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严平稳的.
例2 设s(t)是一周期为T的函数,是在(0,t)上服 从均匀分布的随机变量,称X (t) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性.
解 的概率密度为
f
(
)
1/T , 0
0, 其他.
T,
X(t) 的均值函数为
E[X (t)] E[s(t )]
T
s( t
) 1 d
定义1 给定二阶矩过程{ X (t), t T },如果对任意
t,t T : E[ X (t)] X (常数)
E[ X (t)X (t )] RX ( )
则称{ X (t), t T }为宽平稳过程,或广义平稳过程. 说明
(1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立.ຫໍສະໝຸດ 2aea2 2 2
da
2
2
0
故 E[Acos(t )] EA E[cos(t )]
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t )由只 取 I或 I
t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2 而正负号在区间(t,t )内变化的次数N (t,t ) 是随机的, 假设N (t,t )服从泊松分布.
结果与t 无关
k0
I 2e
( )k
k0
I 2e2
.
k0 k!
而 0时,令t t , 则自相关函数: E[ X (t )X (t )] I 2e2 只与有关
所以随机电报信号 X (t) 是一平稳过程.
其图形为:
RX ( )
I2
o
例4 设随机过程X (t) Acos(t ), t ,
1
iT
s( )d .
0
T
Ti
利用s( )的周期性
知 E[ X (t)] 1 T s( )d 常数. T0 而自相关函数
RX (t,t ) E[s(t )s(t )]
仅与有关
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1 T
iT i
s( )s( )d RX ( )
二、应用举例
例1 设{Xk ,k 1,2, }是互不相关的随机变量
序列,且
E[
Xk
]
0,
E[
X
2 k
]
2
,则有
Rx (k, l)
E[ Xk
Xl
]
2 ,
0, k
k l, l,
即相关函数只与 k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1, X2, , Xk , 是独立同分布的,则序列是
变函数. (即不随时间的推移而变化).
协方差函数可以表示为
CX ( ) E{[ X (t) X ][ X (t ) X ]}
RX
(
)
2 X
.
若令 0 ,
则
2 X
CX (0)
RX
(0)
2 X
.
说明 要确定一个随机过程的分布函数, 并进而判定
其平稳性在实际中不易办到.
2. 广义平稳过程
其中A是服从瑞利分布的随机变量,其概率密度为
f
(a)
a
2
e
a2 2 2
,
a0
0,
a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的
随机变量, 是一常数,问Xn(t)是不是平稳过程?
解
因
E( A)
a2
0 2
e
a2 2 2
da
π 2
E( A2 )
a3
0 2
e
a2 2 2
da
第一节 平稳随机过程的概念
一、平稳随机过程的概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程的概念
在实际中, 有相当多的随机过程, 不仅它现 在的状态, 而且它过去的状态, 都对未来状态的 发生有着很强的影响.
如果过程的统计特性不随时间的推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的n( 1,2, ), t1, t2 , , tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h, , tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h), , X (tn h))
平稳过程数字特征的特点: (设平稳过程X (t)的均值函数E[ X (t)]存在) (1) 平稳过程的所有样本曲线都在水平直线
x(t) X 上下波动,平均偏离度为X .
(2) 设平稳过程X (t)的自相关函数 Rx (t1, t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )]存在.
那么平稳过程的自相关函数仅是t2 t1 的单
(2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
定义2 同时考虑两个平稳过程: X (t) 和 Y (t)
如果它们的互相关函数也只是时间差的单 变量函数, 即
RXY (t,t ) E[ X (t)Y (t )] RXY ( ),
那么,称X (t) 和 Y (t)是平稳相关的,或两过程是 联合宽平稳的.
如果电流在[t,t )内变号奇数次 X (t)和X (t )乘积为 I 2,
事件 {X (t)X (t ) I 2}的概率为
P( A0 ) P( A2 ) P( A4 ) ...
事件 {X (t)X (t ) I 2}的概率为
P( A1 ) P( A3 )
E[ X (t)X (t )] I 2 P( A2k ) I 2 P( A2k1)
即事件
Ak {N (t, t ) k}
的概率为
P(
Ak
)
( )k
k!
e
,
k 0,1,2,
其中 0是单位时间内变号次数的数学期望.
试讨论 X (t) 的平稳性.
解 E[X (t)] 0
下面计算 E[ X (t)X (t )] 如果电流在[t,t )内变号偶数次
X (t)和X (t )必同号且乘积为I 2,
具有相同的分布函数, 则称随机过程{ X (t), t T} 具有平稳性, 并同时称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程的参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2, } 或 {0,1,2, }.
当T为离散情况, 称平稳过程X n 为平稳随
机序列, 或平稳时间序列. 说明 (1) 将随机过程划分为平稳过程和非平稳过程有重 要的实际意义. 过程若是平稳的可使问题的分析尤 为简化. (2) 平稳过程的数字特征有很好的性质.
