6.5区间估计

区间估计的原理
区间估计是统计学中常用的一种方法，它可以用来估计总体参数的范围。

区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。

区间估计的原理可以通过以下步骤来说明：
1. 确定总体参数
首先，需要确定要估计的总体参数，例如总体均值、总体比例等。

2. 采样
从总体中随机抽取一定数量的样本，样本的数量应该足够大，以保证估计的准确性。

3. 计算样本统计量
根据样本数据，计算出相应的样本统计量，例如样本均值、样本比例等。

4. 确定置信水平
置信水平是指在多次重复采样的情况下，估计结果落在区间内的概率。

通常情况下，置信水平取95%或99%。

5. 计算标准误差
标准误差是指样本统计量与总体参数之间的差异，它可以用来衡量估
计的准确性。

6. 计算置信区间
根据样本统计量、标准误差和置信水平，可以计算出置信区间。

置信
区间是一个范围，它包含了总体参数的真实值的可能范围。

7. 解释结果
最后，需要解释计算出的置信区间。

例如，如果计算出的置信区间为[10,20]，则可以说在95%的置信水平下，总体参数的真实值有可能在10到20之间。

总之，区间估计是一种常用的统计方法，它可以用来估计总体参数的
范围。

区间估计的原理是基于样本数据，通过一定的统计方法计算出
一个区间，这个区间包含了总体参数的真实值的可能范围。

在实际应用中，需要注意样本的大小、置信水平的选择以及标准误差的计算等问题，以保证估计的准确性。

统计学区间估计
统计学区间估计是一种基于样本数据的推断方法，用于估计总体参数的取值范围，通常使用置信区间来描述这个范围。

在统计学中，区间估计是一种比点估计更加精确的方法，因为它考虑了样本误差和不确定性的影响。

区间估计的过程可以分为以下几步：首先，选择一个统计量作为总体参数的估计值，例如样本均值或比例。

其次，计算这个统计量的标准误差和置信水平，这可以用来确定置信区间的宽度。

最后，根据样本数据计算置信区间的上限和下限，使得总体参数的真实值有一定的概率落在这个区间内。

值得注意的是，置信区间的宽度和置信水平是相互关联的，一般来说，提高置信水平会导致置信区间变宽，而降低置信水平则会使置信区间变窄。

因此，在进行区间估计时，需要权衡置信度和估计精度的关系，选择最合适的置信水平。

最后，需要注意的是，区间估计只能用来估计总体参数的取值范围，并不能确定总体参数的具体取值。

如果需要确定总体参数的具体取值，需要进行假设检验等其他方法。

- 1 -。

(1) P值是：1) 一种概率，一种在原假设为真的前提下出现观察样本以及更极端情况的概率。

2) 拒绝原假设的最小显著性水平。

3) 观察到的(实例的) 显著性水平。

4) 表示对原假设的支持程度，是用于确定是否应该拒绝原假设的另一种方法。

(2) P 值的计算：一般地，用X 表示检验的统计量，当H0 为真时，可由样本数据计算出该统计量的值C ，根据检验统计量X 的具体分布，可求出P 值。

具体地说:左侧检验的P 值为检验统计量X 小于样本统计值C 的概率，即:P = P{ X < C}右侧检验的P 值为检验统计量X 大于样本统计值C 的概率:P = P{ X > C}双侧检验的P 值为检验统计量X 落在样本统计值C 为端点的尾部区域内的概率的2 倍: P = 2P{ X > C} (当C位于分布曲线的右端时) 或P = 2P{ X< C} (当C 位于分布曲线的左端时) 。

若X 服从正态分布和t分布，其分布曲线是关于纵轴对称的，故其P 值可表示为P = P{| X| > C} 。

计算出P 值后，将给定的显著性水平α与P 值比较，就可作出检验的结论:如果α > P 值，则在显著性水平α下拒绝原假设。

如果α ≤ P 值，则在显著性水平α下接受原假设。

在实践中，当α = P 值时，也即统计量的值C 刚好等于临界值，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验。

整理自：区间估计区间估计（Interval Estimation）[编辑]什么是区间估计区间估计就是以一定的概率保证估计包含总体参数的一个值域，即根据样本指标和抽样平均误差推断总体指标的可能范围。

它包括两部分内容：一是这一可能范围的大小；二是总体指标落在这个可能范围内的概率。

区间估计既说清估计结果的准确程度，又同时表明这个估计结果的可靠程度，所以区间估计是比较科学的。

用样本指标来估计总体指标，要达到100%的准确而没有任何误差，几乎是不可能的，所以在估计总体指标时就必须同时考虑估计误差的大小。

总体参数的区间估计公式摘要：1.总体参数的区间估计概述2.区间估计公式的推导3.区间估计在统计学中的应用正文：一、总体参数的区间估计概述总体参数的区间估计是统计学中一种重要的参数估计方法。

在实际问题中，我们通常需要对总体的某个未知参数进行估计，例如均值、方差等。

由于样本数据的随机性，我们需要通过一定的方法来估计总体参数的真实值，区间估计就是其中一种常用的方法。

区间估计的核心思想是利用样本数据计算出一个区间，该区间内包含总体参数真实值的概率在一定范围内。

这个概率范围通常用置信水平来表示，置信水平越高，所估计的区间范围就越宽，包含总体参数真实值的可能性就越大。

二、区间估计公式的推导设总体X 的概率密度函数为f(x)，样本容量为n，样本均值为x，样本标准差为s，我们要估计总体均值μ。

根据中心极限定理，当n 充分大时，样本均值的分布近似于正态分布，即：x ~ N(μ, σ/n)其中，σ为总体方差。

为了估计总体均值μ，我们可以构造一个置信区间。

设α为置信水平，对应的Z 值为Zα，那么：μ的置信区间为：x ± Zα * s / √n其中，s / √n 为样本标准差除以√n，它实际上是总体标准差σ的估计。

三、区间估计在统计学中的应用区间估计在统计学中有广泛的应用，主要包括以下几个方面：1.对总体参数的单个估计：通过构造置信区间，我们可以估计总体参数的单个值，如均值、方差等。

2.对总体参数的统计推断：通过比较不同置信水平下的置信区间，我们可以对总体参数进行统计推断，如判断总体参数是否等于某个值等。

3.对样本容量的估计：在实际问题中，我们通常需要根据样本数据来估计总体参数，而样本容量的大小直接影响到估计的准确性。

通过构造置信区间，我们可以估计合适的样本容量。

区间估计基本原理
区间估计是指通过样本数据对总体参数进行估计时，给出一个区间范围，以及一个置信度。

区间估计的基本原理是利用样本统计量来估计总体参数，并给出一个置信区间，即有一定置信度的总体参数在该区间内。

在进行区间估计时，通常会使用样本均值、样本比例或样本方差等统计量作为总体参数的点估计。

然后结合样本大小、总体标准差或其估计值，以及所选取的置信水平，利用统计分布的性质进行计算，得到一个区间范围。

置信度是指在重复抽样的情况下，得到的置信区间能够包含真实总体参数的概率。

通常使用的置信度为95%或99%。

即如果重复进行抽样，有95%或99%的抽样结果都能够包含真实总体参数。

区间估计的基本原理是建立在大数定律和中心极限定理的基础上。

根据大数定律，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会趋近于总体参数的分布。

而根据中心极限定理，当样本容量足够大时，样本统计量的分布会近似服从正态分布。

因此，可以利用正态分布或t分布来进行区间估计。

当给出一个置信度时，可以根据正态分布或t分布的性质，计算出一个临界值，即一个与置信度对应的取值。

然后根据样本统计量的分布情况，在样本统计量的点估计上加减一个与临界值相乘的标准误差，得到一个区间范围。

通过区间估计，可以对总体参数进行更全面、更准确的估计。

同时，区间估计也可以告诉我们有多大的把握认为总体参数在给定的区间范围内。

第二节区间估计、区间估计的概念和步骤点估计用一个确定的值去估计未知的参数，具有较大的风险。

因为估计量来自于一个随机抽取的样本，结果也就带有随机性。

样本估计量刚好等于所估计的总体参数的可能性极小。

但是如果说所估计的总体参数就落在估计值附近，即所估计的总体参数就落在以点估计所得到的估计值为中心的某一个小区间内，那就比较有把握了。

这种方法就是区间估计法。

在第四章中我们已经知道，一个足够大样本的均值的抽样分布是正态的，并且所抽到的样本均值落在总体均值的两侧x范围内的概率是0.683 ，落在总体均值2范围内的概率是0.955 ，落在总体均值3 范围内的概率是0.997 等等。

由此xx 可见，我们可以按照概率来估计总体均值是落在某一区间范围内的。

我们把这种对总体均值的估计称作区间估计。

从上述说明可以看到：1. 如果所估计的区间越大，参数被包含在该区间内的概率就越大。

2. 如果样本的方差越小，则在相同的概率下区间估计所得到的结果就越短。

一般地，设为总体的一个未知参数，1, 2 分别为由一组样本所确定的对的两个估计量，对于给定的0 1，若P( 1 2 )=1 ，则称区间[ 1, 2 ]为置信度是1 的置信区间。

1, 2 分别为置信区间的下限和上限。

1 称为置信度或置信概率，表示区间估计的可靠度。

称为置信度水平。

常用的置信度有0.80，0.90，0.95 0.99等。

一般来说，对于估计要求比较精确的问题，置信程度也要求高一些，在社会经济现象中，通常采用95%就可以了。

置信度反过来也表示可能犯错误的概率。

如置信度为95%，则犯错误的概率就为1-95%=5% 。

这一概率也就是置信度水平，也可理解为风险率或风险水平。

图5-2 根据不同样本所得到的置信度为95.5%的置信区间需要指出的是， P （ 1 2 ）=1不应理解为 落在某一固定区间的概率。

因为这里 是一个参数，而不是随机变量，而1, 2 是根据抽样的结果计算出来的，因此，[ 1, 2 ]是一个随机区间。

（二）区间估计区间估计是指用样本指标、抽样误差和概率所构造的区间以估计总体指标存在的可能范围。

在进行区间估计的时候，根据所给定的条件不同，总体平均数和总体成数的估计有两条模式可供选择： 第一套：给定置信度要求，去推算抽样误差的可能范围。

第二套：根据已给定的抽样误差范围，求出概率保证程度。

1. 总体平均数的区间估计按照第一套模式，根据置信度F t ()的要求，估计极限抽样误差的可能范围)(∆∆∆或p x ，并指出估计区间（置信区间）。

具体步骤是：（1）抽取样本，并根据调查所得的样本单位标志值，计算样本平均数x ；计算样本标准差；在大样本下用以代替总体标准差推算抽样平均误差μ。

（2）根据给定的置信度F t ()的要求，查《正态分布概率表》，求得概率度t 值。

（3）根据概率度t 和抽样平均误差μx 计算极限抽样误差的可能范围μxx t =∆，并据以计算置信区间的上下限。

例14 麦当劳餐馆在7周内抽查49位顾客的消费额（元）如下，求在概率95%的保证下，顾客平均消费额的置信区间。

15 24 38 26 30 42 1830 25 26 34 44 20 3524 26 34 48 18 28 4619 30 36 42 24 32 4536 21 47 26 28 31 4245 36 24 28 27 32 3647 35 22 24 32 46 26第一步：根据样本计算样本平均数和标准差：x x n ==∑32 （元） S n x x ==-∑2945().（元），用样本标准差代替总体标准差σ=945.（元） 样本平均误差 x n μσ===94549135..（元）第二步：根据给定的置信度F t ()=95%，查概率表得t =196. 第三步：根据概率度t 和抽样平均误差推算抽样极限误差的可能范围。

65.235.196.1=⨯==∆μxx t （元） 将μxx ,的值代入区间估计公式 )(65.34)(35.2965.23265.232元元≤≤+≤≤-+≤≤-∆∆X X x X x xx计算结果表明，以95%的概率保证，麦当劳餐馆顾客消费额在29.35~34.65元之间。