第三节 二项式定理-高考状元之路

第三节 二项式定理 高频考点 考点一 求二项展开式中的特定项或特定项的系数1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．2．高考对二项式定理的考查要紧有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n 项；(2)求二项展开式中的特定项；(3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数．[例1] (1)(2021·江西高考)⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40(2)(2021·辽宁高考)使⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7[自主解答] (1)此二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－1)r 2r x －3r ＝C r 5·(－1)r ·2r ·x 10－5r .因为10－5r ＝0，因此r ＝2，因此常数项为T 3＝C 25·22＝40.(2)T r ＋1＝C r n (3x )n －r ·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －r －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，假设T r ＋1是常数项，那么有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不知足条件；当r ＝2时，n ＝5. [答案] (1)C (2)B【互动探讨】假设本例(2)中的条件“n ∈N *”改成“n ≥3”，其他条件不变，那么展开式中的有理项最少有________项．解析：由本例(2)中的自主解答可知：T r ＋1＝C r n 3n －r xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )． 即当⎝⎛⎭⎪⎫n －5r 2为整数时，T r ＋1为有理项．显然当n ＝3时，r 的取值最少，有r ＝0，r ＝2，即有理项为T 1、T 3两项．答案：2求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的第n 项．可依据二项式的通项公式直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．假设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第5项是常数项，那么正整数n 的值可能为( ) A ．6 B ．10 C ．12 D ．15解析：选C T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r n x n －3r 2， 当r ＝4时，n －3r2＝0，又n ∈N *，因此n ＝12.2．(2021·昆明模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是________． 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的项为2x ·C 4410(－x )4＋x C 0414(－x )0＝2x ＋x ＝3x .因此x 的系数为3.答案：3考点二 二项式系数或各项系数和[例2大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，假设13a ＝7b ，那么m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8(2)假设C 3n ＋123＝C n ＋623(n ∈N *)且(3－x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，那么a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝________.[自主解答] (1)由题意得：a ＝C m 2m ，b ＝C m 2m ＋1，13·2m！m！·m！＝7·2m＋1！m！·m＋1！，因此13C m2m＝7C m2m＋1，∴∴72m ＋1m ＋1＝13，解得m ＝6，经查验为原方程的解，选B. (2)由C 3n ＋123＝C n ＋623，得3n ＋1＝n ＋6(无整数解)或3n ＋1＝23－(n ＋6)，解得n ＝4，问题即转化为求(3－x )4的展开式中各项系数和的问题，只需在(3－x )4中令x ＝－1即得a 0－a 1＋a 2－…＋(－1)n a n ＝[3－(－1)]4＝256.[答案] (1)B (2)256【方式规律】赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，经常使用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)假设f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，那么f (x )展开式中各项系数之和为f (1)， 奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f 1＋f －12，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f 1－f －12.1．设(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n ，假设a 1＋a 2＋…＋a n ＝63，那么展开式中系数最大的项是( )A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3解析：选B 在(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋…＋a n x n 中，令x ＝1得2n ＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n . 令x ＝0，得1＝a 0，∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1＝63，∴n ＝6.而(1＋x )6的展开式中系数最大的项为T 4＝C 36x 3＝20x 3.2．(2014·丽水模拟)假设(1－2x )2 014＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013＋a 2 014x 2 014(x ∈R )，那么a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－1 D ．－2解析：选C 令x ＝0，那么a 0＝1，令x ＝12， 则a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝0，∴a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＋a 2 01422 014＝－1.考点三二项式定理的应用[例3] (1)已知2n＋2·3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；(2)求的近似值．(精准到小数点后三位)[自主解答] (1)∵2n＋2·3n＋5n－a＝4·2n·3n＋5n－a＝4·6n＋5n－a＝4(5＋1)n＋5n－a＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n5＋C n n)＋5n－an52＋C n－1＝4(C0n5n＋C1n5n－1＋…＋C n－2n52)＋25n＋4－a，显然正整数a的最小值为4.(2)＝(1＋8≈C08＋C18·＋C28·＋C38·≈.【方式规律】1．整除问题的解题思路利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系，是解决有关整除性问题和余数问题的大体思路，关键是要合理地构造二项式，并将它展开进行分析判定．2．求近似值的大体方式利用二项式定理进行近似计算：当n不专门大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.求证：(1)32n＋2－8n－9能被64整除(n∈N*)；(2)3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．证明：(1)∵32n＋2－8n－9＝32·32n－8n－9＝9·9n－8n－9＝9(8＋1)n－8n－9＝9(C0n8n＋C1n8n－1＋…＋C n－1n·8＋C n n·1)－8n－9＝9(8n＋C1n8n－1＋…＋C n－2n82)＋9·8n＋9－8n－9＝9×82(8n－2＋C1n8n－3＋…＋C n－2n)＋64n＝64[9(8n－2＋C1n8n－3＋…＋C n－2n)＋n]，显然括号内是正整数，故原式能被64整除．(2)因为n∈N*，且n>2，因此3n＝(2＋1)n展开后至少有4项．(2＋1)n＝2n＋C1n·2n－1＋…＋C n－1n·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n －1，故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．————————————[课堂归纳——通法领会]——————————1个公式——二项展开式的通项公式通项公式要紧用于求二项式的特定项问题，在运历时，应明确以下几点：(1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项；(2)通项公式中a，b的位置不能倒置；(3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要明白其中的四个，就能够够求出第五个，即“知四求一”．3个注意点——二项式系数的三个注意点(1)求二项式所有系数的和，可采纳“赋值法”；(2)关于组合式的证明，常采纳“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；(3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一样是不相同的，在具体求各项的系数时，一样先处置符号，对根式和指数的运算要细心，以防犯错．。

高考数学复习 二项式定理 编稿：赵雷 审稿：李霞【学习目标】1．理解并掌握二项式定理，了解用计数原理证明二项式定理的方法． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．【要点梳理】 要点一：二项式定理1.定义一般地,对于任意正整数n ,都有：nn n r r n r n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)((*N n ∈)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理， 等号右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式。

式中的rn rr n C ab -做二项展开式的通项，用T r+1表示，即通项为展开式的第r+1项：1r n r rr nT C a b -+=， 其中的系数rn C （r=0，1，2，…，n ）叫做二项式系数， 2．二项式(a+b)n 的展开式的特点：(1)项数：共有n+1项，比二项式的次数大1；(2)二项式系数：第r+1项的二项式系数为rn C ，最大二项式系数项居中；(3)次数：各项的次数都等于二项式的幂指数n ．字母a 降幂排列，次数由n 到0；字母b 升幂排列，次数从0到n ，每一项中，a ，b 次数和均为n ；3.两个常用的二项展开式：①011()(1)(1)n n n r r n r r n n nn n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-⋅++-⋅(*N n ∈)②122(1)1n r r n n n n x C x C x C x x +=++++++要点二、二项展开式的通项公式公式特点：①它表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是rn C ； ②字母b 的次数和组合数的上标相同； ③a 与b 的次数之和为n 。

要点诠释：（1）二项式(a+b)n 的二项展开式的第r+1项r n rr n C ab -和(b+a)n 的二项展开式的第r+1项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换位置的．（2）通项是针对在(a+b)n 这个标准形式下而言的，如(a －b)n 的二项展开式的通项是1(1)r r n r rr n T C a b -+=-（只需把－b 看成b 代入二项式定理）。

2021年高考数学专题51 二项式定理常见的解题策略黄金解题模板【高考地位】二项式定理有关问题，是中学数学中的一个重要知识点，在历年的高考中几乎每年都有涉及. 因此掌握二项式定理问题的常见题型及其解题策略是十分必要的. 其考试题型主要有：求展开式中指定的项、求展开式中某一项的系数或二项式系数、求展开式中的系数和等，其难度不会太大，但题型可能较灵活．在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.【方法点评】类型一求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数使用情景：求展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数解题模板：第一步首先求出二项展开式的通项；第二步根据已知求出展开式中指定的项或某一项的系数或二项式系数；第三步得出结论.例1. 展开式中第3项的二项式系数为（）A．6 B．-6 C．24 D．-24【答案】A【变式演练1】二项式展开式中，项的系数为．【答案】【解析】试题分析：，所以由得系数为考点：二项式定理【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.【变式演练2】的展开式中项的系数为20，则实数．【答案】【解析】试题分析：二项式展开式的通项为，令，解得，故展开式中项的系数为，解得.考点：二项式定理．【变式演练3】求的展开式中的系数.【答案】．考点：二项式定理．类型二二项式系数的性质与各项系数和使用情景：二项式系数的性质与各项系数和解题模板：第一步观察题意特征，合理地使用赋值法；第二步区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质；第三步得出结论.例2 【xx河北衡水模拟】若的展开式中的二项式系数和为，的系数为，则为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故选【变式演练4】在的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是__________．【答案】14.考点：1、二项式定理的应用.类型三 二项式定理的应用使用情景：使用二项式定理处理整除问题解题模板：第一步 通常把底数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式；第二步 再用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用．；第三步 得出结论.例3 .设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12 【答案】D. 【解析】点评：在使用二项式定理展开，但要注意两点：一是余数的范围，a ＝cr ＋b ，其中余数b ∈[0，r )，r 是除数，切记余数不能为负，二是二项式定理的逆用． 【变式演练5】S ＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为________． 【答案】7. 【解析】考点：二项式定理． 【高考再现】1. 【xx课标1，理6】展开式中的系数为A．15 B．20 C．30 D．35【答案】C【解析】试题分析：因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析好的项共有几项，进行加和.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项式展开式中的不同.2．【xx课标3，理4】的展开式中33的系数为A．B．C．40 D．80【答案】C3.【xx浙江，13】已知多项式32=，则=________，=________．【答案】16，4【解析】试题分析：由二项式展开式可得通项公式为：，分别取和可得，令可得【考点】二项式定理【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项式定理的应用．4.【xx山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则 .【答案】【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式，令得：，解得．【考点】二项式定理【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.5.【xx年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A6. 【xx年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答）【答案】60.【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，的系数为，故填：.考点：二项式定理.【名师点睛】1.所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项.求解时，先准确写出通项，再把系数与字母分离出来(注意符号)，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合的范围分析.7. 【xx高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）【答案】考点:二项式定理8 【xx高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】【解析】试题分析：展开式通项为，令，，所以的．故答案为．考点：二项式定理9. 【xx高考山东理数】若（a x2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】-2【解析】试题分析：因为，所以由，因此考点：二项式定理【名师点睛】本题是二项式定理问题中的常见题型，二项展开式的通项公式，往往是考试的重点.本题难度不大，易于得分.能较好的考查考生的基本运算能力等.10.【xx高考天津，理12】在的展开式中，的系数为 .【答案】【反馈练习】1．【xx广西桂梧高中联考】的展开式的第4项的系数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得的展开式的第4项为，选A.2. 【xx陕西西安长安区联考】若，则的展开式中常数项为A. 8B. 16C. 24D. 60【答案】C【解析】∵∴的通项公式为令，即∴二项式展开式中常数项是，故选C3. 【xx东北名校联考】若，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由二项展开式的通项公式，可知都小于．则．在原二项展开式中令，可得．故本题答案选．4．【xx陕西两校联考】的展开式中的系数是（）A. 56B. 84C. 112D. 168【答案】D【解析】根据和的展开式的通项公式可得，的系数为,故选D.5．【xx广西南宁摸底联考】的展开式中项的系数为（）A. 80B.C.D. 48【答案】B【解析】由题意可得，令r=1,所以的系数为-80.选B.6．【xx云南昆明一中摸底】二项式展开式中的常数项为（）A. B. C. D.【答案】B7．【xx广西柳州摸底联考】的展开式中，的系数为（）A. 60B.C. 240D.【答案】C【解析】，选C.8．【江西省新余市xx届高三第二次模拟考试数学（理）试题】展开式中除常数项外的其余项的系数之和为 .【答案】考点：二项式定理.9．【xx广西南宁八中摸底】在的展开式中，含的项的系数是（）A. 60B. 160C. 180D. 240【答案】D【解析】二项式的通项公式为，令，所以含的项的系数是，故选D10．【xx陕西名校五校联考】的展开式中常数项为( )A. B. C. D. 25【答案】C【解析】的通项为，，根据式子可知当或时有常数项，令; 令;故所求常数项为，故选C.11．【xx江西新余一中二模】在二项式的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且，则展开式中常数项的值为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】B12．【xx四川德阳三校联考】已知,则___________. 【答案】【解析】含的项的系数为，故填.13. 【xx福建四校联考】在的二项展开式中，的项的系数是_______.（用数字作答）【答案】70【解析】根据二项式定理, 的通项为，当时,即r=4时,可得.即项的系数为70.14.【xx黑龙江齐齐哈尔一模】在的展开式中，常数项是__________．【答案】【解析】第一个括号取，第二个括号为∴常数项是故答案为：15.【xx江西宜春六校联考】若，且，则的值为__________．【答案】116.【xx山西山大附中四调】，则__________．【答案】28【解析】令，则，设的展开式含有项，，令，，所以.17.【xx辽宁凌源三校联考】在的展开式中，含项的为，的展开式中含项的为，则的最大值为__________.【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令可得：，则，。