§5 微积分学基本定理•定积分计算（续）教学目的：熟练掌握微积分学基本定理及定积分的换元与分部积分法。
重点难点：重点为微积分基本定理,难点为泰勒公式的积分型余项。
教学方法：讲练结合。
本节要在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数. 一 变限积分与原函数的存在性设f 在[]b a ,上可积，根据定积分的性质4，对任何[]b a x ,∈，f 在[]x a ,上也可积.于是，由 ()(),dt t f x xa⎰=Φ[]b a x ,∈ （1）定义了一个以积分上限为自变量的函数，称为变上限的定积分.类似可定义变下限的定积分： ()(),dt t f x bx⎰=ψ[]b a x ,∈. （2）Φ与ψ统称为变限积分.注意，在变限积分（1）与（2）中，不可再把积分变量x 写成()dx x f xa⎰，以免与积分上、下限的x 相混淆.变限积分所定义的函数有着重要的性质．由于()(),dt t f dt t f bxbx⎰⎰-=因此下面只讨论变上限积分的情形．定理9．9 若f 在[]b a ,上可积，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上连续． 证 对[]b a ,上任一确定的点x ，只要[]b a x x ,∈∆+，按定义式(1)有 ()()().dt t f dt t f dt t f xx xx axx a⎰⎰⎰∆+∆+=-=∆Φ因f 在[]b a ,上有界，可设()[]b a t M t f ,,∈≤．于是，当0>∆x 时有 ()();x M dt t f dt t f xx xxx x∆≤≤=∆Φ⎰⎰∆+∆+当0<∆x 时则有x M ∆≤∆Φ．由此得到 ,0lim 0=∆Φ→∆x即证得Φ在点x 连续．由x 的任意性，Φ在[]b a ,上处处连续． 口定理9．10 (原函数存在定理) 若f 在[]b a ,上连续，则由(1)式所定义的函数Φ在[]b a ,上处处可导，且()()()[].,,b a x x f dt t f dxd x xa ∈==Φ'⎰ （3）证 对[]b a ,上任一确定的x ，当0≠∆x 且[]b a x x ,∈∆+时，按定义式（1）和积分第一中值定理，有()().10,1≤≤∆+=∆=∆∆Φ⎰∆+θθx x f dt t f xx xx x 由于f 在点x 连续，故有 ()()().lim lim0x f x x f x x x x =∆+=∆∆Φ=Φ'→∆→∆θ由x 在[]b a ,上的任意性，证得Φ是f 在[]b a ,上的一个原函数． 口本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似不相干的概念之间的内在联系；同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论，并以积分形式给出了f 的一个原函数．正因为定理9．10的重要作用而被誉为微积分学基本定理．此外，又因f 的任意两个原函数只能相差一个常数，所以当f 为连续函数时，它的任一原函数F 必满足 ()().C dt t f x F xa+=⎰若在此式中令a x =，得到()a F C =，从而有()).()(a F x F dt t f xa-=⎰再令b x =,有()).()(a F x F dt t f ba-=⎰这是牛顿-莱布尼茨公式的又一证明.定理9．11 (积分第二中值定理) 设函数f 在[]b a ,上可积. (ⅰ)若函数g 在[]b a ,上减,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈ξ,使()()()()dx x f a g dx x g x f ab a⎰⎰=ξ(ⅱ)若函数g 在[]b a ,上增,且()0≥x g ,则存在 []b a ,∈η,使()()()()dx x f b g dx x g x f bba⎰⎰=η推论 设函数f 在[]b a ,上可积, 若函数g 为单调函数,则存在[]b a ,∈ξ,使()()=⎰dx x g x f ba()()()()dx x f b g x f a g ba⎰⎰+ξξ积分第二中值定理以及它的推论是今后建立反常积分收敛判别法的工具．二 换元积分法与分部积分法定理9．12 (定积分换元积分法) 若函数f 在[]b a ,上连续，ϕ在[]βα,上连续可微，且满足 ()()()[]βαϕϕϕ,,,,∈≤≤==t b t a b b a a ，则有定积分换元公式：()()()()dt t t f dx x f b aϕϕβα'=⎰⎰ （9）证 由于(9)式两边的被积函数都是连续函数，因此它们的原函数都存在．设F 是f 在[]b a ,上的一个原函数，由复合函数微分法()()()()()()()()t t f t t F t F dtdϕϕϕϕϕ'=''= 可见()()t F ϕ是()()()t t f ϕϕ'的一个原函数．根据牛顿一莱布尼茨公式，证得()()()()()()()a F F dt t t f ϕβϕϕϕβα-='⎰()()()dx x f a F b F ba ⎰=-=从以上证明看到，在用换元法计算定积分时，一旦得到了用新变量表示的原函数后，不必作变量还原，而只要用新的积分限代人并求其差值就可以了．这就是定积分换元积分法与不定积分换元积分法的区别，这一区别的原因在于不定积分所求的是被积函数的原函数，理应保留与原来相同的自变量；而定积分的计算结果是一个确定的数，如果(9)式一边的定积分计算出来了，那么另一边的定积分自然也求得了.注 如果在定理9．12的条件中只假定f 为可积函数，但还要求ϕ是单调的，那么（9）式仍然成立.（本节习题第14题）例 计算.112dx x ⎰-解 令t x sin =，当t 由0变到2π时，x 由0增到1，故取[].2,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=πβα应用公式(9)，并注意到在第一象限中0cos ≥t ，则有tdt tdt t dx x ⎰⎰⎰=-=-20220212cos cos sin 11ππ()2202sin 21212cos 121ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰t t dt t.4π=例2 计算⎰22.cos sin πtdt t解 逆向使用公式(9)，令,sin ,cos tdt dx t x -==当t 由0变到2π时，x 由1减到0，则有.31cos sin 102200122⎰⎰⎰==-=dx x dx x tdt t π例3计算().11ln 102dx x x J ⎰++=解 令t x tan =，当t 从0变到4π时，x 从0增到1.于是由公式（9）及21x dx dt +=得到()dt ttt dt t J ⎰⎰+=+=404cos sin cos lntan 1ln ππdt tt ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40cos 4cos 2lnππ.cos ln 4cos ln 2ln 404040dt t dt t dt ⎰⎰⎰-⎪⎭⎫⎝⎛-+=ππππ对最末第二个定积分作变换t u -=4π，有dt t ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-404cos ln ππ()⎰⎰=-=4004,cos ln cos ln ππudu du u它与上面第三个定积分相消．故得.2ln 82ln 40ππ==⎰dt J事实上，例3中的被积函数的原函数虽然存在，但难以用初等函数来表示，因此无法直接使用牛顿一莱布尼茨公式．可是像上面那样，利用定积分的性质和换元公式(9)，消去了其中无法求出原函数的部分，最终得出这个定积分的值．换元积分法还可用来证明一些特殊的积分性质，如本节习题中的第5，6，7等题． 定理9.13 (定积分分部积分法)若()()x v x u ,为[]b a ,上的连续可微函数，则有定积分分部积分公式：()()()()()().dx x v x u x v x u dx x v x u baba ba⎰⎰'-=' （10）证 因为uv 是v u v u '+'在[]b a ,上的一个原函数，所以有()()dx x v x u ba'⎰+()()dx x v x u b a⎰'()()()()[]dx x v x u x v x u ba⎰'+'==()()ba x v x u .移项后即为(10)式．为方便起见，公式(10)允许写成()()=⎰x dv x u b a=()()bax v x u ()().x du x v ba⎰- （01'）例4 计算.ln 12xdx x e⎰解()⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰dx x x x x xd xdx x e e e e12131312ln 31ln 31ln ().129131313133+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e x e e例5 计算dx x n ⎰2sin π和.,2,1,cos 20Λ=⎰n xdx n π解 当2≥n 时，用分部积分求得()⎰⎰---+-==202220120cos sin 1cos sinsin πππxdx x n xx xdx J n n n n()()xdx n xdx n n n ⎰⎰---=-20202sin 1sin1ππ()().112n n J n J n ---=-移项整理后得到递推公式：.2,12≥-=-n J nn J n n 由于,1sin ,2201200=⎰==⎰=xdx J dx J πππ重复应用递推式(11)便得()()()()⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=⋅--⋅+=⋅-=⋅--⋅-=+.!!12!!21321222122,2!!2!!122212232212122m m m m m m J m m m m m m J m m ΛΛππ ()12 令t x -=2π，可得.sin 2cos cos 200220xdx dt t xdx n nnππππ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰-=⎰因而这两个定积分是等值的．由例5结论(12)可导出著名的沃利斯(Wallis)公式：()().121!!12!!2lim 22+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∞→m m m m π()13 事实上，由,sin 2cos sin 1220021220xdx dt t xdx m n n -+⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰<⎰ππππ 把(12)代人，得到()()()()()(),!!12!!222!!2!!12!!12!!2--<⋅-<-m m m m m m π由此又得()()()().21!!12!!22121!!12!!222m m B m m m m m m A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-<<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π 因为()()()(),02211221!!12!!22∞→→⋅<+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-<m m m m m m A B o m m π所以().0lim =-∞→m m m A B 而,2m m m A B A -<-π故得2lim π=∞→m m A （即()13式）.三 泰勒公式的积分型余项若在[]b a ,上()x u 、()x v 有1+n 阶连续导函数，则有()()()()()()()()()Λ+'-=⎰-+x v x u x v x u dx x vx u n n n b a 11[ ()()()()()()()()dx x v x u x v x u n ban b a n n111]1++⎰-+-+().,2,1Λ=n ()14 这是推广的分部积分公式，读者不难用数学归纳法加以证明．下面应用公式()14 导出泰勒公式的积分型余项.设函数f 在点0x 的某邻域()0x U 内有1+n 阶连续导函数．令∈x ()0x U ，()()nt x t u -=，()()t f t v =，[]x x t ,0∈（或[]0,,x x ）．利用(14)式得()()()()()()()()()Λ+-+-=-⎰--+t f t x n t f t x dt t ft x n n n nn nx x 111[0()()dt t f t f n xx xx ⋅⎰++0]!00()()()()Λ+-'+-=000[!!x x x f x f n x f n()()()]!00n n x x n x f -+()x R n n !=，其中()x R n 即为泰勒公式的n 阶余项．由此求得()()()()dt t x t f n x R n n x x n -⎰=+10!1， ()15这就是泰勒公式的积分型余项． 由于()()t fn 1+连续，()n t x -在[][]()00,,x x x x 或上保持同号，因此由推广的积分第一中值定理，可将()15式写作()()()()dt t x f n x R nx x n n -⎰=+01!1ξ ()()()()101!11++-+=n n x x f n ξ，其中()10,00≤≤-+=θθξx x x ．这就是以前所熟悉的拉格朗日型余项． 如果直接用积分第一中值定理于(15)，则得()()()()()01!1x x x fn x R n n n --=+ξξ， ()10,00≤≤-+=θθξx x x . 由于()()()[]()0000x x x x x x x x x n n ----=--θξ()()101+--=n nx x θ因此又可进一步把()x R n 改写为()x R n ()()()()(),1!110001++---+=n n n x x x x x fn θθ .10≤≤θ （16）特别当00=x 时，又有 ()x R n ()()().10,1!111≤≤-=++θθθn n n x x fn （17） 公式（16）、（17）称为泰勒公式的柯西型余项.各种形式的泰勒公式余项，将在第十四章里显示它们的功用.作业:2,3,4(1),(6)(9)。
