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平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。
1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。
(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。
二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。
12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。
IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。
121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。
第十二章 平稳随机过程§1 基本概念定义1：已给s.p t X t X {=，}T t ∈，若1≥∀n ，即T 中任意的,,,21n t t t Λ与h t h t h t n +++,,,21Λ，n 维r.v ),,(21n t t t X X X Λ与),,(21h t h t h t n X X X +++Λ有相同的n 维d.f 。
即),,,;,,(),,(),,(),,,;,,,(2121212121212121n n n h t h t h t n t t t n n x x x h t h t h t F x X x X x X P x X x X x X P x x x t t t F n n ΛΛΛΛΛΛ+++=≤≤≤=≤≤≤=+++则称s.p t X 是一个严（强，狭义）平稳过程。
当t X ∃n 维d.l 时，则有),,;,,,(),,;,,,(21212121n n n n x x x h t h t h t f x x x t t t f ΛΛΛΛ+++=若取n =1，则有),(),(1111x h t f x t f +=，特别，当T ∈0，可取,1t h -=则有),0(),(111x f x t f =。
此时平稳过程t X 的一维d.l 与1t （时间）无关。
于是X Xmdx x xf t X E μ===⎰+∞∞-),0()(1即t X 的均值是一个与时间无关的常数。
其方差 ⎰∞∞-=-=-=.),0()(][222X X X t t dx x f m x m X E X D σ也与时间t 无关的常数。
而且T X 的二维d.l 也只依赖于.21t t -=τ即当2t h -=时，有).,;(),;0,(),;,(2121212121x x f x x t t f x x t t f τ∧=-=所以t X 与τ+t X 之间自相关为⎰⎰∞∞-∞∞-+===+).(),;(),(212121ττττX t t X R dx dx x x f xx X X E t t R它只依赖于.τ类似地τ+t t X X ,之间协方差为.)(]][[)(2X X X t X t X m R m X m X E C -=--=+τττ 并且 .)0()0(2222X X t XX X m X E m R C σ=-=-= 一般来说，实际应用中的s.p 是很难达到如此严平稳的要求的，故而求其次，即有如下的定义2：已给s.p },,{T t X X t T ∈=若,2∞<t X E 且满足1°X t m X E =（常数）（又记X μ）2°).(][ττX t t R X X E =+ （又记)(ττX t t R X X E =-）则称T X 是一个宽（弱、广义）平稳s.p.简称为平稳s.p 。
当T X 取复值时，),(τ+=t t X X X E R 则称复平稳s.p.定义3：已给两平稳s.p t X t X {=}T t ∈，},{T t Y Y t T ∈=，若满足)(),(τττY X t t Y X R Y X E t t R ==++则称T T Y X ,是联合平稳的或平稳相关的。
例1~例3见书上，当T 取离散值时，称平稳序列。
例4：已给s.p t X )(0Θ+=ωCOS ,其中0ω为常数，r.v )2,0(~πU Θ，试证t X 是平稳s.p. 事实上，显然⎰⎰ΩΩ∞<=Ω=≤=1)(22P dP dP X X E t t 。
（或1)()()(cos 022=≤+=⎰⎰∞∞-Θ∞∞-Θθθθθθωd fd f t X E t）⎰⎰-=+=Θ+=ππθθωθωπθθωπω20200000)sin sin cos (cos 21)cos(21)cos(d t t d t t E X E t =0.及 )]cos()[cos(000Θ++Θ+=+τωωωτt t E X X E t t )]22cos(21cos 21[000Θ+++=t E ωτωτωΘ+-Θ++=2sin )2sin(212cos )2cos(21cos 2100000E t E t ωτωωτωτω.cos 210τω=故由定义2知t X 是一个平稳s.p.§2 各态历经性（遍历性）先令给二阶矩s.p.]},[,{b a T t X X t T =∈=在T 上均方积分定义，考察[a,b] 上一组分划 .210b t t t t a n =<<<=Λ记,,11i i i i i i t t t t t ≤≤-=∆--τ若存在一个r.v Y 使.0][lim 21max=-∆∑=→∆ni i t Y t X E iiτ即 )0max (112→∆→∆≤≤=∑i ni ni it Y tX iτ则称T X 在[a,b]上均方可积，并记⎰=ba t dt X Y .理论上已证明：二阶矩s.p T X 在T=[a,b]上均方可积的充分条件是⎰⎰∞<b abaX dsdt t s R .),( 并且 ⎰=bat dt X E Y E .再引入时间均值与时间相关函数。
时间均值定义为 ⎰-∞→>=<TTT dt t X Tt X )(21lim)( ——是r.v时间相关定义为 ⎰-+∞→+>=+<TTT dt t X t X Tt X t X )()(21lim)()(ττ——是r.v先看一例例1见书。
><=)(t X E X μΘ 定义：设)(t X 是平稳s.p1°若.)(1))()((X X t X t X E t X P μμ>=⇔<==>=<则称)(t X 的均值具有多态历经性。
2°若∀实数τ有 )()()(ττX R t X t X >=+< .1))()()()()((==+>=+<τττX R t X t X E t X t X P则称)(t X 的自相关函数具有多态历经性。
若,0=τ称)(t X 得均方值具有多态历经性。
3°当)(t X 的均值与相关函数都具有多态历经性时，则称)(t X 是多态历经的（又称遍历或ergodicity ）.Th1. 平稳s.p )(t X 的均值具有多态历经性 ⇔.0])([)21(1lim 220=--⎰∞→τμττπd R TT X X T 想法（思路）。
任一r.v ξ,.1)(0===⇔=ξξξE c P D 现在.)(>=<t X ξ故.1))()()((0)(==>=<>=<⇔>=<X t X E t X E t X P t X D μ （*）证：先求.)(21lim])(21lim [)(X TTTTT Tdt t X E Tdt t X TE t X E μ==>=<⎰⎰--∞→∞→再求.)(><t X D⎰⎰⎰⎰⎰--∞→--∞→-∞→--=-=-=-><=T T T T xX t X T TT T T XT TT Xdt dt t t R T dt t X dt t X T E dt t X T E t X E t X D 2211222221122222)(41lim ])()(41[lim ])(21[lim ])([)]([μμμμ下面计算⎰⎰--=-T T TTX I dt dt t t R 2112)(令{212211t t t t +-=+=ττ， 则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)(21)(21211212ττττt t2121212121),(),(2121=-=∂∂=ττt t J ， 从而⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-====-TX T X T T X G X X d R T d R T d R d d d R d d R I 20202221202022212212.)()2(2)()2(2)(2)(2)(212ττττττττττττττττ.])([)21(1lim )()21(1lim ])([220220τμττμτττd R TT d R T T t X D X X T T X T X T --=--=><∴⎰⎰∞→∞→ 代入（*）式即得证明。
推论：若∃极限2lim ()Xt XR t μ-→∞=，则()X t 均值具有各态历经性，极限2lim ().()X X t R t X t μ→∞≠均值不具有各态历经性。
定理2：平稳s.p ()X t 相关函数具有各态历经性2211101lim (1)[()()]02T X T B R d T Tττττ→∞⇔--=⎰， 而 111()[()()()()]B E X t X t X t X t τττττ=++++。
定理3：平稳s.p ()X t ，0t ≤≤∞，01(lim()())1TX T P X t dt EX t Tμ→∞===⎰ 201lim (1)(())0T X X T R d T Tττμτ→∞⇔--=⎰。
定理4：s.p （平稳）()X t ，0t ≤≤∞，01(lim ()()())1T X T P X t X t dt R T ττ→∞+==⎰ 211101lim (1)[()()]0T X T B R d T Tττττ→∞⇔--=⎰。
§3 相关函数的性质设()X t 和()Y t 是平稳相关的s.p 。
即有：()()()X R EX t X t ττ=+， ()()()Y R EY t Y t ττ=+，()()()XY R EX t Y t ττ=+，它们具有性质：1°22(0)[()]0X XR E X t ψ==≥ 2°()()()()()()X X R EX t X t EX t X t R ττττ-=-=-=，即()X R τ是τ的偶函数. ()()()()()()XY YX R EX t Y t EY t X t R ττττ-=-=-=. 3°由许瓦兹不等式知：()()()()()(0)X X R EX t X t E X t X t R τττ=+≤+≤= ()[()()][()()]X C E X t EX t X t EX t τττ=-+-+ ()()X X E X t X t μτμ≤-+-≤2(0)X X C σ=== 同理有：()()()XY R EX t Y t ττ=+≤=X Y ψψ==g()[()][()]XY X Y C E X t Y t τμτμ=-+-≤X Y σσ== 称 ()()(0)X X X C C τρτ=和 ()()()XY XYXY X YC C ττρτσσ== 各为标准自协方差和标准互协方差函数，故有()1X ρτ≤，()1XY ρτ≤. 由第4章§3知，当且仅当()0XY ρτ=时，()X t 与()Y t 互不相关. 4°()X R τ是非负定的，即T ∀中12,,,n t t t L 及∀实函数()g t 有： 1111()()()[()()]()()nnnni j i j j i i j X i j i j R t t g t g t E X t X t g t g t ====-=∑∑∑∑2111[()()][()()][()()]0nn ni i j j i i i j i E X t g t X t g t E X t g t =====≥∑∑∑反之，理论上已证明：若()h τ是连续的非负定函数，则它必定是某平稳s.p 的自相关。
