高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理2优质课件.ppt
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中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
巩 固 知 识 典 型 例 题
活不到65岁}．于是 P( A) 0.6, P( A) 1 0.6 0.4． 且随机变量 B(3， 0.6)． 因此
3 3 0 P (3) C 0.6 (1 0.6) 0.216， 3 3 2 2 1 P (2) C 0.6 (1 0.6) 0.432， 3 3 1 1 2 P (1) C 0.6 (1 0.6) 0.288， 3 3 0 0 3 P ． 3 (0) C3 0.6 (1 0.6) 0.064
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
二项分布，即 ~B（n，P），则其均值与方差分别为
E ( ) np；D( ) npq．
某连锁总店每天向10家商店供应货物，每家商店订货与否相 互独立，且每家商店订货的概率都是0.4，求10家商店中订货商店 家数 的概率分布．
运 用 知 识 强 化 练 习
i 提示：P( i) C10 0.4i 0.610i (i 01 ， ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 910) ，．
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
设离散型随机变量 ~B（10，0.4），求出其均值与方差．
E ( ) 4；D( ) 2.4．
什么叫做二项分布？
一般地，如果在一次试验中某事件A发生的概率是P，随机 变量 为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量 的 概率分布为：
理 论 升 华 整 体 建 构
P
0
1
…
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
高教版中职数学(拓展模块)3.4《二项分布》ppt课件1
A，并且在每次
实验中，事件A发生的概率都不变．这样的n次独立试验叫做n次
动
伯努利实验．
脑
思
可以证明（证明略），如果在每次实验中事件A发生的概率
考
为P(A) p，事件A不发生的概率说明P( A) 1 p，那么，在n次伯努
n次伯努利实
探
利实验中，事件A恰好发生k次的概验率中为，事件A恰好发生k 次的概率公式可以看成
独立重复试验．
动
脑
采用“有放回”的方法，从袋中连续5次抽取的实验就是5次独
思
立重复试验．
考
探
观察上面的实验，每次试验的可能结果只有两个（黄球、白
索
球），并且两个结果是相互独立的（即各个事件发生的概率互相
新
没有影响）．
知
一般地，在n次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有
两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A和
体
这个公式叫做伯努利公式，其中 k 0，1，2 ，n．
建
构
生产某种零件，出现次品的概率是0.04，现要生产4件这 种零件，求：
（1）其中恰有1件次品的概率；
Hale Waihona Puke 自 我（2）至多有1件次品的概率．
反
思
目
标
0.14，0.99．
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
中职数学 拓展模块 第3章 概率与统计
3.1 排列与组合
两个相同的排列有什么 特点？两个相同的组合呢？
3.1 排列与组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个 不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用 来表示.
例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合 数 是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.
为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙 3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
3.1 排列与组合
解决这个问题需 分2个步骤：第一步， 先确定1名参加上午活 动的同学，从3人中任 选1人有3种选法；第 二步，确定1名参加下
学习提示
例6 中公式是组合数的性质之一，即从n个 不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出nm个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种
减少计算工作量的方法，如计算C160 可转化为计
算 C140 .
3.1 排列与组合
练一练
1.计算.
C140
;
C198 200
;
C939
;
C22
C32
C1200 .
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/
第3章 概率与统计
图3-5
3.1 排列与组合
填法可分为m个步骤： 第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种 方法； 第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一 个，有n-1种方法； 第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一 个，有n-2种方法； …… 第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填 一个，有n-m+1种方法.
二项式定理及应用PPT教学课件
2、( 1 3 x )20展开式中，不含x的项是第____ 项 x
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
二项式定理PPT说课稿最终PPT讲稿思维导图知识点归纳总结[PPT白板课件]
2、能力目标：培养学生观察、分析、概括的能力，以及化
归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到 一般的思维方式．
3、情感目标：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验
二项式定理的发现和创造历程，体会数学数 学公式的对称美、和谐美。．
二、新课标要求在本节课的体现
现代教学的核心是“以学生的发展为 本”，注重学生的学习状态和情感体验，注 重教学过程中学生主体地位的体现和主体作 用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励 发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精 神和实践能力．
总有一款PPT 适合您
【最新出品\精心整理\倾情奉献\敬请珍惜】
一、教材内容的分析 二、新课标在本节课体现 三、教学方式的选择 四、教学过程的设计
一、教材内容分析
本节课是在学习了排列组合的基础上 学习的，并为后面学习概率中的二项 分布奠定了基础，所以它是承上启下 的一节课。二项式定理不仅是解决某 些整除性、近似计算问题的一种方法， 并且还能解释集合的子集个数问题； 因此这节课在高中数学中有着十分重 要的作用。
a
3b
C
2 4
a
2
b
2
C43ab3
C
4 4
b
4
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每 个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即 展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4 .
2 合作探究，发现规律
四、教学过程 的设计
学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a、b的指 数之间的关系（2）项的个数有n+1项 在上面4个括号中： 每个都不取的情况有1种，即 种，所以的系数是； 恰有1个取的情况下有种，所以的系数是； 恰有2个取的情况下有种，所以的系数是； 恰有3个取的情况下有种，所以的系数是； 4个都取的情况下有种，所以的系数是； 因此．
归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到 一般的思维方式．
3、情感目标：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验
二项式定理的发现和创造历程，体会数学数 学公式的对称美、和谐美。．
二、新课标要求在本节课的体现
现代教学的核心是“以学生的发展为 本”，注重学生的学习状态和情感体验，注 重教学过程中学生主体地位的体现和主体作 用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励 发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精 神和实践能力．
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【最新出品\精心整理\倾情奉献\敬请珍惜】
一、教材内容的分析 二、新课标在本节课体现 三、教学方式的选择 四、教学过程的设计
一、教材内容分析
本节课是在学习了排列组合的基础上 学习的，并为后面学习概率中的二项 分布奠定了基础，所以它是承上启下 的一节课。二项式定理不仅是解决某 些整除性、近似计算问题的一种方法， 并且还能解释集合的子集个数问题； 因此这节课在高中数学中有着十分重 要的作用。
a
3b
C
2 4
a
2
b
2
C43ab3
C
4 4
b
4
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每 个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即 展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4 .
2 合作探究，发现规律
四、教学过程 的设计
学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a、b的指 数之间的关系（2）项的个数有n+1项 在上面4个括号中： 每个都不取的情况有1种，即 种，所以的系数是； 恰有1个取的情况下有种，所以的系数是； 恰有2个取的情况下有种，所以的系数是； 恰有3个取的情况下有种，所以的系数是； 4个都取的情况下有种，所以的系数是； 因此．
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》ppt课件1
1 7 21 35 35 21 7 1
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
高教版中职数学(拓展模块)3.2《二项式定理》ppt课件2
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的
展开
式
中x3的 系
=
Cnk
1
n
k k
+
1
实质：数
所
以Cnk
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
治学品质
• 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解， 辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无 上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。 师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日 师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练， 为防异处而忘，故坚不让道。
• 辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：19个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿， 相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至 16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图 总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流 传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
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=（）a4 +（）a3 b +（）a2 b2 +（）ab3 +（）b4
(a + b)4
= C04 a4
+ C14 a3 b + C24 a2 b2
+ C34 ab3
+
C
4 4
b
4
• 4.一般地，(a+b)n=?
(a
+ b)n
=
C n0a n
+
C
n1a
n1b
+
+
C
k n
a
nk
bk
+ + Cnnbn
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C40
C
1 4
C42
C43
C
4 4
伟大的数学家
• 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州) 人，中国古代数学家和数学 教育家。由现存文献可推知， 杨辉担任过南宋地方行政官 员，为政清廉，足迹遍及苏 杭一带，他署名的数学书共 五种二十一卷。他是世界上 第一个排出丰富的纵横图和 讨论其构成规律的数学家。 与秦九韶、李治、朱世杰并 趁称宋元数学四大家。
二项式定理
基础知识
• 1研.在n究=1,(2a,3+,4时b)，n的研究展(a+开b)n的式展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
• 2Байду номын сангаас规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？
x
是 否 存 在 常 数 项 ？ 1、区别“二项式系数”与“系数”
2、第k项不是Cnkan-kbk 3、一般解题先研究通项
完成课本31页练习
二项式定理
“杨辉三角形”与二项式系数的性 质
引例：从排列组合“定序”问题说起
Q • 如图某城市中P，Q两地有整齐
的矩形道路网，从Q地到P地共 有多少种最近的走法？
n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的 展 开 式 中x3的 系 数,并 问 展 开 式 中
+
+
C
n n
x
n
二项式定理规律
1、二项式系数规律 Cn0、C1n、Cn2、 、Cnn
2、指数规律 （1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次数由0升到n.
3、项数规律 二项展开式共有n+1项
4、通项公式 Tk+1 = Cnkankbk
二项式定理简单运用
C 30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C33b3
共有四项
a3 :每个括号都不取b的情况有一种，即 C03 种，所以a3的系数是 C03
a2b:相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个；b3 有 C33 个；
如何求(a+b)n的展开式
3. (a + b )4 = (a + b )( a + b )( a + b )( a + b )
取得最大值 ；
n1
n+1
当n是奇数时，中间的两项 C 2 ，C 2 相等，且
同时取得最大值。
n
n
• 3.二各二项项式式系系数的数和的性质
11
121
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 3 3 1
1 4 64 1
如何求(a+b)n的展开式
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
C 20a 2 C 21ab C22b2
共有三项
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C
0 n
,Cn1
,Cn2
,
,Cnn
f(r) 20
令f (r)
=
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
14
当n= 6时,其图象是7个孤立点
• 问题：观察杨辉三角形，你能发 6 现二项式系数的哪些性质？
O 36
r
• 1.二对称项性：式在系二项数展的开式性中质，与首末两 端“等距离”的两项的二项式系数相等.
C
m n
=
C nm n
图象的对称轴：r = n 2
在相邻的两行中，除1外的每一 个数都等于它“肩上”两个数的
C
r n+1
=
C
r n
1
+
C
r n
和.
• 2.增减性与最大值： 二项式系数的性质
C nk
= n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
=
C nk 1
心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿， 相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至 16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图 总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流 传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
由杨辉三角形研究二项式系数的性质
(a + b)n 展开式的二项式系数依次是：
治学品质
• 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解， 辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无 上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。 师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日 师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练， 为防异处而忘，故坚不让道。
• 辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：19个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。辉 趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学之
二项式定理
(a＋b)n的二项展开式,共有n+1项
(1)每一项的系数
C
k n
(k=0,1,2,…,n)叫做该项的二项式系数
(2)C
k n
a
n-k
b
k叫做二项展开式的通项，表示第k+1项,记作Tk+1
(3)若取a=1,b=x则得一个重要公式：
(1+
x)n
=
Cn0
+ Cn1 x
+ + Cnk xk