4.1 成比例线段(2)

浙教版九年级上数学4.1比例线段（2）含答案求线段的比要注意统一长度单位，特别在地图问题中单位的转换是易错点．1.C 是线段AB 上的一点，且AC ∶CB=2∶3，那么AB ∶BC 等于(B).A.2∶3B.5∶3C.3∶2D.3∶52.在比例尺为1∶10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm ，则两地的实际距离是(C).A.30kmB.300kmC.3000kmD.30000km3.以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是(C).A.2，5，10，25B.4，7，4，7C.2, 21,21，4 D. 2,5,25，52 4.给出下列各组线段，其中成比例线段是(D).A.a=2cm ，b=4cm ，c=6cm ，d=8cmB.a=21cm ，b=41cm ，c=61cm ，d=81cm C.a=2cm ，b=3cm ，c=10cm ，d=25cmD.a=2cm ，b=5cm ，c=23cm ，d=15cm5.鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为105km ，在一张比例尺为1∶2000000的交通旅游图上，它们之间的距离大约相当于(A).A.一根火柴的长度B.一支钢笔的长度C.一支铅笔的长度D.一根筷子的长度6.已知线段a=2cm ，b=（2-1）cm ，c=（2-2）cm ，则线段a ，b ，c 的第四比例项是2423 cm ．7.C 是线段AB 上一点，BC=2AC ，M ，N 分别是线段AC ，BC 的中点，那么MN ∶BC= 43 ． （第8题）8.在某地图册上，连结甲、乙、丙三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示.如果飞机从丙直飞甲的距离约为1290km ，那么飞机从丙绕道乙再到甲的空中飞行距离约是 3870 km ．9.如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F.找出图中的一组比例线段，并说明理由．（第9题）【答案】∵S ABCD =BC ·AE=CD ·AF ，∴CD BC =AEAF . （第10题）10.如图所示，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°．（1）求ACAB 的值． （2）求AB ∶AC ∶BC.（第10题答图）【答案】(1)如答图所示，作AD ⊥BC 于点D.在Rt △ABD 中，∵∠B=30°，∴AD=21AB,BD=3AD.在Rt △ADC 中，∵∠C=45°，∴AD=22AC,CD=AD.∴21AB=22AC.∴AC AB =2. (2)∵AB=2AD ，AC=2AD ，BD=3AD ，CD=AD ，∴BC=BD+CD=（3+1）AD.∴AB ∶AC ∶BC=2∶2∶（3+1）.11.已知甲、乙两幅地图的比例尺分别为1∶5000和1∶20000，如果甲图上A ，B 两地的距离与乙图上C ，D 两地的距离恰好相等，那么A ，B 两地的实际距离与C ，D 两地的实际距离之比为(C).A.5∶2B.2∶5C.1∶4D.4∶112.如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是(C).（第12题）A.19.4B.19.5C.19.6D.19.713.如图所示，一张矩形纸片ABCD 的长AB=a ，宽BC=b ，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，这张纸片沿直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于(A).（第13题） A. 2∶1 B.1∶2 C. 3∶1 D.1∶314.已知AB 是⊙O 的直径，C 是半圆的三等分点，则BC AC = 3或33 ． 15.李老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应线段AB ，对折后（点A 与B 重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作，在第一次操作后，原线段AB 上的41，43均变成21，21变成1.那么在线段AB 上的点中（点A ，B 除外），在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是 1 ．（第15题）16.如图所示，C 是线段AB 上的点，D 是AB 延长线上的点，且AD ∶BD=3∶2，AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，求AD 的长．（第16题）【答案】∵AB ∶AC=5∶3，AC=3.6，∴AB=6.∵AD ∶BD=3∶2，∴AB ∶AD=1∶3.∴AD=18.17.如图所示，四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2.（1）求下列各线段的比：BC CD ，CF EF ，ABBF . （2）指出AB ，BC ，CF ，CD ，EF ，BF 这六条线段中的成比例线段（写一组即可）.（第17题）【答案】(1)∵四边形ABCD 与四边形ABFE 都是矩形，AB=3，AD=6.5，BF=2，∴CD=EF=AB=3，BC=AD=6.5，CF=BC-BF=4.5.∴BC CD =5.63=136，CF EF =5.43=32，AB BF =32. (2)成比例线段有CF EF =ABBF (答案不唯一).18.【娄底】若在比例尺为1∶6700000的地图上量得我国南北的图上距离是82.09cm ，则我国南北的实际距离大约是 5500 km （结果精确到1km ）.19.已知点P 在线段AB 上，且AP ∶BP=2∶3，则AB ∶PB= 5∶3 .20.在线段AB 上存在一点C ，满足AC ∶CB=CB ∶AB=k ．（1）求k 的值．（2）如果三条线段a ，b ，c 满足a ∶b=b ∶c=k ，这三条线段能否构成三角形？如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．（第20题）【答案】(1)设AB=x,则CB=kx,AC=k 2x.∵AC+BC=AB ，∴k 2x+kx=x.∴k=251±-. ∵k ＞0，∴k=215-.(2)不能.理由如下：∵a ∶b=b ∶c=k ，∴b=kc=215-c,a=kb=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2152c=253- c.∴a+b=c.∴线段a ，b ，c 不能构成三角形.。

4．1比例线段(二)1．了解两条线段的比和比例线段的概念．2．能根据条件写出比例线段；会运用比例线段解决简单的实际问题．3．通过实际问题的解决，培养学生运用数学的意识．重点：比例线段的概念及比例性质的运用．难点：课本例3要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点．一、新课导入复习引入1．比例的基本性质是__ab＝cd⇔ad＝bc__．2．由ad＝bc可推出哪些比例式__ab＝cd，ac＝bd，ba＝dc，bd＝ac，____ca＝db，cd＝ab，db＝ca，dc＝ba.__3．操场上有一群学生在玩游戏，其中男生与女生的人数比例是3∶2，后来又有6名女学生加入进来，此时女生与男生的人数比为5∶3，求原来各有多少男生和女生【解】设原来有男生3x人，女生2x人，则(2x＋6)∶3x＝5∶315x＝6x＋18解得x＝2所以3x＝6，2x＝4∴原来有6名男同学和4名女同学．说明：引入一个实际问题，引起学生们的关注，让学生去解决感兴趣的问题，为下一个枯燥的几何问题做好铺垫．二、新知学习(一)比一比两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比．如图所示，设线段OC＝2，OC′＝4，则线段OC与OC′的比就是2∶4＝12，记为OCOC′＝12.由图，从△ABC到△A′B′C′是一个相似变换，可得ABA′B′＝12，BCB′C′＝12，所以ABA′B′＝BCB′C′.注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长度单位有多种，但求比值必须在同一长度单位下，比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关．(3)表示方式与用数字的比表示类同，但它也可以表示为AB∶CD.(二)议一议什么是比例线段一般地，四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即ab＝cd，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．例如，上图中，AB，A′B′，BC，B′C是比例线段．(三)做一做1．如图所示，BCAB＝，BC AC ＝． 2．已知线段a ，b ，c ，若a 2＝b 3＝c5，且3a －2b ＋5c ＝25，求a ，b ，c 的值．【解】设a 2＝b 3＝c5＝k(k≠0)．则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝5k ，∵3a －2b ＋5c ＝25， ∴6k －6k ＋25k ＝25. 解得k ＝1.∴a ＝2，b ＝3，c ＝5.说明：通过比一比、议一议、做一做，加深对比例及比例线段的理解，从而提高学生的认知水平．三、新知应用【例1】已知线段a ＝30 mm ，b ＝2 cm ，c ＝45 cm ，d ＝12 mm ，试判断a ，b ，c ，d 是否成比例线段．【分析】判断四条线段是否成比例线段，先要把四条线段的长度单位化为同一单位，然后按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再分别计算第一和第二与第三和第四线段的数量比，如果比相等，那么这四条线段成比例，否则不成比例．【解】取mm 作单位，则b ＝20mm ，c ＝8mm ，按从小到大的顺序为c ，d ，b ，a. ∵c ∶d ＝8∶12＝2∶3， b ∶a ＝20∶30＝2∶3， ∴c ∶d ＝b∶a.即四条线段a ，b ，c ，d 成比例线段．说明：判断四条线段(或数)是否成比例，在同一单位下，除了直接计算a∶b 和c∶d 进行判断外，还可以计算ad 和bc ，利用ad ＝bc ⇔a b ＝cd进行判断．【例2】如图，在△ABC 中，AD ，CE 是△ABC 上的高线，找出图中的一组比例线段，并说明理由．【分析】(1)根据比例的基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另外两条线段的乘积)(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知道联系起来 (3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式 根据所得的等式可以写出怎样的比例式 【解】AD AB ＝CEBC .理由如下：∵S △ABC ＝12AB·CE＝12BC·AD，∴AB·CE＝BC·AD，∴AD AB ＝CEBC. 说明：利用面积是比例线段中得到等积式的常用方法之一． 四、巩固新知 尝试完成下面各题．1．下列各组线段，能成比例线段的是( B ) A ．1 cm ，2 cm ，3 cm ，4 cm B ．3 cm ，6 cm ，4 dm ，8 mm C ．3 cm ，9 cm ， dm ，6 cm D ．2 cm ，5 cm ， dm ，8 cm2．已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3 cm ，b ＝2 cm ，c ＝6 cm ，求线段d 的长度．解：设d＝x cm，则有ab＝cd，即32＝6x.∴3x＝12.解得x＝4.∴d＝4 cm.3．如图，在平行四边形ABCD中AE⊥BC，AF⊥CD，找出图中一组比例线段，并说明理由．解：∵BC·AE＝S▱ABCD ＝CD·AF，∴BCCD＝AFAE.4．有两组线段，每组分别有4条，长度如下：(1)a＝8 cm，b＝cm，c＝dm，d＝10 cm.(2)a＝16 mm，b＝8 mm，c＝5 mm，d＝10 mm.请判断它们是否成比例线段，试说明理由．解：(1)b＝ cm，c＝ dm＝6 cm，a＝8 cm，d＝10 cm. ∵bd＝，ca＝48，bd≠ca，∴这四条线段不成比例．(2)c＝5 mm，b＝8 mm，d＝10 mm，a＝16 mm.∵ac＝80，bd＝80，∴ac＝bd，即ab＝dc，∴这四条线段成比例．五、课堂小结1．两条线段的比及比例线段的概念．2．方程思想的体现．3．比例线段的实际问题中的应用．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。

丹东市第二十四中学 4.1 成比例线段 第二课时主备：李春贺 副备：曹玉辉 孙芬 审核： 2014年9月2日 一、 学习准备：1．已知a:b=3:2,且a-b=10，则a+b = . 2．若=y x 3，则=x y ； =y x 2 ；=-y yx 23．已知345c b a ==，则=+--+cb ac b a 32 . 二、学习目标：1.、知道比例的基本性质，能进行证明和运用. 2、知道合分比性质，能进行证明。

. 3、知道等比性质，能进行证明。

4、能简单运用比例的三个性质解决问题。

三、自学提示： （一）合作探究：1.通过自主探究，归纳总结出比例的基本性质，完成目标一。

（1）思考 ：1：若a,b,c,d 四个数满足d cb a =, 那么ad =bc 吗？与同伴交流.根据等式的基本性质，两边同时乘以（ ）,得ad=bc,（2）思考 2：若ad =bc (a,b,c,d 都不为0），那么d cb a =吗？根据等式的基本性质，两边同时除以（ ）,得dcb a =. 比例的基本性质：【练一练】1、若3a=5b,那么a ∶b=_________. 2、a ∶b=4:7，那么_________. 2、通过小组合作探究，归纳总结出合比性质，完成目标二。

（1）如图，已知d c b a ==3,则b b a +=ddc +吗？（2）如果dcb a ==k （k 为常数），那么d d c b b a +=+成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？归纳：如果d cb a =，那么 . 这是比例的合分比性质 练习：已知b a =23，则=+b b a ，bba -= .3. 通过师生合作探究，归纳总结出等比性质，完成目标三。

（1）如果d c b a ==…=nm =k （b +d +…+n ≠0）,那么b a n d b m c a =++++++ =k 成立吗？你能写出推理过程吗？因此， ，这是比例的等比性质 （2）练习：如果f ed c b a ===2，求fd be c a ++++的值 四、学习小结： 五、夯实基础： 1、填空 （1）若=y x 25 则=x y ；=-y y x ； =+y y x 2 ；（2）已知23=a b 则=+b a b ；=-ba b 2 . 2、已知：d c b a ==fe=5（b +d +f ≠0） （1）fd be c a +-+- （2）f b ea 55--3、如图，已知23===DE BC AE AC AD AB ,且△ABC 的周长为36cm ，求△ADE 的周长六、能力提升：已知a ，b ，c 都是不等于零的实数，且k cba b c a a c b =+=+=+，求k 的值布置作业： 【评价反思】。

如果dcb a =，那么ad=bc. 如果ad=bc ，那么dcb a =.注意：a ，b ，c ，d 都不为0.活动意图说明：通过复习，激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。

环节二：探究成比例线段 教师活动2：如图：有两条线段，AB 的长度是m ，CD 的长度是n ，线段AB 与CD 的比是多少？AB CD mnAB ：CD ＝m ：n 两条线段的比两条线段的长度的比叫做这两条线段的比.如图，线段OC=2，OC'=4，线段OC 与OC'的比是2：4=21 ，记作;21OC'OC = .21B'A'AB ，记作212：22的比是B'，线段AB与A'22B'，A'2线段AB ====通过计算上述两条线段的比，你能发现什么？线段OC 与OC'的比和线段AB 与A'B'的比相等， 也就是.B'A'AB OC'OC =四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c学生活动2：学生思考，求出线段AB 与CD 的比。

师生总结两条线段的比的定义。

学生在教师的引导下总结什么叫成比例线段。

与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫作成比例线段，简称比例线段. 例如，图中OC ，OC'，AB ，A'B'是比例线段. 注意：求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关.活动意图说明：学生在教师引导下探索成比例线段的定义，在教学中运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。

环节三：例题讲解 教师活动3：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高. 请找出一组比例线段，并说明理由.分析：根据 ad=bcdc b a =， 问题可转化为找出四条线段，使其中两条线段的乘积等于另两条线段的乘积.解：记Rt △ABC 的面积为S ，则 AC · BC=2S ，CD · AB=2S ， ∴ AC · BC=CD · AB ，,BCAB CD AC =∴∴AC ，CD ，AB ，BC 是一组比例线段. 下图表示我国台湾省几个城市的位置关系，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少千学生活动3：学生在教师的指导下完成课本问题。

北师大版数学九年级上4.1.1成比例线段第二课时教学设计课题 4.1.1成比例线段单元第四章学科数学年级九年级上学习目标知识与技能：了解成比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。

过程与方法：经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动获取知识。

情感、态度与价值观：培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。

重点让学生理解并掌握比例的基本性质及简单应用。

难点运用比例的基本性质解决有关问题。

教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课【温故知新】1、成比例线段定义2、比例的基本性质3、若3m=2n，你可以得到mn的值吗？那nm呢？【新知导入】如图，已知BD CEAD AE=，你能求出BD AD CE AEAD AE++=的值吗？如果AB ACBD CE=，那么AB BD AC CEBD CE--=有怎样的关系？在求解过程中，你有什么发现？【思考】比例的基本性质方法1 令BD CEkAD AE==（或者=BD CEkAD AE=）回忆成比例线段定义及比例的基本性质。

学生思考回顾上节课的内容，为本节课学习做更好的铺垫，顺利进入本节课的学习。

方法2 等式两边同时加1（或者减1）讲授新课【思考】已知，a、b、c、d、e、f 六个数，如果a cb d=，那么+a b c db d+=和--a b c db d=成立吗？为什么？已知，a、b、c、d、e、f 六个数，如果=(0)a c eb d fb d f=++≠，那么+a c e ab d f b+=++成立吗？为什么？【证明】（1）证明：∵a cb d=在等式两边同时加1+1+1a cb d=即+a b c db d+=同样地在等式两边同时减1即-1-1a cb d=--a b c db d=（2）证明：∵=(0)a c eb d fb d f=++≠学生计算出各线段长度并进行对比分析。