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第五章 概论与概率分布重点知识1．样本、样本空间、随机事件的定义；2．事件的运算：交、并、对立事件、互斥事件；3．概论的定义：古典定义、统计定义、经验定义；4．概率的计算：加法公式，乘法公式，条件概率，事件的独立性，全概率公式，贝叶斯公式； 5．随机变量的定义，有几种类型；6．离散型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解二项分布及其简单性质； 7．连续型随机变量及其分布的定义与性质，数学期望与方差：重点了解正态分布及其简单性质，会根据标准正态分布计算任何正态分布随机变量的概率；复习题一、填空1．用古典法求算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设 。
2．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是 事件。
3．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是 ；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是 。
4.甲、乙各射击一次，设事件A 表示甲击中目标，事件B 表示乙击中目标，则甲、乙两人中恰好有一人不击中目标可用事件 表示.5.已知甲、乙两个盒子里各装有2个新球与4个旧球，先从甲盒中任取1个球放入乙盒，再从乙盒中任取1个球，设事件A 表示从甲盒中取出新球放入乙盒，事件B 表示从乙盒中取出新球，则条件概率P(B A )=＿＿．6.设A,B 为两个事件，若概率P (A )=41,P(B)=32,P(AB)=61,则概率P(A+B)=＿＿．7.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4,P(B)=0.3，若事件A,B 互斥，则概率P(A+B)=＿＿． 8.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.8，P(B)=0.4，若事件A ⊃B ，则条件概率P(B A )=＿＿． 9.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=103,P(B A )=61,P(A+B)=54,则概率P(A)=＿＿．10.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A )=0.7，P(B)=0.6,若事件A,B 相互独立，则概率P(AB)=＿＿． 11.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=0.4，P(B)=0.3,若事件A,B 相互独立，则概率P(A+B)=＿＿． 12.设A,B 为两个事件，若概率P(B)=0.84，P(A B)=0.21，则概率P(AB)=＿＿． 13.设离散型随机变量X 的概率分布如下表ccccPX 4322101-则常数c =＿＿．14.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表４１４１21P321X则概率P ｛3<X ｝=＿＿．15.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表6632P213-X１１则数学期望)(X E =＿＿．16.设离散型随机变量X 服从参数为p 的两点分布，若离散型随机变量X 取1的概率p 为它取0的概率q 的3倍，则方差)(X D =＿＿.17.设连续型随机变量的概率X 密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0210,1)(2x x k x ϕ 则常数k =＿＿．18.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤=其他,00,24)(2rx x x ϕ 则常数r =＿＿．19.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其他,00,2)(2x xex xϕ 则概率}11{<<-X P =＿＿．20.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,021,2)(2x x x ϕ 则数学期望)(X E =_____．21.设X 为随机变量，若数学期望1)12(=-X E ，则数学期望)(X E =＿＿．22.设X 为随机变量，若方差3)63(=-X D ，则方差)(X D =＿＿．二、单项选择1.设A,B 为两个事件，若事件A ⊃B ，则下列结论中( )恒成立.(a)事件A,B 互斥 （b)事件A,B 互斥 (c)事件A ,B 互斥 (d)事件A ,B 互斥 2.设A,B 为两个事件，则事件B A +=( ).(a)A +B (b)A-B (c)A B （d)AB3.投掷两颗均匀骰子，则出现点数之和等于6的概率为( ).(a)111 (b)115 (c)361 (d)3654.盒子里装有10个木质球与6个玻璃球，木质球中有3个红球、7个黄球，玻璃球中有2个红球、4个黄球，从盒子里任取1个球．设事件A 表示取到玻璃球，事件B 表示取到红球，则条件概率P(A B )=( )．(a)114 (b)74 (c)83 (d)535.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(A B ）=32,P(A B )=53,则概率P(B)=＿＿．(a)51 (b)52 (c)53 (d)546.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)＞0，若事件A ⊃B,下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A-B)=P(A)-P(B)(c)P(AB)=P(A)P(B) (d)P(B A )=17.设A,B 为两个事件，则概率P(A+B)=( ).(a)P(A)+P(B) (b)P(A)+P(B)-P(A)P(B)(c)1-P （B A ) (d)1-P( A )P(B ) 8.设A,B 为两个事件，若概率P(A)=31,P(B)=41,P(AB)=121，则( ).(a)事件A 包含B (b)事件A ，B 互斥但不对立 (c)事件A ，B 对立 (d)事件A ，B 相互独立 9.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)=53,P(A+B)=107,若事件A,B 相互独立，则概率P(B)=( ).(a)161 （b)101 (c)41 (d)5210.设A,B 为两个事件，且已知概率P(A)>O ，P(B)>O ，若事件A,B 相互独立，则下列等式中( )恒成立．(a)P(A+B)=P(A)+P(B) (b)P(A+B)=P(A) (c)P(A-B)=P(A)-P(B) (d)P(A-B)=P(A)P(B )11.中（ ）可以作为离散型随机变量X 的概率分布．(a)6321-P321X１１ (b)653-21P321X１(c)6321P321X １１ (d)65321P321X １12.已知离散型随机变量X 的概率分布如下表52511015110142101PX-则下列概率计算结果中（ ）正确．(a)0}3{==X P (b)0}0{==X P . (c)1}1{=->X P (d)1}4{=<X P13.设离散型随机变量X 的所有可能取值为-1与l ，且已知离散型随机变良X 取-1的概率为)10(<<p p ，取1的概率为q ，则数学期望=)(2X E ( ).(a)O (b)l (c)p q - (d)2)(p q - 14.设连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≥+=其他,00,1)(2x x kx ϕ 则常数k =( ).(a)π1(b)π (c)π2(d)2π15.下列函数中（ ）不能作为连续型随机变量X 的概率密度．(a)⎩⎨⎧≤≤-=其他,001,3)(2x x x f (b)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他,021,2)(x x x g(c)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,020,cos )(πx x x h (d)⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,02,sin )(ππx x x h 16.设X 为连续型随机变量,若b a ,皆为常数，则下列等式中（ ）非恒成立．(a)}{}{a X P a X P ==≥ (b)}{}{b X P b X P <=≤ (c)1}{=≠a X P (d)0}{==b X P 17.已知连续型随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,040,81)(x x x ϕ 则数学期望)(X E =( ).(a)21 (b)2 (c)83 (d)3818.设X 为随机变量，若数学期望)(X E 存在，则数学期望))((X E E =（ ）.(a)O (b))(X E (c))(2X E (d)2))((X E 19.设X 为随机变量，若方差)(X D =4，则方差)43(+X D =（ ）.(a)12 (b)16 (c)36 (d)4020.设X ,Y 为随机变量，已知随机变量X 的标准差等于4，随机变量Y 的标准差等于3，若随机变量X ,Y 相互独立，则随机变量X -Y 的标准差等于（ ）.(a)1 (b)7 (c)5 (d)7四、名词解释1、 数学期望：2、 对立事件：3、 随机事件：4、 事件和：5、 事件积：6、 互斥事件：7、 互相独立事件：五、判断题1．对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。
第一章导论1.什么是统计学？统计学是搜集、处理、分析、解释数据并从中得出结论的科学。
2.解释描述统计与推断统计。
描述统计研究的是数据搜集、处理、汇总、图表描述、概括与分析等统计方法。
推断统计研究的是如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
3.统计数据可分为哪几种类型？不同类型的数据各有什么特点？按照计量尺度可分为分类数据、顺序数据和数值型数据；按照数据的搜集方法，可以分为观测数据和试验数据；按照被描述的现象与实践的关系，可以分为截面数据和时间序列数据。
4.解释分类数据、顺序数据和数值型数据的含义。
分类数据是只能归于某一类别的非数字型数据；顺序数据是只能归于某一有序类别的非数字型数据；数值型数据是按照数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。
5.举例说明总体、样本、参数、统计量、变量这几个概念。
总体是包含所研究的全部个体的集合，样本是从总体中抽取的一部分元素的集合，参数是用来描述总体特征的概括性数字度量，统计量是用来描述样本特征的概括性数字度量，变量是用来说明现象某种特征的概念。
6.变量可分为哪几类？变量可分为分类变量、顺序变量和数值型变量。
分类变量是说明书屋类别的一个名称，其取值为分类数据；顺序变量是说明十五有序类别的一个名称，其取值是顺序数据；数值型变量是说明事物数字特征的一个名称，其取值是数值型数据。
7.举例说明离散型变量和连续型变量。
离散型变量是只能去可数值的变量，它只能取有限个值，而且其取值都以整位数断开，如“产品数量”；连续性变量是可以在一个或多个区间中取任何值的变量，它的取值是连续不断的，不能一一列举，如“温度”等。
第二章数据的搜集1.什么是二手资料？使用二手资料需要注意些什么？与研究内容有关、由别人调查和试验而来、已经存在并会被我们所利用的资料为二手资料。
使用时要评估资料的原始搜集人、搜集目的、搜集途径、搜集时间且使用时要注明数据来源。
2.比较概率抽样和非概率抽样的特点。
举例说明什么情况下适合采用概率抽样，什么情况下适合采用非概率抽样。
第五章 概率与概率分布5.1 写出下列随机试验的样本空间： （1）记录某班一次统计学测验的平均分数。
（2）某人骑自行车在公路上行驶，观察该骑车人在遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数。
（3）生产产品，直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。
解：（1）测验的平均分数为0至100分，故样本空间为{|0100}x x Ω=≤≤（2）遇到第一个红灯停下来以前遇到的绿灯次数为0至∞，故样本空间为{0,1,,}Ω=∞（3）与（2）类似，到有10件正品为止，生产产品的总件数的样本空间为{10,11,,}Ω=∞5.2 某市有50%的住户订日报，有65%的住户订晚报，有85%的住户至少订两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比。
解：设A = {订日报}，B = {订晚报}，C = {同时订两种报纸} 则P(C) = P(A ∩B) = P(A) + P(B) – P(A ∪B) 由题意可知：P(A) = 0.5，P(B) = 0.65，P(A ∪B) = 0.85 于是P(C) = 0.5+0.65 – 0.85 = 0.3即同时订两种报纸的住户百分比为30%。
5.3 设A 与B 是两个随机事件，已知A 与B 至少有一个发生的概率是1/3，A 发生且B 不发生的概率是1/9，求B 发生的概率。
解：由题意可知，P(A ∪B) = 1/3，()1/9P A B =。
因为()()()()P A B P A P B P A B =+-,而()()()P A B P A P A B =-，故有()()[()()]()()112399P B P A B P A P A B P A B P A B =--=-=-=5.4 设A 与B 是两个随机事件，已知P(A) = P(B) = 1/3，P(A|B) = 1/6，求()P A B 。
解：首先，我们有P(AB) = P(B)P(A|B)=(1/3)*(1/6)=1/18， 其次，()()1()(|)1()()()1()()()1()11/31/31/1811/3712P A B P A B P A B P A B P B P B P B P A P B P AB P B -===---+=---+=-=5.5 有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7。
在两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率。
（2）至少有一粒发芽的概率。
（3）恰有一粒发芽的概率。
解：设A = {甲种子发芽}，B = {甲种子发芽}。
由题意可知，P(A) = 0.8，P(B) = 0.7。
（1）记C={两粒种子都发芽}，因A 与B 独立， 故P(C) = P(A)P(B) = 0.8*0.7 = 0.56 （2）记D= {至少有一粒发芽}P(D) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.8+0.7-0.56 = 0.84 （3）记E = {恰有一粒发芽}则P(E) = P(D) – P(C) = 0.84 – 0.56 = 0.285.6 某厂产品的合格率为96%，合格品中一级品率为75%，从产品中任取一件为一级品的概率是多少？解：显然，产品的一级品率为72%（96%*75%），故从产品中任取一件为一级品的概率是0.72。
5.7 某种品牌的电视机用到5000小时不坏的概率为3/4 ，用到10000小时不坏的概率为1/2。
现在又一台这种品牌的电视已经用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多少？解：记A = {5000小时不坏}，B = {10000小时不坏} P(B|A) = P(AB)/P(A) =P(B)/P(A) = (1/2)/(3/4) = 2/3 因为如B 发生，则A 一定发生，故P(AB) = P(B)5.8 某厂职工中，小学文化程度的有10%，初中文化程度的有50%，高中及高中以上文化程度的有40%。
25岁以下青年在小学、初中、高中及高中以上文化程度各组中的比例分别为20%，50%，70%。
从该厂随机抽取一名职工，发现其年龄不到25岁，问他具有小学、初中、高中及高中以上文化程度的概率各位多少？解：记A 1= {小学文化程度}，A 2= {初中文化程度}，A 3= {高中及高中以上文化程度}，B = {25岁以下}，由贝叶斯公式可得：111311()(|)(|)()(|)0.1*0.20.1*0.20.5*0.50.4*0.70.03636ii P A P B A P A B P A P B A ===++=∑即具有小学文化程度的概率为0.03636，同理，该职工具有初中文化程度的概率为0.4545（25/55），具有高中及高中以上文化程度的概率为0.5090（28/55）。
5.9 某厂有A ，B ，C ，D 四个车间生产同种产品，日产量分别占全厂产量的30%，27%，25%，18。
已知这四个车间产品的次品率分别为0.10，0.05，0.20，0.15，问从该厂任意抽取一件产品，发现为次品，这件产品是由A ，B 车间生产的概率各为多少？解：记A 1= {A 车间产品}，A 2= {B 车间产品}，A 3= {C 车间产品}，A 4= {D 车间产品}，B = {次品}，由贝叶斯公式可得：111311()(|)(|)()(|)0.3*0.10.3*0.10.27*0.050.25*0.20.18*0.150.2489ii P A P B A P A B P A P B A ===+++=∑即该次品由A 车间生产的概率为0.2489。
同理，该产品由B 车间生产的概率为0.1120（0.0135/0.1205）。
5.10 考虑掷两枚硬币的试验。
令X 表示观察到正面的个数，试求X 的概率分布。
解：掷两枚硬币，共有4个基本事件，即{正，正}，{正，反}，{反，正}，以及{反，反}。
观察到的正面个数有0、1、2三个取值。
X 0 1 2 P (x) 1/41/21/45.11 某人花2元钱买彩票，他抽中100元奖的概率是0.1%，抽中10奖的概率是1%，抽中1元奖的概率是20%，假设各种奖不能同时抽中，试求：（1）此人收益的概率分布。
（2）此人收益的期望值。
解：（1）收益的概率分布为：X 100 10 1 P (x) 0.1%1%20%（2）31()()100*0.1%10*1%1*20%0.4i i i E X x p x ===++=∑ 5.12 设随机变量X 的概率密度为：233(),0x f x x θθ=<<（1）已知P(X>1) = 7/8，求θ的值。
（2）求X 的期望值和方差。
解：（1）12313(1)()31718P X f x dx x dx θθθθ>====-=⎰⎰故θ = 2。
（2）期望值2220240()()383321.5E X xf x dxx x dx x ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=⎰⎰方差为22022205432()(())()3( 1.5)83398544*3320x Var X x E X f x dxx x dx x x x ==-=-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰5.13 一张考卷上有5道题，同时每道题列出4个备选答案，其中有一个答案是正确的。
某学生凭猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：此题可视为5重贝努力试验，每次成功(此处为答对)的概率为0.25，答对的题数服从二项分布B(5, 0.25)。
故()44154(4)(1)5!*0.25*0.754!54!0.0146P X C p p ==-=-=凭猜测能答对至少4道题的概率是0.01465.14 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布：{},0,1,2,!kP X k e k k λλ-===问k 取何值时P{X = k}最大（λ为整数时）？ 解：记1{1}k p P X k +==+，显然有11k k p p k λ+=+，故λ为整数时，有0111p p p p p λλλ-+<<<=>>当k 取λ与λ-1两个值时，P{X = k}最大。
5.15 设X~N(3，4)，试求： （1）P{|X| > 2}。
（2）P{X > 3}。
解：（1） P{|X| > 2}= P{X>2}+ P{X<-2} =1- P{X<2}+ P{X<-2} =1-∅(-0.5)+ ∅(-2.5) =0.6976（2）P{X > 3} = 1 - P{X ≤ 3} = 1 - P{(X -3)/2≤ (3-3)/2} = 1 - ∅(0)=0.55.17 一工厂生产的电子管寿命X（以小时计算）服从期望值μ=160的正态分布，若要求P{120 < X < 200} > 0.08，允许标准差σ最大为多少？解：按照要求，有P{120 < X < 200}= ∅((200-160)/ σ) - ∅((120-160)/ σ)=∅(40/ σ) - ∅(-40/ σ)=[1 – 2*∅(-40/ σ)] > 0.08即∅(-40/ σ) < 0.46。
查分布表，∅(-0.10043) = 0.46即-40/ σ < -0.10043，σ<398.2874，允许标准差σ最大为398.2874。
5.18 一本书排版后一校时出现错误处数X服从正态分布N(200, 400)，求：（1）出现错误处数不超过230的概率。
（2）出现错误处数在190~210之间的概率。
解：（1）P{X < 230} = ∅((230-200)/20)= ∅(1.5)=0.9331即处数不超过230的概率为0.9331。
（2）P{190 < X < 210}=∅(0.5) - ∅(-0.5)=1-2*∅(-0.5)=0.3829错误处数在190~210之间的概率为0.3829。
