin 30︒30'的近似值.解: 已知30︒30'3606 ππ+=, 6 0π=x , 360π=∆x . sin 30︒30'=sin(x 0+∆x )≈sin x 0+∆x cos x 03606 cos 6 sin πππ⋅+= 5076.03602321=⋅+=π. 即 sin 30︒30'≈0. 5076.常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）: (1)x nx n 111+≈+; (2)sin x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(3)tan x ≈x ( x 用弧度作单位来表达);(4)e x ≈1+x ;(5)ln(1+x )≈x .例9．计算05.1的近似值.解: 已知 x nx n 111+≈+, 故025.105.021105.0105.1=⨯+≈+=. 直接开方的结果是02470.105.1=.2.4.5内容小结1.微分的定义2.微分的几何意义3.基本初等函数的微分公式与微分运算法则4.微分在近似计算中的应用。

《微积分初步》单元辅导二(导数微分及其应用)微积分初步学习辅导——导数与微分部分学习重难点解析(一)关于导数的概念函数的导数是一个增量之比的极限，即我们把卫称为函数的平均变化率，把lim y称为变化率，若lim y存在则可导，否则不可二x=x导•导数是由极限定义的，故有左导数和右导数• f(x)在点X。

处可导必有函数f (x)在点X。

处左右导数都存在且相等.(二)导数、微分和连续的关系由微分的定义dy二f (x)dx可知(1)函数的可导与可微是等价的，即函数可导一定可微；反之可微一定可导.⑵计算函数f(x)的微分dy，只要计算出函数的导数f(x)再乘上自变量的微分dx即可; 因此，我们可以将微分的计算与导数的计算归为同一类运算.(3)由定理可知，连续是可导的必要条件，那么，函数可微也一定连续.反之不然，即连续函数不一定是可导或可微函数.(三)导数的几何意义由切线问题分析可知，函数y=f(x)在点x。

处的导数就是曲线y = f(x)在点(x。

，f(x。

))处切线的斜率。

于是，y二f(x)在点(x。

，y0)处的切线方程为(四)关于导数的计算掌握导数的计算首先要熟记导数基本公式和求导法则.在我们这门课程中所学习的求导法则和方法有：(1)导数的四则运算法则；(2)复合函数求导法则；(3)隐函数求导方法.对于上述法则和方法在实用中要注意其成立的条件.在导数的四则运算法则中，应该注意乘法法则和除法法则，注意它们的构成形式并注意1— x解题的技巧.例如，y二，求了心.这是一个分式求二阶导数的问题，形式上应该用导1 1数的除法法则求解，但是，如果将函数变形为y -x：再求导数就应该用导数的加法法则了 .假如我们掌握了一些解题的技巧，会使我们的运算变得简单还会减少错误.复合函数求导数是学习的重点也是难点，它的困难之处在于对函数的复合过程的分解 由复合函数求导法则知，复合函数y = f(u),u 二(x)的导数为在求导时将y = f ( “X))分解为y = f(u),u =护(x)(其中u 为中间变量)，然后分别对中间 变量和自变量求导再相乘.那么如何进行分解就是解题的关键，一般的说，所设的中间变量 应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算，这样就会对于y = f (u),u = "X)分别都要有导数公式或法则可求导.如果分解后找不到求导公式，则说明分解有误.例如函数=sin 2，其分解为 y = u 2, u = sin v,v = x .于是分别求导为，y^2u,u^cosv ， 1 — — 1 - .相乘得至U y x = 2 s i n ・.x c o s x - 2 . x 2 , x 2、x 二si n u,u =x ，这样在求导时会发现没有导数公式可以来求y u .隐函数的特点是变量y 与x 的函数关系隐藏在方程中，例如 y=1・xsiny ，其中的sin y 不但是y 的函数，还是x 的复合函数.所以对于sin y 求导数时应该用复合函数求导法则，先 对y 的函数sin y 求导得cosy ，再乘以y 对x 的导数y 〔由于y 对x 的函数关系不能直接写出 来，故而只能把y 对x 的导数写为y .一般地说，隐函数求导数分为下列两步：① 方程两边对自变量x 求导，视y 为中间变量，求导后得到一个关于 y 的一次方程; ② 解方程，求出y 对x 的导数y .总之，导数公式和求导法则是要靠练习来熟悉和理解的，我们应该通过练习掌握方法并 从中获得技巧.微积分初步学习辅导导数与微分部分典型例题例1求下列函数的导数或微分： (1) 设 y = x 3 3x log 3x-33，求 y . (2) 设 y = ^2，求 dyX xsi nx⑶设y ，求y (二).1 +cosx 3分析 这三个函数都是由基本初等函数经过四则运算得到的初等函数， 求导或求微分时,1 1 lsir2. x .有一种错误的分解是V x需要用到导数基本公式和导数的四则运算法则•对于(1)先用导数的加法法则，再用导数基本 公式；对于⑵，可以先用导数除法法则，再用基本公式；但注意到 ⑵ 中函数的特点，先将1 2函数进行整理，y J 二2 =x 3 -2x^'，贝U 可用导数的加法法则求导，得到函数的导数后再乘 Vx 2 以dx ，得到函数的微分；对于(3)用导数除法法则，再用基本公式•解(1) y =(x 33xlog 3x-3 3)(x 3) (3x ) (gx) 一(33)21 — 4dy =ydx =(—X 3 x 3)dx.3 3(sin x) (1 cosx) -sin x(1 cosx)2(1 cosx)cosx(1 cosx) -sin x(-sinx) cosx cos 2 x sin 2x(1 + cosx)2(1 + cosx)2= 11 cosx在运用导数的四则运算法则应注意：①在求导或求微分运算中，一般是先用法则，再用基本公式;③ 解题时应先观察函数，看看能否对函数进行变形或化简，在运算中尽可能的避免使 用导数的除法法则.如例1中的⑵ 小题，将y 二x 二j 变形为y 『x-2二X? \x 2 v x 2 数，这种解法比直接用除法法则求解要简便且不易出错 •④ 导数的乘法和除法法则与极限相应的法则不同， 运算也相对复杂得多，计算时要细心. 例2求下列函数的导数或微分：sinl(1) 设 y = e x ，求 dy .3x 23 3x 2 3x —2(2)因为y=—1=x 3 1In 3xl n3In 3 — xln 3 -2x 1所以 y =(x 3) _2(x 3) s x3x3，于是所以y(3)=1 cosx②把根式qx p写成幕次px q的形式，这样便于使用公式且减少出错; 2-2x _3后再求导兀1 22(2)设 y =1 n(x—、1 x2)，求 y(、3).(3)设 y =(邛)10，求 y .x +1分析采用复合函数求导法则，所设的中间变量应是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.求导时，依照函数的复合层次由最外层起，向内一层层地对中间变量求导，直至对自变量求导为止.1解(1)设y =e u,u =sinv,v二一，利用复合函数求导法则，有x代回还原得在基本掌握复合函数求导法则后，也可以不写出中间变量，如下解法：(2)设y = In u,u = x - v,v = x2 T，利用复合函数求导法则，有代回还原得或着(3)设y = u10 ,u = △ ,v = x2 1，利用复合函数求导法则和导数的四则运算法则有，v代回还原得或着例3求下列方程所确定的隐函数的导数 y或微分dy :(1)x2 y2 xy 二 0，求 dy ；(2)e xy yl n x = cos2x，求 y .分析隐函数的特点是：因变量y与自变量x的对应关系是隐藏在方程中的.因此，在求导数时，不要忘记y是x的函数，在对y的函数求导后切记再乘以y对x的导数yl 依隐函数求导数的步骤求导.解(1)［方法1］由导数得到微分.方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有即(x 2y)y - -(y 2x)整理方程，解出y，得dy = ydx「y 2x dxx +2y［方法2］方程两边对变量求微分，这时变量y和x的地位是相同的，即不再将y看作x的函数.dy_x+2y(2)方程两边对自变量x求导，视y为中间变量，有于是 (xe^ In x)y - -2sin2x-'-ye xyx整理方程解出y •，得分析 如果函数y 二f （x ）可导，函数曲线在点X 。