第5讲参数的区间估计

点估计与区间估计方法例题和知识点总结在统计学中，点估计和区间估计是非常重要的概念和方法，它们帮助我们从样本数据中推断总体的特征。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解这两个概念，并对相关的知识点进行总结。

一、点估计点估计是用样本统计量来估计总体参数。

常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。

例如，假设我们有一个样本：12, 15, 18, 20, 22。

要求估计总体均值。

我们可以使用样本均值作为总体均值的点估计。

样本均值＝（12＋ 15 ＋ 18 ＋ 20 ＋ 22）／ 5 ＝ 176所以，我们估计总体均值为 176 。

点估计的优点是简单直观，但缺点是没有给出估计的精度和可靠性。

二、区间估计区间估计则是在点估计的基础上，给出一个区间，使得总体参数有一定的概率落在这个区间内。

比如，对于上述样本，我们要构建总体均值的 95%置信区间。

首先，需要计算样本标准差。

假设经过计算，样本标准差为 35 。

然后，根据中心极限定理，对于大样本（通常 n ＞ 30 ），总体均值的置信区间为：样本均值 ±（Zα/2 × 样本标准差／√n ）其中，Zα/2 是对应置信水平的标准正态分布的分位数。

对于 95%的置信水平，Zα/2 ＝ 196 。

n 为样本容量，这里 n ＝ 5 。

计算可得：176 ±（196 × 35 ／√5 ），即（148, 204）这意味着我们有 95%的把握认为总体均值在 148 到 204 之间。

三、例题分析例 1：某工厂生产一批零件，随机抽取 50 个零件，测得其平均长度为 105 厘米，标准差为 08 厘米。

求总体均值的 90%置信区间。

解：Zα/2 对于 90%的置信水平为 1645 。

置信区间为：105 ±（1645 × 08 ／√50 ）＝（103, 107）例 2：对某品牌电池进行寿命测试，抽取 25 个样本，平均寿命为1200 小时，标准差为 150 小时。

单组数据的位置参数置信区间估计《单组数据的位置参数置信区间估计》在统计学中，位置参数是描述数据集中心值的统计量。

当我们只有一组数据时，我们想要估计这个数据集的位置参数时，可以使用置信区间估计。

置信区间估计是通过估计数据集的中心值，并给出一个置信水平，用以表示我们估计的值在给定范围内的可能性。

首先，我们需要确定置信水平。

常用的置信水平有90%、95%和99%。

置信水平越高，估计的范围将会越宽。

然后，我们需要选择一个适当的统计量来估计数据集的中心值。

常见的统计量有样本均值和中位数。

样本均值是指一组数据的平均值，而中位数是指将数据从小到大排列后，位于中间的数值。

接下来，我们使用适当的公式来计算置信区间。

对于样本均值来说，置信区间的计算可以使用以下公式：置信区间 = 样本均值 ± t值 ×标准误差其中，t值可以从t分布表中查找，与选择的置信水平和样本大小有关。

标准误差是样本标准差除以样本大小的平方根。

对于中位数来说，由于计算的复杂性，我们一般使用非参数方法来估计置信区间。

其中一个常用的方法是基于百分位数的置信区间。

最后，我们将计算出来的置信区间进行解释。

例如，如果我们得出的置信区间是(10, 20)，意味着我们有95%的置信水平认为这个数据集的中心值在10到20之间。

同时，这也意味着我们有5%的可能性认为中心值不在这个区间内。

需要注意的是，单组数据的位置参数置信区间估计有一些假设前提，如数据满足正态分布、样本大小足够大等。

如果数据不满足这些假设，我们需要使用其他方法进行估计。

综上所述，《单组数据的位置参数置信区间估计》是一种通过计算置信区间来估计数据集中心值的方法。

通过选择适当的置信水平和统计量，我们可以在给定范围内估计数据集的位置参数，并对结果进行解释。

这种方法可以帮助我们在没有大样本量的情况下，对单组数据进行较为准确的估计。

第五节大样本区间估计一、两点分布大样本区间估计二、例题选讲一、两点分布大样本区间估计置信区间是的的置信度为则为未知参数其中的分布律为的总体分布它来自的大样本设有一容量α-=-=->-1,,1,0,)1();(,)10(,501ppxpppxfXXnxx,24,2422⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----aacbbaacbb,22/αzna+=其中),2(22/αzXnb+-=.2Xnc=推导过程如下:因为(0–1)分布的均值和方差分别为),1(,2p p p -==σμ , ,,, 21是一个样本设n X X X 因为容量n 较大,由中心极限定理知)1()1(1p np np X n p np np X ni i --=--∑=, )1,0( 分布近似地服从N ,1)1(2/2/ααα-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧<--<-z p np npX n z P2/2/)1(ααzpnpnpXnz<--<-不等式,0)2()(222/222/<++-+XnpzXnpznαα等价于,24,242221aacbbpaacbbp-+-=---=令,22/αzna+=其中),2(22/αzXnb+-=.2Xnc=的置信区间是的近似置信水平为则α-1p).,(21pp设从一大批产品的100个样品中, 得一级品60个, 求这批产品的一级品率 p 的置信水平为0.95的置信区间.解 一级品率 p 是(0-1)分布的参数,,100=n ,6.010060==x ,95.01=-α,96.1025.02/==z z α,84.103 2=+=z n a 则例1 ,24,2422⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+----a ac b b a ac b b , 22/αz n a +=其中),2(22/αz X n b +-=.2X n c =置信区间 二、例题选讲)2(22/αz X n b +-=)2(22/αz x n +-=,84.123-=22x n X n c ==,36=aacb b p 2421---=于是aac b b p 2422-+-=,50.0=,69.0=p 的置信水平为0.95的置信区间为 ).69.0,50.0(2/2 103.84,a n z α=+=设从一大批产品的120个样品中, 得次品9个, 求这批产品的次品率p 的置信水平为0.90的置信区间.解,120=n,09.01009==x,90.01=-α例222αzna+=则,71.122=)2(22αzXnb+-=)2(22αzx n+-=,31.24-=2Xnc-=2x n-=,972.0=p 的置信水平为0.90的置信区间为).143.0,056.0(aacbbp2421---=于是,056.0=aacbbp2422-+-=,143.0=。

第八章参数估计方法研究工作的目的在于了解总体特征的有关信息，因而用样本统计数估计相应总体参数，并由之进行统计推断。

总体特征的各种参数，在前几章主要涉及平均数、标准差等，并只从直观上介绍其定义和公式，未就其历，即参数估计(parameter estimation)的方法作讨论。

本章将简要介绍几种常用参数估计方法，即矩法、最小二乘法、极大似然法。

第五章述及参数的点估计(point estimation)和区间估计(interval estimation)，本章讨论点估计方法。

区间估计是在点估计的基础上结合统计数的抽样分布而进一步作出的推论，有关内容将散见在其它各章。

第一节农业科学中的主要参数及其估计量的评选标准一、农业科学中的主要参数农业科学研究中需要估计的参数是多种多样的，主要包括总体数量特征值参数，例如，用平均数来估计品种的产量，用平均数差数来估计施肥等处理的效应；用百分数(或比例)来估计遗传分离比例、群体基因或基因型频率、2个连锁主基因间的重组率；通过变异来源的剖分，用方差来估计环境方差、遗传方差和表型方差，在此基础上以估计性状的遗传力等遗传参数；用标准误来估计有关统计数的抽样误差，如重组率的标准误、遗传抽样误差、遗传多样性误差、频率误差等。

在揭示变数间的相互关系方面，用相关系数来描述2个变数间的线性关系；用回归系数、偏回归系数等来描述原因变数变化所引起的结果变数的平均变化的数量，用通径系数来描述成分性状对目标性状的贡献程度等。

有关数量关系和数量变化方面的内容将在第9至11章介绍。

二、参数估计量的评选标准讨论参数估计方法前需要了解数学期望(expectation)的概念和评价估计方法优劣的标准。

(一) 数学期望在抽样分布中，已经讲述了从总体中抽出所有可能样本的样本平均数的平均数等于总体平均数，这里，样本平均数的平均数就是一种数学期望。

例如，一个大豆品种的含油量为20%，测定一次可能是大于20%，再测定可能小于20%，大量反复测定后平均结果为20%，这时20%便可看作为该大豆品种含油量的数学期望，而每单独测定一次所获的值只是1个随机变量。

山西农业大学信息学院《试验设计与统计分析》教学大纲课程名称：试验设计与统计分析Experiment Design and Statistical Analysis课程编码：105011课程类别：专业基础课学时/学分：48学时/3学分适用专业：资环、环科等专业一、前言1、课程性质《试验设计与统计分析》，是数理统计学在生物科学领域的应用，主要涉及科学研究中的试验设计、抽样观测和统计推断，是一门应用数学。

课程还同时融入国际权威的SAS统计分析，通过上机处理试验实例的数据，巩固和加深理解所学统计原理及方法。

课程不仅讨论如何科学地设计试验，而且还讨论如何科学地收集数据、整理数据、分析数据、解释数据和做出结论，是从事科学研究必不可少的基础知识。

《试验设计与统计分析》是资环、环科专业的一门专业基础必修课程。

2、教学目标通过课堂讲授、课下作业和上机数据处理三个环节的教学过程，使学生掌握基本的试验设计与统计分析方法，掌握试验数据处理的程式步骤和技能。

3、教学要求针对试验设计与统计分析的学科特点，结合专业的性质，讲授课程时理论与方法并重，力图把统计原理讲解的清晰易懂，使学生了解典型内容的基本原理和方法，理解统计方法的理论背景，掌握一些基本技能，从而培养学生分析解决实际问题的能力。

4、先修课程高等数学、线性代数、概率论等二、课程内容绪论教学内容及总体要求：掌握：（1）试验设计与统计分析的概念、特点；（2）总体与样本、样本含量、参数与统计量的概念；（3）统计分析的基本要求。

了解：（1）试验设计与统计分析的作用及其主要内容；（2）试验设计与统计分析的发展概况；（3）错误与误差、准确性与精确性的概念。

教学目标：通过学习，使学生掌握试验设计与统计分析的概念、特点；总体与样本、样本含量、参数与统计量的概念；统计分析的基本要求。

教学方式方法建议：课堂讲授、课堂讨论学时：2学时一、试验在科学研究中的作用二、试验研究的一般程式及过程三、试验设计与统计分析的涵义四、试验设计与统计分析的必要性五、课程特点与学习方法六、常用术语和基本概念思考题：1、总体与样本、样本含量、参数与统计量的概念；2、统计分析的基本要求第一章田间试验设计（6学时）第一节田间试验设计基础1、田间试验设计概述2、试验设计中的基本概念第二节田间试验的种类1、按试验性质分类2、按因子多少分类第三节田间试验的特点和要求一、田间试验的特点二、田间试验的基本要求第四节试验误差与土壤差异一、田间试验的误差二、试验地的土壤差异三、试验地的选择和培养第五节田间试验设计原则一、重复二、随机排列三、局部控制第六节试验小区的控制技术一、试验小区的面积二、小区的形状三、重复次数四、对照区的设置五、保护行的设置六、重复区和小区的排列第七节常用的试验设计方法一、完全随机设计二、随机区组设计三、拉丁方设计四、巢式设计五、裂区设计掌握：（1）试验设计的概念、特点和基本要求、试验方案的拟定；（2）试验设计的基本原则、作用及其相互关系；（3）完全随机试验设计、随机区组设计的概念及其方法、特点和试验结果的统计分析方法；（4）试验研究中样本含量的估计。

第19讲 正态总体参数的区间估计教学目的：理解区间估计的概念，掌握各种条件下对一个正态总体的均值和方差进行区间估计的方法。

教学重点：置信区间的确定。

教学难点：对置信区间的理解。

教学时数： 2学时。

教学过程：第六章 参数估计§6.3正态总体参数的区间估计1. 区间估计的概念我们已经讨论了参数的点估计，但是对于一个估计量，人们在测量或计算时，常不以得到近似值为满足，还需估计误差，即要求知道近似值的精确程度。

因此，对于未知参数θ，除了求出它的点估计ˆθ外，我们还希望估计出一个范围，并希望知道这个范围包含参数θ真值的可信程度。

设ˆθ为未知参数θ的估计量，其误差小于某个正数ε的概率为1(01)αα-<<，即ˆ{||}1P θθεα-<=-或αεθθεθ-=+<<-1)ˆˆ(P这表明，随机区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-包含参数θ真值的概率（可信程度）为1α-，则这个区间)ˆ,ˆ(εθεθ+-就称为置信区间，1α-称为置信水平。

定义 设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。

若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间，1θ称为置信下限，2θ称为置信上限，1α-称为置信水平。

注（1）置信区间的含义：若反复抽样多次（各次的样本容量相等，均为n ），每一组样本值确定一个区间12(,)θθ，每个这样的区间要么包含θ的真值，要么不包含θ的真值。

按伯努利大数定理，在这么多的区间中，包含θ真值的约占100(1)%α-，不包含θ真值的约仅占100%α。

例如：若0.01α=，反复抽样1000次，则得到的1000个区间中，不包含θ真值的约为10个。

（2）置信区间的长度表示估计结果的精确性，而置信水平表示估计结果的可靠性。