2018年一轮复习(理)数学教案：第10章 第3节 二项式定理含解析

第三节二项式定理[考纲传真] 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)二项式通项：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)．2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n 当k<n＋12(n∈N*)时，是递增的当k>n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项Cn2n取得最大值当n为奇数时，中间的两项Cn－12n与Cn+12n取最大值(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n ＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( )(4)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )[解析] (1)错误．应为第k ＋1项．(2)错误．当n 为偶数时，为中间一项；n 为奇数时，为中间的两项． (3)正确．二项式系数只与n 和项数有关．(4)错误．令x ＝1，可得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128. [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)二项式(x ＋1)n (n ∈N *)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4B [(x ＋1)n ＝(1＋x )n ＝1＋C 1n ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n .依题意，得C 2n ＝15，解得n＝6(n ＝－5舍去)．]3．在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28B [由题意知n2＋1＝5，解得n ＝8，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项T k ＋1＝ C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫x 28－k ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝(－1)k 2k －8C k8x 8－43k .令8－4k3＝0得k ＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C 68＝7.]4．(2016·北京高考)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________．(用数字作答)60 [依二项式定理，含x 2的项为展开式的第3项．∴展开式中T 3＝C 26(－2x )2＝60x 2，则x 2的系数为60.]5．(2017·济南模拟)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________.－1 [(1＋x )5＝1＋C 15x ＋C 25x 2＋C 35x 3＋C 45x 4＋C 55x 5. ∴(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的项为(C 25＋C 15a )x 2，依题意得10＋5a ＝5，解得a ＝－1.]通项公式及其应用2552 ) A ．10 B ．20 C ．30 D ．60(2)(2016·山东高考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________.(1)C (2)－2 [(1)法一：(x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2. 其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.故选C.法二：(x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.故选C.(2)T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.] [规律方法] 1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1] (1)(2017·东北四校联考)若⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)(1)C (2)10 [(1)二项展开式的通项 T r ＋1＝C r n (x 6)n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r＝C r n x 6n －15r 2， 若T r ＋1是常数项，则6n －15r 2＝0，即n ＝54r . 又n ∈N *，故n 的最小值为5.(2)(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r(x )r ＝25－r ·C r 5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.]二项式系数与各项系数和n 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )【导学号：57962456】A ．212B ．211C ．210D ．29(2)(2017·福州质检)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.(1)D(2)0[(1)∵(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C3n＝C7n，解得n＝10.从而C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210，∴奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋…＋C1010＝29.(2)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(1－2)4＝1.又令x＝0，得a0＝(1－0)4＝1.因此a1＋a2＋a3＋a4＝0.][迁移探究1]若本例(2)中条件不变，问题变为“求a0＋a2＋a4的值”，则结果如何？[解]在(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①4分令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4＝34.②8分由①＋②，可得a0＋a2＋a4＝12(34＋1)＝41. 12分[迁移探究2]若将本例(2)变为“若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016x2016(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a2 01622 016的值为________．”－1[令x＝0，得a0＝(1－0)2 016＝1.令x＝12，则a0＋a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝0，∴a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝－1.][规律方法] 1.第(1)小题求解的关键在于求n，本题常因把“n的等量关系表示为C4n＝C8n”，错求n＝12；第(2)小题主要是“赋值”求出a0与各项系数的和．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；(2)根据题目特征，恰当赋值代换，常见的赋值方法是使得字母因式的值或目标式的值为1，－1.[变式训练2](2015·全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.3[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5.令x＝1，得(a＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.①令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×32，∴a＝3.]二项式定理的应用(1)(2017·豫东名校模拟)设复数x＝2i1－i(i是虚数单位)，则C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝()A．i B．－iC．－1＋i D．－1－i(2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝()A．0 B．1C．11 D．12(1)C(2)D[(1)x＝2i1－i＝－1＋i，C12 017x＋C22 017x2＋C32 017x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝－1＋i.(2)512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012·522 012－C12 012·522 011＋…＋C2 0112 012·52·(－1)2 011＋C2 0122 012·(－1)2 012＋a，∵C02 012·522 012－C12 012·522 011＋…＋C2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a 能被13整除，∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除． 因此a 可取值12.][规律方法] 1.第(1)题将二项式定理的应用与坐标系中图像点的坐标交汇渗透，命题角度新颖；将图表信息转化为运用二项展开式的系数求待定字母参数，体现数形结合和方程思想的应用．2．第(2)题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．3．运用二项式定理要注意两点：①余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数；②二项式定理的逆用．[变式训练3] 设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图10-3-1所示，则a ＝________.图10-3-13 [由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)． 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n的通项公式T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r(r ＝0,1,2，…，n )． 故C 1n a ＝3，C 2na 2＝4，解得a ＝3.][思想与方法]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r是展开式的第r＋1项，不是第r项．2．通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(常用待定系数法)．3．展开式的应用：(1)可求解与二项式系数有关的求值问题，常采用赋值法．(2)可证明整除问题(或求余数)．(3)有关组合式的求值证明，常采用构造法．[易错与防范]1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n(k＝0,1，…，n)．。

10.7二项式定理、1．二项式定理(1)定理公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)通项T r＋1＝C r n a n－r b r为展开式的第r＋1项．2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数二项展开式中各项的系数C r n(r∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当r＜n＋12时，二项式系数逐渐增大；当r＞n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和第n＋12＋1)项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n4．各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.1．二项式的通项易误认为是第r 项实质上是第r ＋1项．2．(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C r n (r ＝0,1，…，n )． 『试一试』1．(2014·无锡调研)化简C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n 的值为________． 『解析』(1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n ；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝0. 两式相加得2(C 02n ＋C 22n ＋…＋C 2n 2n )＝22n ，又C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.『答案』22n －1－12．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________.『解析』根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3，∴a 3＝80. 『答案』803．(2014·沈阳模拟)设二项式(x －ax )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________.『解析』T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－a x r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2r ＝0，得r ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.『答案』－31．赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． 2．利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开． 3．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大； (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1 )项的二项式系数相等并最大．4．二项展开式系数最大项的求法如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1从而解出r 来，即得．『练一练』1．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝________.『解析』512 012＋a ＝(13×4－1)2 012＋a ，被13整除余1＋a ，结合选项可得a ＝12时，512 012＋a 能被13整除． 『答案』122．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为第________项．『解析』T r ＋1＝C r 152r x r ，由C r －1152r －1≤C r 152r ，C r ＋1152r ＋1≤C r 152r ⇒293≤r ≤323，r ＝10，所以第11项的系数最大． 『答案』11考点一二项式中的特定项或特定项的系数1．(2013·江西高考改编)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________． 『解析』T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r ，令10－5r ＝0，得r ＝2，故常数项为C 25×(－2)2＝40. 『答案』402．(2014·浙江五校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为__________． 『解析』∵T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 5x 10－3r ， ∴x 的系数为C 35＝10. 『答案』103．(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.『解析』二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.『答案』12『备课札记』 『类题通法』求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二二项式系数和或各项系数和问题『典例』 (1)(2014·北京西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是________．(2)(2013·成都诊断)若(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝________. 『解析』 (1)∵2m ＝128，∴m ＝7， ∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r 3，令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x3的系数为C 6737－6(－1)6＝21. (2)令x ＝1可得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，令x ＝0，可得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0. 『答案』 (1)21 (2)0『备课札记』在本例(2)中条件不变，问题变为“求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|”.『解』由题意知(1＋2x )4＝a 0＋|a 1|x ＋|a 2|x 2＋|a 3|x 3＋|a 4|x 4，令x ＝1得a 0＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＝34＝81. 『类题通法』1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于a ，b 的一切值都成立．因此，可将a ，b 设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a ，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.『针对训练』若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝________.『解析』当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1 『答案』－1考点三多项式展开式中的特定项(系数问题)在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有： 1几个多项式和的展开式中的特定项系数问题 2几个多项式积的展开式中的特定项系数问题3三项展开式中的特定项系数问题角度一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 1.⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4＋⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式中的常数项为________． 『解析』⎝⎛⎭⎫x 3－2x 4的展开式的通项为T m ＋1＝C m 4(x 3)4－m ·⎝⎛⎭⎫－2x m ＝C m 4(－2)m x 12－4m ，令12－4m ＝0，解得m ＝3，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 8的展开式的通项为T n ＋1＝C n 8x 8－n ⎝⎛⎭⎫1x n ＝C n 8x 8－2n ，令8－2n ＝0，解得n ＝4，所以所求常数项为C 34(－2)3＋C 48＝38.『答案』38角度二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2013·全国课标卷Ⅱ改编)已知(1＋ɑx )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ＝________.『解析』展开式中含x 2的系数为C 25＋a C 15＝5，解得a ＝－1.『答案』－1角度三 三项展开式中特定项(系数)问题3.⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项为________．(用数字作答) 『解析』原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·『()x ＋22』5＝132x 5()x ＋210. 求原式的展开式中的常数项，转化为求()x ＋210的展开式中含x 5项的系数，即C 510·()25. 所以所求的常数项为C 510·()2532＝6322.『答案』6322『备课札记』 『类题通法』1．对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到含x 3的项，再求和即可．2．对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 3．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．『课堂练通考点』1．(2013·辽宁高考改编)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为________． 『解析』由二项式定理得，T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －r·xn －52r ，令n －52r ＝0，当r ＝2时，n ＝5，此时n 最小． 『答案』52．(2013·贵阳模拟)在二项式(x 2＋x ＋1)(x －1)5的展开式中，含x 4项的系数是________． 『解析』∵(x 2＋x ＋1)(x －1)＝x 3－1， ∴原式可化为(x 3－1)·(x －1)4.故展开式中，含x 4项的系数为C 34(－1)3－C 04＝－4－1＝－5.『答案』－53．(2014·厦门质检)()2－x 8的展开式中不含x 4项的系数的和为________．『解析』()2－x 8展开式中各项的系数和为()2－18＝1，展开式的通项为C r 828－r (－x )r ，则x 4项的系数为C 88×28－8＝1，则()2－x 8展开式中不含x 4项的系数的和为0. 『答案』04．若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5等于________． 『解析』在已知等式两边对x 求导，得5(2x －3)4×2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4，令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝5×(2×1－3)4×2＝10. 『答案』105．(2013·江苏泰州中学5月调研)在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项的二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________.『解析』令x ＝1，得展开式的各项系数之和A ＝4n ，又各项的二项式系数之和B ＝2n ，所以A ＋B ＝4n ＋2n ＝72，即(2n －8)·(2n ＋9)＝0，所以2n ＝8，得n ＝3.故填3. 『答案』3。

第3讲二项式定理最新考纲 1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.知识梳理1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)；(2)通项公式：T r＋1＝C r n a n－r b r，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C k n＝C n－kn增减性二项式系数C k n 当k＜n＋12(n∈N*)时，是递增的当k＞n＋12(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项2Cnn取得最大值当n为奇数时，中间的两项12Cnn-与12Cnn+取最大值(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)C k n a n－k b k是二项展开式的第k项.()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.()解析 二项式展开式中C k n an －k b k是第k ＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.答案 D3.(选修2－3P35练习T1(3)改编)C 02 017＋C 12 017＋C 22 017＋…＋C 2 0172 017C 02 016＋C 22 016＋C 42 016＋…＋C 2 0162 016的值为( ) A.2 B.4C.2 017D.2 016×2 017 解析 原式＝22 01722 016－1＝22＝4.答案 B4.(2017·瑞安市质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 解析 展开式通项为T r ＋1＝C r 9x2(9－r )⎝⎛⎭⎪⎫－12x r＝(－1)r 12r C r 9x 18－3r(其中r ＝0，1，…，9) ∴T 4＝(－1)3123C 39x 9，故第4项的二项式系数为C 39＝84，第4项的系数为 (－1)3123C 39＝－212. 答案 84 －2125.(2017·石家庄调研)(1＋x )n 的二项式展开式中，仅第6项的系数最大，则n ＝________.解析 (1＋x )n 的二项式展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以n2＋1＝6，n ＝10. 答案 106.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 解析T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k.令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.答案 40考点一 求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n的展开式中，第6项为常数项. (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项. 解 (1)通项公式为T k ＋1＝C k n xn －k3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x －k 3＝C k n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k x n －2k 3. 因为第6项为常数项，所以k ＝5时，n －2×53＝0，即n ＝10. (2)令10－2k3＝2，得k ＝2， 故含x 2的项的系数是C 210⎝⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意⎩⎪⎨⎪⎧10－2k 3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N ，令10－2k 3＝r (r ∈Z )，则10－2k ＝3r ，k ＝5－32r ， ∵k ∈N ，∴r 应为偶数.∴r 可取2，0，－2，即k 可取2，5，8， ∴第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为454x 2，－638，45256x －2.规律方法 (1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项. (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解. 【训练1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( ) A.10B.20C.30D.60(2)(2016·全国Ⅰ卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________(用数字作答). (3)(2014·全国Ⅰ卷)(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________(用数字作答). 解析 (1)法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·y 2.其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.法二 (x 2＋x ＋y )5表示5个x 2＋x ＋y 之积.∴x 5y 2可从其中5个因式中选两个因式取y ，两个取x 2，一个取x .因此x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.(2)由(2x ＋x )5得T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝ 25－r C r 5x 5－r 2，令5－r2＝3得r ＝4，此时系数为10.(3)(x －y )(x ＋y )8＝x (x ＋y )8－y (x ＋y )8，∵x (x ＋y )8中含x 2y 7的项为x ·C 78xy 7，y (x ＋y )8中含x 2y 7的项为y ·C 68x 2y 6. 故(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为C 78－C 68＝C 18－C 28＝－20.答案 (1)C (2)10 (3)－20考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题 【例2】 在(2x －3y )10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.解 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9，x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210.(2)令x ＝y ＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29.(4)令x ＝y ＝1，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，② ①＋②得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项系数和为1＋5102；①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项系数和为1－5102.(5)x 的奇次项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9＝1－5102； x 的偶次项系数和为a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝1＋5102.规律方法 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可.(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.【训练2】 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x n的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为( ) A.－27C 39B.27C 39C.－9C 49D.9C 49(2)(2017·义乌调研)(1－3x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝( ) A.1 024B.243C.32D.24解析 (1)令x ＝1得2n＝512，所以n ＝9，故⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－1x 9的展开式的通项为T r ＋1＝C r 9(3x 2)9－r ⎝⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 9·39－r x 18－3r，令18－3r ＝0得r ＝6，所以常数项为T 7＝(－1)6C 69·33＝27C 39.(2)令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|＋|a 5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024. 答案 (1)B (2)A考点三 二项式定理的应用【例3】 (1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除； (2)用二项式定理证明2n >2n ＋1(n ≥3，n ∈N *). 证明 (1)∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C nn －1＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )，显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除. (2)当n ≥3，n ∈N *.2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C n －1n ＋C n n ＝2n ＋2>2n ＋1，∴不等式成立.规律方法(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.(3)由于(a＋b)n的展开式共有n＋1项，故可通过对某些项的取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的.【训练3】求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数.解S＝C127＋C227＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C09×99－C19×98＋…＋C89×9－C99－1＝9(C09×98－C19×97＋…＋C89)－2.∵C09×98－C19×97＋…＋C89是整数，∴S被9除的余数为7.[思想方法]1.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.[易错防范]1.通项T k＋1＝C k n a n－k b k是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.2.区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正.3.切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念.基础巩固题组(建议用时：25分钟)一、选择题1.(2016·四川卷)设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.－15x 4 B.15x 4 C.－20i x 4D.20i x 4解析 (x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r (r ＝0，1，2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A.答案 A2.(2017·台州市调研)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋366的展开式的第二项的系为－3，则a 的值为( ) A.53 B.－1C.3D.113解析∵T r ＋1＝C r 6(ax )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫36r ＝C r 6a 6－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫36r x 6－r， ∴第二项的系数为C 16a 5·36＝－3，∴a ＝－1. 答案 B3.(2017·漳州模拟)在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为( ) A.－7B.7C.－28D.28解析 依题意有n2＋1＝5，∴n ＝8.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x 8的展开式的通项公式T k ＋1＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫128－k C k 8x 8－43k ，令8－43k ＝0得k ＝6，故常数项为T 7＝(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫122C 68＝7.答案 B4.(2015·湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29B.210C.211D.212解析 由题意，C 3n ＝C 7n ，解得n ＝10.则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A. 答案 A5.(2016·海口调研)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13 B.12C.1D.2解析 依题意，注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10·x10－2r ，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.答案 D6.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( ) A.63B.64C.31D.32解析 逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A.答案 A7.(2017·宁波十校联考)设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 5x 5，那么(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2的值为( ) A.32B.－32C.243D.－243解析 ∵(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴令x ＝1，有a 0＋a 1＋…＋a 5＝1，再令x ＝－1，有a 0－a 1＋…－a 5＝35＝243，∴(a 1＋a 3＋a 5)2－(a 0＋a 2＋a 4)2＝－(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3＋a 5)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3－a 5)＝－243. 答案 D8.(2017·九江模拟)(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为( ) A.－210B.210C.30D.－30解析 (x 2－x ＋1)10＝[(x 2－x )＋1]10的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 10(x 2－x )10－r ，对于(x 2－x )10－r 的通项公式为T r ′＋1＝(－1)r ′C r ′10－r x20－2r －3r ′.令20－2r －r ′＝3，根据0≤r ′≤10－r ，r ，r ′∈N ，解得⎩⎨⎧r ＝8，r ′＝1或⎩⎨⎧r ＝7，r ′＝3，∴(x 2－x ＋1)10展开式中x 3项的系数为C 810C 12(－1)＋C 710C 33(－1)＝－90－120＝－210.答案 A 二、填空题9.(2016·北京卷)在(1－2x )6的展开式中，x 2的系数为________(用数字作答).解析 (1－2x )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(－2x )k ＝C k 6(－2)k ·x k ，令k ＝2得x 2的系数为C 26(－2)2＝60.答案 6010.(2016·山东卷)若⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________(用数字作答).解析 ⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(ax 2)5－r ·x －r 2＝C r 5a 5－r ·x 10－5r 2，令10－52r ＝5，得r ＝2，所以C 25a 3＝－80，解得a ＝－2. 答案 －211.若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________(用数字作答).解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T k ＋1＝C k 5(1＋x )5－k ·(－1)k ，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10. 答案 1012.若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 0＝________；a 2＋a 4＋…＋a 12＝________(用数字作答).解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1，∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364. 答案 1 36413.(2017·乐清检测)(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数是________(用数字作答).解析 (3－2x )5的展开式的通项公式：T r ＋1＝C r 535－r (－2x )r ，令r ＝5，可得(2x －1)(3－2x )5的展开式中，含x 次数最高的项的系数为2×(－2)5＝－64. 答案 －64能力提升题组(建议用时：15分钟)14.设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 016＋a 能被13整除，则a ＝( )A.0B.1C.11D.12解析 ∵512 016＋a ＝(52－1)2 016＋a ＝C 02 016·522 016－C 12 016·522 015＋C 22 016·522 014＋…－C 2 0152 016·52＋1＋a 能被13整除，且0≤a <13，∴1＋a 能被13整除，故a ＝12.答案 D15.(2017·青岛模拟)已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A.5B.6C.7D.8 解析 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1，2，3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.答案 B16.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A.45B.60C.120D.210解析 在(1＋x )6的展开式中，x m 的系数为C m 6，在(1＋y )4的展开式中，y n 的系数为C n 4，故f (m ，n )＝C m 6·C n 4.所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.答案 C17.(2017·宁波月考)已知二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则展开式中x 的系数为________.解析 由已知得4n 2n ＝64，所以n ＝6.展开式的通项为T r ＋1＝3r C r 6x3－r ，令3－r ＝1得r ＝2，所以x 的系数为9C 26＝135.答案 13518.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝(2x －3)n 展开式的二项式系数和为512，且(2x －3)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a n (x －1)n .(1)a 2的值为________；(2)a1＋a2＋a3＋…＋a n的值为________.解析(1)由f(x)＝(2x－3)n展开式的二项式系数和为512，可得2n＝512，∴n＝9.∵(2x－3)9＝[－1＋2(x－1)]9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，∴a2＝C29·(－1)7·22＝－144.(2)在(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9中，令x＝1，可得a0＝－1.再令x＝2，可得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a n＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2.答案(1)－144(2)2。

第三节 二项式定理二项式定理的应用(1)能用计数原理证明二项式定理．(2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 知识点一 二项式定理 1．定理公式(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n nb n (n ∈N *)叫作二项式定理． 2．通项T k ＋1＝C k n an －k b k为展开式的第k ＋1项． 易误提醒 (1)二项式的通项易误认为是第k 项实质上是第k ＋1项．(2)(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k (k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．[自测练习]1.⎝⎛⎭⎫2x －1x 6的展开式中常数项为________． 解析：由题意可知常数项为C 46(2x )2⎝⎛⎭⎫－1x 4＝60. 答案：602.⎝⎛⎭⎪⎫x －124x 8的展开式中的有理项共有________项． 解析：∵T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 8x 16－3r 4∴r 为4的倍数，故r ＝0,4,8共3项． 答案：3知识点二 二项式系数与项的系数 1．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数二项展开式中各项的系数C k n (k ∈{0,1，…，n })叫作二项式系数． (2)项的系数项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．2．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k<n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k>n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn2n；当n 是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和⎭⎫第n＋12＋1项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn－12n或Cn＋12n3.各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.易误提醒二项式系数与展开式项的系数的异同：在T k＋1＝C k n a n－k b k中，C k n就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；T k＋1项的系数指化简后除字母以外的数，如a＝2x，b＝3y，T k＋1＝C k n2n－k·3k x n－k y k，其中C k n2n－k3k就是T k ＋1项的系数．[自测练习]3．(2015·高考四川卷)在(2x－1)5的展开式中，含x2的项的系数是________．(用数字填写答案)．解析：由二项展开式的通项T r＋1＝C r5(2x)5－r(－1)r(r＝0,1，…，5)知，当r＝3时，T4＝C35(2x)5－3(－1)3＝－40x2，所以含x2的项的系数是－40.答案：－404．C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n＋1)C n n＝________.解析：设S＝C0n＋3C1n＋5C2n＋…＋(2n－1)·C n－1n＋(2n＋1)C n n，∴S＝(2n＋1)C n n＋(2n－1)C n－1n＋…＋3C1n＋C0n，∴2S＝2(n＋1)(C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n)＝2(n＋1)·2n，∴S＝(n＋1)·2n.答案：(n ＋1)·2n考点一 二项展开式中特定项与系数问题|1．(2016·海淀模拟)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为( ) A ．12 B ．－12 C ．6D ．－6解析：由题意可得，二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 3·(x 2)3－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 3x 6－3r ，令6－3r ＝0，得r ＝2，∴⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3的展开式中的常数项为T 2＋1＝(－2)2C 23＝12，故选A. 答案：A2．(2015·高考安徽卷)⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 7的展开式中x 5的系数是________．(用数字填写答案) 解析：由题意知，展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(x 3)7－r ⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 7x 21－4r ，令21－4r ＝5，则r ＝4，∴T 5＝C 47x 5＝35x 5，故x 5的系数为35.答案：353．若⎝⎛⎭⎫1x －x x n 展开式中含有x 2项，则n 的最小值是________．解析：⎝⎛⎭⎫1x －x x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·⎝⎛⎭⎫1x n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .依题意得，关于r 的方程52r －n ＝2，即r ＝2×(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，n 的最小值是3.答案：3求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r ＋1，代回通项公式即可．考点二 二项式系数性质与各项系数和问题|(1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是( )A ．360B ．180C ．90D ．45(2)若a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4，则a 2＋a 3＋a 4＝________. [解析] (1)展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式总共11项，所以n ＝10， 通项公式为T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r x 5－52r ， 所以r ＝2时，常数项为180.(2)x 4＝[(x －1)＋1]4＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44，对照a 1(x －1)4＋a 2(x －1)3＋a 3(x －1)2＋a 4(x －1)＋a 5＝x 4得a 2＝C 14，a 3＝C 24，a 4＝C 34，所以a 2＋a 3＋a 4＝C 14＋C 24＋C 34＝14.[答案] (1)B (2)14(1)赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大． (2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛⎭⎫第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1项的二项式系数相等并最大．(2015·成都一中模拟)设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A. 答案：A考点三 多项式展开式中特定项或系数问题|在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：1．几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题． 2．几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题． 3．三项展开式中的特定项(系数)问题．探究一几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题1．(2016·商丘月考)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是()A．74 B．121C．－74 D．－121解析：展开式中含x3项的系数为C35(－1)3＋C36(－1)3＋C37(－1)3＋C38(－1)3＝－121.答案：D探究二几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题2．(2015·高考全国卷Ⅱ)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝________.解析：法一：直接将(a＋x)(1＋x)4展开得x5＋(a＋4)x4＋(6＋4a)x3＋(4＋6a)x2＋(1＋4a)x ＋a，由题意得1＋(6＋4a)＋(1＋4a)＝32，解得a＝3.法二：(1＋x)4展开式的通项为T r＋1＝C r4x r，由题意可知，a(C14＋C34)＋C04＋C24＋C44＝32，解得a＝3.答案：3探究三三项展开式中特定项(系数)问题3．(2015·高考全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10 B．20C．30 D．60解析：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5的展开式中只有C25(x2＋x)3y2中含x5y2，易知x5y2的系数为C25C13＝30，故选C.答案：C(1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决．30.一般与特殊的思想在二项式问题中的应用(赋值法)【典例】若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值是________．[思维点拨] 要求解的问题与二项式系数有关考虑赋值法，令x ＝±1，可求得奇数项与偶数项系数之和．[解析] 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，① 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－2＋3)4.②故(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 1＋a 3)(a 0＋a 2＋a 4－a 1－a 3)＝(2＋3)4×(－2＋3)4＝(3－4)4＝1.[答案] 1[方法点评] 赋值法是求展开式中的系数与系数和的常用方法，注意所赋的值要有利于问题的解决，可以取一个或几个值，常赋的值为0，±1.一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2. [跟踪练习] 若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝________. 解析：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，则a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.答案：364A 组 考点能力演练1．若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中的所有二项式系数之和为512，则该展开式中常数项为( ) A ．－84 B ．84 C ．－36D ．36解析：由二项式系数之和为2n ＝512，得n ＝9.又T r ＋1＝(－1)r C r 9x18－3r ， 令18－3r ＝0，得r ＝6，故常数项为T 7＝84.故选B. 答案：B2．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：(1＋x )5中含x 与x 2的项为T 2＝C 15x ＝5x ，T 3＝C 25x 2＝10x 2，∴x 2的系数为10＋5a ＝5，∴a ＝－1.答案：D3．(2016·青岛模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.答案：B4．(2016·西城一模)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2m 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是( )A ．21B ．－21C ．7D ．－7解析：∵2m ＝128，∴m ＝7，∴展开式的通项T r ＋1＝C r 7(3x )7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r ＝C r 737－r (－1)r x 7－5r3， 令7－53r ＝－3，解得r ＝6，∴1x 3的系数为C 6737－6(－1)6＝21，故选A. 答案：A5．(2016·广州调研)已知a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ，则二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的展开式中x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．80D ．－80解析：a ＝2⎠⎛0πcos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6d x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6| π0＝－2，展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(－2)r x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，T 4＝C 35(－2)3x ＝－80x.答案：D6.⎝⎛⎭⎫x －12x 6的展开式中常数项为________． 解析：⎝⎛⎭⎫x －12x 6的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k ⎝⎛⎭⎫－12x k ＝⎝⎛⎭⎫－12k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0，得k ＝3，故展开式中常数项为－52.答案：－527．(2015·高考天津卷)在⎝⎛⎭⎫x －14x 6的展开式中，x 2的系数为________． 解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －14x 6展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 6x 6－r ·⎝⎛⎭⎫－14r x －r ＝C r 6⎝⎛⎭⎫－14r x 6－2r ，令6－2r ＝2，解得r ＝2，故x 2的系数为C 26⎝⎛⎭⎫－142＝1516. 答案：15168．若(1－2x)2 015＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 015x 2 015，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝________.解析：当x 0＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01522 015＝－1 答案：－19．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求正数a 的值．解：⎝⎛⎭⎫165x 2＋1x 5展开式的通项T r ＋1＝C r5⎝⎛⎭⎫165x 25－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝⎝⎛⎭⎫1655－r C r 5x 20－5r 2， 令20－5r ＝0，得r ＝4，故常数项T 5＝C 45·165＝16，又(a 2＋1)n 展开式的各项系数之和为2n ， 由题意，得2n ＝16，∴n ＝4.∴(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3，从而C 24(a 2)2＝54，∴a ＝ 3.10．(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *)能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数．解：(1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是整数，∴S 被9除的余数为7.B 组 高考题型专练1．(2014·高考湖北卷)若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1D.24解析：T r ＋1＝C r 7·(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝27－r C r 7a r ·1x 2r －7.令2r －7＝3，则r ＝5.由22·C 57a 5＝84得a ＝1，故选C.答案：C2．(2014·高考四川卷)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )A ．30B ．20C ．15D ．10解析：在(1＋x )6的展开式中，含x 2的项为T 3＝C 26·x 2＝15x 2，故在x (1＋x )6的展开式中，含x 3的项的系数为15.答案：C3．(2015·高考湖北卷)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：因为(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以C 3n ＝C 7n，解得n ＝10，所以二项式(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为12×210＝29.答案：A4．(2015·高考广东卷)在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________． 解析：由题意得T r ＋1＝C r 4(x )4－r (－1)r ＝(－1)r C r 4·x 4－r 2，令4－r2＝1，得r ＝2，所以所求系数为(－1)2C 24＝6.答案：65．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.解析：展开式通项为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－56r .令52－56r ＝0，得r ＝3， 当r ＝3时，T 4＝C 35(－1)3＝－10.故A ＝－10.答案：－10。

10.7 二项式定理考纲传真1.能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.1．二项式定理(1)(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (2)第r ＋1项，T r ＋1＝C r n an －r b r． (3)第r ＋1项的二项式系数为C r n ． 2．二项式系数的性质(1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n ．(2)二项式系数先增后减中间项最大且n 为偶数时第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n ；当n 为奇数时，第n ＋12项和n ＋32项的二项式系数最大，最大值为C n －12n 或C n ＋12n ．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1．1．(人教A 版教材习题改编)(1＋x )6的展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．20x 3 B ．15x 2 C ．15x 4 D ．x 6『解析』 二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数最大，∴T 4＝C 36x 3＝20x 3.『答案』 A2．(2012·天津高考)在(2x 2－1x )5的二项展开式中，x 的系数为( )A ．10B ．－10C ．40 D．－40『解析』 因为T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r (－1x)r＝C r 525－r x 10－2r(－1)r x －r ＝C r 525－r (－1)r x 10－3r，令10－3r ＝1，所以r ＝3，所以x 的系数为C 3525－3(－1)3＝－40. 『答案』 D3．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为( ) A ．1 B ．129 C ．128 D ．127『解析』 令x ＝1得a 0＋a 1＋…＋a 7＝128.令x ＝0得a 0＝(－1)7＝－1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝129. 『答案』 B4．(2012·陕西高考)(a ＋x )5展开式中x 2的系数为10，则实数a 的值为________．『解析』 (a ＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5a 5－r x r . 当r ＝2时，由题意知C 25a 3＝10，∴a 3＝1，∴a ＝1.『答案』 15．(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝________．『解析』 T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r . 由已知条件35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n .n ！5！（n －5）！＝3n ！6！（n －6）！，整理得n ＝7.『答案』 7(见学生用书第201页)通项公式及其应用已知在(3x －123x )n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求含x 2的项的系数； (2)求展开式中所有的有理项．『思路点拨』 (1)写出通项T r ＋1，先求n ，再求含x 2的项的系数．(2)寻找使x 的指数为整数的r 值，从而确定有理项．『尝试解答』 (1)(3x －123x )n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－12)r x －r 3＝C r n (－12)rx n －2r3.因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2， ∴含x 2的项的系数为C 210(－12)2＝454. (2)根据通项公式，由题意10－2r 3∈Z ，且0≤r ≤10.令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k . ∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2，0，－2，即r 可取2，5，8.所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为C 210(－12)2x 2，C 510(－12)5，C 810(－12)8x －2.,1．解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r )；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．(1)(2012·浙江高考)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．(2)设二项式(x －a x)6(a ＞0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．『解析』 (1)f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.(2)(x －a x)6展开式的通项T r ＋1＝(－a )r C r 6x 6－32r ， ∴A ＝(－a )2C 26，B ＝(－a )4C 46，由B ＝4A ，得(－a )4C 46＝4(－a )2C 26，解之得a ＝±2.又a ＞0，所以a ＝2. 『答案』 (1)10 (2)2二项展开式的系数与二项式系数(1)(2013·厦门模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3(2)(2012·大纲全国卷)若(x ＋1x )n 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中1x2的系数为________．『思路点拨』 (1)先赋值求a 0及各项系数和，进而求得n 值，再运用二项式系数性质与通项公式求解．(2)根据二项式系数性质，由C 2n ＝C 6n ，确定n 的值，求出1x2的系数． 『尝试解答』 (1)∵(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， 令x ＝0，得a 0＝1.令x ＝1，则(1＋1)n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝64，∴n ＝6， 又(1＋x )6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1＋x )6的展开式系数最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3. (2)由题意知，C 2n ＝C 6n ，∴n ＝8.∴T r ＋1＝C r 8·x 8－r ·(1x )r ＝C r 8·x 8－2r ， 当8－2r ＝－2时，r ＝5， ∴1x 2的系数为C 58＝C 38＝56. 『答案』 (1)B (2)56,1．第(1)题求解的关键在于赋值，求出a 0与n 的值；第(2)小题在求解过程中，常因把n的等量关系表示为C 3n ＝C 7n ，而求错n 的值．2．求解这类问题要注意：(1)区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质．(2)根据题目特征，恰当赋特殊值代换．对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值和等问题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式)．赋值时要注意根据目标式进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，－1或目标式的值．(2013·合肥质检)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则(1)a10＋a11＝________；(2)a1＋a2＋…＋a21＝________．『解析』(1)由二项展开式知T r＋1＝C r21x21－r(－1)r，∴a10＋a11＝C1121(－1)11＋C1021(－1)10＝－C1121＋C1021＝－C1021＋C1021＝0.(2)令x＝0，得a0＝－1，令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋a21＝0，所以a1＋a2＋…＋a21＝1.『答案』(1)0(2)1二项式定理的应用(2012·湖北高考)设a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，则a＝() A．0B．1C．11D．12『思路点拨』注意到52能被13整除，化51为52－1，从而运用二项式定理展开512012，由条件求a的值．『尝试解答』512 012＋a＝(52－1)2 012＋a＝C02 012·522 012－C12 012·522 011＋…＋C2 0112 012×52·(－1)2 011＋C2 0122 012·(－1)2 012＋a，∵C02 012·522 012－C12 012·522 011＋…＋C2 0112 012×52·(－1)2 011能被13整除．且512 012＋a能被13整除，∴C2 0122 012·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除．因此a可取值12.『答案』D,1．本题求解的关键在于将512 012变形为(52－1)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系．2．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开．但要注意两点：(1)余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈『0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用．1－90C110＋902C210－903C310＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010除以88的余数是()A．－1B．1C．－87D．87『解析』1－90C110＋902C210＋…＋(－1)k90k C k10＋…＋9010C1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C110889＋…＋C91088＋1∵前10项均能被88整除，∴余数是1.『答案』B一个定理二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)揭示二项展开式的规律，一定牢记通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r.一个防范切记二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．两种应用1.通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．2．展开式的应用：利用展开式(1)可求解与二项式系数有关的求值；(2)可证明不等式；(3)可证明整除问题(或求余数)．三条性质1.对称性．2．增减性．3．各项二项式系数的和．(见学生用书第202页)从近两年的高考试题来看，求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的热点，题型为选择题或填空题，属容易题，在考查基本运算、基本概念的基础上注重考查方程思想、等价转化思想．预测2014年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用．思想方法之十九 赋值法在二项展开式中的应用(2012·上海高考改编)(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40 『解析』 在(x ＋a x )(2x －1x )5中，令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝1＋a ＝2，∴a ＝1.∵(2x －1x )5展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x)r ＝C r 5·25－r (－1)r ·x 5－2r.令5－2r ＝1，得2r ＝4，即r ＝2，因此(2x －1x )5展开式中x 的系数为C 2525－2(－1)2＝80. 令5－2r ＝－1，得2r ＝6，即r ＝3，因此(2x －1x )5展开式中1x 的系数为C 3525－3·(－1)3＝－40. 所以(x ＋1x )(2x －1x )5展开式中的常数项为80－40＝40.『答案』 D易错提示：(1)混淆各项系数的和与二项式系数和，难以运用赋值法正确求出a 的值． (2)对展开式中的常数项的来源构成分析不清，盲目把(x ＋a x )(2x －1x )5全部展开，运算繁琐，导致计算错误．防范措施：(1)二项式定理是一个恒等式，因此我们可以根据需要对变量x 进行赋值，从而得到关于参数的方程，求出参数的值．(2)展开式的常数项来源于：①“x ＋a x ”中的x 与(2x －1x )5展开式中含1x 的项相乘；②ax 与(2x－1x)5展开式中含x 的项相乘．1．(2013·烟台模拟)设(5x －1x)n的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 『解析』 由已知条件4n －2n ＝240，解得n ＝4，T r ＋1＝C r 4(5x )4－r (－1x)r ＝(－1)r 54－r C r 4x 4－3r 2， 令4－3r2＝1，得r ＝2，T 3＝150x . 『答案』 B2．(2012·安徽高考)(x 2＋2)(1x 2－1)5的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3『解析』 二项式(1x 2－1)5展开式的通项为：T r ＋1＝C r 5(1x 2)5－r·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2， 即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0， 即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 『答案』 D。

二项式定理教案一、引言二项式定理是初中数学中的重要内容，也是高中数学中的基础知识。

它是指对于任意实数a和b，以及任意正整数n，有以下公式成立：(a+b)n=∑(n k )nk=0a n−kb k其中，(nk )表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数，也称为二项式系数。

二项式定理的应用非常广泛，例如在概率论、组合数学、统计学等领域都有重要的应用。

因此，掌握二项式定理的基本概念和应用方法对于学生的数学学习和未来的职业发展都具有重要意义。

本教案旨在通过讲解二项式定理的基本概念、证明方法和应用实例，帮助学生深入理解二项式定理的本质和应用，提高数学思维和解决问题的能力。

二、基本概念1. 二项式系数二项式系数是指从n个不同元素中取出k个元素的组合数，用符号(nk )表示，读作“n选k”。

二项式系数的计算公式为：(nk)=n!k!(n−k)!其中，n!表示n的阶乘，即n!=n×(n−1)×⋯×2×1。

二项式系数具有以下性质：1.对称性：(nk)=(nn−k)2.加法公式：(nk)+(nk+1)=(n+1k+1)3.乘法公式：(nk)(km)=(nm)(n−mk−m)2. 二项式定理二项式定理是指对于任意实数 a 和 b ，以及任意正整数 n ，有以下公式成立：(a +b)n=∑(n k )nk=0a n−k b k 其中，(n k ) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数，也称为二项式系数。

二项式定理的证明可以采用数学归纳法或组合意义等方法，具体证明过程将在下一节中介绍。

3. 二项式定理的特殊情况当 n =2 时，二项式定理可以简化为：(a +b)2=a 2+2ab +b 2当 n =3 时，二项式定理可以简化为：(a +b)3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3当 n =4 时，二项式定理可以简化为：(a +b)4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4以此类推，可以得到任意正整数 n 的二项式定理的展开式。

2018年高考数学一轮复习精品教学案10.3 二项式定理（新课标人教版，学生版）【考纲解读】1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.排列、组合与二项式定理是历年来高考重点内容之一,一般在选择题、填空题中出现，主要考查两个计数原理、排列数与组合数公式的运用、实际应用以及二项展开式，在考查排列、组合与二项式定理基础知识的同时，又考查转化思想和分类讨论等思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2018年的高考将会继续保持稳定,坚持考查这部分的基础知识,命题形式相对比较稳定.【要点梳理】1. 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n an －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数C rn (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －r n .(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值； 当n 是奇数时，中间两项Cn －12n ，C n ＋12n 取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.【例题精析】考点一 二项展开式中的特定项或特定项的系数例1.(2018年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（ ） （A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40【变式训练】1. (2018年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3考点二 二项式定理中的赋值例2. (2018年高考全国新课标卷理科8)512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40【变式训练】2.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7.【易错专区】问题：综合应用例. (2018年高考全国卷理科15)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为 . 【课时作业】1. (2018年高考重庆卷理科4)8的展开式中常数项为( ) A.1635 B.835 C.435 D.1182．(2018年高考天津卷理科5)在6⎫⎝的二项展开式中，2x 的系数为（ ） A ．154- B ．154C ．38-D ．383.(2018年高考陕西卷理科4)6(42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是( )（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）204. (2018年高考山东卷理科14)若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 . 5．(广东省肇庆市中小学教学质量评估2018届高中毕业班第一次模拟理科)在1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是 .（用数字作答）【考题回放】1.(2018年高考四川卷理科1)7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、42B 、35C 、28D 、212. (2018年高考重庆卷文科4)5(13)x - 的展开式中3x 的系数为( )（A ）-270 （B ）-90 （C ）90 （D ）2703.(2018年高考重庆卷理科4)()13n x +（其中n N ∈且6a ≥）的展开式中5x 与6x 的系数相等，则n =( )（A ）6 (B)7(C) 8 (D)94. (2018年高考广东卷理科10)261()x x+的展开式中3x 的系数为______.（用数字作答） 5. (2018年高考福建卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，则实数=a _________.6．(2018年高考上海卷理科5)在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .7. (2018年高考湖南卷理科13) ()6的二项展开式中的常数项为 .（用数字作答） 8. (2018年高考陕西卷理科12)5()a x +展开式中2x 的系数为10， 则实数a 的值为 ． 9.(2018年高考浙江卷理科13)若二项式)0(6>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x a x 的展开式中x 3的系数为A ， 常数项为B ，若4B A =，则a 的值是 .10.(2018年高考安徽卷理科12)设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= .。

§10.3 二项式定理最新考纲 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 1．二项式定理二项式定理 (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n an －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)二项展开式的通项公式 T k ＋1＝C k n an －k b k，它表示第k ＋1项 二项式系数二项展开式中各项的系数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })2.二项式系数的性质 (1)C 0n ＝1，C nn ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C mn . (2)C m n ＝C n －mn .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n. 概念方法微思考1．(a ＋b )n与(b ＋a )n的展开式有何区别与联系？提示 (a ＋b )n的展开式与(b ＋a )n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同． 2．二项展开式形式上有什么特点？ 提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C nn .3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？ 提示 不一定最大，当二项式中a ，b 的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定． 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)C k n an －k b k是二项展开式的第k 项．( × )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a ＋b )n的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．( √ ) (4)(a －b )n的展开式第k ＋1项的系数为C k n an －k b k.( × )(5)(x －1)n的展开式二项式系数和为－2n.( × ) 题组二 教材改编2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80B ．40C ．20D ．10 答案 B解析 T k ＋1＝C k5(2x )k＝C k 52k x k，当k ＝2时，x 2的系数为C 25·22＝40.3．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120 答案 B解析 二项式系数之和2n＝64，所以n ＝6，T k ＋1＝C k6·x6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k＝C k 6x6－2k，当6－2k ＝0，即当k ＝3时为常数项，T 4＝C 36＝20.4．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6 答案 B解析 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，两式相加得a 0＋a 2＋a 4＝8. 题组三 易错自纠5．(x －y )n的二项展开式中，第m 项的系数是( ) A ．C mn B ．C m ＋1nC ．C m －1n D ．(－1)m －1Cm －1n答案 D解析 (x －y )n二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n (－y )m －1x n －m ＋1， 所以系数为C m －1n (－1)m －1.6．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 答案 B解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)． 又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.7．(2018·海淀模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x 5的二项展开式中，x 3的系数为________．答案 10解析 因为其通项为T k ＋1＝C k 5x5－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k＝2k ·C k 5·x 5－2k，令5－2k ＝3，得k ＝1，所以x 3的系数为21×C 15＝10. 题型一 二项展开式命题点1 求指定项(或系数) 例1(1)(2017·全国Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35 答案 C解析 因为(1＋x )6的通项为C k 6x k，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中含x 2的项为1·C 26x 2和1x 2·C 46x 4.因为C 26＋C 46＝2C 26＝2×6×52×1＝30，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为30.故选C.(2)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项为________． 答案 160x 6解析 因为(x 2－4)5的展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k(－4)k＝(－4)k C k 5x10－2k，令10－2k ＝6，得k ＝2，所以含x 6的项为T 3＝(－4)2·C 25x 6＝160x 6. 命题点2 求参数例2(1)(2018·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13B.12C ．1D ．2 答案 D 解析由题意得⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T k ＋1＝C k 10·x10－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 10x 10－2k，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当k ＝3时)，x 6(当k ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，故选D.(2)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式中常数项为1516，则实数a 的值为( )A ．±2B.12C ．－2D ．±12答案 A 解析⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1ax 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax k ＝C k 6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k x 12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4.故C46·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝1516，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＝116，解得a ＝±2，故选A.思维升华求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．跟踪训练1(1)(2017·全国Ⅲ)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 答案 C解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40，x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40. 故选C.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案 12解析 通项为T k ＋1＝C k 10x10－k a k，令10－k ＝7，∴k ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15， ∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题例3(1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____________. 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3.(2)(2018·汕头质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．答案 1或－3解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.(3)若⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________．答案 255 解析⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C kn(x 2)n －k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝C kn (－1)k x2n －3k，当k ＝5时，2n －3k ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n，(ax2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.跟踪训练2已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2187. 题型三 二项式定理的应用例4(1)设a ∈Z 且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a 等于( )A ．0B ．1C ．11D ．12 答案 D 解析 512012＋a ＝(52－1)2012＋a ＝C 02012·522012－C 12012·522011＋…＋C 20112012·52·(－1)2011＋C 20122012·(－1)2012＋a ，∵C 02012·522012－C 12012·522011＋…＋C 20112012·52·(－1)2011能被13整除且512012＋a 能被13整除，∴C 20122012·(－1)2012＋a ＝1＋a 也能被13整除，因此a 的值为12.(2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x2017等于( )A ．iB ．－IC ．－1＋iD ．－1－i 答案 C解析 x ＝2i1－i＝2i 1＋i1－i 1＋i＝－1＋i ，C 12017x ＋C 22017x 2＋C 32017x 3＋…＋C 20172017x 2017＝(1＋x )2017－1＝i2017－1＝i －1.思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解． (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系；②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．跟踪训练3(1)(2018·泉州模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是( ) A ．－1B ．1C ．－87D ．87 答案 B解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1. (2)若(1－2x )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2018x2018，则a 12＋a 222＋…＋a 201822018＝________. 答案 －1解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 201822018，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 201822018，即a 12＋a 222＋…＋a 201822018＝－1.1．(2018·贵港联考)在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为()A ．－240B ．－60C ．60D ．240 答案 D 解析⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 6的展开式中，通项公式为T k ＋1＝C k 6(x 2)6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k 6x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，故常数项为T 5＝(－2)4C 46＝240，故选D.2．(2018·南宁联考)⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为()A ．80B ．－80C ．－40D ．48 答案 B 解析⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k·25－k·C k 5·x 5－2k，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80，故选B.3．(2018·广州海珠区模拟)(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．80 答案 D解析 (2x －y )6的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 6(2x )6－k(－y )k，当k ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当k ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80，故选D.4．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为( )A ．21B ．35C ．45D ．28 答案 B解析 ∵T k ＋1＝C k n (3x )k ＝3k C k n x k ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，因此，x 4的二项式系数为C 47＝35，故选B. 5．(4x－2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20B ．－15C ．15D ．20答案 C解析 设展开式中的常数项是第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 6·(4x )6－k·(－2－x )k＝C k 6·(－1)k ·212x －2kx·2－kx＝C k 6·(－1)k ·212x －3kx，∵12x －3kx ＝0恒成立，∴k ＝4， ∴T 5＝C 46·(－1)4＝15.6．(2018·海南联考)(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为( )A ．－3B ．－2C ．1D ．4 答案 B解析 (x －1)4的通项为T k ＋1＝C k 4x4－k(－1)k ，(x 2＋x ＋1)(x －1)4的展开式中，x 3的系数为C 34(－1)＋C 24＋C 14(－1)＝－2，故选B.7．(2018·长郡中学质检)若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x 2的项的系数为( ) A ．560B ．－560C ．280D ．－280 答案 A 解析 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋a x 7的展开式中的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7·(x 2)7－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝C k 7·(－2)k ·x 14－3k.令14－3k ＝2，得k ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560，故选A.8．(2018·益阳市、湘潭市调考)若(1－3x )2018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2018x 2018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2018·32018的值为( )A ．22018－1 B ．82018－1C ．22018D ．82018答案 B解析 由已知，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2018·32 018＝82 018－a 0＝82 018－1，故选B.9．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答) 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5， 它的通项为T k ＋1＝C k5(1＋x )5－k·(－1)k，T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.10．若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________. 答案 0 解析⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6a6－k ·b k x 12－3k，令12－3k ＝3，则k ＝3，∴⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0. 11．9192除以100的余数是________．解析 9192＝(90＋1)92＝C 0929092＋C 1929091＋…＋C 9092902＋C 919290＋C 9292＝k ×100＋92×90＋1＝k ×100＋82×100＋81(k 为正整数)，所以9192除以100的余数是81.12．(2018·南阳模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝__________.(用数字作答) 答案 364解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36， 令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.13．(2018·珠海模拟)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)等于( ) A ．45B ．60C ．120D ．210 答案 C解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3) ＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.14．(2018·衡水模拟)已知⎝⎛⎭⎪⎫x －12x n (n ∈N *)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则p ＋64q 的最小值为________．解析 显然p ＝2n .令x ＝1，得q ＝12n .所以p ＋64q ＝2n＋642n≥22n·642n ＝16，当且仅当2n＝642n ，即n ＝3时取等号，此时p＋64q 的最小值为16.15．求⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －35的展开式中的常数项．解⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －35表示五个⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x,2x ，1x，1x，－3，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ，1x ，－3，－3，－3，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－3)3＝－1080，则展开式中常数项为－360－243－1080＝－1683.16．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋24x n展开式中前三项的系数和为163，求：(1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1,2C 1n ，4C 2n . 由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163，可得n ＝9. (1)设展开式中的有理项为T k ＋1，由T k ＋1＝C k 9(x )9－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫24x k＝183492C k kk x-，又∵0≤k ≤9，∴k ＝2,6. 故有理项为T 3＝183222492C x-⨯⋅＝144x 3，T 7＝183666492C x-⨯⋅⋅＝5376.(2)设展开式中T k ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧2k C k 9≥2k ＋1C k ＋19，2k C k9≥2k －1C k －19，∴173≤k ≤203，又∵k ∈N ，∴k ＝6，故展开式中系数最大的项为T 7＝5376.。

10.7 二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．『梳理自测』一、二项式定理及特点1．(教材改编)若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．62．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．103．(教材改编)二项式⎝⎛⎭⎫x 3－1x 25的展开式中的常数项为( ) A ．10 B ．－10 C ．－14 D ．14 『答案』1.B 2.B 3.A◆以上题目主要考查了以下内容： (1)二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n nb n (n ∈N *)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫二项式系数．式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n an －r b r. (2)二项展开式形式上的特点 ①项数为n ＋1.②各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .③字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .④二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .二、二项式系数的性质1．若⎝⎛⎭⎫x －12n 的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( ) A.132 B.164 C ．－164 D.11282．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－405 D ．405 『答案』1.B 2.C◆以上题目主要考查了以下内容：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n ＝C n －rn (r ＝0,1，…，n )(2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋12时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项C n 2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项C n －12n ，Cn ＋12n 取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ；C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n＋C 5n＋…＝2n －1. 『指点迷津』1．一个防范运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n an －r b r，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分，前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．2．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续．3．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：①证明与二项式系数有关的等式；②证明不等式；③证明整除问题；④做近似计算等．考向一 二项展开式中的特定项或系数(1)(2013·高考安徽卷)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.(2)(2013·高考江西卷)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40『审题视点』 根据二项展开式的通项公式，令x 的次数为4，则为x 4的项，含x 的次数为0，则为常数项．『典例精讲』 (1)含x 4的项为C 38x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＝C 38a 3x 4，∴C 38a 3＝7，∴a ＝12. (2)设展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5·(x 2)5－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5·x 10－2r ·(－2)r ·x －3r ＝C r 5·(－2)r ·x 10－5r .若第r ＋1项为常数项，则10－5r ＝0，得r ＝2，即常数项T 3＝C 25(－2)2＝40. 『答案』 (1)12(2)C『类题通法』 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，含字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．1．(2014·浙江省温州市调研)(x －12x)6的展开式中的常数项是________．『解析』二项式(x －12x )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r (－12x )r ＝(－12)r C r 6x 3－3r2， ∴当r ＝2时，T r ＋1是常数项，此时T 3＝154.『答案』154考向二 二项展开式的系数和问题在(2x －3y )10的展开式中，求：(1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和．『审题视点』 分清二项式系数与项的系数，奇数项与偶数项，正确赋值．『典例精讲』 设(2x －3y )10＝a 0x 10＋a 1x 9y ＋a 2x 8y 2＋…＋a 10y 10，(*)各项系数和即为a 0＋a 1＋…＋a 10，奇数项系数和为a 0＋a 2＋…＋a 10，偶数项系数和为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 9由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和．(1)二项式系数的和为C 010＋C 110＋…＋C 1010＝210. (2)令x ＝y ＝1，各项系数和为 (2－3)10＝(－1)10＝1. (3)奇数项的二项式系数和为C 010＋C 210＋…＋C 1010＝29， 偶数项的二项式系数和为C 110＋C 310＋…＋C 910＝29. (4)令x ＝y ＝1，得到 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝1，① 令x ＝1，y ＝－1(或x ＝－1，y ＝1)， 得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝510，②①＋②，得2(a 0＋a 2＋…＋a 10)＝1＋510， ∴奇数项的系数和为1＋5102；①－②，得2(a 1＋a 3＋…＋a 9)＝1－510， ∴偶数项的系数和为1－5102.『类题通法』 (1)对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.2．(2014·福建厦门模拟)设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，则展开式中系数最大的项是( )A ．15x 2B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3『解析』选B.令x ＝1，则(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝64， ∴n ＝6.故(1＋x )6的展开式中最大项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.考向三 二项式定理的综合应用(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n －1(n ∈N *) 能被31整除；(2)求S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数；(3)根据下列要求的精确度，求1.025的近似值．(精确到0.01)． 『审题视点』 (1)(2)利用二项展开式寻求倍数关系． (3)根据展开式适当取舍．『典例精讲』 (1)证明：∵1＋2＋22＋…＋25n －1＝25n －12－1＝25n －1＝32n －1 ＝(31＋1)n －1＝C 0n ×31n ＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n ×31＋C n n －1 ＝31(C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然C 0n ×31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n 为整数，∴原式能被31整除．(2)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1 ＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2. ∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.(3)1.025＝(1＋0.02)5＝1＋C 15×0.02＋C 25×0.022＋…＋C 55×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.『类题通法』 (1)利用二项式定理进行近似计算：当n 不很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .(2)利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧．(3)利用二项式定理证明不等式：由于(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，故可以对某些项进行取舍来放缩，从而达到证明不等式的目的．3．(2012·高考湖北卷)设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11 D ．12 『解析』选D.512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012×52× (－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a ∵C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011 能被13整除，且512 012＋a 能被13整除．∴C 2 0122 012(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除， ∴a 可取值12.多次应用二项展开式通项公式搭配不全(2012·高考安徽卷)(x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3『正解』 利用二项展开式的通项求解． 二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15展开式的通项为： T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2.∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D. 『答案』 D『易错点』 (x 2＋2)与⎝⎛⎭⎫1x 2－15的各因式的积为常数项，不只是2与(－1)的积，还有x 2与x－2的积也为常数．『警示』 求几个二项式积的展式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时要抓住一个二项式逐项分类，分析其它二项式应满足的条件，然后再求解结果．1．(2013·高考重庆卷)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．7『解析』选B.根据二项展开式的通项公式求解．T r ＋1＝C r n (3x )n －r⎝⎛⎭⎫1x x r ＝C r n 3n －r xn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．2．(2013·高考全国新课标卷)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8『解析』选B.先根据二项展开式中二项式系数的特点确定系数的最大值，再利用组合数公式求解．(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1. ∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1.∴13·2m ！m ！m ！＝7·2m ＋1！m ＋1！m ！.∴m ＝6.3．(2013·高考四川卷)二项式(x ＋y )5的展开式中，含x 2y 3的项的系数是________．(用数字作答)『解析』利用二项展开式的通项求解． (x ＋y )5展开式的通项是T r ＋1＝C r 5x5－r y r ， 令r ＝3得T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，∴二项式(x ＋y )5展开式中含x 2y 3项的系数是10. 『答案』104．(2013·高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 『解析』写出二项展开式的通项T r ＋1，令通项中x 的指数为零，求出r ，即可求出A .T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝⎛⎭⎪⎫－13x r ＝C r 5(－1)r x 52－5r 6，令52－5r 6＝0，得r ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. 『答案』－10。

学案65 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)，这个公式叫做______________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k ＝______________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用T k ＋1表示，即通项为展开式的第k ＋1项：T k ＋1＝____________________.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＋C 偶n ＝________，C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＋C 奇n ＝________.自我检测1．(2011·福建)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( ) A ．80 B ．40 C ．20 D ．102．(2011·陕西)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是( ) A ．－20 B ．－15 C ．15 D ．203．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－2104．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______． 5．(2011·山东)若(x －a x2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．6．(2011·烟台期末)已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是__________．(用数字作答)探究点一 二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1 (2010·湖北)在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二二项式系数的性质及其应用例2 (1)求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值．探究点三求系数最大项例3 已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于( ) A ．13,14 B ．14,15 C ．12,13 D ．11,12,13(2)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n a n －r b r.2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n a n －r b r是第r ＋1项，而不是第r 项．3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2011·山东实验中学模拟)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( )A ．3项B ．4项C ．5项D ．6项2．(2011·重庆)(1＋3x )n (其中n ∈N 且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9 3．(2011·黄山期末)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2－13x n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．－7B ．7C ．－28D ．28 4．(2010·烟台高三一模)如果⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－215．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121 二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·湖北)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为__________．(结果用数值表示)7．(2011·济南高三模拟)已知a ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t )d t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1ax 6的展开式中的常数项为________．8.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________．三、解答题(共38分)9．(12分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(12分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.11．(14分)(2011·泰安模拟)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含32x 的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案65 二项式定理自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C k n 0,1,2，…，n ④C k n a n －k b kC k nan －k b k 2.(1)等距离 (2)2n n C 12n nC + 12n nC -(3)2n2n －12n －1自我检测1．B [(1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.]2．C [设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.∴选C.]3．A4．－160x5．4 解析 (x －a x2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x6－r(－1)r ·(a )r ·x－2r＝C r 6x6－3r(－1)r·(a )r.令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.6．－52课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n a n －r b r 是(a ＋b )n的展开式的第r ＋1项，而不是第r项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C rn ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n3n r x-⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r 3rx - ＝C r n⎝ ⎛⎭⎪⎫－12r23n r x-，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ， 即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝ ⎛⎭⎪⎫－122x 2，C 510⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，C 810⎝ ⎛⎭⎪⎫－128x －2. 变式迁移1 6解析 展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x 20－r·(43y )r＝C r20·x20－r·y r·43r .由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n ＝C n －kn ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明 方法一 设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C nn ，①∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ，②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n.∴S ＝n ·2n －1.原式得证．方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！n －k ！＝n －1！k －1！n －k ！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1 ＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n.令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n ＝22n；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n2n ＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n ＝22n 2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝ ⎛⎭⎪⎫n2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n－32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 2523x 骣琪琪桫3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 3523x 骣琪琪桫2(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r·()2523r x +．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！5－r ！r ！×3≥5！6－r ！r －1！，5！5－r ！r ！≥5！4－r ！r ＋1！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13，故选D.](2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∵n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.∴T 4的系数为C 37⎝ ⎛⎭⎪⎫12423＝352，T 5的系数为C 47⎝ ⎛⎭⎪⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝ ⎛⎭⎪⎫12727＝3 432.(ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0. ∴n ＝12或n ＝－13(舍去)． 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k124k≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11， T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10. 课后练习区 1．C2．B [(1＋3x )n 的展开式中x 5的项为C 5n (3x )5＝C 5n 35x 5，展开式中含x 6的项为C 6n 36x 6，由两项的系数相等得C 5n ·35＝C 6n ·36，解得n ＝7.]3．B 4.C 5.D 6．17解析 二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x 18－r(－13x)r＝(－1)r(13)r C r 183182rx-.令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－528．4 351解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋x ＋1x 210＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x8＋…，从第五项C 410(1＋x )61x8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为 C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351. 9．(1)解 ①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16.(2分) ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1) 4＝16， 两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136.(4分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0 ＝16－1＝15.(6分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n－8n －9＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n－8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C nn ·1)－8n －9 (8分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]， 显然括号内是正整数，∴原式能被64整除．(12分)10．证明 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2＋C 3n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 3＋…＋C nn ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n n ＝1＋1＋12！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝ ⎛⎭⎪⎫1n .(4分) 所以2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<2＋12！＋13！＋…＋1n ！(6分)<2＋11·2＋12·3＋…＋1n －1n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝3－1n<3，(9分)仅当n ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n＝2；当n ≥2时，2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n<3.(11分)故对一切n ∈N *，都有2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n <3.(12分)11．解 由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·－24C 2n ·－22＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(2分)(1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2r＝C r 8·(－2)r·82r x-－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含32x 的项为T 2＝－1632x .(8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r， 解得5≤r ≤6.(12分) 又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大．此时T 5＝1 120x －6.(14分)。

高三数学教案《二项式定理》教案标题：二项式定理教案目标：1. 了解二项式定理的定义和基本性质2. 能够应用二项式定理计算特定的二项式表达式3. 了解二项式定理在数学和实际生活中的应用教学重点：1. 二项式定理的定义和基本性质2. 二项式定理的应用教学难点：1. 二项式定理的实际应用教学准备：1. 教材：高中数学教材2. 教具：黑板、粉笔教学过程：Step 1：导入通过一个简单的问题引入二项式定理的概念，如：「已知(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，求(a+b)^3是多少？」，让学生思考并回答问题。

Step 2：理论讲解1. 引导学生回顾二项式展开式的定义：对于任意非负整数n，二项式展开式的形式为(a+b)^n=a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+b^n。

2. 解释二项式展开式中的C(n,k)代表组合数，即从n个元素中取k个元素的组合数。

3. 引导学生理解二项式定理的基本性质：当n为非负整数时，有(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,n-1)ab^(n-1)+C(n,n)b^n。

Step 3：例题演练1. 通过简单的例子演示如何应用二项式定理，如计算(a+b)^4。

2. 给学生提供一些练习题，让他们独立进行计算，如计算(a+b)^5。

Step 4：拓展应用1. 引导学生思考二项式定理在数学中的应用，如求整系数多项式的平方。

2. 引导学生思考二项式定理在实际生活中的应用，如概率论中的二项分布。

Step 5：小结归纳从理论和应用两个方面对二项式定理进行总结归纳，并帮助学生梳理知识点。

Step 6：课堂练习布置一些课堂练习题，鼓励学生独立完成。

Step 7：课堂总结对本节课的重点内容进行总结，并让学生提问和解答疑惑。

教学延伸：1. 鼓励学生进一步探究二项式定理的推广和应用。

2. 提供更多实际生活中的例子，引导学生思考和应用二项式定理。

§10.3　二项式定理考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识梳理1．二项式定理二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b 1＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n b n (n ∈N *)二项展开式的通项T k ＋1＝C k n a n －k b k ，它表示展开式的第k ＋1项二项式系数C k n(k ＝0,1，…，n )2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．(2)增减性与最大值：当n 是偶数时，中间的一项2C n n 取得最大值；当n 是奇数时，中间的两项12C n n -与12C n n +相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：(a ＋b )n 的展开式的各二项式系数的和等于2n .常用结论1．两个常用公式(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n ＝2n .(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.2．二项展开式的三个重要特征(1)字母a 的指数按降幂排列由n 到0.(2)字母b 的指数按升幂排列由0到n .(3)每一项字母a 的指数与字母b 的指数的和等于n .思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C k na n －kb k 是(a ＋b )n 的展开式的第k 项．(　×　)(2)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关．(　√　)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)(4)(a ＋b )n 的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同．(　×　)教材改编题1．(x －1)10的展开式的第6项的系数是( )A ．C 610B ．－C 610C ．C 510D ．－C 510答案　D解析　T 6＝C 510x 5(－1)5，所以第6项的系数是－C 510.2．(多选)已知(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案　ABC解析　∵(a ＋b )n 的展开式中第5项的二项式系数C 4n 最大，∴n ＝7或n ＝8或n ＝9.3．在(1－2x )10的展开式中，各项系数的和是________．答案　1解析　令x ＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.题型一　通项公式的应用命题点1　形如(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式的特定项例1　(1)(2022·烟台模拟)(1－2x )8展开式中x 项的系数为( )A ．28B ．－28C ．112D ．－112答案　C解析　(1－2x )8展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 8(－2x )k ＝28(-2)C k k kx .要求x 项的系数，只需k 2＝1，解得k ＝2，所以x 项系数为(－2)2C 28＝4×8×72×1＝112.(2)(2022·德州模拟)若n ∈Z ，且3≤n ≤6，则(x ＋1x 3)n 的展开式中的常数项为______．答案　4解析　(x ＋1x 3)n 的通项公式为T k ＋1＝C k n x n －k (1x 3)k ＝C k n x n －4k ，因为3≤n ≤6，令n －4k ＝0，解得n ＝4，k ＝1，所以(x ＋1x 3)n 的展开式中的常数项为4.命题点2　形如(a ＋b )m (c ＋d )n (m ，n ∈N *)的展开式问题例2　(1)(2022·泰安模拟)(x 3－2)(x ＋1x )6的展开式中x 6的系数为( )A ．6 B ．10 C ．13 D ．15答案　C解析　由于(x ＋1x )6的展开式的通项为T k ＋1＝36-26C k kx ，令6－3k 2＝3，求得k ＝2；令6－3k 2＝6，求得k ＝0，故(x 3－2)(x ＋1x )6的展开式中x 6的系数为C 26－2C 06＝15－2＝13.(2)(2022·合肥模拟)二项式(2－x a )(1－2x )4的展开式中x 3项的系数是－70，则实数a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4答案　D解析　因为(2－x a )(1－2x )4＝2×(1－2x )4－x a×(1－2x )4，(1－2x )4的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 4(－2x )k ＝(－2)k C k 4x k ，k ＝0,1,2,3,4，所以2×(1－2x )4展开式中x 3项的系数是2×(－2)3C 34＝－64，x a×(1－2x )4展开式中x 3项的系数是1a ×(－2)2C 24＝24a ，所以－64－24a＝－70，解得a ＝4.教师备选1．(2022·菏泽模拟)已知正整数n ≥7，若(x －1x )(1－x )n 的展开式中不含x 5的项，则n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案　D 解析　(1－x )n 的二项展开式中第k ＋1项为T k ＋1＝C k n(－1)k x k ，又因为(x －1x )(1－x )n ＝x (1－x )n －1x(1－x )n 的展开式不含x 5的项，所以x C 4n (－1)4x 4－1xC 6n (－1)6x 6＝0，C 4n x 5－C 6n x 5＝0，即C 4n ＝C 6n ，所以n ＝10.2．(2022·烟台模拟)在(x 2＋2x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A ．60B ．30C ．15D ．12答案　A解析　由(x 2＋2x ＋y )5＝[(x 2＋2x )＋y ]5，由通项公式可得T k ＋1＝C k 5(x 2＋2x )5－k y k ，∵要求x 5y 2的系数，故k ＝2，此时(x 2＋2x )3＝x 3·(x ＋2)3，其对应x 5的系数为C 1321＝6.∴x 5y 2的系数为C 25×6＝60.思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．跟踪训练1　(1)(2021·北京)(x 3－1x )4的展开式中常数项为________．答案　－4解析　(x 3－1x )4的展开式的通项T k ＋1＝C k 4(x 3)4－k ·(－1x )k ＝(－1)k C k 4x 12－4k ，令k ＝3得常数项为T 4＝(－1)3C 34＝－4.(2)(2022·攀枝花模拟)(1－1x 2)(1＋2x )5的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．－112B ．－48C ．48D ．112答案　C解析　由(1－1x 2)(1＋2x )5＝(1＋2x )5－1x 2(1＋2x )5，(1＋2x )5展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝2k C k 5x k ，其中k ＝0,1,2,3,4,5，(1＋2x )5展开式中含x 3项的系数为23C 35＝80，1x 2(1＋2x )5展开式中含x 3项的系数为25C 5＝32，所以(1－1x 2)(1＋2x )5的展开式中，含x 3的项的系数为80－32＝48.题型二　二项式系数与项的系数的问题命题点1　二项式系数和与系数和例3　(1)(多选)(2022·十堰调研)在(3x －1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )A ．二项式系数和为64B ．各项系数和为64C ．常数项为－135D ．常数项为135答案　ABD解析　在(3x －1x )n 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x ＝1，得各项系数和为2n ，二项式系数和为2n ，则2×2n ＝128，得n ＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A ，B 正确；(3x －1x )6展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·(3x )6－k ·(－1x)k ＝36-626C (-1)3k kk k x -⋅⋅，令6－32k ＝0，得k ＝4，因此展开式中的常数项为T 5＝C 46·(－1)4·32＝135.故D 正确．(2)已知多项式(1－2x )＋(1＋x ＋x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则a 1＝______，a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝______.答案　1　23解析　根据题意，令x ＝1，则(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝26，令x ＝0，a 0＝1＋1＝2，由于(1－2x )＋(1＋x ＋x 2)3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，a 1为展开式中x 项的系数，考虑一次项系数a 1＝－2＋C 13C 2×12＝1，所以a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝26－1－2＝23.命题点2　系数与二项式系数的最值问题例4　(y －2x 2)6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．答案　4　240x －8y 2解析　因为(y －2x2)6的展开式中二项式系数的最大值为C 36，所以二项式系数最大的项为第4项．因为(y －2x 2)6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6·y 6－k (－2x 2)k ＝C k 6·(－2)k x －2k y 6－k ，所以展开式中系数最大的项为奇数项．展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C 06·(－2)0，C 26·(－2)2，C 46·(－2)4，C 6·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x －8y 2.教师备选1．(多选)已知(1－2x )2 022＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 022x 2 022，下列命题中正确的是( )A ．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022B ．展开式中所有奇次项系数的和为32 022－12C ．展开式中所有偶次项系数的和为32 022＋12D.a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02222 022＝－1答案　ACD解析　选项A ，由二项式知，C 02 022＋C 12 022＋…＋C 2 022＝(1＋1)2 022＝22 022，A 正确；当x ＝1时，有a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 022＝1，当x ＝－1时，有a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 021＋a 2 022＝32 022，选项B ，由上可得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 021＝1－32 0222，B 错误；选项C ，由上可得a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2 022＝32 022＋12，C 正确；选项D ，令x ＝12可得a 0＋a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02222 022＝0，又a 0＝1，所以a 12＋a 222＋a 323＋…＋a 2 02222 022＝－1，D 正确．2．(多选)已知(x －3)8＝a 0＋a 1(x －2)＋a 2(x －2)2＋…＋a 8(x －2)8，则下列结论正确的有( )A ．a 0＝1B ．a 6＝－28C.a 12＋a 222＋…＋a 828＝－255256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝128答案　ACD解析　对于A ，取x ＝2，得a 0＝1，A 正确；对于B ，(x －3)8＝[－1＋(x －2)]8展开式中第7项为C 68(－1)2(x －2)6＝28(x －2)6，即a 6＝28，B 不正确；对于C ，取x ＝52，得a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 828＝(52－3)8＝1256，则a12＋a222＋…＋a828＝1256－a0＝－255256，C正确；对于D，取x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，取x＝1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝(－2)8＝256，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正确．思维升华　赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为12[g(1)－g(－1)]．跟踪训练2　(1)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )A．1 B．243C．121 D．122答案　B解析　令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.(2)(多选)(2022·济南模拟)在(2x－x)6的展开式中，下列说法正确的是( )A．常数项为160B．第4项的二项式系数最大C．第3项的系数最大D．所有项的系数和为64答案　BC解析　展开式的通项为T k＋1＝C k6·(2x)6－k·(－x)k＝26－k(－1)k·C k6x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23(－1)3C36＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得(2x－x)6＝1，所有项的系数和为1，D 错误．题型三　二项式定理的综合应用例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )A．0 B．1 C．11 D．12答案　B解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 021＋a＝(52－1)2 021＋a，2 02152－C2 021＋a，＝C02 021522 021－C12 021522 020＋C22 021522 019－…＋C2 020因为512 021＋a能被13整除，结合选项，所以－C2 021＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1.(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )A．1.23 B．1.24C．1.33 D．1.34答案　D解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C06＋C16×0.05＋C26×0.052＋C36×0.053＋…＋C6×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.教师备选已知n为满足S＝n＋C127＋C227＋C327＋…＋C27(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则(x－1x)n 的展开式中，系数最大的项为( )A．第6项B．第7项C．第11项D．第6项和第7项答案　B解析　S＝n＋C127＋C227＋C327＋…＋C27＝n＋(1＋1)27－C027＝(9－1)9＋n－1＝9(98－C1997＋…＋C89)＋n－2，∵n≥3，∴S能被9整除的正数n的最小值是n－2＝9，∴n＝11.∴(x－1x)11的展开式中的通项公式为T k＋1＝C k11x11－k(－1x)k＝(－1)k C k11x11－2k，只考虑k为偶数的情况，由T5＝C411x3，T7＝C611x－1，T9＝C811x－5，可知系数最大的项为第7项．思维升华　二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是( )A．－3 B．2C．10 D．11答案　C解析　11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1＝C0n·11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11＋C n－2＝(11＋1)n－2＝12n－2＝(13－1)n－2＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13＋(－1)n·C n－2，因为n为奇数，则上式＝C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－3＝[C0n·13n－C1n·13n－1＋…＋(－1)n－1·C n－1n·13－13]＋10，所以11n＋C1n·11n－1＋C2n·11n－2＋…＋C n－1n·11－1除以13的余数是10.(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )A．0.940 B．0.941C．0.942 D．0.943答案　B解析　(0.99)6＝(1－0.01)6＝C06×1－C16×0.01＋C26×0.012－C36×0.013＋…＋C6×0.016＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.课时精练1．(2022·济南模拟)(x ＋1x)6的展开式中，含x 4项的系数为( )A ．4B ．6C ．10D ．15答案　B 解析　(x ＋1x)6的展开式通项为T k ＋1＝C k 6·x 6－k ·(1x)k ＝C k 6·x 6－2k ，令6－2k ＝4，解得k ＝1，因此，展开式中含x 4项的系数为C 16＝6.2．(2022·武汉部分重点中学联考)在(x 2－1x)n 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是( )A.552B ．－552C ．－28 D ．28答案　B解析　展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n ＝12，展开式的通项为T k ＋1＝C k 12(x 2)12－k ·(－1x)k＝12-412-3121C (-1) 2kk k k x⎛⎫⎪⎝⎭，若为常数项，则12－43k ＝0，所以k ＝9 ，得常数项为T 10＝C 912(－1)9(12)12－9＝－2208＝－552.3．(2022·邯郸模拟)(x 2－x )(1＋x )6的展开式中x 3项的系数为( )A ．－9 B ．9C ．－21D ．21答案　A解析　展开式中x3项的系数为C16－C26＝－9.4．(2022·芜湖质检)已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0等于( )A．－32 B．32C．64 D．－64答案　A解析　由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a4，所以a4＝C25×22－m×C15×2＝30，解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.5．(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为( )A．－13B．－1 C．1 D.13答案　D解析　化简得(ax－y)(x＋y)4＝ax·(x＋y)4－y·(x＋y)4，∵(x＋y)4的展开式的通项公式T k＋1＝C k4x4－k y k，当k＝2时，ax·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为C24a＝6a，当k＝1时，－y·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－C14＝－4，综上，(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为6a－4＝－2，∴a＝1 3 .6．已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C1n＋C2n＋C 3n＋…＋C n的值为( )A．28B．28－1C．27D．27－1答案　B解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数性质可得C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n＝2n－C0n＝28－1.7．(多选)(2022·邯郸模拟)已知(5x－3x)n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )A．2，n,10成等差数列B．各项系数之和为64C．展开式中二项式系数最大的项是第3项D．展开式中第5项为常数项答案　ABD解析　由(5x－3x)n的二项式系数之和为2n＝64，得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；令x＝1，(5x－3x)6＝26＝64，则(5x－3x)6的各项系数之和为64，B正确；(5x－3x)6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；(5x－3x)6的展开式中的第5项为C46(5x)2(－3x)4＝15×25×81为常数项，D正确．8．(多选)(2022·烟台模拟)已知(2－3x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是( ) A．a3＝－360B．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝1C．a1＋a2＋…＋a6＝(2－3)6D．展开式中系数最大的为a2答案　BD解析　(2－3x)6的展开式通项为T k＋1＝C k6·26－k·(－3x)k＝C k6·(－3)k·26－k·x k，对于A，令k＝3，则a3＝C36×23×(－3)3＝－4803，A错误；对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a6＝(2－3)6；令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋3)6，∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)＝[(2－3)×(2＋3)]6＝1，B正确；对于C，令x＝0，得a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－3)6－26，C错误；对于D，∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a0＝26＝64，a2＝C26×24×3＝720，a4＝C46×22×32＝540，a6＝33＝27，∴展开式中系数最大的为a2，D正确．9．(2021·天津)在(2x3＋1x)6的展开式中，x6的系数是________．答案　160解析　(2x3＋1x)6的展开式的通项为T k＋1＝C k6(2x3)6－k·(1x)k＝26－k C k6·x18－4k，令18－4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23C36＝160.10．(2022·济宁模拟)已知(x－2x)n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________．答案　84解析　依题意，2n＝128，解得n＝7，(x－2x)7的展开式的通项为T k＋1＝C k7x7－k·(－2x)k＝(－2)k C k7x7－2k(k∈N，k≤7)，由7－2k＝3得k＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C27＝4×7×62×1＝84.11．(2022·温州模拟)若(x ＋2x)n 的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答)．答案　240解析　因为(x ＋2x)n 的展开式中共有7项，所以n ＋1＝7，可得n ＝6，所以(x ＋2x)6展开式的通项为T k ＋1＝1626C 2k k kkxx--＝3626C 2k k kx-令6－32k ＝0，可得k ＝4，所以常数项为C 4624＝15×16＝240.12．(2021·浙江)已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________.答案　5　10解析　(x －1)3展开式的通项T r ＋1＝C r 3x 3－r ·(－1)r ，(x ＋1)4展开式的通项T k ＋1＝C k 4x 4－k ，则a 1＝C 03＋C 14＝1＋4＝5；a 2＝C 13(－1)1＋C 24＝3；a 3＝C 23(－1)2＋C 34＝7；a 4＝C 3(－1)3＋C 4＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.13．已知n 为正整数，若1.1510∈[n ，n ＋1)，则n 的值为( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案　C解析　因为1.155＝(1＋320)5＝C 05·(320)0＋C 15·(320)1＋C 25·(320)2＋C 35·(320)3＋C 45·(320)4＋C 5·(320)5＝1＋34＋940＋27800＋(5×320＋9400)(320)3＝2＋7800＋309400×(320)3，而2<2＋7800＋309400×(320)3<2＋7800＋278 000<2＋7800＋308 000＝2＋180<2.1，所以2<1.155<2.1，因此4<1.1510<4.41，又n 为正整数，1.1510∈[n ，n ＋1)，所以n ＝4.14．(2022·浙江Z20名校联盟联考)设(x －1)(2＋x )3＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 1＝________，2a 2＋3a 3＋4a 4＝________.答案　－4　31解析　因为x ·C 03·23·x 0－C 13·22·x 1＝－4x ，所以a 1＝－4，对所给等式，两边对x 求导，可得(2＋x )3＋3(x －1)(2＋x )2＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3，令x ＝1，得27＝a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4，所以2a 2＋3a 3＋4a 4＝31.15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，若(1－2x )2 022＝b 0＋b 1x ＋b 2x 2＋…＋b 2 022x 2 022，数列{a n }的首项a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 2 02222 022，a n ＋1＝S n ·S n ＋1，则S 2 022等于( )A ．－12 022B.12 022C ．2 022 D ．－2 022答案　A解析　令x ＝12，得(1－2×12)2 022＝b 0＋b 12＋b 222＋…＋b2 02222 022＝0.又因为b 0＝1，所以a 1＝b 12＋b 222＋…＋b 2 02222 022＝－1.由a n ＋1＝S n S n ＋1＝S n ＋1－S n ，得S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1＝1，所以1S n ＋1－1S n ＝－1，所以数列{1S n}是首项为1S1＝－1，公差为－1的等差数列，所以1Sn ＝－1＋(n －1)·(－1)＝－n ，n n所以S2 022＝－12 022.16．(多选)(2022·南京模拟)已知n∈N*，n≥2，p，q>0，p＋q＝1，设f(k)＝C k2n p k q2n－k，其中k∈N，k≤2n，则( )A.2n∑k＝0f(k)＝1 B.2n∑k＝0k f(k)＝2npqC．若np＝4，则f(k)≤f(8) D.n∑k＝0f(2k)<12<n∑k＝1f(2k－1)答案　AC解析　2n∑k＝0f(k)＝2n∑k＝0C k2n p k q2n－k＝(q＋p)2n＝1，A正确；k C k2n＝k(2n)！k！(2n－k)！＝2n×(2n－1)！(k－1)！[(2n－1)－(k－1)]！＝2n C k－12n－1，所以2n∑k＝0k f(k)＝2n∑k＝1k C k2n p k q2n－k＝2n∑k＝12n C k－12n－1p k q2n－k＝2npq2n∑k＝1C k－12n－1p k－1q2n－1－k＝2np 2n－1∑k＝0C k2n－1p k q2n－1－k＝2np(q＋p)2n－1＝2np≠2npq(除非p＝0)，B错；设f(m)是f(k)中最大项，Error!即Error!注意到C m2nC m－12n＝(2n)！m！(2n－m)！(2n)！(m－1)！(2n－m＋1)！mC m2n C m＋12n ＝m＋12n－m，又np＝4，不等式组可解为8－q≤m≤8＋p，所以m＝8，所以f(k)≤f(8)，C正确；例如n＝2时，p＝13，q＝23，n∑k＝0f(2k)＝(13)4＋6(13)2(23)2＋(23)4＝4181，n∑k＝1f(2k－1)＝4081，D错误．。