1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
举例子: 求y e x的导数。
显然反函数(不要换元)是x in y 反函数导数的倒数是y=e x，因此，(y e)'再如，求arcsin(x)的导数。
6、复合函数求导法则:只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。
7、高阶导数:如果f(x)在点x 处具有n 阶导数，那么f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低 于n 阶的导数。
sin (n)(x) sin(x —) ; cos (n)(x) cos(x —);其余的也记不住，自己慢慢推导。
2 2(u v)(n) u (n) v (n);有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。
f '(X) (f 1(y))'但是 反函数的导数是x解：令函数为y arcsin(x)，则其反函数为 sin y ，导数的倒数为―1— (arcsin x)'。
但是必须消去y 。
因此变形得 cos y一■_-(注意到在定义域内1-si nycosy 恒为正，因此舍掉负解)1_1.1-si ny 2. 1-x 2nn k n k k(u v)C u v 二项式定理中有： n;类似的，乘法的n 阶导数也有:8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用 只有这样才能准确，安全，方便。
举例：求e xy e 0 （隐函数f （x,y ）=O ）中y 对x 的导数① dx 解： 两 边 求 导， d @xy e ）竺dx dx岐捡述y“（t ）x'（t ） y ；（t ）x ”（t ）。
麻烦吗？根本不要记, dt dx...连参数方程的公式都不要记，自己慢慢算，算到哪里推导到哪里，简单又方便。
相关变化率问题，是说字佥之间的关系(u* v)(n)k)v (k)这个是要熟练记忆的。
舟形式求解。
d(e yxy e) dxde y dxy de) de ydy dx dy dx dxydxe y 鱼ydx 型(e y x)鱼y 0鱼dx dx dxdx dx解完以后发现效果还不错e x如果直接用什么y '神马的净是错误，所以不要直接用口算，用 dy/dx 方法求解。
复合隐函数如何求导？如，如何求dex ydx?简单，de x yde x yd(x y) dx d(x y) dxy(1乎）。
怎么样，就是层层剥香蕉的意思。
dx参数方程同理，设x(t) ，则简单, 而且显然有dy 詈dx 嘅，二阶导 dt dxd (緡dx求dy时有一个技巧，如果函数含有幕指数，包括这一类(幕指数是-) dx 2般都是对方程两边先求对数，再求解，这样求解起来应该会简单。
9、微分微分用dy表示。
dy y .微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定x后对应的近似的y 。
实际上，y f (x x) f (x)，若可以化简成y f (X o x) f(x o) k xo( x)形式，则称f(x)在该点x0处可微记作dy |x X。
k x，这部分称为线性部分。
o( x)是x的高阶无穷小，因此在计算时可以省去，这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的y 了。
y( k x o( x)) 0当x 0时，dy( k x) 0 ，经过计算ll x m o_dy =...=1，可见，dy与y在x 0时是等价无穷小，即有y : dy可微与可导的关系：可微和可导是等价的，互为充要条件。
关系如图要注意的就是 x 2x1 ,, lim h[ f (a ) f (a)]存在 hh个要注意。
如果用讥心x) f(x)怎么算?课本上的一些重要易错的题1arccos(-) x的导数解：字dx "pr *(1x2_|x| X 2,|x| *一12、试从竺丄导出ddy y'xdy 2y'' (y')解:吐盛dy 2dy1 1 d d -y' y'* dx dy dx dyy'' * 1 (y')2 y'y'' (y')3、设f(x)在x=a 的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a 处可导的一个充分条件是:叫mo Hh叫4、f(x)sin x, x 0 ln(1 x), x 0在0处的单侧导数f (0)解:注意，不能用讥垃严，应该用xiffJ才能算出来1D13.甲弱以吐mb 酌逹率向东行驶，乙賂以Ekmh 的連率向南厅出在中午十二点此乙昵 醫于甲船之北1知处.问下牛一点正两寵相扈的速率为多少丁V 设从中午十二点开給一经迂r 小对「商嚅之阖的磋离为工瓦有訪耍=-1罠16-朋"牙，dS -16d6-&)+7^ 矿 25 当Al 时，E=g叩下竿一点正两嗚梅卷的連更为2.«km h此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题dS 曲 128t72=-2 8 (km h).2扩展部分第二章导数与微分第一节导数槪念知识要点与考点1•导数概念【粤点】由瞬时速度与切线斜率等典型实例•可引入导数定义”简记为八\!■/（為+心〉—/缶〉dfj C-T Q Z L ITH ■* fgf。
4r a工鼻■窃或 f S = lim器日im/U十2一八巳gFQ Af Qi fl要注意函数在一点轨处的导数是数值孑而在某区间I上的导（函）数是函数•并且rtxo）与 gj丁m rco）与［/（Q）了（=o）具有不同的涵义.求x=xO处导数有两种定义:f'(X g)limx 0f(X°X) f(X p)x X o而x处的导函数只有一种定义f'(x)limx X of(x) f(X o)x X of(x h) f(x)Am —h—左、右导数分别为二/(氐+3.曲线的切线方程与法线方程 切线半y~y^ f （工JQ —工』i 法线:y —%=— 尸（；抒&_齐匕可导与连续的关系: 可导指的是：存在左导数和右导数，且两者相等。
而左导数还是右导数的实质是单侧极限问 题。
而若两侧（导函数的）极限都存在，那么必然该导函数存在极限，即该种极限的导函数 即导数存在。
故可导的充要条件是存在左右极限且相等。
单侧导数与单侧极限一样，光有一个说明不了导数（极限）存在 可导必然连续，连续未必可导。
因为连续在公式上的表现是lim 与=°可导在公式上表现是存在lim △ ^<=f ' （x ）第二节函数的和■差、积、商的求导法则 反函数的导数复合函数的求导法则故可导可以推出连续。
但连续推不出可导 。
不可导未定不连续, 但不连续一定不可导。
（可以用反证法证明）这些不用死记。
f(x) 23x ,x 某点单侧导数存在，则该点一定要有定义。
比如x 2, x在x=1处的右导数就不存在。
但是f （x ）x 2,x 2x 1, x 1在x=1处的右导数就存在。
偃设函数讥ReCr)在点T 可导，则它们的和、差、积、商的导数都存在，且(»+v)r HfZ 士",{uvY ^UD^UV f(CuY^Cu 1(C 为常数)，(於士廿士…=/士* 士…士欢/ , (V)=_寻 WHO)，(mnjr 〕'=sg$* (cot z)' = —c 肚N*^>f=sec ztan T . <CSC ,r)' = — esc xcot r3.其余基本初导函数的求导公式(arcsin T Y — < '-arccos 丁)'=,-/l —-r(arctan 上〉尸=(— arccot x)J — T ——；； ［十无1 ■反函数的导数若才=侃W 在区间人内单调.可导且则其反函数y 瘁八小在对应区间人内也可导，且2.复合函數求导法则I 连锁规则)(考点】 dy _ dy du du dx du dv反函数存在的充要条件是原函数单调。
Tan , cot , sec , esc , arctan , arcsin , arccos , arccot 导数都可以自己推倒出来。
用的就 是反函数的导数公式。
还有:要注意中自变量是什么。
是 f'(x)1'(y)而不是f'(x)1 '(x，疋要注意u v —uvarcsinQ -^―1sin(y)' cos(y) . 1 si n 2(y)如果哪个忘了，要能够自己推导。
第五节高阶导数 知识要点与考点1•高阶异数的概念由加速度引入二阶导数般地+ _ 1)阶导数的导戲叫做匕墮曼婪，记为 豊仝2.计算离阶导数的公式 【考点】樹用如下公式计算高阶导数；ra 为常数”芳(T n)<w)=n !(才)z = Q (nN ； m^>n * m^N)；(#) s严一 1)…(戸一挖 + ])才i G € R )；r (lo 岳工"=(一l 〉i G — 1) J 工f log^e*On 工)" = (—-工][In (1+刃严=〔「1厂心_1)! (1+JT )-j 5° (sin «r)E=$iii 工 +梵•守;，(cos x>f,l>~cos 工 +号)；(log a x)'1 a yIn 1 xln6° (肚士卍=t/讨±i/柿9 (cu >u>=cu(->；* =0n n k n k k【回忆】牛顿二项式展开(a b) C n a b与莱布尼茨高阶导形式类似。
