当前位置：文档之家 › 第十二章 平稳随机过程

第十二章 平稳随机过程

  • 格式：ppt
  • 大小：822.00 KB
  • 文档页数：50

下载文档原格式

  / 50

合集下载

平稳随机过程的概念

平稳随机过程的概念

所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)

a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.

Ch12-平稳随机过程

Ch12-平稳随机过程

例 2 . 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f
1 2
， 0 2
试讨论平稳性
sol . X t 0 E X t X t E a a a
2
a R X t1 , t 2 Cos R X 2 随机相位正弦波为(宽 )平稳 sp
p p

T T
U x X t dt P X t x F1 x — — 分 布 函 数 各 态 历 经
p
(4).(1) 和 (2) — — 平 稳 过 程 各 态 历 经
例1 讨论随机相位正弦波的平稳性和各态历经性
1 随机相位正弦波 X t aCos t ， RV : f ， 0, 2 2 sol. 1: 平稳性

Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n Fn x1 ,..., x n ; t1 ,..., t n
2.严平稳过程的分布与数 字特征 1：一维分布 ，F1 x; t1 F1 x; t1 , f1 x; t1 f1 x;0 f1 x — —与 t 无关 则均值： EX t1 x1 f1 x1; t dx1 x1 f1 x dx1 X
( ) I e I 2 e 2 k 0关 ， 故 若 τ<0 时 ， 只 需 令 t ’=t+ τ，则有 E[X(t)X(t+τ)] =E[X(t`)X(t`+ τ )]= I2 e-2λ∣τ∣
图12-2
故这一过程的自相关函数为 E[X(t)X(t+τ)]= I2e-2λ∣τ∣ 它只与τ有关。因此随机电报信号X(t)是 一平稳过程。其图形如上图所示

平稳随机过程

平稳随机过程
பைடு நூலகம்
e
2
只与 有关.
{X (t ), t 0}是平稳过程.
例4 设{Y(t),t≥0}是正态过程.且 a mY (t ) t, CY (t, t ) e , 其中，，a 0,
令 X (t ) Y (t b) Y (t ), t 0, 其中b 0, 试证明 {X (t ), t 0}是一严平稳过程.
试讨论{X(t),t≥0}的平稳性.
mX (t ) 0 常数.
RX (t, t ) E[ X (t ) X (t )]
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
P( X (t ) X (t ) 1) P( X (t ) X (t ) 1)
n
由于 mX (tk ) mX mX (tk )
RX (tk , tl ) RX (tl tk ) RX (tk , tl ) k , l 1, 2,, n
(t1 , t2 ,, tn ; u1, u2 ,, un )
例1 设S(t)是周期为T的可积函数.令X(t)=S(t+Θ) t∈(-∞,+ ∞), Θ～U[0,T].称{X(t), -∞<t<+ ∞} 为随机相位周期过程,试讨论它的平稳性.
mX (t ) E[X(t)]

T 0
1 t T s( )d 为常数 T t
1 T R（t , t ) s(t )s(t )d X T 0 1 t T s( )s( )d 只与 有关系. T t 它是平稳过程
由于mX (t ) E[ X (t )] E[W (t a) W (t )] 0, t 0

第十二章-平稳随机过程

第十二章-平稳随机过程
7
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与

平稳随机过程

平稳随机过程

平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。

1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。

(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。

二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。

12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。

IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。

121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。

平稳随机过程及其遍历性

平稳随机过程及其遍历性
1.3 平稳随机过程及其遍历性
, z,t) x x x 平稳性：若一个函数 f (x, y，当 ， x f (x, y , z,t) f( x, y, z,t) 的特性不变，就称 关于 函数是平稳的。
对确定函数来说：特性不变指函数值不变。 对随机过程来说：特性不变指统计特性不变， 且仅仅对时间变量t而言。 分类 严格平稳 宽平稳（广义平稳）
1
随机过程可分为平稳和非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都是非平稳的, 但是, 平稳信号的分析要容易得 多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程的主要 物理条件在时间的进程中不改变, 或变化极小, 可以忽 略, 则此信号可以认为是平稳的. 如接收机的噪声电压
信号, 刚开机时由于元器件上温度的变化, 使得噪声电
f ( x , t t ) f ( x , t ) f ( x , 0 ) f ( x ) X 1 1 X 1 1 X 1 X 1
4
随机过程X(t)的均值，均方值和方差都是平稳的
都与时间t无关
E[ X (t)] xf X (x)dx mX
2 E[ X (t)] x2 f X (x)dx X 2 2 D[ X (t)] (x mX )2 f X (x)dx X

5
f ( x , , x , t t , , t t ) f ( x , , x , t , , t ) X 1 n 1 n X 1 n 1 n
二阶平稳(n=2)
严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。
时，二维概率密度： n 2 , t t , t t 1 2 1

则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程。 严平稳与宽平稳的关系： 一定 严格平稳 广义平稳 不一定 当随机过程满足高斯分布时，严平稳和宽平稳是等价的。

概率统计和随机过程课件第十二章平稳过程


则称 X (t)为严平稳过程,或称狭义平稳过程.
2021/3/11
1
严平稳过程的含义是:过程的任何有限维概率分布 与参数的原点选取无关,
二. 严平稳过程的一维,二维分布函数的性质
特殊地,取 t1,t2 t1 一维分布函数
F1(x1;t1) F1(x1;t1 ) F1 (x1;0) F1 (x1 ) 二维分布函数
E[X (t)
EX (t)]2
DX
(t)
2 X
CY
(0)
cov(Y (t),Y (t))
E[Y (t)
EY (t)]2
DY (t)
2 Y
(均为 常数).
2021/3/11
26
第三节 正态平稳过程
一.正态过程
正态随机变量复习：
一维正态随机变量 X ~ N(, 2 ) ,概率密度
f (x)
1
e ,
(
x) 2 2
2
2
x
二维正态随机变量
(X
,Y )
~
N
(
1
,
2 1
;
2
,
2 2
;
)
f
(x,
y)
2
1 1 2
1
2
exp{ 1 2(1
2)
[(x
1)2 12
2(x
1)(y 1 2
2)
(
y
2)2
2 2
]}
2021/3/11
27
n维正态分布 (X1, X 2,, X n ), 概率密度
f
(2)若X (t)可导，则X (t)是平稳过程，且
它的相关函数
RX
(

平稳随机过程的互相关函数和平稳随机序列


信号识别与分类
互相关函数用于信号识别
通过计算不同信号间的互相关函数，可 以识别出信号间的相似性和差异性，进 而实现信号识别。
VS
互相关函数用于信号分类
根据信号间的互相关函数特征，可以对信 号进行分类，如语音信号、图像信号等。
信号参数估计
互相关函数用于信号时延估计
通过计算信号间的互相关函数，可以估计出信号间的时延，即信号传播时间差。
03
5. 根据比较结果，评估仿真实 验的准确性和有效性。
06 总结与展望
研究成果总结
平稳随机过程的互相关函数
本文研究了平稳随机过程的互相关函数，包括其定义、性质、计算方法和应用。通过理 论分析和实例验证，证明了互相关函数在信号处理、控制系统等领域中的重要作用。
平稳随机序列
本文还对平稳随机序列进行了深入研究，包括其定义、性质、生成方法和统计分析。通 过模拟实验和实例分析，展示了平稳随机序列在通信、密码学等领域中的广泛应用。
03 平稳随机序列及其特性
平稳随机序列定义
严平稳随机序列
若随机序列的任意有限维分布函数与 时间起点无关，则称该序列为严平稳 随机序列。
宽平稳随机序列
若随机序列的数学期望为常数，且自 相关函数仅与时间间隔有关，则称该 序列为宽平稳随机序列。
平稳随机序列统计特性
数学期望
平稳随机序列的数学期望为常数，不随时间变化。
互相关函数用于信号频率估计
利用互相关函数的频率特性，可以对信号的频率进行估计，如音乐信号的基频、调制信号的载波频率 等。
05 数值计算方法和仿真实验 设计
数值计算方法介绍
离散化方法
将连续时间平稳随机过程离散化，以便进行数值计算。常用的离散化方法包括时间离散化和状态离散化。

概率统计和随机过程课件第十二章平稳过程

通信工程
在通信工程中，功率谱密度用于描述信号传输过 程中的噪声和干扰分布，从而提高通信质量和可 靠性。
03
线性平稳过程
定义和性质
定义
线性平稳过程是满足线性关系且具有平稳性质的随机过程。
性质
线性平稳过程具有线性性质、时间平移性质、频率域性质等 。
线性滤波器
01
02
03
定义
线性滤波器是用于从输入 信号中提取特定频率成分 的线性系统。
性质
线性滤波器具有线性性、 时不变性和因果性等性质 。
应用
线性滤波器在信号处理、 图像处理等领域有广泛应 用。
应用
信号处理
线性平稳过程在信号处理中用于提取 信号中的有用信息，如滤波、降噪等 。
通信系统
控制系统
在控制系统中，线性平稳过程可用于 分析系统的稳定性、频率响应等特性 。
在通信系统中，线性平稳过程可用于 调制和解调信号，提高通信质量。
02
平稳过程的功率谱密度
定义和性质
定义
功率谱密度是描述平稳随机过程功率 频谱分布的函数，表示随机过程在不 同频率下的功率分布。
性质
功率谱密度是实偶函数，即它关于y轴 对称；功率谱密度的值不会为负；对 于具有不同频率的平稳过程，其功率 谱密度也不同。
计算方法
自相关函数法
通过计算自相关函数的傅里叶变换来得到功率谱密度。
概率统计和随机过程课件第十二 章平稳过程
目录
• 平稳过程的定义和性质 • 平稳过程的功率谱密度 • 线性平稳过程 • ARMA模型 • 平稳过程在信号处理中的应用
01
平稳过程的定义和性质
定义
平稳过程
如果一个随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，则称该过程为平稳过程 。具体来说，对于任意常数时间$s$和$t$，如果随机过程的统计特性与$s$和 $t$的相对位置无关，则称该过程为严平稳过程。

12第十二章 平稳随机过程

第十二章 平稳随机过程§1 基本概念定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥∀n ，即T 中任意的,,,21n t t t 与h t h t h t n +++,,,21 ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X 与),,(21h t h t h t n X X X +++ 有相同的n 维d.f 。

即),,,;,,(),,(),,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n +++=≤≤≤=≤≤≤=+++则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。

当t X ∃n 维d.l 时，则有),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f +++=若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。

此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。

于是X Xmdx x xf t X E μ===⎰+∞∞-),0()(1即t X 的均值是一个与时间无关的常数。

其方差 ⎰∞∞-=-=-=.),0()(][222X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的常数。

而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧=-=所以t X 与τ+t X 之间自相关为⎰⎰∞∞-∞∞-+===+).(),;(),(212121ττττX t t X R dx dx x x f xx X X E t t R它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为.)(]][[)(2X X X t X t X m R m X m X E C -=--=+τττ 并且 .)0()0(2222X X t X X X m X E m R C σ=-=-=一般来说，实际应用中的s.p 是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的定义2：已给s.p },,{T t X X t T ∈=若,2∞<t X E 且满足1°X t m X E =（常数）（又记X μ）2°).(][ττX t t R X X E =+ （又记)(ττX t t R X X E =-）则称T X 是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p 。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

18

事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W ( t )W ( t )] E {[ X ( t ) Y ( t )][X ( t ) Y ( t )]} E[ X ( t ) X ( t ) X ( t )Y ( t ) Y ( t ) X ( t ) Y ( t )Y ( t )] E[ X ( t ) X ( t )] E[ X ( t )Y ( t )] E[Y ( t ) X ( t )] E[Y ( t )Y ( t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )

RX ( t , s ) E[ X ( t ) X ( s )] E[(Y cos( t ) Z sin ( t ))(Y cos( s ) Z sin ( s ))] E[cos( t ) cos( s )Y sin ( ( t s ))YZ
2
sin ( t ) sin ( s ) Z 2 ]

3
平稳过程数字特征的特点. 设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在. 对n=1, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由平稳性 定义, X(t1)和X(0) 同分布. 于是 E[X(t)] = E[X(0)], 记为 X 同样, X(t)的均方值函数和方差函数亦为 2 2 常数, 分别记为 X 和 X
7

若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列. 广义平稳过程
严平稳过程 严平稳过程
二阶矩存在

严平稳过程
广义平稳过程 广义平稳过程
8
正态过程

例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ² ] = σ² , 则有
2 2
cos((s t ) )
2 2
cos( )
所以{X(t), t T }为宽平稳过程.
14

例4 设 {Xn, n = 0, 1, 2,} 是实的互 不相关随机变量序列，且E(Xn)=0， D(Xn) = 2 . 讨论随机序列的平稳性. 解 因为E(Xn) = 0，


依照图10-4的意义, 可以知道,平稳过程的 所有样本曲线都在水平直线 x(t ) X 上下 波动, 平均偏离度为 X .
4
又若平稳过程X(t)的自相关函数 RX(t1, t2 ) = E[X(t1) X(t2)] 存在. 对n = 2, 在(1.1)式中, 令h= - t1 , 由 平稳性定义, (X(t1), X(t2))与(X(0), X(t2 - t1)) 同分布. 于是 RX(t1, t2 ) = E[X(t1)X(t2)] = E[X(0)X(t2 - t1)]. 记为 RX(t1, t2 ) = RX(t2 - t1) 或 RX(t, t + ) = E[X(t)X(t +)] = RX( ) . 这表明:平稳过程的自相关函数是时间差 t2 - t1 = 的单变量函数.
2 , k l , R X ( k , l ) E[ X k X l ] 0, k l .

即相关函数只与k-l有关, 所以它是宽平稳的随
机序列. 如果X1 , X2 ,…, Xk ,…又是独立同分布的,
则易证序列也是严平稳的.
9

例2 设s(t)是一周期为T的函数, Θ是在(0,T)上 服从均匀分布的随机变量, 称X(t) = s(t + Θ)为 随机相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
0 1
1 1 {cos(2 ) cos[2 ( 2t ) ]}d 2 0 1 , 0 2 0 , 0
所以X(t)是平稳过程.
17
联合平稳随机过程
定义3 设{X(t), t T }和{Y(t), t T }是两 个平稳过程，如果它们的互相关函数 E[X(t)Y(t +)] 和E[Y(t)X(t +)]仅与 有关, 而与 t 无关，则称X(t)和Y(t)是平稳相关 的, 或称这两个过程是联合(宽)平稳的. RXY(t, t +) = E[X(t)Y(t +)] = RXY(), RYX(t, t +) = E[Y(t)X(t +)] = RYX(). • 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
解 由假设, Θ的概率密度为


1 / T , 0 T , f ( ) 其它. 0, 于是, X(t)的均值函数为
1 E[ X ( t )] E[ s( t )] s( t ) T d 0 T
1 T

t T
t
s( T E[ X ( t )] s( )d 常 数. T 0 而自相关函数
1 RX ( t , t ) T
记成

t T
t
s( ) s( )d RX ( ).

所以, 随机相位周期过程是平稳的. 特别,
随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例
2).
12
例3 X(t) =Ycos(t)+Zsin(t), t > 0, Y, Z相 互独立, E(Y) = E(Z) = 0, D(Y) =D(Z) =2. 讨论随机过程{X(t), t > 0}的平稳性. 解 E[ X ( t )] E[Y cos( t ) Z sin( t )] cos( t ) E (Y ) sin( t ) E ( Z ) 0.
§12.1 平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程,
不仅它现在的状态, 而且它过去的状态,
都对未来状态的发生有着很强的影响.
有这样一类随机过程, 即所谓平稳过程, 它的特点是: 过程的统计特征不随时间 的推移而变化.严格地说,有下面的定义.
1
平稳随机过程的定义

定义1 设{X(t), t T }是随机过程，如果对任 意常数 h 和正整数 n，
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T，
若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
(X(t1+h), X(t2 +h),, X(tn+h)) (1.1)
有相同的分布函数，则称{X(t)，t T }为平稳 随机过程，或简称平稳过程.
2
在实际问题中, 确定过程的分布函数, 并 用它来判定其平稳性,一般是很难办到的. 但是, 对于一个被研究的随机过程, 如果 前后的环境和主要条件不随时间的推移 而变化, 则一般就可以认为是平稳的. 恒温条件下的热噪声电压过程; 强震阶段的地震波幅; 船舶的颠簸过程; 照明电网中电压的波动过程; 各种噪声和干扰等等.
2 2 X C X (0) RX (0) X
6

• • • •
定义2 给定二阶矩过程{X(t), t T }, 如果 对任意 t, t + T E[X(t)] = μX (常数), E[X(t) X(t +)] = RX( ), 则称{X(t), t T }为宽平稳过程, 也称广义平稳 过程. 简称平稳过程. 相对地, 前述按分布函数定义的平稳过程称为 严平稳过程或狭义平稳过程. 一个严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳过程. 但反过来, 一般是不成立的. 特例: 一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳. 泊松过程和维纳过程是非平稳过程.
13
cos( t ) cos( s ) E (Y 2 ) sin ( ( t s ))E (YZ ) sin ( t ) sin ( s ) E ( Z 2 ) cos( t ) cos( s ) D(Y ) sin ( t s ) E (Y ) E ( Z ) sin ( t ) sin ( s ) D( Z ) cos( t ) cos( s ) sin ( t ) sin ( s )
2 0
1 AB sin( t ) sin( t ) d 2
AB 2 1 [cos( ) 2 0 2 cos(2t 2 )]d 1 AB cos( ) RXY ( ). 2

5

由第十章(2.7)式, 协方差函数: CX(t1, t2 ) = E{[X(t1) - μX(t1)][X(t2) - μX(t2)]} = RX(t1, t2 ) - μX(t1)μX(t2). 那么, 协方差函数可以表示为: CX() = E{[X(t) - μX][X(t +) - μX]} = RX() - μX ² 特别地, 令 =0,由上式,有
2 , 0 R X ( n , n ) E [ X n X n ] 0 , 0
所以, {Xn, n = 0, 1, 2,}是平稳随机序 列.
15

例5 设状态连续、时间离散的随机过程 X(t) = sin(2 Θt), 其中Θ是(0, 1)上的均匀 分布随机变量, t 只取整数值1, 2, ，讨 论随机过程 X(t) 的平稳性.
解
E[ X ( t )] E[sin( 2t )] sin( 2 t ) f ( )d
1
sin( 2 t )d 0
0
16
RX ( t , t ) E[ X ( t ) X ( t )] sin ( 2 t ) sin [ 2 ( t )]d

R X ( t , t ) E[ s( t ) s( t )]