第5讲 概率与概率分布

数的概率分布概率分布是概率论中重要的概念之一，用于描述一个随机变量取值的可能性。

在数学和统计学领域里，数的概率分布研究了在特定情况下数值出现的概率。

本文将介绍数的概率分布的基本含义、常见的概率分布类型以及其在实际应用中的重要性。

一、概率分布的基本定义概率分布是随机变量的可能取值及其对应概率的描述。

随机变量可以是离散型变量或连续型变量。

离散型变量的取值有限且可数，如掷骰子的点数；连续型变量的取值为无限个且不可数，如人的身高。

概率分布描述了随机变量每个取值的概率。

二、常见的概率分布类型1. 离散型概率分布离散型概率分布用于描述随机变量为离散型的情况。

以下是几种常见的离散型概率分布：（1）伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型分布，常用于描述试验只有两个可能结果的情况，如硬币的正反面。

（2）二项分布二项分布是描述n次成功失败试验的离散型分布，例如n次掷硬币中正面朝上的次数。

（3）泊松分布泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、交通事故发生次数等。

2. 连续型概率分布连续型概率分布用于描述随机变量为连续型的情况。

以下是几种常见的连续型概率分布：（1）均匀分布均匀分布描述了在一个区间内随机取值时，每个取值的概率相等，如抛硬币的落点在一个平面上的坐标。

（2）正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也称为高斯分布。

它以钟形曲线为特征，广泛应用于自然和社会科学领域，如身高、体重等。

（3）指数分布指数分布用于描述事件发生的时间间隔或等待时间，如设备故障发生的时间间隔、用户等待的响应时间等。

三、概率分布在实际应用中的重要性概率分布在实际应用中具有重要的作用，主要体现在以下几个方面：1. 预测和决策通过分析和建模某个事件或现象的概率分布，可以对未来可能的结果进行预测。

例如，在金融领域中，通过对股票收益率的概率分析，可以帮助投资者做出决策。

2. 风险评估概率分布可以用于评估风险。

在保险行业中，通过对保险索赔次数或大小的概率分析，可以估算保险公司的风险，并确定合理的保费。

分布概率论
在概率论中，分布是一个用于描述随机变量取值的概率分布情况的概念。

它提供了关于随机变量在不同取值下的概率信息。

随机变量可以是离散的，也可以是连续的。

对于离散随机变量，分布可以用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来表示，它给出了随机变量取每个可能值的概率。

例如，掷一枚骰子的随机变量可以用 PMF 表示，每个点数出现的概率为 1/6。

对于连续随机变量，分布通常使用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来描述。

PDF 定义了随机变量在某个区间内的概率密度，即在该区间内取值的概率。

例如，正态分布是一种常见的连续分布，用于描述许多自然现象和统计数据。

除了 PMF 和 PDF，还有其他类型的分布，如累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF），它表示随机变量小于或等于某个值的概率。

这些分布函数共同提供了关于随机变量的完整概率描述。

在概率论中，了解分布是非常重要的，因为它允许我们进行概率计算、推断和建模。

通过分析分布，我们可以回答关于随机变量的各种问题，例如计算特定取值的概率、确定均值和方差等统计量，以及进行假设检验和预测。

常见的分布包括均匀分布、正态分布、指数分布、二项分布、泊松分布等。

每种分布都有其特定的形状和特征，适用于不同类型的随机现象。

总而言之，分布在概率论中起着关键作用，它提供了对随机变量概率特征的描述，使我们能够对不确定性进行建模和分析。

5概率与一、数原理1.分加法数原理和分步乘法数原理的区是什么?分加法数原理“分” ,此中各样方法互相独立 ,用此中任何一种方法都能够做完件事 ;分步乘法数原理“分步” ,各个步互相依存 ,只有各个步都达成了才算达成件事 .2.摆列数、合数的公式及性是什么?(1)=n(n-1)(n-2) ⋯(n-m+1)=公(2)= =式=(n,m∈N+ ,且 m≤n)特地 , =1性(1)0!= 1; =n!(2) =;=+3.二式系数的性是什么?性性描绘称与首末两头“等距离”的两个二式系数相等 ,即 =性增减二式系当 k<(n∈N+ ) ,二式系数是增的性数(n∈N+ ) ,二式系数是减的当 k>二式当 n 偶数 ,中的一获得最大系数的最大当 n 奇数 ,中的两与获得最大而且相等4.各二式系数的和是什么?(1)(a+b )n睁开式的各二式系数的和+ + + ⋯+= 2n.(2)偶数的二式系数的和等于奇数的二式系数的和,即+ + + ⋯= + ++ ⋯= 2n- 1.二、概率1.互斥事件与立事件有什么区与系?互斥与立都是两个事件的关系,互斥事件是不行能同生的两个事件,而立事件除要求两个事件不一样生外 ,要求两者之一必有一个生 .所以 ,立事件是互斥事件的特别状况 ,而互斥事件不必定是立事件 .2.基本领件的三个特色是什么?(1)每一个基本领件生的可能性都是相等的;(2)任何两个基本领件都是互斥的;(3)任何事件 (除不行能事件 )都能够表示成基本领件的和.3.古典概型、几何概型的概率公式分是什么?古典概型的概率公式 :P(A)=.几何概型的概率公式 :P(A)=.三、统计初步与统计事例1.分层抽样的合用范围是什么?当整体是由差别明显的几个部分构成时,常常采纳分层抽样的方法.2.怎样作频次分布直方图?(1)求极差 (即一组数据中最大值与最小值的差).(2)决定组距与组数 .(3)将数据分组 .(4)列频次分布表 .(5)画频次分布直方图 .3.频次分布直方图的特色是什么?(1)频次分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距,纵坐标表示,频率=组距×.(2)在频次分布直方图中 ,各小长方形的面积总和等于 1.由于在频次分布直方图中组距是一个固定值 ,所以各小长方形高的比也就是频次比 .(3)频次分布表和频次分布直方图是一组数据频次分布的两种形式,前者正确 ,后者直观 .4.怎样进行回归剖析 ?(1)定义 :对拥有有关关系的两个变量进行统计剖析的一种常用方法.(2)本点的中心于一拥有性有关关系的数据 (x1,y1),(x2,y2), ⋯ ,(x n,y n),此中 ( , )称本点的中心 .(3)有关系数当r> 0 ,表示两个量正有关; 当r< 0 ,表示两个量有关 .r 的越靠近于 1,表示两个量的性有关性越 .r 的越靠近于 0,表示两个量之的性有关性越弱 .往常当 |r|大于 0.75 ,两个量有很的性有关性.5.独立性的一般步是什么?解决独立性的用,必定要依照独立性的步得出.独立性的一般步 :(1)依据本数据制成2×2 列表 ;(2)依据公式 K2=算K2的k;(3)比 k 与界的大小关系 ,做出推测 .四、随机量及其用1.失散型随机量的分布列及性是什么?(1)失散型随机量的分布列:若失散型随机量X 全部可能的取x1,x2, ⋯,x i⋯,x n,X 取每一个 x i(i= 1,2, ⋯,n)的概率 p1,p2, ⋯,p n,表X x1x2⋯x i⋯x nP p1p2⋯p i⋯p n称失散型随机量X 的概率分布列或称失散型随机量X 的分布列.(2)失散型随机量的分布列的性:①0≤p≤1(i= 1,2,3,⋯,i n);②p1+p2+ ⋯+p n= 1;③P(x i≤X≤x j)=p i+p i+ 1+ ⋯+p j .2.事件的互相独立性的观点及公式是什么?(1)互相独立的定 :事件 A 能否生事件 B 能否生的概率没有影响,即 P(B|A)=P (B). ,称事件 A 与事件 B 互相独立 ,并把两个事件叫作互相独立事件 .(2)概率公式条件事件 A,B 互相独立事件 A⋯,1,A2, A n互相独立公式P(A∩B)=P (A) ·P(B) P(A1∩A2∩⋯∩A n) =P (A1) ·P(A2) ·⋯·P(A n)3.独立重复与二分布的观点和公式是什么?(1)独立重复①定 :在同样条件下 ,重复地做n 次 ,各次互相独立 ,那么一般就称它 n 次独立重复 .②概率公式 :在一次中事件 A 生的概率p, n 次独立重复中,事件 A 恰巧生 k 次的概率 P k n-k⋯,n(k)=p (1-p)(k=0,1,2,n).(2)二分布 :在 n 次独立重复中 ,事件 A 生的次数 X,事件 A 不生的概率 q= 1-p, n 次独立重复中事件 A 恰巧生 k 次的概率是P(X=k)= p k q n-k,此中 k=0,1,2,⋯,n于是 X 的分布列 :X 0 1 ⋯k ⋯np0pq p k q n p n qP⋯⋯q n n-1-k0此称失散型随机量X 听从参数 n,p 的二分布 ,作 X~B(n,p).4.正分布的观点及性是什么?(1)正曲 :正量的概率密度函数的象叫作正曲,其函数表达式 f(x)=·,x∈R,此中μ,σ 参数 ,且σ>0,-∞<μ<+∞.(2)正曲的性①曲位于 x 上方 ,与 x 不订交 ,与 x 之的面1;②曲是峰的 ,它对于直 x=μ 称 ;③曲在 x=μ 达到峰;④当μ必定 ,曲的形状由σ确立 ,σ越小 ,曲越“瘦高”,表示体的分布越集中 ;σ越大 ,曲越“矮胖”,表示体的分布越分别 .(3)正体在三个特别区内取的概率①P(μ-σ<X≤μ+σ)= 0.6826;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)= 0.9544;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)= 0.9974.5.失散型随机量的数学希望(或均 )与方差的观点是什么 ?一个失散型随机量X 全部可能取的是x1,x2, ⋯,x n些的概率分是 p1,p2, ⋯,p n.(1)数学希望 :称 E(X)=x 1p1+x2p2+ ⋯+x n p n失散型随机量 X 的均或数学希望 (称希望 ),它刻画了个失散型随机量取的均匀水平 .(2)方差 :称 D(X)= (x1-E(X))2p1+ (x2-E(X))2p2+ ⋯+ (x n-E(X))2p n失散型随机量 X 的方差 ,它反应了失散型随机量取相于希望的均匀波大小(或失散程度 ),D(X)的算平方根叫作失散型随机量X 的准差 .6.均与方差的性有哪些?(1)E(aX+b)=aE (X)+b(a,b 常数 ).(2)D(aX+b )=a2D(X)(a,b 常数 ).(3)两点分布与二分布的均、方差的公式①若 X 听从两点分布 ,E(X)=p ,D(X)=p (1-p).②若 X~B(n,p), E(X)=np,D(X)=np(1-p).几何概型、古典概型、互相独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的点 ,几何概型主要以客形式考,求解的关在于找准度(度或面 );互相独立事件、互斥事件常作解答的一部分考,也是一步求分布列、希望与方差的基础,求解该类问题要正确理解题意,正确判断概率模型,恰当选择概率公式 .近几年的高考数学试题对统计事例的考察一般不独自命题 ,而是与概率、随机变量的数学希望交汇命题 ,高考对此类题目的要求是能依据给出的或经过统计图表给出的有关数据求线性回归方程,认识独立性查验的思想方法 ,会判断两个分类变量能否有关.从近几年高考情况来看,该类专题在高考取占的比率大概为15%,以简单题、中档题为主,考察题型分选择题、填空题和解答题 .一、选择题、填空题的命题特色(一)考察摆列、组合的应用 ,以考察两个计数原理和摆列、组合的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.1.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T15 改编 )从 2 名女生 ,4 名男生中选 3 人参加科技竞赛 ,恰有 1 名女生当选 ,则不一样的选法共有种.(用数字填写答案)分析 ?由题意可得有1名女生,2名男生,则有 C = 12 种不一样的选法 .答案?122.(2018 ·浙江卷·T16 改编 )从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字 ,从 2,4,6 中任取 2 个数字,一共能够构成个没有重复数字的四位数.(用数字作答 )分析 ?一共能够构成 A = 720 个没有重复数字的四位数.答案 ?7203.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T6 改编 )安排 5 名志愿者达成 4 项工作 ,每项工作只需由1 人达成 ,则不一样的安排方式共有 ().A.120 种B.180 种C.240 种D.360 种分析 ?由题意可得 ,5 人中选出 4 人达成工作 ,剩下 1 人没有工作 ,故不同的安排方式有 A = 120(种).答案 ?A(二)考察二项式定理的应用,以考察运用二项式定理求特定项、求项数和二项式定理性质的应用为主,难度中等 ,常常以选择题、填空题的形式出现.4.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T5 改编 )的睁开式中x的系数为().A.10B.20C.40D.80分析 ?由题可得 Tr+ 1C25-rC·r ·10-3r, (x ) 2 x令 10-3r= 1,得 r= 3.所以·2r=·32 =80.答案 ?D5.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T6 改编 )(1+x )6的睁开式中 x4的系数为 ().A.15B.16C.30D.35分析 ?由于 (1+x)6睁开式的通项为 T r 所以(1+x)6的展r+ 1C x ,开式中含 x4的项为 1C x4和C x6.由于+= 16,所以(1+x)6的睁开式中x4的系数为16.答案 ?B(三)考察随机事件的概率 ,以考察随机事件、互斥事件与对峙事件的概率为主 ,难度中等 ,常与事件的频次交汇考察.本节内容在高考取三种题型都有可能出现 ,随机事件的频次与概率题目常常以解答题的形式出现,互斥事件、对峙事件的观点及概率题目常常以选择、填空题的形式出现.6.(2018 ·全国Ⅲ卷·文 T5 改编 )若某集体中的成员只用现金支付的概率为0.25,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为().分析 ? 设事件 A 为“不用现金支付”,事件 B 为“既用现金支付也用非现金支付”,事件 C 为“只用现金支付”,则 P(A)= 1-P(B)-P(C)= 1-0.15-0.25= 0.6,故选 C.答案?C(四)考察古典概型 ,全国卷对古典概型每年都会考察 ,难度中等 ,主要考察实质背景的可能事件 ,往常与互斥事件、对峙事件一同考察 .在高考取独自命题时 ,往常以选择题、填空题形式出现 ,属于中低档题 .7.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T8 改编 )我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中获得了世界当先的成就 .哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数能够表示为两个素数的和”,如30= 7+ 23.在不超出 30 的素数中 ,随机选用 2 个不一样的数 ,其和等于26 的概率是 ().A. B. C. D.分析 ?不超出30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选用 2 个不一样的数 ,共有 C= 45 种取法 .由于 3+ 23= 7+ 19= 26,所以随机选用2 个不一样的数 ,其和等于 26 的有 2 种取法 ,故所求概率为.答案?D8.(2018 ·江苏卷·T6 改编 )某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 ,现从中任选 2 名学生去参加活动 ,则恰巧选中 1 名男生和 1 名女生的概率为.分析 ?从5名学生中任选2 名学生 ,共有 C = 10 种选法 ,此中恰巧选中1 名男生和 1 名女生的选法有 C C= 6 种,所以所求概率为= .答案 ?(五)考察几何概型 ,难度较大 ,以理解几何概型的观点、概率公式为主,会求一些简单的几何概型的概率 ,常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考察 ,在高考取多以选择题、填空题的形式考察 ,难度中等 .9.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T10 改编 )折纸艺术是我国古代留下来可贵的民间艺术,拥有很高的审美价值和应用价值.以下图的是一个折纸图案,由一个正方形内切一个圆形 ,而后在四个极点处罚别嵌入半径为正方形边长一半的扇形 .向图中随机投入一个质点 ,则质点落在暗影部分的概率 P1与质点落在正方形内圆形地区外面的概率P2的大小关系是 ().A.P1>P 2B.P1<P 2C.P1=P 2D.不可以确立分析 ?将正方形内圆形地区外面的四个角进行沿直角边重合组合,恰好获得的图形就是暗影部分图形,所以暗影部分地区的面积等于正方形内圆形地区外面的面积 ,故 P1=P 2.答案?C10.(2016 ·全国Ⅱ卷·文 T8 改编 )某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现 ,红灯连续时间为40 秒.若一名行人到达该路口碰到红灯,则起码需要等待 10 秒才出现绿灯的概率为().A. B. C. D.分析 ?起码需要等候10秒才出现绿灯的概率为= ,应选 A .答案?A(六)考察随机抽样 ,在抽样方法的考察中,系统抽样、分层抽样是考察的要点 ,题型主要以选择题和填空题为主,属于中低档题 .11.(2017 ·江苏卷·T3 改编 )某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不一样型号的产品,产量分别为 200、400、300、100 件,为查验产品的质量 ,现用分层抽样的方法从以上全部的产品中抽取60 件进行查验 ,则应从甲种型号的产品中抽取件.分析 ?∵==,∴应从甲种型号的产品中抽取×200= 12(件 ).答案?12(七)用样本预计整体 ,主要考察均匀数、方差等的计算以及茎叶图、频次分布直方图的简单应用 .题型以选择题和填空题为主 ,出现解答题时常常与概率相联合 ,属于中档题 .12.(2018 ·全国Ⅰ卷·理 T3 改编 )某地域经过一年的新乡村建设,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为更好地认识该地域乡村的经济收入变化状况,统计了该地域新乡村建设前后乡村的经济收入构成比率,获得以下饼图 :则以下选项中不正确的选项是().A.新乡村建设后 ,栽种收入增添B.新乡村建设后 ,其余收入增添了一倍以上C.新乡村建设后 ,养殖收入没有增添D.新乡村建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和超出了经济收入的一半分析 ? 由题干可知 ,乡村的经济收入增添了一倍 ,实现翻番 .为方即可设建设前后的经济收入分别为 100,200(单位省去 ).A 中,栽种收入前后分别为60,74,收入增添了 ,A 正确 ;B 中,其余收入前后分别为 4,10,增添了一倍以上 ,B 正确 ;C 中,养殖收入前后分别为 30,60,收入增添了一倍 ,C 错误 ;D 中,建设后 ,养殖收入与第三家产收入的总和为(30+ 28)×2= 116> 100,D 正确 .应选 C.答案?C13.(2017 ·全国Ⅲ卷·理 T3)某城市为认识旅客人数的变化规律 ,提升旅行服务质量 ,采集并整理了 2014 年 1 月至 2016 年 12 月时期月招待旅客量 (单位 :万人)的数据 ,绘制了下边的折线图 .依据该折线图 ,以下结论错误的选项是 ().A.月招待旅客量逐月增添B.年招待旅客量逐年增添C.各年的月招待旅客量顶峰期大概在7,8 月D.各年 1 月至 6 月的月招待旅客量相对于7 月至 12 月,颠簸性更小 ,变化比较安稳分析 ? 对于选项 A, 由图易知 ,月招待旅客量每年 7,8 月份明显高于 12 月份 ,故 A 错误 ;对于选项 B,察看折线图的变化趋向可知 ,年招待旅客量逐年增添 ,故 B 正确 ;对于选项 C,D,由图可知明显正确 .答案?A(八)考察失散型随机变量分布列、超几何分布、条件概率、正态分布、数学希望与方差 ,求失散型随机变量的数学希望是全国卷高考要点考察的内容,在选择题、填空题中有时会出现.主要考察失散型随机变量的分布列、数学希望、正态分布等 .14.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T8 改编 )某集体中的每位成员使用挪动支付的概率都为 p,各成员的支付方式互相独立,设 X 为该集体的 10 位成员中使用挪动支付的人数 ,D(X)= 2.1,P(X= 4)<P (X= 6),则 p= ().分析 ? 由于 X~B(n,p),所以 D(X)=np(1-p)= 2.1,所以 p= 0.3 或 p=0.7.由于 P(X= 4)=p4(1-p)6<P (X= 6)=p6(1-p)4,所以 (1-p)2 2可得p> 0.5.故p=0.7.<p ,答案?A15.(2017 ·全国Ⅱ卷·理 T13 改编 )一批产品的二等品率为 0.08,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的二等品件数,则D(X)=.分析 ?有放回地抽取,是一个二项分布模型, 此中p=0.08,n=100,则D(X)=np(1-p)= 100×0.08×0.92= 7.36.答案 ?7.36二、解答题的命题特色概率与统计综合试题的题干阅读量大,简单造成考生在数学模型转变过程中失误,得分率不高 .这些试题主要考察古典概型,用样本预计整体,利用回归方程进行展望 ,独立性查验的应用 ,失散型随机变量的分布列和数学希望 ,正分布等 .概率、随机量的数学希望交命,高考此目的要求是能依据出的或通表出的有关数据求性回方程.1.(2018 ·全国Ⅱ卷·理 T18)下是某地域 2000 年至 2016 年境基施投y(位 :元)的折.了地域 2018 年的境基施投 ,成立了 y 与量 t 的两个性回模型 .依据2000 年至 2016 年的数据 (量 t 的挨次1,2, ⋯ ,17)成立模型①: =- 30.4+ 13.5t;依据 2010年至 2016 年的数据 (量t 的挨次 1,2, ⋯,7)成立模型②: = 99+ 17.5t.(1)分利用两个模型 ,求地域 2018 年的境基施投的.(2)你用哪个模型获得的更靠谱?并明原因 .分析 ? (1)利用模型①,从 2000 年开始算起 ,2018 年即 t= 19,所以地域2018 年的境基施投的=- 30.4+ 13.5×19= 226.1(元).利用模型②,从 2010 年开始算起 ,2018 年即 t= 9,所以地域 2018 年的境基施投的= 99+ 17.5×9= 256.5(元).(2)利用模型②获得的更靠谱 .原因以下 :(i) 从折能够看出 ,2000年至 2016 年的数据的点没有随机分布在直线 y=- 30.4+ 13.5t 上下 ,这说明利用 2000 年至 2016 年的数据成立的线性模型①不可以很好地描绘环境基础设备投资额的变化趋向.2010 年相对 2009 年的环境基础设备投资额有明显增添,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的邻近 ,这说明从 2010 年开始环境基础设备投资额的变化规律呈线性增添趋向,利用2010年至2016年的数据成立的线性模型= 99+ 17.5t能够,所以利用模型②较好地描绘2010年此后的环境基础设备投资额的变化趋向获得的展望值更靠谱.(ii)从计算结果看 ,相对于 2016 年的环境基础设备投资额 220 亿元 ,由模型①获得的展望值 226.1 亿元的增幅明显偏低 ,而利用模型②获得的展望值的增幅比较合理 ,说明利用模型②获得的展望值更靠谱 .2.(2018 ·全国Ⅰ卷,理 T20)某工厂的某种产品成箱包装 ,每箱 200 件,每一箱产品在交托用户以前要对产品作查验,如查验出不合格品,则改换为合格品 .查验时 ,先从这箱产品中任取 20 件作查验 ,再依据查验结果断定能否对余下的全部产品作查验 .设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p< 1),且各件产品能否为不合格品互相独立.(1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p),求 f(p)的最大值点 p0.(2)现对一箱产品查验了20 件,结果恰有 2 件不合格品 ,以(1)中确立的 p0作为p 的值 .已知每件产品的查验花费为 2 元,如有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25 元的补偿花费 .(i)若不对该箱余下的产品作查验 ,这一箱产品的查验花费与补偿花费的和记为 X,求 E(X).(ii)以查验花费与补偿花费和的希望值为决议依照 ,能否该对这箱余下的全部产品作查验 ?分析 ? (1)由题意可知 ,独立重复试验切合二项分布 ,20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为f(p)C p2(1-p)18= 190p2(1-p)18,对上式求导得 f'(p)= [190p2(1-p)18]'=190[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=190p(1-p)17[2(1-p)-18p]=380p(1-p)17(1-10p).当 f'(p)= 0 时,有 p(1-p)17由适当∈时(1-10p)= 0,0<p< 1,p,f'(p)> 0,f(p)单一递加 ;当 p∈时,f'(p)< 0,f(p)单一递减.故 f(p)max=f (p0)=f,即 p0= .(2)(i) 由题意 ,节余未作查验的产品有180件,此中 Y表示不合格品的件数 ,其听从二项分布Y~B.故 E(Y)= 180× = 18.又 X= 40+ 25Y,故 E(X)=E (40+ 25Y)= 40+ 25×18= 490(元).(ii)若对这箱余下的全部产品作查验 ,则需要的查验费为 200×2= 400(元).由于 E(X)= 490> 400,所以需要对这箱余下的全部产品作查验.3.(2018 ·全国Ⅲ卷·理 T18)某工厂为提升生产效率 ,睁开技术创新活动 ,提出了达成某项生产任务的两种新的生产方式 .为比较两种生产方式的效率,选用40 名工人 ,将他们随机分红两组 ,每组 20 人,第一组工人用第一种生产方式 , 第二组工人用第二种生产方式 .依据工人达成生产任务的工作时间 (单位 :min) 绘制了以下茎叶图 :(1)依据茎叶图判断哪一种生产方式的效率更高?并说明原因 .(2)求 40 名工人达成生产任务所需时间的中位数 m,并将达成生产任务所需时间超出 m 和不超出 m 的工人数填入下边的列联表 :不超出超出 mm第一种生产方式第二种生产方式(3)依据 (2)中的列联表 ,可否有 99%的掌握以为两种生产方式的效率有差别?附:K2=,P(K2≥k0)0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828分析 ? (1)第二种生产方式的效率更高.原因以下 :(i)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间起码 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人中 ,有 75%的工人达成生产任务所需时间至多 79 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(ii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 85.5 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间的中位数为 73.5 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(iii)由茎叶图可知,用第一种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间高于 80 分钟 ,用第二种生产方式的工人达成生产任务均匀所需时间低于80 分钟 ,所以第二种生产方式的效率更高.(iv)由茎叶图可知 ,用第一种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 8 上的最多 ,对于茎 8 大概呈对称分布 ;用第二种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布在茎 7 上的最多 ,对于茎 7 大概呈对称分布 .又用两种生产方式的工人达成生产任务所需时间分布的区间同样 ,故能够以为用第二种生产方式达成生产任务所需的时间比用第一种生产方式达成生产任务所需的时间更少 ,所以第二种生产方式的效率更高 .(2)由茎叶图知 m== 80.列联表以下 :超出 m不超出第一种生产方m 155式第二种生产方515式(3)因 K2的 k== 10> 6.635,所以有 99%的掌握两种生方式的效率有差别.4.(2017 ·全国Ⅰ卷·理 T19)了控某种部件的一条生的生程,每日从生上随机抽取16 个部件 ,并量其尺寸 (位 :cm).依据期生 ,能够条生正常状下生的部件的尺寸听从正分布2N(μ,σ).(1) 假生状正常,X 表示一天内抽取的16 个部件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件数,求P(X≥1)及X 的数学希望.(2)一天内抽部件中 ,假如出了尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的部件 ,就条生在一天的生程可能出了异样状况 ,需当日的生程行 .(i)明上述控生程方法的合理性 .(ii)下边是在一天内抽取的 16 个部件的尺寸 :9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95算得 =xi= 9.97,s==≈0 .212,此中 x i抽取的第 i 个部件的尺寸 ,i= 1,2,⋯,16.用本均匀数作μ的估 ,用本准差 s 作σ的估 ,利用估判断能否需当日的生程行?剔除 ( -3, + 3 )以外的数据 ,用剩下的数据估μ和σ(精准到 0.01).2附:若随机量Z服从正分布N(μ,σ),P(μ-3σ<Z<μ+3σ)= 0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.分析 ? (1)由题可知抽取的一个部件的尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)以内的概率为 0.9974,进而部件的尺寸落在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率为0.0026,故 X~B(16,0.0026).所以 P(X≥1)= 1-P(X= 0)= 1-0.997416≈1-0.9592=0.0408, X 的数学希望 E(X)= 16×0.0026= 0.0416.(2)(i) 假如生产状态正常 ,一个部件尺寸在 (μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.0026,一天内抽取的16 个部件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外的部件的概率只有0.0408,发生的概率很小,所以一旦发生这种状况,就有原因以为这条生产线在这天的生产过程可能出现了异样状况,需对当日的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的 .(ii) 由 = 9.97,s≈0.212,得μ的预计值为 = 9.97,σ的预计值为 = 0.212,由样本数据能够看出有一个部件的尺寸在 ( -3 , + 3 )以外 ,所以需对当日的生产过程进行检查 .剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的均匀数为×(16×9.97-9.22)= 10.02,所以μ的预计值为 10.02.= 16×0.2122+ 16×9.972≈ 1591.134,剔除( -3 , +3 )以外的数据9.22,剩下数据的样本方差为×2-15×10.022) ≈0.008,所以σ的预计值为≈0.09.1.样本数据(1)众数、中位数及均匀数都是描绘一组数据集中趋向的量 ,均匀数是最重要的量 ,与每个样本数占有关 ,这是中位数、众数所不拥有的性质 .(2)标准差、方差描绘了一组数据环绕均匀数颠簸的大小.标准差、方差越大 ,数据的失散程度就越大.(3)茎叶图、频次分布表和频次分布直方图都是用图表直观描绘样本数据的分布规律的 .2.频次分布直方图(1)用样本预计整体是统计的基本思想,而利用频次分布表和频次分布直方图来预计整体则是用样本的频次分布去预计整体分布的两种主要方法 .频次分布表在数目表示上比较正确 ,频次分布直方图比较直观 .(2)频次分布表中的频数之和等于样本容量,各组中的频次之和等于1;在频次分布直方图中,各小长方形的面积表示相应各组的频次,所以全部小长方形的面积的和等于 1;均匀数是频次分布直方图各个小矩形的面积×底边中点的横坐标之和 .3.摆列与组合(1)①解决“在”与“不在”的有限制条件的摆列问题 ,既能够从元素下手 ,也能够从地点下手 ,原则是谁“特别”谁优先 .不论是从元素考虑仍是从地点考虑 , 都要贯彻究竟 ,不可以既考虑元素又考虑地点 .②解决相邻问题的方法是“捆绑法”,即把相邻元素看作一个整体和其余元素一同摆列,同时要注意捆绑元素的内部摆列 .③解决不相邻问题的方法是“插空法”,即先考虑不受限制的元素的摆列,再将不相邻的元素插在前方元素摆列的空中间.④对于定序问题,可先不考虑次序限制,摆列后 ,再除以定序元素的全摆列.⑤若某些问题从正面考虑比较复杂 ,可从其反面下手 ,即采纳“间接法”.(2)组合问题的限制条件主要表此刻拿出元素中“含”或“不含”某些元素,或许“起码”或“最多”含有几个元素 :①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素拿出 ,再由此外元素补足 ; “不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选用 .②“起码”或“最多”含有几个元素的题型 .考虑逆向思想 ,用间接法办理 .(3)分组分派问题是摆列、组合问题的综合运用,解决这种问题的一个基本指导思想就是先分组后分派 .对于分组问题,有整体均分、部分均分和不平分三种 ,不论分红几组 ,都应注意只需有一些组中元素的个数相等 ,就存在均分现象 .4.随机变量的均值与方差一般计算步骤 :(1)理解 X 的意义 ,写出 X 的全部可能取的值 .(2)求 X 取各个值的概率 ,写出分布列 .(3)依据分布列,由均值的定义求出均值 E(X),进一步由公式D(X)=(x i -E(X))2p i=E(X2)-(E(X))2求出 D(X).(4)以特别分布 (两点分布、二项分布、超几何分布 )为背景的均值与方差。

经济数学基础 10章 随机变量与数字特征第五单元 分布函数与函数的分布一、学习目标通过本节课的学习，认识分布函数的概念，会求简单的分布函数．知道随机变量的函数仍是随机变量，因此知道该函数有分布．二、内容讲解1.分布函数设X 是连续型随机变量，密度函数为f (x )，则事{X ≤x }的概率，即⎰∞≤xtt f x X P -d )(=)(=∆F x ()称为随机变量X 的分布函数．有F '(x )=f (x )（在f (x )的连续点）几何上看：事件{X ≤x }的概率，等于由－∞至x ，密度f (x )与x 轴围成的面积． 2.随机变量函数的分布设X 是随机变量，y =g (x )是一个函数，如果当随机变量X 取值x 时，随机变量Y 按y =g (x )取值，则称Y 为随机变量X 的函数，记作Y ＝g (X )如果X 是离散型随机变量，其概率分布为P (X =x k )=p k (k =1,2,…)， 则随机变量Y 的概率分布为P (Y =y k )=P (Y =g (x k ))=p k (k =1,2,…) 问题思考：连续型随机变量X 的分布函数为F (x )=⎰∞-x xx f d )(，其中密度函数f (x )可以大于1，那么F (x )可以大于1吗？经济数学基础10章随机变量与数字特征答案不可以．因为分布函数是事件{X≤x}的概率，概率显然只能是大于或等于0，小于或等1的数值．三、例题讲解例1:求二点分布的分布函数．解:二点分布的概率分布为分布函数F(x)=P(X≤x)＝∑≤=xxkkxXP)(．当x<0时，事件{X=0}不包含在事件{X≤x}内．F(x)=P(X≤x)=0当0≤x<1时，事件{X≤x}={－∞<X≤0⋃X=0⋃0<X≤x}，所以F(x)=P(X≤x)=P(－∞<X<0)+P(X=0)+P(0<X≤x)=0+1－p+0=1－p当x≥1时，有F(x)=P(X≤x)=P(－∞<X<0)+P(X=0)+P(0<X<1)+P(X=1)+P(1<X≤x)=0+1－p+0+p=1于是二点分布的分布函数为F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-<1 1110 0xxpx二点分布的分布函数F(x)图形如下：经济数学基础 10章 随机变量与数字特征可见，二点分布的分布函数是一个右连续的曲线．任何离散型随机变量的分布函数都是右连续的分段函数．例2:求均匀分布的分布函数．解:均匀分布的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<-其他1b x a a b分布函数F (x )=P (X ≤x )．当x <a 时，f (x )=0，F (x )=P (X ≤x )＝0d 0d )(==⎰⎰∞-∞-xx x x x f当a ≤x <b 时，f (x )=a b -1，事件{X ≤x }={－∞<X <a }⋃{a ≤X ≤x }F (x )=P (X ≤x )=P (－∞<X <a )+P (a ≤X ≤x )＝⎰⎰+∞-x aaxx f x x f )d (d )(＝a b ax x a b x xa a--=-+⎰⎰∞-d 1d 0当x ≥b 时，F (x )=P (X ≤x )=P (－∞<X <a )+P (a ≤X <b )+P (b ≤X ≤x )＝⎰⎰⎰+-+∞-xbba axx ab x d 0d 1d 0＝1经济数学基础10章随机变量与数字特征F(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<bxbxaabaxax1，F(x)的图形如下：所有连续型随机变量的分布函数都是一个连续曲线．例3：已知随机变量X的概率分布求Y＝2X＋1的概率分布．分析：按照随机变量函数的定义，已知X的概率分布P(X=x k)=p k．那么Y的取值正是y k=g(x k)，而P(Y=y k)与P(X=x k)是相同的．解：已知随机变量X的概率分布，求随机变量函数Y的概率分布.按所给公式，y=2x+1，于是P(Y=y k)=P(Y=g(x k))＝P(Y=2x k+1)=p k因为当x=0,2,5时，y＝2x+1=1,5,11，于是得到Y的概率分布为(已知函数为y=g(x)=2x+1，故Y的取值就是X的取值的两倍加1，即Y＝1，5，11．概率值与X的取值概率一样.)四、课堂练习经济数学基础 10章 随机变量与数字特征练习1 袋中装有分别写上1，2，3，4，5的球．从中一次任取3球，所取3球中最大数字是一随机变量，求该随机变量的分布函数．求分布函数，首先求出X 的概率分布．为此先确定X 的可能取值，再用分布函数定义求分布函数．一次取3个球，所以球上数字不重复，X 为3球中最大数字，故X 最小是3．X 表示所取3球中最大数字，X 最小取3，还可以取4，5．故X 可能取值为3，4，5．练习2 设X 是连续型随机变量，其密度函数为f (x )=⎩⎨⎧<≤其它,010,2x x求随机变量X 的分布函数．求分布函数就是按分布函数的定义，求事件{X ≤x }的概率，即事件{－∞<X ≤x }的概率．对于连续型随机变量，它的分布函数是密度函数的一个变上限的定积分，所以求分布函数主要是计算定积分的问题．但是不少的密度函数是分段函数，要注意五、课后作业1.设随机变量X 的概率分布为求随机变量X 的分布函数．2.设随机变量X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他022cos 21ππx x求随机变量X 的分布函数． 3.设随机变量X 的分布函数为经济数学基础 10章 随机变量与数字特征F (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-+-<ax a x a a x B A a x 1arcsin求：(1)系数A ，B ；(2)X 取值在(2,2aa -)内的概率；(3)X 的密度函数．4. 已知随机变量X 的概率分布为求：(1)Y =1－X ；(2)Z =(X －1)2的概率分布．4.（1）（2）。

亲爱的，一章一章来，肯定能弄完的，你是最棒的！统计学（第五版）贾俊平课后习题答案（完整版）第一章思考题什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。

解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。

推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。

它也是有类别的，但这些类别是有序的。

（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。

统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。

实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。

统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。

时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。

解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。

变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。

变量也可以分为随机变量和非随机变量。

经验变量和理论变量。

举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。

如何理解概率分布函数和概率密度函数大学的时候，我的《概率论和数理统计》这门课一共挂过3次，而且我记得最后一次考过的时候刚刚及格，只有60分。

你可以想象我的《概率论》这门课学的是有多差了。

后来，我工作以后，在学习数据分析技能时，又重新把《概率论》这本书学了一遍。

原来之前一直没学好这门课的很重要一个原因就是，这门课涉及很多基础的概念，而我当初就是对这些概念非常不理解。

今天我就讲讲应该如何理解概率分布函数和概率密度函数的问题。

是不是乍一看特别像，容易迷糊。

如果你感到迷糊，恭喜你找到我当年的感觉了。

先从离散型随机变量和连续性随机变量说起对于如何分辨离散型随机变量和连续性随机变量，我这里先给大家举几个例子:1、一批电子元件的次品数目。

2、同样是一批电子元件，他们的寿命情况。

在第一个例子中，电子元件的次数是一个在现实中可以区分的值，我们用肉眼就能看出，这一堆元件里，次品的个数。

但是在第二个例子中，这个寿命它是一个你无法用肉眼数的过来的数字，它需要你用笔记下来，变成一个数字你才能感受它。

在这两个例子中，第一例子涉及的随机变量就是离散型随机变量，第二个涉及的变量就是连续型随机变量。

在贾俊平老师的《统计学》教材中，给出了这样的区分:如果随机变量的值可以都可以逐个列举出来，则为离散型随机变量。

如果随机变量X 的取值无法逐个列举则为连续型变量。

我始终觉得，贾老师这么说，对于我们这些脑子笨又爱钻牛角尖的学生来说，还是不太好理解。

所以我就告诉大家一个不一定非常严谨，但是绝对好区分的办法。

只要是能够用我们日常使用的量词可以度量的取值，比如次数，个数，块数等都是离散型随机变量。

只要无法用这些量词度量，且取值可以取到小数点2位，3位甚至无限多位的时候，那么这个变量就是连续型随机变量!对了，如果你连随机变量这个概念还不理解的话，我送你一句贾俊平老师的话:如果微积分是研究变量的数学，那么概率论与数理统计是研究随机变量的数学。

再来理解离散型随机变量的概率分布，概率函数和分布函数在理解概率分布函数和概率密度函数之前，我们先来看看概率分布和概率函数是咋回事。

概率分布和期望是概率论中的两个重要概念，它们在统计学和随机过程中有着广泛的应用。

概率分布描述了随机变量的取值和对应的概率，而期望则是随机变量在不同取值下的平均值。

我们首先来看一下概率分布。

在概率论中，随机变量是一种取值不确定的变量，它可以是离散的或连续的。

离散型随机变量的取值为有限个或可列个，而连续型随机变量的取值为一定范围内的任意实数。

对于离散型随机变量，概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，简称PMF）来描述。

概率质量函数表示随机变量取某个值的概率，其定义为：P(X=x)= Pr(X = x) （其中x为随机变量的取值）概率质量函数的图像是一个离散的曲线图，横轴表示随机变量的取值，纵轴表示对应的概率。

对于连续型随机变量，概率分布可以通过概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）来描述。

概率密度函数表示随机变量在某个取值区间内的取值的概率密度，其定义为：P(a≤X≤b)=∫[a,b]f(x)dx（其中f(x)为概率密度函数）概率密度函数的图像是一个连续的曲线图，横轴表示随机变量的取值，纵轴表示对应的概率密度。

概率分布有很多种，常见的有均匀分布、正态分布、泊松分布等。

不同的概率分布有不同的特征和应用，选择适合的概率分布对于求解实际问题很重要。

接下来我们来介绍一下期望。

期望是随机变量在不同取值下的平均值，它是描述随机变量集中趋势的一个指标。

对于离散型随机变量，期望可以通过求和的方式计算，其定义为：E(X)=∑xf(x)（其中f(x)为概率质量函数）对于连续型随机变量，期望可以通过积分的方式计算，其定义为：E(X)=∫xf(x)dx（其中f(x)为概率密度函数）期望可以理解为如果我们多次重复进行一次试验，那么试验结果的平均值就是期望。

期望有很多重要的性质，如线性性、保序性、可加性等。

这些性质使得期望在概率论和统计学中有着广泛的应用。

第 ×× 次课 2学时本次课教学重点：常用的统计量 本次课教学难点：总体，简单随机样本，统计量的概念。

本次课教学内容：第五章 数理统计的基础知识 第一节 数理统计的基本概念 教学组织： 一、引言在前五章中我们学习了概率论的基本内容，因为随机变量及其所伴随的概率分布全面描述了随机现象的统计规律性，所以在概率论的许多问题中，概率分布通常都是已知的，或者假设是已知的，而一切计算与推理都是在此基础上得出来的。

然而，实际情况往往并非如此。

一个随机现象所服从的分布概型可能完全不知道，或者只知道其概型而不知其分布函数中所含的参数。

例如，某工厂生产的灯泡的寿命服从什么分布是不知道的。

再如，某厂生产的一件产品是合格品还是不合格品，我们知道它服从两点分布，但其参数p 却不知道。

那么怎样才能知道一个随机现象的分布或其参数呢？这就是数理统计所要解决的一个首要问题。

为了获得灯泡的寿命分布，我们从所有的灯泡中抽出一部分进行观察与测试以取得相关信息，从而做出推断。

由于观察和测试是随机现象，依据有限个观察与测试对整体所做出的推断不可能绝对准确，这个不确定性我们用概率来表达。

数理统计学的基本问题就是依据观测或试验所取得的有限信息对整体做出推断，每个推断必须伴有一定的概率来表明其可靠程度。

这种伴有一定概率的推断称为统计推断。

二、总体与随机样本 1、总体在数理统计中，我们往往研究有关对象的某一数量指标(如灯泡的寿命这一数量指标)。

为此，考虑与这一数量指标相联系的随机试验，对这一数量指标进行试验或观察。

我们把研究对象的全体所构成的一个集合称为总体，总体中的每个对象称为个体。

总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。

容量有限的总体称为有限总体，容量无限的总体称为无限总体。

例如，考察某批灯泡的质量，如这一批灯泡共有5000只，每个灯泡的寿命是一个可能的观察值，是一个个体。

所有5000只灯泡的寿命是一个有限总体。

概率论分布函数概率论分布函数是数学中研究随机变量的重要工具，它描述了随机变量取不同值的概率。

本文将通过具体实例和生动的语言，向读者介绍一些常见的概率论分布函数，并探讨它们在现实生活中的应用。

第一部分：离散分布函数离散分布函数用于描述随机变量取有限个或可列个数值的概率分布。

其中最常见的是二项分布和泊松分布。

1. 二项分布二项分布用于描述在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。

例如，假设某电商网站每位访客成交的概率为p，那么在n位访客中成交m位的概率可以用二项分布来描述。

这个分布函数可以帮助电商网站预测每日的成交量，进而制定相应的营销策略。

2. 泊松分布泊松分布用于描述在给定时间段内事件发生的次数的概率分布。

例如，假设某餐厅每天的平均客流量为λ，泊松分布可以用来计算在任意一天内客流量为k的概率。

这个分布函数可以帮助餐厅预测不同时间段的客流量，合理安排人员和资源。

第二部分：连续分布函数连续分布函数用于描述随机变量在一个区间内取值的概率分布。

其中最常见的是均匀分布和正态分布。

1. 均匀分布均匀分布是一种简单直观的分布函数，它假设在一个区间内的每个点取值的概率是相等的。

例如，假设某公司每年的利润在100万到200万之间服从均匀分布，那么可以使用均匀分布来估计公司每年的利润概率分布，以及不同利润区间的风险和机会。

2. 正态分布正态分布是一种常见的连续分布函数，它在自然界和社会科学中广泛应用。

例如，身高、体重、智商等都可以近似地服从正态分布。

正态分布具有对称性和稳定性的特点，可以用来描述大量随机变量的分布。

在股票市场中，正态分布可以用来模拟股票价格的波动，帮助投资者制定风险控制策略。

第三部分：其他常见分布函数除了上述离散分布函数和连续分布函数，还有其他一些常见的分布函数。

1. 指数分布指数分布用于描述一些随机事件的等待时间。

例如，某个设备的寿命服从指数分布，可以用指数分布来估计该设备在未来一段时间内发生故障的概率。